ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 1, θαη ην ζρεηηθό ηππνιόγην πνπ δηέπεη ηελ δηαδηθαζία επίιπζεο εμηζώζεσλ. 3 2 Β. Λύλνπκε ηηο εμηζώζεηο: εκx =, ζπλx =, εθx = 1 2 2 Γ. Λύλνπκε ηηο εμηζώζεηο: (1 εκx)(2εκx - 3 ) = 0 θαη ( 3 + εθx)(1 εθx ) = 0 Γ. Λύλνπκε ηελ εμίζωζε: 2 ζπλ3x = 1 Δ. ΕΡΓΑΙΕ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Οη αζθήζεηο 1ii, 1iii, 2i, 2ii, 3ii, 4ii, 5ii, 6ii, 8iii, 9ii ζηηο ζειίδεο 23-24 ηνπ βηβιίνπ 2 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α. Επαλαιακβάλνπκε ηνπο βαζηθνύο ηξηγσλνκεηξηθνύο ηύπνπο πνπ δηέπνπλ ηελ δηαδηθαζία επίιπζεο ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ εμηζώζεσλ θαη ζηελ ζπλέρεηα αλαθεξόκαζηε ζε: Δμηζώζεηο πνπ κεηαζρεκαηίδνληαη ζε αιγεβξηθέο Σνλίδνπκε ζηνπο καζεηέο όηη: πνιιέο ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζώζεηο γηα ηελ επίιπζή ηνπο ρξεηάδεηαη λα εηζάγνπκε βνεζεηηθό άγλσζην, ώζηε απηέο λα κεηαζρεκαηηζηνύλ ζε αιγεβξηθέο. ηελ πεξίπησζε απηή επηιύνπκε ηελ αιγεβξηθή εμίζσζε θαη ζηελ ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηηο ηηκέο πνπ αιεζεύνπλ ηελ αξρηθή ηξηγσλνκεηξηθή εμίζσζε. Β. Λύλνπκε ηηο εμηζώζεηο: 2εκ 2 x + 5ζπλx +1 = 0 εκ 3 x + 2ζπλ 2 x εκx = 0 Γ. πδεηάκε ηελ δηαδηθαζία επίιπζεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο ζε δηάζηεκα, αλαθέξνληαο ζηνπο καζεηέο ηελ παξαθάησ αιγνξηζκηθή δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπο Βξίζθνπκε ηνπο γεληθνύο ηύπνπο πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηηο ιύζεηο ηεο εμίζσζεο. Αλ δεηείηαη λα πξνζδηνξηζηνύλ νη ιύζεηο ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο [ιπ, κπ] ιύλνπκε ηελ αλίζσζε ιπ x κπ θαη θαηαιήγνπκε ζε ζρέζε ηεο κνξθήο γ θ δ κε θ αθέξαηνο. Πξνζδηνξίδνπκε όιεο ηηο αθέξαηεο ηηκέο ηνπ θ πνπ επαιεζεύνπλ ηελ παξαπάλσ αλίζσζε θαη ηηο ηηκέο απηέο ηηο αληηθαζηζηνύκε ζηνπο γεληθνύο ηύπνπο πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηηο ιύζεηο ηεο εμίζσζεο ζην δνζκέλν δηάζηεκα.
Γ. Λύλνπκε ηελ εμίζωζε: 2 x 1 ζην δηάζηεκα [ - π, π] Δ. ΕΡΓΑΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Οη αζθήζεηο 10 θαη 11 ζηελ ζειίδα 24 θαη 3, 5 ζηελ ζειίδα 25 3 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α. Επαλαιακβάλνπκε ηνπο βαζηθνύο ηξηγσλνκεηξηθνύο ηύπνπο πνπ δηέπνπλ ηελ δηαδηθαζία επίιπζεο ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ εμηζώζεσλ θαη ζηελ ζπλέρεηα δηαπξαγκαηεπόκαζηε ζπλζεηόηεξεο εμηζώζεηο Β. Λύλνπκε ηηο εμηζώζεηο: 3εθ 2 x+(3-3 )εθx- 3 =0 ζην δηάζηεκα [0,2π] π εκ 2x = ζπλx 6 1 1 (1 + εκx) 1 (1 x) 1 x x ηελ ηειεπηαία εμίζσζε θάπνηεο από ηηο ιύζεηο πνπ βξίζθνπκε αληίθεηηαη ζηνπο πεξηνξηζκνύο πνπ ζέηνπκε ιόγσ ησλ παξνλνκαζηώλ θαη ηηο απνξξίπηνπκε. Γ. ΕΡΓΑΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Οη αζθήζεηο 1 ζηελ ζειίδα 24 θαη 2 ζηελ ζειίδα 25 4 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α. Επαλαιακβάλνπκε ηνπο βαζηθνύο ηξηγσλνκεηξηθνύο ηύπνπο πνπ δηέπνπλ ηελ δηαδηθαζία επίιπζεο ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ εμηζώζεσλ θαη ζηελ ζπλέρεηα. Αζρνινύκαζηε κε πξνβιήκαηα πνπ επηιύνληαη κε ηελ ρξήζε ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ εμηζώζεσλ Β. Λύλνπκε ην πξόβιεκα Σν βάζνο ηνπ λεξνύ θάησ από ηελ γέθπξα ηνπ Επξίπνπ θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο εκέξαο t δίλεηαη από ηελ ζπλάξηεζε f(t) = 20 +4ζπλ όπνπ t ζε ώξεο κε 0 t 24. 3 α. Να βξεζεί ε πεξίνδνο ηεο παξαπάλσ ζπλάξηεζεο β. Πνην είλαη ην κέγηζην θαη πνην ην ειάρηζην βάζνο ηνπ λεξνύ; γ. Πνηα ώξα ηεο εκέξαο ην βάζνο ηνπ λεξνύ είλαη 18 κέηξα. δ. Αλ ην ύςνο ηεο γέθπξαο από ην ππζκέλα είλαη 30 κέηξα λα ειεγρζεί αλ έλα ζθάθνο ύςνπο 8 κέηξσλ πάλσ από ηελ επηθάλεηα ηνπ λεξνύ κπνξεί λα πεξάζεη θάησ από ηελ γέθπξα ζηηο 12 ην πξσί; 5 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ
Αλ ν ρξόλνο καο ην επηηξέπεη θαη ην επίπεδν ηεο ηάμεο είλαη θαηάιιειν πξνηείλεηαη θαη κηα επηπιένλ δηδαθηηθή ώξα γηα αληηκεηώπηζε ζεκάηωλ απμεκέλεο ηεο κέζεο δπζθνιίαο ζηηο εμηζώζεηο Α. Επαλαιακβάλνπκε ηνπο βαζηθνύο ηξηγσλνκεηξηθνύο ηύπνπο πνπ δηέπνπλ ηελ δηαδηθαζία επίιπζεο ησλ ηξηγσλνκεηξηθώλ εμηζώζεσλ θαη ζηελ ζπλέρεηα. Β. Λύλνπκε ηηο εμηζώζεηο: ] (4εκ 4 x 1)(1 - εκx ) = 0 ζην δηάζηεκα [0,π] εκ(ζπλx) = 0 εκ x = 0 εκx + ζπλx = 0 εκ(πζπλx) = 1
ΜΑΘΗΜΑ 9 ν 1.1 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ ΔΞΙΩΔΙ ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ Βαζηθέο ηξηγωλνκεηξηθέο εμηζώζεηο εκx = εκα x = 2kπ+α ή x = 2kπ+π-α ζπλx = ζπλα x = 2kπ±α εθx = εθα x = kπ+α ζθx = ζθα x = kπ+α Δηδηθέο πεξηπηώζεηο ηξηγωλνκεηξηθώλ Δμηζώζεωλ εκx = 0 x = kπ+0 ζπλx = 0 x = kπ+π/2 εκx = 1 x = 2kπ+π/2 ζπλx = 1 x = 2kπ εκx = -1 x = 2kπ-π/2 ζπλx = -1 x = 2kπ+π ΔΦΑΡΜΟΓΗ 1 ε Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο 1 3 εκx =, εκx =, ζπλx = 2 2 2 εθx = 1 2
ΔΦΑΡΜΟΓΗ 2 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε (1 εκx)(2εκx - 3 ) = 0 ΔΦΑΡΜΟΓΗ 3 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε ( 3 + εθx)(1 εθx ) = 0 ΔΦΑΡΜΟΓΗ 3 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε 2 ζπλ3x = 1 EΦΑΡΜΟΓΗ 4 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε εκ x = - 1 3
ΔΡΓΑΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Να ιύζεηε ηηο αζθήζεηο 1ii, 1iii, 2i, 2ii, 3ii, 4ii, 5ii, 6ii, 8iii, 9ii ζηηο ζειίδεο 23-24 ηνπ βηβιίνπ ζαο.
ΜΑΘΗΜΑ 10 ν ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ ΔΞΙΩΔΙ (κέξνο δεύηεξν) ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ Βαζηθέο ηξηγωλνκεηξηθέο εμηζώζεηο εκx = εκα x = 2kπ + α ή x = 2kπ + π-α ζπλx = ζπλα x = 2kπ ± α εθx = εθα x = kπ + α ζθx = ζθα x = kπ + α Δηδηθέο πεξηπηώζεηο ηξηγωλνκεηξηθώλ Δμηζώζεωλ εκx = 0 x = kπ+0 ζπλx = 0 x = kπ + π/2 εκx = 1 x = 2kπ + π/2 ζπλx = 1 x = 2kπ εκx = -1 x = 2kπ - π/2 ζπλx = -1 x = 2kπ + π Δμηζώζεηο πνπ κεηαζρεκαηίδνληαη ζε αιγεβξηθέο ε πνιιέο ηξηγσλνκεηξηθέο εμηζώζεηο γηα ηελ επίιπζή ηνπο ρξεηάδεηαη λα εηζάγνπκε βνεζεηηθό άγλσζην, ώζηε απηέο λα κεηαζρεκαηηζηνύλ ζε αιγεβξηθέο. ηελ πεξίπησζε απηή επηιύνπκε ηελ αιγεβξηθή εμίζσζε θαη ζηελ ζπλέρεηα βξίζθνπκε ηηο ηηκέο πνπ αιεζεύνπλ ηελ αξρηθή ηξηγσλνκεηξηθή εμίζσζε. ΔΦΑΡΜΟΓΗ 1 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε: 2εκ 2 x + 5ζπλx +1 = 0 ΔΦΑΡΜΟΓΗ 2 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε: εκ 3 x + 2ζπλ 2 x εκx = 0
Eπίιπζε εμίζωζεο ζε δηάζηεκα Αλ αλαδεηάκε ιύζεηο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο πνπ βξίζθνληαη ζε έλα δηάζηεκα, ηόηε αθνινπζνύκε ηελ παξαθάησ δηαδηθαζία Βξίζθνπκε ηνπο γεληθνύο ηύπνπο πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηηο ιύζεηο ηεο εμίζσζεο. Αλ δεηείηαη λα πξνζδηνξηζηνύλ νη ιύζεηο ζε δηάζηεκα ηεο κνξθήο [ιπ, κπ] ιύλνπκε ηελ αλίζσζε ιπ x κπ θαη θαηαιήγνπκε ζε ζρέζε ηεο κνξθήο γ θ δ κε θ αθέξαηνο. Πξνζδηνξίδνπκε όιεο ηηο αθέξαηεο ηηκέο ηνπ θ πνπ επαιεζεύνπλ ηελ παξαπάλσ αλίζσζε θαη ηηο ηηκέο απηέο ηηο αληηθαζηζηνύκε ζηνπο γεληθνύο ηύπνπο πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηηο ιύζεηο ηεο εμίζσζεο ζην δνζκέλν δηάζηεκα. ΔΦΑΡΜΟΓΗ 3 ε Να ιπζεί ε εμίζσζε 2 x 1 ζην δηάζηεκα [ - π, π]
ΔΡΓΑΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Να ιύζεηε ηηο αζθήζεηο 10 θαη 11 ζηελ ζειίδα 24 θαη 3, 5 ζηελ ζειίδα 25
ΜΑΘΗΜΑ 11 ν ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ ΔΞΙΩΔΙ (κέξνο ηξίην) ΣΤΠΟΛΟΓΙΟ Βαζηθέο ηξηγωλνκεηξηθέο εμηζώζεηο εκx = εκα x = 2kπ + α ή x = 2kπ + π-α ζπλx = ζπλα x = 2kπ ± α εθx = εθα x = kπ + α ζθx = ζθα x = kπ + α Δηδηθέο πεξηπηώζεηο ηξηγωλνκεηξηθώλ Δμηζώζεωλ εκx = 0 x = kπ+0 ζπλx = 0 x = kπ + π/2 εκx = 1 x = 2kπ + π/2 ζπλx = 1 x = 2kπ εκx = -1 x = 2kπ - π/2 ζπλx = -1 x = 2kπ + π ΔΦΑΡΜΟΓΗ 1 ε Nα ιπζεί ε εμίζσζε 3εθ 2 x+(3-3 )εθx- 3 =0 ζην δηάζηεκα [0,2π] ΔΦΑΡΜΟΓΗ 2 ε π Να ιπζεί ε εμίζσζε εκ2x = ζπλx 6
ΔΦΑΡΜΟΓΗ 3 ε 1 1 Να ιπζεί ε εμίζσζε (1 + εκx) 1 (1 x) 1 x x
ΔΡΓΑΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Να ιύζεηε ηηο αζθήζεηο 1 ζηελ ζειίδα 24 θαη 2 ζηελ ζειίδα 25
ΜΑΘΗΜΑ 12 ν EΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΟ ΔΦΑΡΜΟΓΗ 1 ε ΔΦΑΡΜΟΓΗ 2 ε [0,π] Να ιπζεί ε εμίζσζε (4εκ 4 x 1)(1 - εκx ) = 0 ζην δηάζηεκα
ΔΦΑΡΜΟΓΗ 3 ε
ΔΡΓΑΙΑ ΓΙΑ ΣΟ ΠΙΣΙ Να ιύζεηε ηηο αζθήζεηο