ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ -5-9 Θέμ ο A. Θεώρημ σχ. βιβλίου σελ. 5 Β. Ορισμός σχ. βιβλίου σελ. 3 Γ.. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Λάθος Θέμ ο Α.. Έστω z= + yi,,y R.Τότε: β. z= λ+ + λ i + yi= λ+ + λ i λ= = λ+ y= y= λ y= άρ η ευθεί στην οποί κινούντι οι εικόνες των μιγδικών έχει είσωση ε: y= y ε: y= z O(,) (,) Μ o (,-) Μ(z) (,-) δ:y= Αφού οι εικόνες του z κινούντι στην ευθεί ε: y = κι το z = ( OM)=πόστση της εικόνς του z πό την ρχή των όνων του μιγδικού επιπέδου, γι ν βρούμε τον
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 z γι τον οποίο z = min πρέπει ν βρούμε το σημείο Μ ο ( z ) της ευθείς ε που πέχει πό το Ο ελάχιστη πόστση. Επομένως, θ φέρουμε πό το Ο ευθεί δ ε κι θ βρούμε το σημείο τομής τους. Η ευθεί δ είνι κάθετη στην ε, άρ ισχύει: λδ λ ε = λδ = λ δ = κι διέρχετι πό το Ο(, ), άρ έχει είσωση δ :y=. Το σημείο M είνι το σημείο τομής των δύο ευθειών ε κι δ κι έχει συντετγμένες τη λύση του συστήμτος: y= = = = y= y= y= y= Άρ M (, ) κι ο μιγδικός που έχει εικόν το είνι ο z = i. M B. z = i ο μιγδικός του προηγούμενου ερωτήμτος κι w = + yi,y R Η δοσμένη σχέση γίνετι: w + w = i w + w 3+ i = + y + yi 3+ i = + y + 3 + y i= + y + 3= + + 3= + = y= y= y= = 4 ή = 3 = 4 y= y= = 3 y= άρ w = 4 + i, w = 3+ i Θέμ 3 ο Α. f = ln +, >, f = ( + ) D, Πρτηρώ ότι f = ln=, άρ η δοσμένη σχέση f, γι κάθε >, γράφετι : f f γι κάθε > άρ η f στο (, + ) προυσιάζει ελάχιστο. Η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ) ως πράη πργωγισίμων συνρτήσεων με : f = ( ) ( ln ( + )) = ln ( + ) = ln + +, +, άρ ισχύει το Επομένως η f πργωγίζετι κι στο, εσωτερικό σημείο του θεώρημ του Fermat, οπότε : f = ln = ln = ln = = e +
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 Β.. Γι = e, f = e ln( + ) η οποί είνι πργωγίσιμη ως πράη πργωγισίμων με : f e πργωγίσιμη ως πράη πργωγισίμων με : = + f = (e ) = e + (+ ) = e + > γι κάθε > + ( + ) ( + ) Επιπλέον η f είνι συνεχής στο (, + ) κι f > στο (, + ) άρ η f είνι κυρτή στο (, + ). β. f = e + f = e = = + Προφνής ρίζ της f = είνι το. f > ( πό.) γι κάθε > Επειδή f στο,+ η f συνεχής στο (,+ ) f Άρ γι τ, + με < < f < f f < δηλή δ f < στο, ενώ γι τ, + με > f > f f > δηλή δ f > στο, + Τελικά f < στο, f στο, f συνεχής στο (,] f > στο,+ f στο, + f συνεχής στο [, + ) f ( ] [ ) γ. Θεωρώ h( ) = f( β) ( ) + f( γ) ( ) Ορίζετι στο R άρ κι στο [, ] Είνι συνεχής ως πολυωνυμική στο R άρ κι στο [, ] h = f ( β) ( ) + f ( γ) ( ) = f( β) h = f ( β) ( ) + f ( γ) ( ) = f( γ) Ττε ό h ( ) h = f ( β ) f ( γ ) ( ) f στο (,) άρ ισχύει f > f ( ) γι κάθε (,) 3
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 επομέ νως f > γι κάθε (, ) άρ κι f > γι κάθε (, ) f στο (,+ ) άρ ισχύει f > f ( ) γι κάθε (,+ ) επομέ νως f > γι κάθε (,+ ) Τελικά: f > γι κάθε (,) (,+ ) επειδή β,γ (, ) (, + ) ισχύει: f β > f( β ) f( γ ) > f( β ) f( γ ) < h h < f ( γ) > Άρ ισχύει το Θ.Bolzano γι την h στο [,] οπότε υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ ρ (, τέτοι ώστε: ) f ( β) [ ρ ] + f ( γ) [ ρ ] = ( ρ ) = ρ (, ) ρ κι ρ ( β) [ ρ ] ( γ) [ ρ ] + = + ( ρ )( ρ ) ( ρ )( ρ ) ρ ρ h f f f β f γ = Οπότε υπάρχει μι τουλάχιστον ρίζ ρ της δοσμένης είσωσης f( β) f( γ) + = στο (, ) Θέμ 4 ο. Η f είνι συνεχής στο [,], f είνι συνεχής στο [,] ως γινόμενο συνεχών, f [ ] άρ έχει ρχική την Η = tf t dt,ορισμένη κι πργωγίσιμη στο,, με Η = Η H είνι συνεχής στο [, ], άρ κι στο, οπότε : lim Η = H = tf (t)dt = lim = H, πργωγίσιμες κοντά στο κι =, άρ ισχύουν οι προϋποθέσεις de l H H Hospital, άρ : lim = lim = lim ( f ) = f = H f(t)dt είνι πργωγίσιμη στο [, ] ως ρχική της συνεχούς f, άρ κι συνεχής, οπότε : lim f(t)dt = f(t)dt = 4
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 Γι τ κοντά στο : H G = f(t)dt + 3 H H lim G = lim f (t)dt + 3 = lim lim f (t)dt + lim 3 = + 3 = 3 (3) Γι τ t,, ορίζω ( ) t t t + t g(t) = = + = = (4) t t t t + t Τότε : (4) lim g(t) = lim = (5) t t + t (5) t G = 6lim = 6 = 3 (6) t t Από (3),(6) έχω lim G = G, ( + ) άρ η G είνι συνεχής στο. H Επιπλέον η G = f(t)dt + 3 είνι συνεχής στο (, ] ως πράη συνεχών, άρ τελικά η G είνι συνεχής στο [, ]. β. Η πρ/μη στο [,] άρ κι στο (,) πργωγίσιμη στο R άρ κι στο (,) f(t)dt πρ/μη στο [,] άρ κι στο (,) άρ η G πργωγίσιμη στο (,) ως πράη πργωγισίμων H Η H G = f (t)dt ( 3) + = f = f H f H H = f = f = 5
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 γ. Από υπόθεση t f t dt = tf t dt f t dt = H tf tdt= f tdt H = f tdt = f tdt [ ] π ό ερώτημ : συνεχής στο, Θεωρώ την G η οποί είνι : πό ερώτημ β : πργωγίσιμη στο, G = 3 πό το ερώτημ Η G = f t dt + 3 = f t dt f t dt + 3 = 3 Άρ G = G Οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle στο [,] οπότε υπάρχει Η (, ) τέτοιο ώστε: G = = Η = δ. Α τρόπος (,) πό το προηγούμενο ερώτημ άρ < <. Θεωρώ την G κι το [,] [, ) στο οποίο η G είνι συνεχής πό το ερώτ.. Η G πργωγίσιμη στο (,) επειδή είνι πργωγίσιμη στο (,) πό το ερώτ.(β), άρ ισχύει Θ.Μ.Τ. Oπότε υπάρχει (,) τέτοιο ώστε: Η f t dt + 3 3 ( γ) f t dt G G G ( ) = = = H μως = άρ Ό πό το β : G Τότε λόγω γίνετι Β τρόπος tf t dt H( ) G = = tf t dt f t dt = tf t dt = f t dt f t dt φ = G + κι το [ ] Θεωρώ συνάρτηση,. Η G( ) είνι συνεχής πό ερώτημ στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (,) πό το (β) ερώτημ f t dt συνεχής στο R άρ κι στο [, ] κι πργωγίσιμη στο R άρ κι στο (,) ως πολυωνυμική άρ η φ( ) συνεχής στο [, ] ως πράη συνεχών κι πργωγίσιμη στο (,) ως πράη πργωγίσιμων. 6
ΚΟΡΙΝΘΟΥ 55, ΚΑΝΑΚΑΡΗ ΤΗΛ. 6 65.36, 6 64.9, FAX 6 65.366 φ = G + f t dt = G = 3 f t dt H φ = G + = f t dt+ 3+ f t dt = + 3= 3 Άρ φ = φ οπότε ισχύει το Θ. Rolle γι την συνάρτηση φ άρ υπάρχει έν τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε φ ( ) =. f t dt f t dt Η ( ) φ = G + = + f t dt f t dt Η( ) Η( ) φ ( ) = + = = Η = f t dt tf t dt = f t dt 7