VECTORES Índce. Vecores.... Operacóns con ecores en forma gráfca.... Combnacóns lneas de ecores..... Bases e coordenadas dun ecor... 4.. Operacóns con ecores expresados polas súas coordenadas... 5 4. Produo escalar de dous ecores... 7 4.. Oura formulacón do produo escalar... 8 4.. Aplcacóns do produo escalar... 8 5. Produo ecoral... 0 6. Produo mxo de res ecores.... Vecores Chámase ecor a un segmeno orenado de exremos A e B. Cando se consdera a orenacón de A a B, é dcr, A é a orxe e B o exremo, smbolízase o segmeno por AB. Cando, pola conra, se oma B como orxe e A como exremo, o segmeno smbolízase porba. As caraceríscas dun ecor son res: Módulo de AB: é a dsanca enre A e B. O módulo do ecor AB smbolízase por AB. Dreccón de AB: é a reca que conén os punos A e B ou calquera reca paralela a ela. Sendo: en odo segmeno de exremos A e B caben dous sendos, o que a de A a B e o que a de B a A. Como se defnu a dreccón dun ecor como a reca que conén ao ecor ou calquera oura reca paralela a ela, pódense aopar dous ecores, AB e A B, que eñen o mesmo módulo, dreccón e sendo, al como se e na maxe. Nesa suacón dse que AB A B. Ha moos ecores que son guas a AB. Se odos son guas, non en moa mporanca cal é a orxe dun ecor, senón o seu módulo, dreccón e sendo; por esa razón a odos os ecores que eñen o mesmo módulo, dreccón e sendo que AB adóanse smbolzar por unha lera mnúscula cunha frecha enrba, por exemplo. Que son AB e A B de? Pódese dcr que son localzacóns do ecor, unha con orxe en A e oura en A'. En calquera
puno do espazo pódese suar unha localzacón de sempre que eña o mesmo módulo, dreccón e sendo. A parr de agora, falarase ndsnamene de ecores smbolzados por unha lera u, como das súas localzacóns nun puno do espazo deermnado AB, CD.. Operacóns con ecores en forma gráfca Mulplcacón dun ecor por un número Se dado un ecor se mulplca por obense o ecor que grafcamene erá dobre lonxude de. Se se mulplca por obense que en sendo oposo a. Se se mulplca por obense, cuxo módulo será a meade. Na maxe debuxáronse amén e 4. Resumndo, se se mulplca un número m polo ecor obense un noo ecor m coas segunes caraceríscas: O módulo de m é gual ao alor absoluo de m polo módulo de : m m. A dreccón de m é a mesma que a de. O sendo de m é o mesmo que o de se m > 0; cando m < 0, o sendo de m é oposo a. Ao mulplcar 0 por obense o ecor cero, 0, é dcr, 0 0. O ecor 0 é aquel no que concden orxe e exremo. As súas localzacóns son do po AA BB CC, por suposo non en dreccón, e o módulo é cero. Suma de ecores A suma dos ecores e é ouro, que se smbolza por +, e obense de dúas formas. Unha forma, consruíndo o paralelogramo de lados e, enón a dagonal do paralelogramo será o ecor +, como se e na maxe da esquerda. Ouro modo de sumar ecores consse en razar con orxe no exremo de e segudamene unr a orxe de co exremo de. O resulado amén é +. Na maxe da derea ese como se fa esa suma. Os dous modos de sumar ecores ndcan que a suma de ecores é unha operacón conmuaa.
Resa de ecores A dferenza dos ecores e,, é un ecor que sumado con dá. É dcr, + ( ). Na maxe debuxouse o únco ecor que cumpre esa condcón:. Propedades das operacóns con ecores As operacóns con ecores erfcan as segunes propedades: Asocaa: (u + ) + u + ( + ). É dcr, pódense sumar más de dous ecores. Conmuaa: u + + u. Exsenca de elemeno neuro: Exse un ecor, o ecor cero, 0, al que, 0 + u u + 0 u, para calquera ecor u. Exsenca de elemeno oposo: Dado un ecor calquera u, exse ouro ( u ), chamado ecor oposo, co mesmo módulo e dreccón, pero dsno sendo que o prmero, al que, u + ( u ) 0. É dcr, ao sumarlle a un ecor u o seu oposo u obense o ecor 0. Asocaa para a mulplcacón por números reas: m (nu ) (m n)u, para m e n números reas. Dsrbuas: (m + n)u m u + n u e m (u + ) m u + n, dsrbua respeco á suma de números e dsrbua respeco á suma de ecores. Mulplcacón pola undade: u u.. Combnacóns lneas de ecores Unha combnacón lneal dos ecores u, u, u,..., u n é unha expresón do po u + u + u +... + n u n, onde,,..., n son números reas chamados coefcenes da combnacón lneal. Por exemplo, dados os ecores u, e, a expresón u + 4 é unha combnacón lneal. Un conxuno de ecores { u, u, u,..., u n } é lnealmene dependene se enre eles ha algún que é combnacón lneal dos demas. Pola conra, un conxuno de ecores é lnealmene ndependene se nngún deles pódese expresar como combnacón lneal dos demas. Ha un crero para deermnar se un conxuno de ecores,,..., n é lnealmene dependene ou non. Se exse unha combnacón lneal, cos coefcenes non odos nulos, que conduce ao ecor 0, enón os ecores son lnealmene dependenes. Pola conra, se a únca combnacón lneal que conduce ao ecor 0 é a que en odos os coefcenes nulos, enón son lnealmene ndependenes.
Exemplos: Dous ecores da mesma dreccón son lnealmene dependenes. Se u e eñen a mesma dreccón, enón u, sendo un número dsno de cero. A expresón u 0 é unha combnacón lneal de coefcenes non nulos que dá o ecor 0. Dous ecores do espazo, u e, de dsna dreccón son lnealmene ndependenes. Ao er dsna dreccón non ha nngún número que cumpra a gualdade u. Logo a únca posbldade de que u + 0, é que 0. Os ecores son lnealmene ndependenes. Tres ecores coplanaros (no mesmo plano) u, e son lnealmene dependenes. Trazados coa mesma orxe, como se e na maxe, sempre se pode poñer un deles, nese caso, como suma de múlplos de u e. É dcr, u + u + 0. Tres ecores do espazo, u, u e u, non coplanaros son lnealmene ndependenes. Ao non esar nngún deles no plano dos ouros dous, non ha posbldade de expresar calquera deles como combnacón lneal dos ouros dous. Dados res ecores do espazo, u, u e u, non coplanaros, calquera ouro ecor do espazo pódese expresar como combnacón lneal deles. Se se debuxan odos coa mesma orxe, podería darse unha suacón como a da maxe. Obsérase que o ecor pódese escrbr como suma do ecor u + u co ecor u. É dcr, u + u + u... Bases e coordenadas dun ecor Un conxuno de res ecores, u, u e u, como o dos dous úlmos exemplos anerores, cumpre dúas condcóns: son lnealmene ndependenes e calquera ouro ecor pódese escrbr como combnacóns lneas deles. Un conxuno que cumpra esas condcóns chámase unha base dos ecores do espazo. Tres ecores u, u e u non nulos e non coplanaros forman unha base dos ecores do espazo. Dada unha base B { u, u, u } calquera ecor pódese poñer de forma únca como combnacón lneal da base. u + u + u Aos números,, denomínaselles coordenadas de respeco á base ou compoñenes do ecor respeco á base e como son úncas, unha ez fxada a base, o ecor exprésase así: (,, ). 4
Se u + u 4u, enón pódese expresar así: (,, 4). Aos números (,, 4) chámaselles coordenadas ou compoñenes do ecor respeco á base { u, u, u }. Os ecores do espazo poden er moas bases, pero odas eñen o mesmo número de ecores. Ha unha base dos ecores do espazo especalmene ulzada. Smbolzarase por {,, } e son ecores perpendculares enre s, e odos eñen o mesmo módulo; módulo que se oma como undade de lonxude. A esa base chámaselle base oronormal. A parr de agora supoñerase que os ecores do espazo esán referdos á base {,, }. Exemplo: Dada a base B {,, }, achar as coordenadas de, e con respeco á base B. Expresaranse, e como combnacón lneal dos ecores da base: + 0 + 0, logo (, 0, 0) 0 + + 0, logo (0,, 0) 0 + 0 +, logo (0, 0, ).. Operacóns con ecores expresados polas súas coordenadas Todas as operacóns que se fxeron con ecores dunha forma gráfca poden facerse numercamene coas súas coordenadas. Se u (x, y, z ) e (x, y, z ), enón a suma expresarase así: u + (x, y, z ) + (x, y, z ) (x + x, y + y, z + z ) O produo por un número m exprésase por: mu m(x, y, z ) (mx, my, mz ) Unha combnacón lneal de u e con coefcenes m e p, ndícase como: mu + p m(x, y, z ) + p(x, y, z ) (mx + px, my + py, mz + mz ) De agora en dane oda relacón gráfca enre ecores expresarase nunha relacón alxébrca enre as súas coordenadas. Exemplos: Se u (, 0, ) e (, 4, ), deermnar as coordenadas de: a) u, b), c) u + 4, d) u, e) u, f) u a) u (, 0, ) (9, 0, 9) b) (, 4, ) c) u + 4 (, 0, ) + 4(, 4, ) (, 6, ) d) u (, 4, ) (, 0, ) ( 4, 4, 4) e) u (, 0, ) (, 4, ) (4, 4, 4) f) u (, 0, ) (, 4, ) (9,, 9) Dados os ecores u (,, ), (,, ), (0,, ), e ( 4, 0, 0), expresar como combnacón lneal de u, e. Téñense que achar res números a, b e c ales que au + b + c. 5
Pasando a coordenadas esa gualdade ecoral obense: ( 4, 0, 0) a(,, ) + b(,, ) + c(0,, ) a b 4 Igualdade que conduce ao ssema: a b c 0. a b c 0 Cuxas solucóns son: a, b e c 4. Ao expresar os ecores polas súas coordenadas, resula mo fácl esudar a dependenca e ndependenca lneal dun conxuno de ecores. Dado un conxuno de ecores,,..., r para pescudar se son lnealmene dependenes, ou non, pódese formar unha marz coas súas coordenadas, omándoas como flas. O rango desa marz ndcará se son lnealmene dependenes ou non o son. Cando o rango é gual ao número de flas, os ecores son lnealmene ndependenes; cando o rango é menor que o número de flas, serán lnealmene dependenes. En resumo, dados os ecores u (u, u, u ), (,, ) e (,, ): u e lnealmene dependenes u e eñen a mesma dreccón ou u u u rango u e lnealmene ndependenes u e eñen dsna dreccón ou u u u rango u, e lnealmene dependenes u, e eñen a mesma dreccón ou u u u rango u, e lnealmene dependenes u, e coplanaros ou u u u rango < u, e lnealmene ndependenes u, e non coplanaros ou u u u rango Caro ecores no espazo sempre son lnealmene dependenes porque a marz que se forme coas súas coordenadas non pode er más de res columnas e o rango desa marz non pode ser, porque o número de flas e columnas lnealmene ndependenes concden, maor que res. 6
Exemplo: Deermnar se os ecores u (,, ), (4, 5, 6) e (7, 8, 9) son lnealmene dependenes e, se o son, achar unha combnacón lneal de eles que dea o ecor 0. Un modo de facelo podería ser calcular o rango de 4 5 6, e se é menor que, 7 8 9 resoler o ssema: a(,, ) + b(4, 5, 6) + c(7, 8, 9) (0, 0, 0). Graduando a marz 4 5 6, ao mesmo empo que se calcula o rango, 7 8 9 deermínase, se é o caso, unha combnacón lneal das flas que dea (0, 0, 0). Procederase así: u u u 4 5 6 0 6 4u 0 6 4u 7 8 9 0 6 7u 0 0 0 7u 8u u 0 6 4u 0 0 0 u Obsérase que o rango da marz é, número de flas non nulas que en a marz graduada correspondene; son polo ano lnealmene dependenes. Ademas unha combnacón lneal que nos dea o ecor cero será: u + 0. 4. Produo escalar de dous ecores Chámase produo escalar dos ecores (,, ) e (,, ) respeco á base B {,, }, e smbolízase por, ao número real: + + Da defncón dedúcense con facldade as segunes propedades: Conmuaa:. É edene que + + + + Dsrbua: ( + ) +. Se se expresan os ecores polas súas coordenadas, resula: (,, ) ( +, +, + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + + + + + ( + + ) + ( + + ) + ( ) ( ) ( ), sendo un número dsno de cero. Non se cumpre a propedade asocaa para res ecores. É fácl er que ( ) ( ) ; no prmero caso resula un ecor paralelo a e no segundo, paralelo a. Mulplcacón polo ecor 0 (0, 0, 0): 0 0. 7
Para odo ecor 0, > 0. É edene que calquera que sexan as compoñenes de, posas ou negaas, será sempre un número poso, xa que + +. Esa consderacón erá mporanca para calcular o módulo dun ecor. 4.. Oura formulacón do produo escalar Ha oura forma de calcular o produo escalar de dous ecores e é equalene á que se u. Con ela resula más fácl esudar a perpendculardade de dous ecores, o ángulo que forman e como deermnar a proxeccón dun ecor sobre a dreccón douro. Sexan e dous ecores. Na maxe, e con orxe nun puno M, debúxase, e. No rángulo de érces MNP cúmprese o eorema do coseno: un lado ao cadrado é gual á suma dos cadrados dos ouros dous lados menos o dobre produo dos ouros dous lados polo coseno do ángulo que forman. É dcr, ense que: + cos Como, e ( ) ( ), enón ( ) ( ) + cos E operando resula: + + cos Anulando ermos oposos, queda: cos + cos ( ) cos cos O produo escalar de dous ecores é, amén, o produo dos módulos polo coseno do ángulo que forman. Esa noa defncón de produo escalar perme resoler algúns problemas xeomércos con snxeleza. 4.. Aplcacóns do produo escalar Módulo dun ecor O módulo dun ecor (,, ) é a lonxude enre a orxe e o exremo, de calquera das súas localzacóns, e én dado por. É edene que cos 0º ; en consecuenca, se 0, Vecor unaro Chámase ecor unaro ao de módulo. 8
Por exemplo, o ecor 4,0, é unaro poso que 5 5 9 5 6 0 5 5. 5 5 0 4 5 Coñécese que os ecores da base {,, } son unaros, pero ademas erase que dado un ecor (,, ) pódese aopar ouro de módulo paralelo a el. Se se mulplca por resula o ecor,,. Ese ecor en módulo xa que: Por exemplo, o ecor s (, 0, 4) en módulo s 0 4 s s 4,0,, que como anes se u é unaro. 5 5 5, e o ecor Proxeccón dun ecor sobre a dreccón douro Na maxe debuxáronse dous ecores e e a proxeccón de sobre. Como no rángulo recángulo que forma coa súa proxeccón sobre cúmprese que: proxeccón de sobre cos Na fórmula cos o facor cos é a proxeccón de sobre, enón: proxeccón de sobre ou proxeccón de sobre Polo que se pode afrmar que o produo escalar de dous ecores é gual ao produo do módulo dun deles pola proxeccón do ouro sobre el. Ángulo que forman dous ecores Aínda que na epígrafe aneror debuxáronse dous ecores coa mesma orxe e calculouse a proxeccón dun sobre o ouro, aínda non se falou do ángulo que forman dous ecores. O ángulo que forman dous ecores e é o menor dos dous ángulos que deermna unha localzacón deses ecores coa mesma orxe. Na maxe obsérase que ao debuxar os ecores coa mesma orxe fórmanse dous ángulos. Un maor ou gual que 80º e ouro menor ou gual. Os ecores forman un ángulo de 0º cando eñen a mesma dreccón e sendo, menres que cando eñen a mesma dreccón e sendos oposos, o ángulo que forman é 80º. 9
Da fórmula cos, despexando o cos, obense: cos Exemplo: Achar o ángulo que forman os ecores (,, ) e (0, 4, ). cos 0 4 0 4 0 55 de onde se pode deducr que 85º5'''8. 55 0'489 55 Deermnacón da perpendculardade de dous ecores Se os dous ecores (,, ) e (,, ), forman un ángulo de 90º, é dcr, son perpendculares ou orogonas, como cos 90º 0, cumprrase que: cos 90º + + 0 Polo ano, 0 + + 0. Exemplo: Achar un ecor perpendcular a (, 5, 7). O modo más snxelo de achar un ecor perpendcular a ouro é lear a ª compoñene ao lugar da ª, e a ª ao lugar da ª, co sgno cambado, e a ª conerela en 0; así: (, 5, 7) ( 5,, 0) Tamén se pode cambar a ª e a ª ou a ª e a ª e a que fala gualala a 0. 5. Produo ecoral Sexan (,, ) e (,, ) dous ecores referdos á base B {,, }. Chámase produo ecoral de e, e smbolízase por x, ao ecor: x +,, Como regra nemoécnca pódese poñer que x e desenolendo polos elemenos da prmera fla obense a defncón de produo ecoral. Iso é unha regra nemoécnca, non é un deermnane porque os seus elemenos son heeroxéneos: uns son números e ouros, ecores; en calquera caso, ese falso deermnane resula úl aa para facer demosracóns. 0
Exemplo: Dados (,, ) e (0,, 5), achar o ecor x. x 5 0 5 5 0 + 0 ( 5) + (, 5, ) Propedades do produo ecoral x x x, x ; como un deermnane camba de sgno ao nercambar a orde de dúas lñas, é edene que o desenolemeno dos dous deermnanes anerores dará dous resulados oposos; logo x x. x 0. É obo, porque x e un deermnane con dúas flas guas é cero. x ( + ) x + x. Das propedades dos deermnanes, x ( + ) + x + x. m x x (m ). Tamén das propedades dos deermnanes, m x m m m m m m m x (m ). x é perpendcular a e perpendcular a. É edene, amén, que ( x ),, (,, ) 0; e ademas, ( x ),, (,, ) 0. Esa úlma propedade, x é perpendcular a e perpendcular a, xuno á prmera, x x, suxre a segune maxe.
Queda uncamene un pequeno problema, cal é o sendo de x? O que aparece na maxe ou o seu oposo? Sábese que x e x eñen sendos oposos, pero para suar eses ecores a un lado ou ouro do plano que conén a e a recórrese á regra do sacarrollas. O ecor x en o sendo do aance dun sacarrollas cando xra cara polo camño más coro. Polo ano, o ecor x ería o sendo que aparece nas maxes segundo a súa suacón. Aplcacóns do produo ecoral Anes de esudar as aplcacóns do produo ecoral ase deducr unha expresón para o módulo de x. Sábese que o módulo ao cadrado dun ecor é gual á suma dos cadrados das súas coordenadas, é dcr: + + Desenolendo e sumando + + ( + + ), e logo sacando facor común a + +, e despos a + +, resula: ( + + )( + + ) ( + + ) ( ) Como cos, onde ángulo(, ), enón obense: cos ( cos ) sen En consecuenca, sen. Como se e na maxe, a área do paralelogramo, cuxos lados son os ecores e, é o módulo do produo ecoral x. Área base alura h sen Como odo paralelogramo conérese en dous rángulos guas ao razar unha dagonal, pódese empregar a fórmula aneror para calcular áreas de rángulos cando se coñecen os ecores que consúen os lados.
Área rángulo Área paralelogramo de lados e Exemplo: Achar a área do paralelogramo de lados (,, 0) e (,, ). Área paralelogramo 0 0,, 5 5 undades cadradas.,, 5 6. Produo mxo de res ecores Sexan, e res ecores do espazo onde (,, ), (,, ) e (,, ). Defínese como produo mxo de, e e represénase por [,, ] ao número real ( x ). Segundo a defncón: ( x ) (,, ), +, Logo: ( x ) de(,, ) [,, ] de(,, ) Ao ser o produo mxo de res ecores gual a un deermnane de orde res, cuxas flas esán consuídas polas coordenadas dos ecores, pódense rasladar as propedades dos deermnanes ao produo mxo: ª. Se se permua a poscón de dous ecores no produo mxo, ese camba de sgno se non se permua crcularmene: [,, ] [,, ] pero [,, ] [,, ] ª. Se se mulplca un ecor por un número, o produo mxo queda mulplcado por ese número: [,, ] [,, ] ª. Se se expresa un ecor como suma douros dous, o produo mxo é gual á suma de dous produos mxos:.
[u +,, ] [u,, ] + [,, ] Exemplo: Calcular o produo mxo de (,, ), (,, 0) e (,, ). ( x ) de(,, ) [,, ] 0 Inerpreacón xeomérca do produo mxo Se sobre un puno P se lean os ecores,,, debuxouse na maxe adxuna, resula un paralelepípedo cuxas aresas son os res ecores. De ( x ) cosβ, sendo β ángulo de e x, e cosβ a alura, h, do paralelepípedo xa que cosβ é a proxeccón do ecor sobre o ecor x enón ense: ( x ) cosβ h alura do paralelepípedo área do paralelogramo da base olume do paralelepípedo. Como ( x ) pode ser negao e non en sendo un olume negao, pódese afrmar que o alor absoluo do produo mxo dos ecores,, é gual ao olume do paralelepípedo de aresas,,. Exemplo: Calcular o olume do paralelepípedo de aresas de (,, ), (,, 0) e (,, ). No exemplo aneror, calculouse: ( x ) de(,, ) [,, ] Volume do paralelepípedo de,, 0 undades cúbcas. Da nerpreacón xeomérca do produo mxo pódese deducr unha aplcacón neresane. Para que res ecores consúan as aresas dun paralelepípedo é ndspensable que sexan lnealmene ndependenes e so equale a que non sexan coplanaros, xa que cando son coplanaros o olume do paralelepípedo é cero. Logo se [,, ] ( x ) de(,, ) 0, os ecores,, son coplanaros. É oura forma de dcr que o deermnane dunha marz de orde res é cero se as flas ou as columnas son lnealmene dependenes. 4