EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS. ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo de dús euións on dús inógnits, se triz de oefiientes é unh triz A verifindo relión (A I)?. ) Disute, segundo os vlores de, o siste ) Resólveo, se é posile, pr. y z y z. y z. ) Disute, segundo os vlores de, o siste de euións ) Resolve, se é posile, o siste ndo. y z y. y z 4. ) Disute, segundo os vlores do práetro, o seguinte siste de euións lineis: y z 9 y z y 5z ) Resolve, se é posile, o siste nterior pr o so 9. 5. ) Disute, segundo os vlores de, o siste ) Resólveo, se é posile, pr. y ( )z ( )y z. y 6. ) Disute, segundo os vlores do práetro, o seguinte siste de euións lineis: y z y z y z ) Resolve, se é posile, o siste nterior pr o so. 7. Cndo un siste de euións lineis se di hooéneo? Pode ser inoptile un siste de euións lineis hooéneo? Xustifi respost.
8. Dd triz A : ) Clul, segundo os vlores de, o rngo de A. ) Coinide A o sú invers pr lgún vlor de? Pr, lul A 6. ) Se e A é triz de oefiientes dun siste de tres euións lineis on tres inógnits, pódese firr que o siste ten soluión úni? Xustifi respost. 9. Dd triz A : ) Estud, segundo os vlores de, o rngo d triz A. ) Resolve, se é posile, o siste A z y pr o vlor.. Ddo o siste 4 z y 5 z y : ) Clul o vlor de α pr que o engdirlle euión α + y + z 9, resulte un siste optile indeterindo. Resólveo, se é posile, pr α. ) Eiste lgún vlor de α pr o l o siste on ests tres euións non ten soluión?
EXERCICIOS DE REFORZO: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS (SOLUCIONARIO). ) Clul os posiles vlores de,, pr que triz A verifique relión (A I), sendo I triz identidde de orde e triz nul de orde. ) Cl é soluión dun siste hooéneo de dús euións on dús inógnits, se triz de oefiientes é unh triz A verifindo relión (A I)? ) A I (A I) Polo tnto: (A I) ) Tendo en ont o prtdo nterior, triz de oefiientes do siste hooéneo serí A e polo tnto teríse: rng(a) n.º de inógnits Siste optile deterindo. Soluión úni. Coo trivil sepre é soluión dun siste hooéneo, onlúese que soluión é y.. ) Disute, segundo os vlores de, o siste z y z y z y. ) Resólveo, se é posile, pr. ) Fórse triz dos oefiientes e plid: A A. Coo urt olun d triz plid oinide o segund olun, pódese presindir d urt olun pr o álulo do rngo de A e polo tnto rngo(a) rngo( A ). Cálulo do rngo de A: rngo(a)
+ 6; + 6 ou Disusión:, rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits Siste optile indeterindo., rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits Siste optile indeterindo. {, }, rngo(a) rngo( A ) n.º de inógnits Siste optile deterindo. ) Pr, é un siste optile indeterindo on infinits soluións. O siste ddo é equivlente o siste: y z y z 5z y z y z y 4z As infinits soluións son: 5λ y 4λ, λ R z λ. ) Disute, segundo os vlores de, o siste de euións ) Resolve, se é posile, o siste ndo. y z y. y z ) Fórse triz dos oefiientes e plid: A A Cálulo do rngo de A: rngo(a). Polo tnto, rngo(a). Cálulo do rngo de A : 4 rngo(a) se e rngo(a), se. Disusión:, rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits Siste optile indeterindo., rngo(a) rngo( A ) Siste inoptile. 4
) Pr, é un siste optile indeterindo on infinits soluións. O siste ddo é equivlente o siste: y z z y y z As infinits soluións son: λ y λ, λ R z λ 4. ) Disute, segundo os vlores do práetro, o seguinte siste de euións lineis: y z 9 y z y 5z ) Resolve, se é posile, o siste nterior pr o so 9. ) Fórse triz dos oefiientes e plid: A A Cálulo do rngo de A: 7 rngo(a) 6 + 7 5 Polo tnto, se 9, entón rngo(a) e se 9, entón rngo(a). 5 9. Clúlse o rngo de A pr 9 (nos deis sos, o rngo é pois sepre rngo( A ) rngo (A) e A ten fils). Pero pr 9, todos os eleentos d urt olun de A son, polo que se pode presindir del efetos do rngo e sí, neste so, tense que rngo( A ) rngo(a). Entón: 9 rngo( A ) 9 rngo( A ) Disusión: 9 rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits Siste optile indeterindo. Infinits soluións. 9 rngo(a) rngo( A ) n.º de inógnits Siste optile deterindo. Soluión úni. ) 9 Tendo en ont o prtdo nterior, estse no so dun siste optile indeterindo. O siste é equivlente : 5
y z y z 9 y 6z 9 y z 9 z y As infinits soluións son: λ y λ, λ R z 5. ) Disute, segundo os vlores de, o siste ) Resólveo, se é posile, pr. y ( )z ( )y z. y ) Fórse triz dos oefiientes e plid: A A Cálulo do rngo de A: rngo(a) + ; + ou. Polo tnto: Se ou, entón rngo(a). Se {, }, entón rngo(a). Cálulo do rngo de A : Se {, }, entón rngo( A ) (sepre rngo( A ) > rngo(a)). Se : Se : rngo( A ). rngo( A ). Disusión: ou rngo(a) < rngo( A ) Siste inoptile. {, } rngo(a) rngo( A ) n.º de inógnits Siste optile deterindo. ) Pr, estse no so dun siste optile deterindo e polo tnto ten soluión úni. Clúlse soluión utilizndo regr de Crer: 6
7, y, z 6 Soluión:, y, z. 6. ) Disute, segundo os vlores do práetro, o seguinte siste de euións lineis: z y z y z y ) Resolve, se é posile, o siste nterior pr o so. ) Fórse triz dos oefiientes e plid: A A. Cálulo do rngo de A: rngo(a) + + ; + + ou Polo tnto: Se ou, entón rngo(a). Se e, entón rngo(a). Clúlse o rngo de A pr e pr (nos deis sos, o rngo é pois sepre rngo( A ) rngo (A) e A ten fils). Se : Se :
Entón: rngo( A ) rngo( A ) Disusión: rngo(a) rngo( A ) Siste inoptile. Non ten soluión. rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits Siste optile indeterindo. Infinits soluións. e rngo(a) rngo( A ) n.º de inógnits Siste optile deterindo. Soluión úni. ) Tendo en ont o prtdo nterior, estse no so dun siste optile indeterindo. O siste é equivlente : y z z y z y As infinits soluións son: λ y ; λ R z λ 7. Cndo un siste de euións lineis se di hooéneo? Pode ser inoptile un siste de euións lineis hooéneo? Xustifi respost. Un siste de euións lineis dise hooéneo ndo os teros independentes son todos ero. Polo tnto, nun siste linel hooéneo sepre o rngo d triz de oefiientes oinide o rngo d triz plid, que o ser os teros independentes nulos olun que se engde non inflúe efetos do álulo do rngo. Polo tnto un siste de euións lineis hooéneo é sepre optile. 8. Dd triz A : ) Clul, segundo os vlores de, o rngo de A. ) Coinide A o sú invers pr lgún vlor de? Pr, lul A 6. ) Se e A é triz de oefiientes dun siste de tres euións lineis on tres inógnits, pódese firr que o siste ten soluión úni? Xustifi respost. ) rngo(a) + ; + ± Polo tnto: Se ±, entón rngo(a). Se ±, entón rngo(a). 8
9 ) A A A I A Polo tnto: A A Se, áse de oter que A I, entón A 6 (A ) I I. ) Viuse no prtdo ) que se, entón rngo(a). Coo o rngo d triz plid é ior ou igul que o rngo d triz de oefiientes e tpouo pode ser ior que, pois ten fils, estse nun so de rngo(a) rngo( A ) n.º de inógnits. Polo tnto, é un siste optile deterindo on soluión úni. 9. Dd triz A : ) Estud, segundo os vlores de, o rngo d triz A. ) Resolve, se é posile, o siste A z y pr o vlor. ) A + + 4 4 + + ( + ) Clúlse, por Ruffini, s ríes de + : ± Polo tnto: A (ríz dore) Se : rngo(a) Se : rngo(a) Se : rngo(a) Se rngo(a) (s tres fils son iguis e hi un eleento non nulo).
Resuindo: Rngo(A), se,,. Rngo(A), se ou. Rngo(A), se. ) Neste so o siste é equivlente : + y + z. Coo rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits, é un siste optile indeterindo. As infinits soluións son: λ μ y λ ; λ, μ R z μ y z 5. Ddo o siste : y z 4 ) Clul o vlor de α pr que o engdirlle euión α + y + z 9, resulte un siste optile indeterindo. Resólveo, se é posile, pr α. ) Eiste lgún vlor de α pr o l o siste on ests tres euións non ten soluión? ) Fórse triz dos oefiientes e plid: A A Cálulo do rngo de A: rngo(a) 5 4. 9 5α Polo tnto: Se α, entón rngo(a). Se α, entón rngo(a). Coo sepre rngo( A ) rngo (A) e o siste será optile indeterindo ndo rngo(a) rngo( A ), lúlse rngo( A ) ndo α : 5 4 rngo( A ), se α. 9 Polo tnto, o siste é optile indeterindo ndo α. Cndo α, un siste equivlente é: y 5 z 5z y 4 z y 9 z As infinits soluións son: 5λ y 9 λ ; λ R z λ
) Do prtdo nterior dedúese que: α rngo(a) rngo( A ) < n.º de inógnits Siste optile indeterindo. Infinits soluións. α rngo(a) rngo( A ) n.º de inógnits Siste optile deterindo. Soluión úni. Polo tnto, o siste sepre ten soluión.