Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: γι κάθε Δ. F () = f() Θεώρημ Έστω f μί συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε: όλες οι συνρτήσεις της μορφής: είνι πράγουσες της f στο Δ κι G() = F() + c, c κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή: G() = F() + c, c

Βσικές Συνρτήσεις & Πράγουσες Συνάρτηση f Πράγουσ F 0 c (c + c (, + c 2 2 ln + c + c + c 2 + c e e + c ln + c συν ημ + c ημ συν + c

Συνάρτηση f Πράγουσ F 2 συν εφ + c 2 ημ σφ + c Πράγουσες Σύνθετων Συνρτήσεων Συνάρτηση f Πράγουσ F f() ν f () f() ν ν ν + c f () f() f() f() ln f() + c 2 f () + c e f() f () e f() + c f() f () f() ln + c συνf() f () ημf() + c ημf() f () συνf() + c (*) Ανλόγως σκεφτόμστε γι οποιδήποτε άλλη σύνθετη σίζετι στον προηγούμενο πίνκ.

Μεθοδολογί Όπως σκεφτόμστε την πργώγιση ντίστροφ, το ίδιο κάνουμε κι με τους κνόνες της. Συνεπώς, ν : f() = g () h() + g() h () τότε, οι πράγουσες της f είνι της μορφής : F() = g() h() + c Ανλόγως, ν : f() = g () h() g() h () g 2 () τότε, οι πράγουσες της f είνι της μορφής : g() F() = + c h() Από τις εφρμογές του Θ.Μ.Τ. θυμίζουμε ότι, ν : f () = g () γι κάθε Δ, τότε υπάρχει c τέτοιο, ώστε γι κάθε Δ : f() = g() + c

Εμδό Χωρίου Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ], με f() 0, γι κάθε [, ]. Έστω, επίσης, Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των κι τις ευθείες =, =. Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους : με τη οήθει των σημείων : Δ = ν = 0 < < 2 <... < ν = Σε κάθε υποδιάστημ [ κ, κ ] επιλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξκ κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι, με άση Δ κι ύψη τ ντίστοιχ f(ξκ). Το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι : Sν = f(ξ) Δ + f(ξ2) Δ +... + f(ξν) Δ = = [ f(ξ) + f(ξ2) +... + f(ξν) ] Δ Υπολογίζουμε το : lim S ν v Αποδεικνύετι ότι το όριο υτό υπάρχει στο κι είνι νεξάρτητο πό την επιλογή των σημείων ξκ. Το όριο υτό ονομάζετι εμδόν του επίπεδου χωρίου Ω κι συμολίζετι Ε(Ω), με Ε(Ω) 0. y y = f() f(ξ ) f(ξ 2 ) Ω f(ξ κ ) f(ξ ν ) ξ ξ 2 2... κ ξ κ κ... ν ξ ν Δ

Ορισμένο Ολοκλήρωμ Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ]. Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους : με τη οήθει των σημείων : Δ = ν = 0 < < 2 <... < ν = Στη συνέχει, επιλέγουμε υθίρετ έν ξκ[ κ, κ ], γι κάθε κ{, 2,..., ν}, κι σχημτίζουμε το άθροισμ : Sν = f(ξ) Δ + f(ξ2) Δ +... + f(ξν) Δ το οποίο συμολίζουμε, συντομότερ, ως εξής: Sν = ν κ f(ξ κ ) Δ y y = f() κ ξ κ κ ξ ξ 2 2 ν ξ ν

Αποδεικνύετι ότι το όριο του θροίσμτος Sν, δηλδή το lim ν κ ) Δ υπάρχει στο κι είνι νεξάρτητο πό την επιλογή v κf(ξ των ενδιάμεσων σημείων ξκ. Το πρπάνω όριο ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο, συμολίζετι με f()d κι διάζετι «ολοκλήρωμ της f πό το στο». Δηλδή : f()d = lim ν κf(ξ v κ ) Δ Πρτηρήσεις Τονίζετι ότι ο πρπάνω ορισμός έχει «χτιστεί» πάνω στην προϋπόθεση η f ν είνι συνάρτηση ορισμένη κι συνεχής σε κλειστό διάστημ [, ]. Η μετλητή κλείτι μετλητή της ολοκλήρωσης. Το σύμολο d κλείτι διφορικό της ολοκλήρωσης. Το ορισμένο ολοκλήρωμ πριστάνει, τελικά, έν στθερό πργμτικό ριθμό cr, ο οποίος εξρτάτι μόνο πό τη συνάρτηση f κι τ όρι κι κι όχι πό τη μετλητή ολοκλήρωσης. Έτσι : f()d f(t)dt f(u)du...

Ιδιότητες Ορισμένου Ολοκληρώμτος Βσικές ιδιότητες, που προκύπτουν άμεσ πό τον ορισμό:. Αν > τότε: f()d f()d 2. Αν = τότε: f()d 0 3. Αν f() 0 γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμ f()d δίνει το εμδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω, που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι =. 4. Από το προηγούμενο συνάγετι ότι: 5. Θεώρημ Αν f() 0, τότε f()d 0 Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι λ, μ. Τότε ισχύουν : λ f()d λ f()d f() g() d f()d g()d κι, γενικά, γι οποιοδήποτε γρμμικό συνδυσμό των f, g : λ f() μ g() d λ f()d μ g()d 6. Θεώρημ Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει : f()d γ f()d γ f()d

Πρτήρηση Στην περίπτωση που f() 0 κι < γ <, το προηγούμενο θεώρημ δηλώνει ότι: Ε(Ω) = Ε(Ω) + Ε(Ω2) όπου : Ε(Ω) = f()d Ε(Ω) = γ f()d 7. Θεώρημ Ε(Ω2) = γ f()d Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ]. Αν f() 0 γι κάθε [, ] κι η συνάρτηση f δεν είνι πντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε : f()d 0 8. Αποδεικνύετι επίσης ότι, γι οποιοδήποτε cr : c d = c ( ) Μεθοδολογί Προκειμένου ν υπολογίσουμε έν ολοκλήρωμ της μορφής f() d, κτσκευάζουμε πίνκ προσήμων της f κι γάζουμε την πόλυτη τιμή. Στη συνέχει ολοκληρώνουμε κνονικά ή, ν χρειάζετι, κτά διστήμτ.

Θεμελιώδες Θέωρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού Θεώρημ Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση: F() = f(t)dt με Δ, είνι μί πράγουσ της f στο Δ. Θεμελιώδες Θεώρημ Ολοκληρωτικού Λογισμού Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστημ [, ]. Αν G είνι μί πράγουσ της f στο [, ], τότε : f(t)dt = G() G()

Ολοκλήρωση κτά Πράγοντες Αν οι f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] τότε : f() g ()d f() g() f () g()d Μεθοδολογί Τη μέθοδο υτή την εφρμόζουμε, κυρίως, σε συνρτήσεις τις μορφής: P() (εκθετική) P() (τριγωνομετρική) P() (λογριθμική) (εκθετική) (τριγωνομετρική) όπου P() κάποιο πολυώνυμο του. Ανλυτικότερ : P() (εκθετική) Ξεκινάμε πό την εκθετική, ρίσκοντς μι πράγουσά της. Αν πρόκειτι γι εκθετική της μορφής : e = (e ) Αν πρόκειτι γι σύνθετη της μορφής : e λ = Αν πρόκειτι γι εκθετική της μορφής : = e λ λ ln

P() (τριγωνομετρική) Ξεκινάμε πό την τριγωνομετρική, ρίσκοντς μι πράγουσά της. Αν πρόκειτι γι πλής μορφής : ημ = ( συν) συν = (ημ) Αν πρόκειτι γι σύνθετης μορφής : συν(λ) ημ(λ) = λ P() (λογριθμική) συν(λ) = ημ(λ) λ Ξεκινάμε πό την πολυωνυμική, ρίσκοντς μι πράγουσά της. (εκθετική) (τριγωνομετρική) Ξεκινάμε πό όποι επιθυμούμε κι εφρμόζουμε, πάνω της, τον τύπο της πργοντικής ολοκλήρωσης δύο φορές (!) έως ότου κτλήξουμε στο ρχικό ολοκλήρωμ. Κτόπιν, λύνουμε την ντίστοιχη εξίσωση.

Ολοκλήρωση με Αλλγή Μετλητής Αν οι f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] τότε : όπου : f g() g ()d u u 2 f(u)du u = g(), du = g ()d, u = g(), u2 = g()

Εμδόν Επίπεδου Χωρίου [] Με την προϋπόθεση ότι η f συνεχής στο [, ] τότε: Αν Ω είνι το χωρίο, το οποίο ορίζετι πό τη Cf, τον άξον κι τις ευθείες = κι =, έχουμε : Αν f() 0, γι κάθε [, ], τότε : Ε(Ω) = f()d Αν f() 0, γι κάθε [, ], τότε : Ε(Ω) = f()d Γενικά, λοιπόν, ισχύει: Ε(Ω) = f() d Αν Ω είνι το χωρίο, το οποίο ορίζετι πό τη Cf κι τον άξον μόνο, έχουμε : Ε(Ω) = 2 f() d όπου κι 2 είνι δύο διδοχικές ρίζες της f. Μεθοδολογί Βρίσκουμε τις ρίζες της f κι κτσκευάζουμε πίνκ προσήμων, όπου σημειώνουμε επιπλέον τ όρι του διστήμτος [, ]. Αν η f δε διτηρεί το πρόσημο εντός του [, ], «σπάμε» το ολοκλήρωμ σε άθροισμ επιμέρους ολοκληρωμάτων.

Εμδόν Επίπεδου Χωρίου [2] Με την προϋπόθεση ότι οι f κι g είνι συνεχείς στο [, ] τότε: Αν Ω είνι το χωρίο, το οποίο ορίζετι πό τη Cf, τη Cg κι τις ευθείες = κι =, έχουμε : Αν f() g(), γι κάθε [, ], τότε : Ε(Ω) = f() g() d Αν f() g(), γι κάθε [, ], τότε : Ε(Ω) = f() g() d Γενικά, λοιπόν, ισχύει: Ε(Ω) = f() g() d Αν Ω είνι το χωρίο, το οποίο ορίζετι πό τη Cf κι τη Cg, έχουμε : Ε(Ω) = 2 f() g() d όπου κι 2 είνι δύο διδοχικά σημεί τομής των Cf, Cg ( με άλλ λόγι, δύο διδοχικές ρίζες της f g ). Μεθοδολογί Βρίσκουμε τις ρίζες της f g κι κτσκευάζουμε τον πίνκ προσήμων της, στον οποίον επιπλέον σημειώνουμε τ όρι του διστήμτος [, ]. Αν χρειστεί, «σπάμε» το ολοκλήρωμ σε άθροισμ επιμέρους ολοκληρωμάτων.