ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης. Γενικού Λυκείου Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος 3ος

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος ος

2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεδάκης Στυλινός Κθηγητής Πν/μίου Αθηνών Κτσργύρης Βσίλειος Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Μέτης Στέφνος Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Μπρουχούτς Κωνστντίνος Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης Ππστυρίδης Στύρος Κθηγητής Πν/μίου Αθηνών Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Θωμΐδης Ιωάννης Κθηγητής Β/θμις Εκπίδευσης OMAΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεδάκης Στυλινός, Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφνος, Μπρουχούτς Κων/νος Πολύζος Γεώργιος

3 ΕΠΟΠΤΕΙΑ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ Αδμόπουλος Λεωνίδς Επίτιμος Σύμβουλος του Π.Ι. Δκτυλογράφηση: Γρδέρη Ρόζ Σχήμτ: Μπούτσικς Μιχάλης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΠΑΝΕΚΔΟΣΗΣ Η επνέκδοση του πρόντος βιβλίου πργμτοποιήθηκε πό το Ινστιτούτο Τεχνολογίς Υπολογιστών & Εκδόσεων «Διόφντος» μέσω ψηφικής μκέτς, η οποί δημιουργήθηκε με χρημτοδότηση πό το ΕΣΠΑ / ΕΠ «Εκπίδευση & Διά Βίου Μάθηση» / Πράξη «ΣΤΗΡΙΖΩ». Οι διορθώσεις πργμτοποιήθηκν κτόπιν έγκρισης του Δ.Σ. του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής Πολιτικής

4 Η ξιολόγηση, η κρίση των προσρμογών κι η επιστημονική επιμέλει του προσρμοσμένου βιβλίου πργμτοποιείτι πό τη Μονάδ Ειδικής Aγωγής του Ινστιτούτου Εκπιδευτικής Πολιτικής. Η προσρμογή του βιβλίου γι μθητές με μειωμένη όρση πό το ΙΤΥΕ ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ πργμτοποιείτι με βάση τις προδιγρφές που έχουν νπτυχθεί πό ειδικούς εμπειρογνώμονες γι το ΙΕΠ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ ΜΕ ΜΕΙΩΜΕΝΗ ΟΡΑΣΗ ΙΤΥΕ - ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ

5 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Ομάδς Προσντολισμού Θετικών Σπουδών κι Σπουδών Οικονομίς & Πληροφορικής Β ΜΈΡΟΣ Τόμος ος Ανδρεδάκης Στυλινός Κθηγητής Πνεπιστημίου Αθηνών Κτσργύρης Βσίλειος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μέτης Στέφνος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Μπρουχούτς Κων/νος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Ππστυρίδης Στύρος Κθηγητής Πνεπιστημίου Αθηνών Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Β/θμις εκπίδευσης Η συγγρφή κι η επιστημονική επιμέλει του βιβλίου πργμτοποιήθηκε υπό την ιγίδ του Πιδγωγικού Ινστιτούτου ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ»

6

7 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Αρχική συνάρτηση Πολλές φορές στην πράξη προυσιάζοντι προβλήμτ, που η λύση τους πιτεί πορεί ντίστροφη της πργώγισης. Τέτοι προβλήμτ είνι γι πράδειγμ τ πρκάτω: Η εύρεση της θέσης S(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, ν είνι γνωστή η τχύτητά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είνι η πράγωγος της συνάρτησης θέσης = S(t). Η εύρεση της τχύτητς υ(t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, ν είνι γνωστή η επιτάχυνσή του γ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είνι η πράγωγος της συνάρτησης υ = υ(t). Η εύρεση του πληθυσμού Ν(t) μις κοινωνίς βκτηριδίων τη χρονική στιγμή t, ν είνι γνωστός ο ρυθμός ύξησης Ν (t) του πληθυσμού. Το κοινό χρκτηριστικό των προβλημάτων υτών είνι ότι, δίνετι μι συνάρτηση f κι ζητείτι ν βρεθεί μι άλλη συνάρτηση F γι την οποί ν ισχύει F () = f() σε έν διάστημ Δ. Οδηγούμστε έτσι στον πρκάτω ορισμό. 5 / 85

8 ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ () ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F () = f(), γι κάθε Δ. Γι πράδειγμ, η συνάρτηση F() = είνι μι πράγουσ της f() = στο R, φού ( ) =. Πρτηρούμε ότι κι όλες οι συνρτήσεις της μορφής G() = + c = F() + c, όπου c R, είνι πράγουσες της f στο R, φού ( + c) =. Γενικά ισχύει το πρκάτω θεώρημ: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε όλες οι συνρτήσεις της μορφής G() = F() + c, c R, είνι πράγουσες της f στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ c R της f στο Δ πίρνει τη μορφή G() = F() + c, c R. () Αποδεικνύετι ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημ Δ έχει πράγουσ στο διάστημ υτό. 6 / 85-86

9 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε συνάρτηση της μορφής G() = F() + c, όπου c R, είνι μι πράγουσ της f στο Δ, φού G () = (F() + c) = F () = f(), γι κάθε Δ. Έστω G είνι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ. Τότε γι κάθε Δ ισχύουν F () = f() κι G () = f(), οπότε G () = F (), γι κάθε Δ. Άρ, σύμφων με το πόρισμ της.6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G() = F() + c, γι κάθε Δ. Αόριστο ολοκλήρωμ Το σύνολο όλων των πργουσών μις συνάρτησης f σ έν διάστημ Δ ονομάζετι όριστο ολοκλήρωμ της f στο Δ, συμβολίζετι f()d κι διβάζετι ολοκλήρωμ εφ του ντε. Δηλδή, f()d = F() + c, c R, όπου F μι πράγουσ της f στο Δ. Γι πράδειγμ, συνd = ημ+ c, φού (ημ) = συν. Από τον τρόπο που ορίστηκε το όριστο ολοκλήρωμ προκύπτει ότι: Γι κάθε συνάρτηση f, πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ, ισχύει f()d = f() + c, c R 7 / 86-87

10 Η διδικσί εύρεσης του όριστου ολοκληρώμτος είνι ντίστροφη πορεί της πργώγισης κι λέγετι ολοκλήρωση. Η στθερά c λέγετι στθερά ολοκλήρωσης. Από τον πίνκ των πργώγων βσικών συνρτήσεων βρίσκουμε τον πρκάτω πίνκ όριστων ολοκληρωμάτων. Οι τύποι του πίνκ υτού ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οποίο οι πρστάσεις του που εμφνίζοντι έχουν νόημ. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ. 0d = c 6. ημd = συν+ c. d = + c 7. συν d = εφ+ c. d = ln + c 8. d = σφ + c ημ 4. d + = + c + 9. e d = e + c 5. συνd = ημ+ c 0. d = + c ln Συνέπει του ορισμού του όριστου ολοκληρώμτος κι των κνόνων πργώγισης είνι οι εξής δύο ιδιότητες: 8 / 87

11 Αν οι συνρτήσεις f κι g έχουν πράγουσ σ έν διάστημ Δ, τότε λf()d = λ f()d, * λ R (f() + g())d = f()d + g()d Σύμφων με τους πρπάνω τύπους έχουμε γι πράδειγμ: 4 4 d = d = 4 + c (ημ e )d = ημd e d = = ημd e d = = συν e + c d = d d = = d d = = + c = + c. 9 / 87-88

12 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν βρεθεί συνάρτηση f τέτοι, ώστε η γρφική της πράστση ν διέρχετι πό το σημείο Α(, ) κι ν ισχύει f () = -, γι κάθε R. ΛΥΣΗ Επειδή f () = -, έχουμε διδοχικά: f ( ) d = ( ) d Γι ν διέρχετι η f πό το σημείο Α(, ) πρέπει κι ρκεί f() = ή, ισοδύνμ, - + c =, δηλδή c =. Επομένως, f() = - +. f ( ) + c = + c, c, c R f ( ) = + c c, c, c R f ( ) = + c, c R.. Η είσπρξη E(), πό την πώληση μονάδων ενός προϊόντος (0 00) μις βιομηχνίς, μετβάλλετι με ρυθμό E () = 00 - (σε χιλιάδες ευρώ νά μονάδ προϊόντος), ενώ ο ρυθμός μετβολής του κόστους πργωγής είνι στθερός κι ισούτι με (σε χιλιάδες ευρώ νά μονάδ προϊόντος). Ν βρεθεί το κέρδος της βιομηχνίς πό την πργωγή 00 μονάδων προϊόντος, υποθέτοντς ότι το κέρδος είνι μηδέν ότν η βιομηχνί δεν πράγει προϊόντ. 0 / 88

13 ΛΥΣΗ Αν P() είνι το κέρδος κι K() είνι το κόστος πργωγής γι μονάδες προϊόντος, τότε οπότε Δηλδή οπότε κι άρ P() = E() - K(), P () = E () - K () = = P () = 98 -, P ( ) d = ( 98 d ) P ( ) = 98 + c, c R. Ότν η βιομηχνί δεν πράγει προϊόντ, το κέρδος είνι μηδέν, δηλδή ισχύει P(0) = 0,οπότε c = 0. Επομένως, P ( ) = 98. Άρ, το κέρδος πό 00 μονάδες προϊόντος είνι P( 00) = = = 4800 (σε χιλιάδες ευρώ). / 88-89

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) ( + ημ + συν)d ii) iii) d iv) v) vii) e + συν d vi) + + d. + + d d d συν ημ. Ν βρείτε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημ ( 0, + ), γι την οποί ισχύει f ( ) = κι f(9) =.. Ν βρείτε τη συνάρτηση f, γι την οποί ισχύει f () =, f () = 6 κι f(0) = Ν βρείτε τη συνάρτηση f, γι την οποί ισχύει f () = + κι η γρφική της πράστση στο σημείο της Α(, ) έχει κλίση. / 89-90

15 5. Ο πληθυσμός Ν(t), σε εκτομμύρι, μις κοινωνίς βκτηριδίων, υξάνετι με ρυθμό N () t = e 0 νά λεπτό. Ν βρείτε την ύξηση του πληθυσμού στ πρώτ 60 λεπτά. 6. Μι βιομηχνί έχει διπιστώσει ότι γι εβδομδιί πργωγή εξρτημάτων έχει ορικό κόστος + 5 (ευρώ νά μονάδ προϊόντος). Ν βρείτε τη συνάρτηση κόστους της εβδομδιίς πργωγής, ν είνι γνωστό ότι τ στθερά εβδομδιί έξοδ της βιομηχνίς, ότν δεν πράγει κνέν εξάρτημ, είνι 00 (ευρώ). 7. Μι νέ γεώτρηση εξώρυξης πετρελίου έχει ρυθμό άντλησης που δίνετι πό τον τύπο R () t = 0 + 0t t, όπου R(t) είνι ο ριθμός, 4 σε χιλιάδες, των βρελιών που ντλήθηκν στους t πρώτους μήνες λειτουργίς της. Ν βρείτε πόσ βρέλι θ έχουν ντληθεί τους 8 πρώτους μήνες λειτουργίς της. Β ΟΜΑΔΑΣ. Η θερμοκρσί Τ ενός σώμτος, που περιβάλλετι πό έν ψυκτικό υγρό, ελττώνετι με ρυθμό - κe -kt, όπου, κ είνι θετικές στθερές κι t ο χρόνος. Η ρχική θερμοκρσί T(0) του σώμτος t 0 / 90

16 είνι T 0 +, όπου T 0 η θερμοκρσί του υγρού η οποί με κτάλληλο μηχάνημ διτηρείτι στθερή. Ν βρείτε τη θερμοκρσί του σώμτος τη χρονική στιγμή t.. Ένς βιομήχνος, ο οποίος επενδύει χιλιάδες ευρώ στη βελτίωση της πργωγής του εργοστσίου του, νμένει ν έχει κέρδος P() χιλιάδες ευρώ πό υτή την επένδυση. Μι νάλυση της πργωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μετβολής του κέρδους P(), που οφείλετι στην επένδυση υτή, δίνετι πό τον τύπο 000 P () = 5,8e. Ν βρείτε το συνολικό κέρδος που οφείλετι σε ύξηση της επένδυσης πό ευρώ σε ευρώ.. Από την πώληση ενός νέου προϊόντος μις ετιρείς διπιστώθηκε ότι ο ρυθμός μετβολής του κόστους K(t) δίνετι πό τον τύπο K (t) = 800-0,6t (σε ευρώ την ημέρ), ενώ ο ρυθμός μετβολής της είσπρξης E(t) στο τέλος των t ημερών δίνετι πό τον τύπο E (t) = ,t (σε ευρώ την ημέρ). Ν βρείτε το συνολικό κέρδος της ετιρείς πό την τρίτη έως κι την έκτη ημέρ πργωγής. 4. Έστω f, g δύο συνρτήσεις με f(0) = g(0), f() = g() + κι f () = g () γι κάθε R. Ν ποδείξετε ότι: i) f() = g() +, γι κάθε R. 4 / 90-9

17 ii) Αν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες, β με < 0 < β, τότε η συνάρτηση f έχει μι τουλάχιστον, ρίζ στο (, β).. MEΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ο πίνκς των όριστων ολοκληρωμάτων, που δώσμε πρπάνω, δεν είνι ρκετός γι ν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ μίς οποισδήποτε συνάρτησης, όπως π.χ. τ ολοκληρώμτ + d κι e d. Σε τέτοιες περιπτώσεις ο υπολογισμός γίνετι πλούστερος με τη βοήθει των πρκάτω μεθόδων ολοκλήρωσης. Μέθοδος ολοκλήρωσης κτά πράγοντες Η μέθοδος υτή εκφράζετι με τον τύπο: fg ( ) ( ) d = fg ( ) ( ) f ( ) gd ( ) που είνι συνέπει του κνόν πργώγισης του γινομένου δύο πργωγίσιμων συνρτήσεων f, g σε έν διάστημ Δ. Πράγμτι, γι κάθε Δ, έχουμε (f()g()) = f ()g() + f()g (), 5 / 9

18 οπότε Επομένως ή, ισοδύνμ, f()g () = (f()g()) - f ()g(). fg ( ) ( ) d = (( fg ) ( )) d f ( ) gd ( ) fg ( ) ( ) d = fg ( ) ( ) + c f ( gd ) ( ). () Επειδή το ολοκλήρωμ του δεύτερου μέλους της () περιέχει μι στθερά ολοκλήρωσης, το c μπορεί ν πρλειφθεί, οπότε έχουμε τον πρπάνω τύπο. Ο πρπάνω τύπος χρησιμοποιείτι γι τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμ του β μέλους υπολογίζετι ευκολότερ. Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ e d. Έχουμε: e d = e ( ) d = e e d = e e + c. Αν, τώρ, δοκιμάσουμε ν υπολογίσουμε το πρπάνω ολοκλήρωμ, λλάζοντς τους ρόλους των κι e, βρίσκουμε e d = e d e e d =. Το τελευτίο, όμως, ολοκλήρωμ είνι πιο σύνθετο πό το ρχικό. 6 / 9-9

19 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν υπολογιστούν τ ολοκληρώμτ i) ed ii) ημd iii) ( 4 + )lnd iv) ΛΥΣΗ i) Έχουμε eημd. ed = ( e ) d = e ( ) e d = = e e d = e e ( ) d = = e e + e d = e e + e + c. Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής = P()e d όπου P() πολυώνυμο του κι R *. ii) Έχουμε ημd = ( συν)d συν συνd = + = 7 / 9-9 = συν + ημ + c. 4

20 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής P()ημ()d, P()συν()d όπου P() πολυώνυμο του κι iii) Έχουμε 4 ( 4 + )ln d = ( + ) lnd = * R. 4 4 = ( + )ln ( + ) d = = ( + )ln ( + ) d = 4 4 = ( + )ln + c. 4 4 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής P()ln()d, όπου P() πολυώνυμο του κι * R. iv) Θέτουμε I= e ημ()d, οπότε έχουμε I = (e )ημ()d = eημ() e συν()d = = eημ() (e )συν()d = 8 / 9

21 = eημ() e συν() 4 e ημd = = eημ() e συν() 4I. Επομένως, οπότε 5I = eημ() e συν() + c I= e ημ() e συν() + c. 5 5 Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής e ημ(β)d, e συν(β)d όπου *,β R.. Ο πληθυσμός P(t), 0 t 0, μις πόλης, που προέκυψε πό συγχώνευση 0 κοινοτήτων, υξάνετι με ρυθμό (σε άτομ νά έτος) που δίνετι πό τον τύπο t P (t) = te 0, 0 t 0, όπου t είνι ο ριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση. Ν βρεθεί ο πληθυσμός P(t) της πόλης t χρόνι μετά τη συγχώνευση, ν γνωρίζουμε ότι ο πληθυσμός ήτν 0000 κάτοικοι κτά τη στιγμή της συγχώνευσης. 9 / 9-94

22 ΛΥΣΗ Έχουμε οπότε P(t) = 0te t P () t dt = te 0 dt = = 0 ( e ) tdt = t t 0-00e 0 + c, γι κάποιο c R. Ότν t = 0, ο πληθυσμός είνι Συνεπώς: 0 0 P( 0) = e 0 00e + c = 0000 c = 000. Άρ, ο πληθυσμός της πόλης, t χρόνι μετά τη συγχώνευση, είνι t t P(t) = 0te 0-00e Ολοκλήρωση με ντικτάστση Με τη μέθοδο υτή υπολογίζουμε ολοκληρώμτ που έχουν ή μπορούν ν πάρουν τη μορφή fg ( ( )) g ( d ). Η μέθοδος ολοκλήρωσης με ντικτάστση εκφράζετι με τον κόλουθο τύπο: fg ( ( )) g ( d ) = f ( udu ), όπου u = g ( ) κι du = g ( ) d t 0 t 0 = 0e t 0 e dt = t 0 t 0 t 0 = 0te 00e + c, 0 / 94

23 Ο πρπάνω τύπος χρησιμοποιείτι με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμ f(u)du του δευτέρου μέλους υπολογίζετι ευκολότερ. Η πόδειξη του τύπου υτού στηρίζετι στο γνωστό κνόν πργώγισης σύνθετης συνάρτησης. Πράγμτι, ν F είνι μι πράγουσ της f, τότε οπότε κι άρ F (u) = f(u), () F (g()) = f(g()) fg ( ( )) g ( d ) = F ( g ( )) g ( ) d = = ( Fg ( ( ))) d = = Fg ( ( )) + c= (φού (F(g()) = F (g())g ()) = Fu ( ) + c = = fudu ( ) (όπου u = g()) (λόγω της ()) Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ + d. Θέτουμε u = + κι du = ( + ) d = = d, οπότε το ολοκλήρωμ γράφετι: + d = udu = = u du = / 94-95

24 = + = u c = ( + ) + c = = ( + ) + c. ΕΦΑΡΜΟΓEΣ. Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) e d ii) εφd. ( + e ) ΛΥΣΗ i) Θέτουμε u = + e, οπότε du = ( + e ) d = e d. Επομένως, e ( + e ) d du u du u u c = = = + = + c + e ημ ii) Έχουμε εφd = d. Επομένως, ν θέσουμε συν u = συν, οπότε du = (συν) d = - ημd, έχουμε: εφd = du= ln u + c = ln συν + c. u / 95-96

25 . Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) π ημ + d 6 ii) d iii) d ( ) 99. ΛΥΣΗ π i) Θέτουμε u= +, οπότε 6 Επομένως, π du = + d = d. 6 π π ημ + d = ημ + d = ημudu = 6 6 π = συνu + c = συν + + c. 6 ii) Θέτουμε u = -, οπότε du = ( ) d = - d. Επομένως, = = + = + d u du ln u c ln c. iii) Θέτουμε u = -, οπότε du = d. Άρ u 00 ( ) d = u du c ( ) c. = + = Ν υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) + d 5+ 6 ii) / d. 5+ 6

26 ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f( ) = R {, } κι γράφετι f ( ) = + ( )( ). έχει πεδίο ορισμού το Ανζητούμε πργμτικούς ριθμούς Α, Β έτσι, ώστε ν ισχύει + A B = ( )( ) +, γι κάθε R {., } Με πλοιφή προνομστών έχουμε τελικά: (Α + Β - ) = Α + Β +, γι κάθε R {., } Η τελευτί ισότητ ισχύει γι κάθε R {,, } ν κι μόνο ν Επομένως, A+ B = 0 A+ B+ = 0 ή, ισοδύνμ, A B = 5. = = d d d = + = = 5ln + 7ln + c. Με τον ίδιο τρόπο εργζόμστε γι τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής 4 / 97

27 κ + λ d, με β - 4γ > 0 + β + γ ii) Αν εκτελέσουμε τη διίρεση του πολυωνύμου με το πολυώνυμο , βρίσκουμε ότι Επομένως, + 7 d = = d + d = 5+ 6 = 5ln + 7ln + c (λόγω του (i)). Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής P() d, + β + γ όπου P() πολυώνυμο του βθμού μεγλύτερου ή ίσου του κι β - 4γ > 0. 5 / 97

28 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) e d ii) ( + ) e d iii) lnd iv) v) 4συνd vi) lnd, ημd vii) ln d viii) e συνd i) eημd. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) ημd ii) ( ) ( ) d iii) + 4 ( + 6) v) + d. d iv) + d. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) eημe d ii) e d e + iii) ln d iv) e d ( e + )ln( e + ) v) ημ d. 6 / 98

29 B ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) iii) ημ + συν συν e ημ d d. ii) εφ ln(συν)d. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) iii) + 4 d ii) ln( + )d. d +. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) ln d ii) (lnt)dt iii) 4. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) εφd κι d συν ii) συν d κι ημ + συν d ημ e συνe d. iii) ημ d κι συν d. 7 / 98-99

30 5. Με τη βοήθει των τύπων συν ημ = κι ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: i) ημ d ii) συν d iii) 6. Με τη βοήθει των τύπων + συν συν = ημσυνβ = ημ( β) + ημ( + β), συνσυνβ = συν( β) + συν(+ β) ημημβ = συν( β) συν(+ β) ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: ημ συν d i) ημσυνd ii) συνσυν5d iii) ημημ4d 7. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) d + ii) + d + iii) d + + iv) d. 8 / 99

31 . ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γενικά Στο προηγούμενο κεφάλιο είδμε ότι, ότν γνωρίζουμε τη συνάρτηση θέσης y = S(t) ενός κινητού, μπορούμε ν βρούμε την τχύτητ κι την επιτάχυνση του κινητού. Πολλές φορές, όμως, είνι γνωστή η τχύτητ υ = υ(t) ή η επιτάχυνση = (t) του κινητού κι ζητείτι η θέση του. Γι πράδειγμ: Αν έν κινητό κινείτι ευθυγράμμως με στθερή τχύτητ c, γι ν προσδιορίσουμε τη θέση του y = S(t), ρκεί ν λύσουμε ως προς y την εξίσωση y = c. () Αν σε έν σώμ μάζς m σκείτι δύνμη F = F(t), τότε το σώμ κινείτι με επιτάχυνση = (t) η οποί, σύμφων με το ο νόμο της μηχνικής, δίνετι πό τον τύπο F = m ή, ισοδύνμ, F = my, όπου y = S(t) η συνάρτηση θέσης του σώμτος. Επομένως, γι ν προσδιορίσουμε τη θέση y = S(t) του σώμτος, ρκεί ν λύσουμε την εξίσωση m y = F. () Εξισώσεις όπως οι () κι () λέγοντι διφορικές εξισώσεις. Γενικά, ΟΡΙΣΜΟΣ Διφορική εξίσωση λέγετι κάθε εξίσωση που περιέχει τη μετβλητή, μι άγνωστη συνάρτηση y = f() κι κάποιες πό τις πργώγους της y, y,. 9 / 00

32 Γι πράδειγμ, οι εξισώσεις y =, y = y, y + y = 0 είνι διφορικές εξισώσεις. Η μεγλύτερη πό τις τάξεις των πργώγων που εμφνίζοντι στην εξίσωση ονομάζετι τάξη της διφορικής εξίσωσης. Έτσι οι εξισώσεις y = κι y = y είνι διφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως, ενώ η y + y = 0 είνι δευτέρς τάξεως. Κάθε συνάρτηση y = f() που επληθεύει τη διφορική εξίσωση λέγετι λύση της εξίσωσης. Γι πράδειγμ, η συνάρτηση y = είνι μι λύση της διφορικής εξίσωσης y =, φού y = ( ) =. Το σύνολο όλων των λύσεων μις διφορικής εξίσωσης λέγετι γενική λύση της εξίσωσης. Γι πράδειγμ, η γενική λύση της εξίσωσης y = είνι η y = + c, c R. Συχνά ζητάμε εκείνη τη λύση y = f() της διφορικής εξίσωσης που ικνοποιεί μι ρχική συνθήκη y 0 = f( 0 ). Γι ν βρούμε τη λύση υτή, βρίσκουμε πρώτ τη γενική λύση της εξίσωσης κι με τη βοήθει της ρχικής συνθήκης προσδιορίζουμε τη ζητούμενη λύση. Γι πράδειγμ, η λύση y = f() της διφορικής εξίσωσης y =, που ικνοποιεί την ρχική συνθήκη f() =, είνι η συνάρτηση y = +, φού πό τη γενική λύση y = + c, γι = κι y = είνι c =. Στη συνέχει θ σχοληθούμε μόνο με δυο ειδικές μορφές διφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως: Τις εξισώσεις με χωριζόμενες μετβλητές κι Τις γρμμικές διφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως. 0 / 00-0

33 Διφορικές εξισώσεις με χωριζόμενες μετβλητές Έχει ποδειχτεί πειρμτικά, ότι ο ρυθμός μετβολής, ως προς το χρόνο, του πληθυσμού y = P(t) μις κοινωνίς, η οποί δεν επηρεάζετι πό εξωτερικούς πράγοντες, είνι νάλογος του πληθυσμού. Δηλδή, ισχύει P (t) = P(t), όπου θετική στθερά. Αν ο ρχικός πληθυσμός της κοινωνίς είνι P 0, δηλδή P(0) = P 0, γι ν βρούμε τον πληθυσμό P(t) ύστερ πό χρόνο t, θ λύσουμε την πρπάνω διφορική εξίσωση. Επειδή y = P(t) > 0, η εξίσωση γράφετι P(t) P(t) =, οπότε ολοκληρώνοντς κι τ δυο μέλη της, έχουμε διδοχικά: P(t) dt P(t) = dt lnp(t) = t + c. t+ P(t) e c =, P(t) t = ce, με c = e c. Επειδή P(0) = P 0, είνι c = P 0, οπότε P(t) = P 0 e t. / 0

34 Η πρπάνω διφορική εξίσωση λέγετι διφορική εξίσωση με χωριζόμενες μετβλητές. Γενικά, OΡΙΣΜΟΣ Διφορική εξίσωση με χωριζόμενες μετβλητές λέγετι κάθε εξίσωση της μορφής (y) y = β() (), όπου y = f() η άγνωστη συνάρτηση, (y) συνάρτηση του y κι β() συνάρτηση του. Γι ν λύσουμε την εξίσωση υτή ολοκληρώνουμε κι τ δύο μέλη της ως προς. Έχουμε (y)yd = β()d. Επειδή y = f(), είνι dy = f ()d = y d, οπότε έχουμε (y)dy = β()d. () Αν Α(y) είνι μι πράγουσ (y) κι Β() μι πράγουσ της β(), τότε η () γράφετι Α(y) = Β() + c, c R. () Από την τελευτί εξίσωση προσδιορίζουμε τη γενική λύση της διφορικής εξίσωσης. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ () μς επιτρέπει ν γράφουμε τη διφορική εξίσωση () στην άτυπη μορφή της (y)dy = β()d / 0

35 κι ν ολοκληρώνουμε τ μέλη της, το μεν πρώτο μέλος της ως προς y, το δε δεύτερο μέλος της ως προς. ΕΦΑΡΜΟΓH Ν λυθούν οι διφορικές εξισώσεις i) y - y = 0, 0 κι y > 0 ii) y = y, y 0 iii) + yy = 0, y > 0. ΛΥΣΗ i) Σε κθέν πό τ διστήμτ (, 0 ) κι ( 0, + ), η εξίσωση γράφετι: y y = dy =, y d y dy = d. y > 0 y Ο c = c = c = y dy = d lny = ln + c0 = ln + c0, c 0 R ln + c c y = e 0 = e 0 ln e = c, c > 0. / 0-0

36 Άρ, σε κθέν πό τ διστήμτ (, 0 ) κι ( 0, + ) είνι y = c, όπου c > 0 ii) Η εξίσωση γράφετι: dy d = y y Ο c = dy y = d. c = 0 dy y = d = + c y Άρ, y =, όπου c R (Σχ. ). + c iii) Η εξίσωση γράφετι διδοχικά + y dy = 0 d ydy ydy = d = d y = + c + y = c, c > 0 y c = 9 c = 4 c = Ο 4 / 0

37 Άρ, y = c, όπου c > 0 (Σχ. ). Γρμμικές διφορικές εξισώσεις πρώτης τάξεως Από τη Φυσική γνωρίζουμε ότι στο πρκάτω κύκλωμ ισχύει ο κνόνς του Kirchhoff. Δηλδή, L 4 L di () t + R I() t = V(). t () R I dt Γι ν προσδιορίσουμε την έντση, I(t), του ρεύμτος που διρρέει το κύκλωμ, είνι νάγκη ν λύσουμε τη διφορική εξίσωση (). Η εξίσωση υτή λέγετι γρμμική διφορική εξίσωση πρώτης τάξεως. Γενικά: ΟΡΙΣΜΟΣ Γρμμική διφορική εξίσωση πρώτης τάξεως λέγετι κάθε εξίσωση της μορφής y + ()y = β(), όπου y = f() είνι η άγνωστη συνάρτηση κι (), β() συνρτήσεις του. Γι την επίλυση της εξίσωσης υτής: Ανζητούμε μι πράγουσ Α() της συνάρτησης () κι έπειτ Πολλπλσιάζουμε τ μέλη της εξίσωσης με e Α(). 5 / 0-04

38 Έτσι, έχουμε διδοχικά y e Α() + ()e Α() y = β()e Α() y e Α() + Α ()e Α() y = β()e Α() y e Α() + (e Α() ) y = β()e Α() (ye Α() ) = β()e Α() A ( ) ( ) ( ye ) A d = β( e ) d ye Α() = Β() + c, όπου Β() μι πράγουσ της β()e Α(). ΕΦΑΡΜΟΓH. Ν λυθεί η διφορική εξίσωση ΛΥΣΗ y + y =. Επειδή μι πράγουσ της () = είνι η Α() =, πολλπλσιάζουμε κι τ δυο μέλη της εξίσωσης με e. Έτσι, έχουμε διδοχικά y e + e y = e (ye ) = (e ) ye = e + c y = + ce -, c R 6 / 04-05

39 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν λύσετε τις διφορικές εξισώσεις: i) y = -4y, y > 0 ii) y y =, y > 0 iii) y y = iv) y = e y συν.. Ν λύσετε τις διφορικές εξισώσεις: i) y + y = ii) y + y = e iii) y + y = iv) y + y =.. Ν βρείτε τη λύση της διφορικής εξίσωσης y = y, y < 0, της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό το σημείο Α(0, -). 4. Ν βρείτε τη λύση της διφορικής εξίσωσης y = - y που ικνοποιεί τη συνθήκη y(0) =. 5. Ν λύσετε τις διφορικές εξισώσεις: i) y + y =, ν y(0) = - συν συν ii) ( + )y + y = ln, ν y() = 0. 7 / 05

40 Β ΟΜΑΔΑΣ. Η έντση του ηλεκτρικού ρεύμτος Ι σε έν ηλεκτρικό κύκλωμ ικνοποιεί την εξίσωση di + I= ημt. Αν I(0) = 0, ν βρείτε την έντση I(t). dt. Ν βρείτε τη λύση της διφορικής εξίσωσης y ye y = e, η οποί διέρχετι πό το σημείο Α(, ).. Ν λύσετε τη διφορική εξίσωση y = y, > Η κλίση της εφπτομένης μις γρμμής (C) με εξίσωση y = y(), y > 0 στο σημείο M(, y) είνι ίση με y. Ν βρείτε την εξίσωση της (C), ν είνι γνωστό ότι διέρχετι πό το σημείο Α(0, ). 5. Έστω,β,λ R στθερές, με > λ > 0. i) Ν λύσετε την εξίσωση y + y = βe -λt. ii) Αν y = y(t) είνι μι λύση της εξίσωσης, ν ποδείξετε ότι ισχύει lim yt ( ) = 0. t + 6. Έχει ποδειχτεί πειρμτικά ότι ο ρυθμός μετβολής της θερμοκρσίς θ ενός σώμτος, ότν υτό βρεθεί σε περιβάλλον στθερής θερμοκρσίς Τ με θ > T, είνι dθ k(θ Τ) dt =, k > 0. 8 / 06

41 Ν βρείτε τη θερμοκρσί θ(t), ν θ(0) = θ Ο πληθυσμός P = P(t) μις χώρς μετνστεύει με στθερό ρυθμό m > 0. Δίνετι ότι ο ρυθμός ύξησης του πληθυσμού Ρ, ν δεν υπήρχε η μετνάστευση, θ ήτν νάλογος του Ρ. i) Ν δικιολογήσετε ότι ο πληθυσμός Ρ ικνοποιεί την εξίσωση P = kp - m, k > 0 στθερά. ii) Ν βρείτε τη συνάρτηση P = P(t), ν P(0) = P 0 iii) Ν ποδείξετε ότι: Αν m < kp 0, τότε ο πληθυσμός υξάνετι. Αν m > kp 0, τότε ο πληθυσμός μειώνετι. Αν m = kp 0, τότε ο πληθυσμός πρμένει στθερός. 8. Έστω y = y(t) το ύψος κι V = V(t) ο όγκος του νερού μις δεξμενής τη χρονική στιγμή t. Η δεξμενή δειάζει πό μι κυκλική οπή εμβδού που βρίσκετι στον πυθμέν της. Σύμφων με το νόμο του Torricelli ο ρυθμός μετβολής του όγκου του νερού είνι dv dt = gy, g = 0 m/s. 9 / 06-07

42 i) Αν η δεξμενή είνι κυλινδρική με ύψος,6 m, κτίν m κι η κτίν της οπής είνι 0, m, ν ποδείξετε ότι το y ικνοποιεί την εξίσωση υ V(t) y(t) = y 5 50 y ii) Ν βρείτε το ύψος y(t), ν είνι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή t = 0 η δεξμενή ήτν γεμάτη. iii) Πόσος χρόνος θ χρειστεί γι ν δειάσει τελείως η δεξμενή; (Δίνετι ότι ο όγκος του κυλίνδρου είνι V = πr υ). 9. Ένς βημτοδότης κρδιά ποτελείτι πό μι μπτρί κι ένν R πυκνωτή, ενώ η κρδιά Q πίζει το ρόλο της ντίστσης, όπως P S C φίνετι στο σχήμ. Ότν ο δικόπτης S 0 βρίσκετι στη θέση Ρ, ο πυκνωτής φορτίζετι ενώ, ότν βρίσκετι στη θέση Q, ο πυκνωτής εκφορτίζετι κι προκλεί ηλεκτρικό ερέθισμ στην κρδιά. Κτά τη διάρκει υτή στην κρδιά εφρμόζετι ηλεκτρεγερτική δύνμη Ε που ικνοποιεί την εξίσωση 40 / 07

43 de dt = RC E, t < t < t. όπου R, C στθερές. Ν βρείτε την E(t), ν E(t ) = E Σύμφων με τον κνόν του Κirchhoff γι το κύκλωμ του διπλνού σχήμτος ισχύει L di + RI = Et (). dt E R L i) Αν R = Ω, L = 4 H, E = 60 V, ) ν βρείτε την έντση I(t) του ρεύμτος, t sec μετά το κλείσιμο του κυκλώμτος. β) ν βρείτε το lim It ( ). Τι συμπερίνετε; t + ii) Αν στο κύκλωμ ντί γι μπτρί που δίνει στθερή ηλεκτρεγερτική δύνμη Ε χρησιμοποιήσουμε μι γεννήτρι που δίνει E(t) = 60ημt, ν βρείτε την έντση I(t). 4 / 07-08

44 .4 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμβδόν πρβολικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ν βρούμε το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() =, τον άξον των κι τις ευθείες = 0 κι = (Πρβολικό χωρίο Σχ. 5). y y = 5 Ω Ο y y = 6 Ο ν... ν ν ν 4 / 08

45 Μι μέθοδος ν προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβδόν είνι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημ [0,] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους Δ =, με άκρ τ σημεί: ν 0 = 0, =, ν ν =,.., ν =, ν ν ν ν = =. ν Σχημτίζουμε τ ορθογώνι με βάσεις τ υποδιστήμτ υτά κι ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε κθέν πό υτά. (Σχ. 6). Μι προσέγγιση του εμβδού που ζητάμε είνι το άθροισμ, εν, των εμβδών των πρπάνω ορθογωνίων. Δηλδή, το: ν εν = f(0) + f + f + + f = ν ν ν ν ν ν ν ν = = ν ν ν ν [ (ν ) ] = = ν (ν ) ν(ν ) ν ν + = =. 6 ν 6ν 4 / 08-09

46 Αν, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώνι με βάσεις τ πρπάνω υποδιστήμτ κι ύψη την μέγιστη τιμή της f σε κθέν π υτά (Σχ. 7), y y = 7 Ο ν... ν ν ν τότε το άθροισμ ν Εν = f + f + + f ν ν ν ν ν ν των εμβδών των ορθογωνίων υτών είνι μι κόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβδού. Είνι όμως, ν Εν = f + f + + f = ν ν ν ν ν ν ν = = ν ν ν ν 44 / 09

47 ( ν ) ν(ν+ )(ν + ) ν + ν + = = =. ν ν 6 6ν Το ζητούμενο, όμως, εμβδόν Ε βρίσκετι μετξύ των ε ν κι Ε ν. Δηλδή ισχύει ε ν Ε Ε ν, οπότε lim ε Ε lim Ε. ν ν ν Επειδή lim εν = lim Ε ν =, έχουμε ν ν ν Ε =. Αν, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώνι με βάσεις τ πρπάνω υποδιστήμτ [ κ-, κ ], κ =,,, ν κι ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο ξ κ, κ =,,,,, ν, κθενός διστήμτος, (Σχ. 8), y y = 8 k Ο k ν τότε το άθροισμ Sν = f(ξ ) + f(ξ ) + + f(ξ ν) ν ν ν 45 / 09-0

48 των εμβδών των ορθογωνίων υτών είνι μι κόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβδού. Επειδή f( κ ) f(ξ κ) f( κ) γι κ =,,, ν, θ είνι οπότε θ ισχύει f( κ ) f(ξ κ) f( κ), ν ν ν ε S Ε. ν ν ν Είνι όμως, lim εν = lim Eν = Ε. Άρ θ ισχύει ν ν + lim S ν = Ε. ν 46 / 0

49 Ορισμός εμβδού Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [,β], με f( ) 0 γι κάθε [,β] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των κι τις ευθείες =, = β. Γι ν ορίσουμε το εμβδόν του χωρίου Ω (Σχ. 9) εργζόμστε όπως στο προηγούμενο πράδειγμ. y y = f() 9 f(ξ ) f(ξ ) Ω f(ξ k) f(ξ ν) Ο ξ ξ... ξk k... ξν = 0 k ν ν = β Δηλδή: Δ Χωρίζουμε το διάστημ [, β] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ, μήκους Δ =, με τ σημεί = β ν 0 < < < < < ν = β. = β ν 47 / 0 -

50 Σε κάθε υποδιάστημ [ κ-, κ ] επιλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι που έχουν βάση Δ κι ύψη τ f(ξ κ ). Το άθροισμ των εμβδών των ορθογωνίων υτών είνι S ν = f(ξ )Δ + f(ξ )Δ + + f(ξ ν )Δ = [f(ξ ) + + f(ξ ν )]Δ. Yπολογίζουμε το lim S ν. ν + Αποδεικνύετι ότι το lim S ν υπάρχει στο R κι είνι ν + νεξάρτητο πό την επιλογή των σημείων ξ κ. Το όριο υτό ονομάζετι εμβδόν του επιπέδου χωρίου Ω κι συμβολίζετι με Ε(Ω). Είνι φνερό ότι Ε(Ω) 0. Η έννοι του ορισμένου ολοκληρώμτος Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, β]. Με τ σημεί = 0 < < < < ν = β χωρίζουμε το διάστημ [, β] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ μήκους y β Δ =. ν 0 y = f() Ο ξ ξ ξk ξ ν ν = β = 0 ν Στη συνέχει επιλέγουμε υθίρετ έν ξ κ [ κ, κ ], γι κάθε κ {,,...,ν}, κι σχημτίζουμε το άθροισμ 48 /

51 S ν = f(ξ )Δ + f(ξ )Δ + + f(ξ κ )Δ + + f(ξ ν )Δ το οποίο συμβολίζετι, σύντομ, ως εξής: S ν ν = κ= f(ξ )Δ Aποδεικνύετι ότι, Το όριο του θροίσμτος S ν, δηλδή το ν lim f(ξ κ )Δ ν () υπάρχει στο R κι είνι νεξάρτητο κ = πό την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ. Το πρπάνω όριο () ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο β, συμβολίζετι με f()d κι διβάζετι ολοκλήρωμ της f β πό το στο β. Δηλδή, κ (). β ν f()d = lim f(ξ κ )Δ ν κ = Το σύμβολο οφείλετι στον Leibniz κι ονομάζετι σύμβολο ολοκλήρωσης. Αυτό είνι επιμήκυνση του ρχικού γράμμτος S της λέξης Summa (άθροισμ). Οι ριθμοί κι β ονομάζοντι όρι της ολοκλήρωσης. Η έννοι όρι εδώ δεν έχει την ίδι έννοι του ορίου () Το άθροισμ υτό ονομάζετι έν άθροισμ RIEMANN. 49 / -

52 του ου κεφλίου. Στην έκφρση f()d το γράμμ είνι μι μετβλητή κι μπορεί ν ντικτστθεί με οποιοδήποτε άλλο γράμμ. Έτσι, γι πράδειγμ, οι εκ- β β φράσεις f()d, f(t)dt, συμβολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμ κι είνι πργμτικός ριθμός, σε ντί- θεση με το f()d που είνι έν σύνολο συνρτήσεων. Είνι, όμως, χρήσιμο ν επεκτείνουμε τον πρπάνω ορισμό κι γι τις περιπτώσεις που είνι > β ή = β, ως εξής: β β f()d = β f()d f()d = 0 Από τους ορισμούς του εμβδού κι του ορισμένου ολοκληρώμτος προκύπτει ότι: Αν f( ) 0 γι κάθε [,β], τότε το ολοκλήρωμ β f()d δίνει το εμβδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f τον άξον κι τις ευθείες = κι = β (Σχ. ). y y = f() Ω Ο β 50 /

53 Δηλδή, Επομένως, β f()d = Ε(Ω). Αν f( ) 0, τότε β f()d 0. ΕΦΑΡΜΟΓH Ν ποδειχθεί ότι β cd = c(β ), γι οποιοδήποτε c R. ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Αν = β, τότε cd = 0 = c( ) = c(β ). ii) Αν < β, τότε, επειδή η f() = c είνι συνεχής στο [, β], έχουμε = = [ ) ν β = lim [f(ξ ) + f(ξ ) + + f(ξ ν)] = ν ν β = lim (c + c+ + c) = ν ν β = lim νc = c(β ) ν ν 5 / -

54 iii) Αν > β, τότε β cd = cd = c( β) = c(β ). β ΣΧΟΛΙΟ Αν c > 0, τότε το β cd εκφράζει το εμβδόν ενός ορθογωνίου με βάση β - κι ύψος c (Σχ. ). y y = c Ο β Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος Με τη βοήθει του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώμτος ποδεικνύοντι τ πρκάτω θεωρήμτ. ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, β] κι λ,μ R. Τότε ισχύουν β β λf()d = λ f()d β + = β β + κι γενικά [f() g()]d f()d g()d β β β [λf() + μg()]d = λ f()d+ μ g()d 5 / - 4

55 ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν η f είνι συνεχής σε διάστημ Δ κι,β,γ Δ, τότε ισχύει β γ β f()d = f()d + f()d γ Γι πράδειγμ, ν 0 fd ( ) = 4 κι fd ( ) = 7, τότε fd ( ) = fd ( ) + fd ( ) = = fd ( ) + fd ( ) = + 7 = 4. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αν f( ) 0 κι < γ < β (Σχ. ), η πρπάνω ιδιότητ δηλώνει ότι: φού Ε(Ω) = Ε(Ω ) + Ε(Ω ) γ Ε(Ω ) = f()d, Ε(Ω ) = κι β Ε(Ω) = f()d. β γ f()d y y = f() Ο γ β 5 / 4

56 ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [,β]. Αν f( ) 0 γι κάθε [,β] κι η συνάρτηση f δεν είνι πντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε β f()d > 0. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 Α ΟΜΑΔΑΣ. Αν fd ( ) = 9, fd ( ) = κι ν βρείτε τ ολοκληρώμτ: 4 8 fd ( ) =, i) iii) 4 f()d ii) f()d iv) 8 4 f()d 8 f()d.. Ν ποδείξετε ότι e lntdt = e ln t dt.. Ν υπολογίσετε το κ έτσι, ώστε κ 4 5 d d = + +. κ 54 / 4-5

57 4. Αν fd ( ) = 5 κι τ ολοκληρώμτ: gd ( ) = ν υπολογίσετε i) ( f ( ) 6g ( )) d ii) ( f ( ) g ( )) d..5 H ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() = f(t)dt Ο υπολογισμός ενός ολοκληρώμτος f()d κτευθείν πό τον ορισμό είνι συνήθως μί δύσκολη κι πολύ κοπιστική διδικσί. Στην πράγρφο υτή θ νζητήσουμε τρόπο υπολογισμού ολοκληρωμάτων χωρίς τη χρήση του ορισμού. Σ υτό θ μς βοηθήσει το γνωστό, ως θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού. Η πόδειξη του θεωρήμτος υτού στηρίζετι στο επόμενο θεώρημ, το οποίο μς εξσφλίζει την ύπρξη πράγουσς μις συνεχούς συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ. β 55 / 5

58 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F() = f(t)dt, Δ, είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: f(t)dt = f(), γι κάθε Δ. Γι πράδειγμ ημ tdt = ημ κι lntdt ln 0 =. ΣΧΟΛΙA Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάνω θεωρήμτος προκύπτει (Σχ. 4) ως εξής: + h F ( + h) F( ) = f() tdt = Εμβδόν του χωρίου Ω f ( ) h, γι μικρά h > 0. Άρ, γι μικρά h > 0 είνι F ( + h) F( ) h οπότε f ( ), F+ h F F ( ) = lim ( ) ( ) = f ( ) h 0 h y y f() Ω = f() Ο +h β 4 56 / 6

59 Από το πρπάνω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύνθετης συνάρτησης προκύπτει ότι: g() f(t)dt = f(g()) g(), με την προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμεν σύμβολ έχουν νόημ. Γι πράδειγμ, ln tdt (ln ) ( ) ( ln ) 9 ln = = = ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [, β]. Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], τότε β f(t)dt = G(β) G() ΑΠΟΔΕΙΞΗ Σύμφων με το προηγούμενο θεώρημ, η συνάρτηση F ( ) = ftdt () είνι μι πράγουσ της f στο [, β]. Επειδή κι η G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε Από την (), γι =, έχουμε G() = F() + c. () G() = F() + c = f(t)dt+ c = c, οπότε c = G(). 57 / 6-7

60 Επομένως, οπότε, γι = β, έχουμε G() = F() + G(), κι άρ G(β) = F(β) + G() = f(t)dt + G() β f(t)dt = G(β) G(). β Πολλές φορές, γι ν πλοποιήσουμε τις εκφράσεις μς, β συμβολίζουμε τη διφορά G(β) - G() με [G()], οπότε η ισότητ του πρπάνω θεωρήμτος γράφετι Γι πράδειγμ, d = β β β f()d = [G()] = [ f()d]. 9 = = 4 π π 0 0 ημd = [ συν] = συνπ + συν0 = e d e = [ln ] = ln e ln =. ΕΦΑΡΜΟΓH. Δίνετι η συνάρτηση F( ) = t dt i) Ν βρεθεί το πεδίο ορισμού της F. 58 / 7-8

61 ii) Ν μελετηθεί ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ η F. ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση f()= t t έχει πεδίο ορισμού το σύνολο (, ] [, + ). Γι ν ορίζετι η F, πρέπει τ άκρ, του ολοκληρώμτος ν νήκουν στο ίδιο διάστημ του πεδίου ορισμού της f. Άρ, πρέπει [, + ), οπότε το πεδίο ορισμού της F είνι το σύνολο [, + ). ii) Γι [, + ) έχουμε: = F( ) = t dt. Επειδή η F είνι συνεχής στο [, + ) κι ισχύει F () > 0 γι κάθε (, + ), η συνάρτηση F είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ), οπότε προυσιάζει ελάχιστο το F() = 0. Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ πίρνει τη μορφή β f()g()d = [f()g()] f ()g()d, όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο [, β]. β β 59 / 8

62 Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ π Ι= συνd. Έχουμε: 0 I= (ημ)d = ημ () ημd = 0 π π 0 π π 0 π 0 = ημ ημd = 0 π = + = 0 π π = =. Ο τύπος ολοκλήρωσης με λλγή μετβλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ πίρνει τη μορφή β u f(g())g ()d = u f(u)du, όπου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u = g(), du = g ()d κι u = g(), u = g(β). Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ I = e ln d. Έχουμε: e I= ln (ln ) d Αν θέσουμε u = ln, τότε du = (ln) d, u = ln = 0 κι u = lne =. Επομένως, I= udu = u = / 8-9 π 0

63 ΕΦΑΡΜΟΓH N υπολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) + d ii) 4 + d 5 iii) d. ΛΥΣΗ i) Έχουμε + d d d = + d = = d+ d = d = + [ ] [ ln] = ii) Έχουμε 4 = + = 5 ln ln. + d 4 d = + d = d + d = = = 6 / [ ] = 4 0.

64 , iii) Επειδή =,, έχουμε 5 d = ( ) d + ( ) d = 5 = = + = 9. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ: e + i) ( + ) d ii) d 0 π iii) (συν ημ)d iv) + d 0.. Ν ποδείξετε ότι. Ν ποδείξετε ότι + 7 d + d = β f()f ()d = (f(β)) (f()). 4. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f 6 / 0

65 διέρχετι πό τ σημεί Α(0,0) κι Β(,), ν βρείτε την τιμή του ολοκληρώμτος f ( ) d, εφόσον η f 0 είνι συνεχής στο [0,]. 5. Ν βρείτε τις πργώγους των συνρτήσεων συν συνθ i) F() = t dt ii) F() = dθ θ 6. i) Ν βρείτε την πράγωγο της συνάρτησης f ( ) = ln( + + ) ii) Ν ποδείξετε ότι. Αν tg() tdt = + 0 το g(). 0 + Β ΟΜΑΔΑΣ 4 6 d = ln( + ). γι κάθε R, ν βρείτε. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση είνι στθερή. + συνπt f() = e dt t. Αν f( ) = t e dt, ν προσδιορίσετε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ τοπικά κρόττ της 0 f. 4. Αν F( ) = f() tdt, ν βρείτε την F (). 0 6 / 0 -

66 5. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση F ( ) = dt + dt είνι στθερή στο + t 0 + t ( 0, + ) κι ν βρείτε τον τύπο της. 6. Ν βρείτε το lim h 0 h + h 5 + t dt. 7. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ 6 i) d 4 4 π. 0 ii) [ημ(συν + )ημ ημ(συν + )]d 8. Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) ( ) d ii) 0 π f()d, π 0, ν f() = π ημ, 0< π iii) + d Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) e ln d ii) e d 0 64 /

67 iii) ln( 9 + ) d iv) 0 π 0 e συνd. 0. Αν I = π ημ d, 0 J = συν d, ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ 0 π I + J, I - J, Ι, J.. Έστω μι συνάρτηση f με f συνεχή κι γι την οποί ισχύει π. 0 Αν f(π) =, με τη βοήθει της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες, ν υπολογίσετε το f(0).. Έστω οι συνρτήσεις f, g, με f, g συνεχείς στο [, β]. Αν f() = g() = 0 κι f (β) = g (β), ν ποδείξετε ότι β..6 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Με τη βοήθει του θεμελιώδους θεωρήμτος του ολοκληρωτικού λογισμού μπορούμε, τώρ, ν ποδείξουμε το πρκάτω θεώρημ που είνι γνωστό ως Θεώρημ Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού. 65 /

68 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β], τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (,β) τέτοιο, ώστε β f()d = f(ξ)(β ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τη συνάρτηση F() = f(t)dt. Η συνάρτηση υτή είνι πργωγίσιμη στο [, β] κι ισχύει F () = = f(). Επομένως, σύμφων με το θεώρημ μέσης τιμής του διφορικού λογισμού υπάρχει ξ (,β) τέτοιο, ώστε F(ξ) = Είνι όμως, β F(β) F(). () β F (ξ) = f(ξ), F(β) = f(t)dt κι F() = f(t)dt = 0. Επομένως, η ισότητ () γράφετι f(ξ) = ισοδύνμ, β f(t)dt = f(ξ)(β ). β f(t)dt β ή, ΣΧΟΛΙΟ Ο ριθμός f(ξ) = β f()d β λέγετι μέση τιμή της συνάρτησης f στο [, β] κι συμβολίζετι με f. 66 / -

69 Γεωμετρικά, η μέση τιμή f μις μη ρνητικής συνάρτησης f στο διάστημ [, β] πριστάνει το ύψος του ορθογωνίου που έχει βάση το [, β] κι εμβδόν ίσο με το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = β (Σχ. 5). y 5 f y = f() Ο ξ β ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω η συνάρτηση f( ) =. Ν βρεθεί ξ (0,9) έτσι ώστε f(ξ) = f. ΛΥΣΗ Έχουμε f 0 9 d = 9 = = =. 9 Επομένως, ρκεί ν βρεθεί ξ (0,9) έτσι, ώστε f(ξ) =. Έχουμε f(ξ) = ξ = ξ = 4. Άρ, το ζητούμενο ξ είνι το /

70 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν βρείτε τη μέση τιμή f της συνεχούς συνάρτησης f στο διάστημ [0,], ν δίνετι ότι (( f) ) d = 0.. Αν η f είνι συνεχής στο [, β], κ στθερά κι β (f() κ)d = 0, ν ποδείξετε ότι η μέση τιμή της f στο [, β] είνι κ.. Ν βρεθεί η μέση τιμή της μετβλητής στο διάστημ [, β]. 0 Β ΟΜΑΔΑΣ. Δίνοντι οι συνρτήσεις f() = κι g( ) =, ορισμένες σ έν διάστημ [, β], > 0. Ν υπολογίσετε τις f, g κι ν ποδείξετε ότι f g>.. Η τχύτητ υ του ίμτος σ έν γγείο κτίνς R κι μήκους l, σε πόστση r πό τον κεντρικό P άξον του γγείου είνι υ(r) = (R r ), 4nl όπου Ρ η διφορά πιέσεως μετξύ των άκρων Α, Β του γγείου κι n το ιξώδες του ίμτος (στθερά). R r u(r) A B 68 / - 4

71 ) Ν βρείτε τη μέση τχύτητ του ίμτος, ότν r [ 0, R]. β) Ν βρείτε τη μέγιστη τχύτητ κι ν τη συγκρίνετε με τη μέση τχύτητ. Έστω f μι πργωγίσιμη στο [0,] συνάρτηση, με fd ( ) = f(). 0 Ν ποδείξετε ότι η C f έχει μι, τουλάχιστον, οριζόντι εφπτομένη..7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στην πράγρφο 4.4 είδμε ότι, ν μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν διάστημ [, β] κι f ( ) 0 γι κάθε [,β], τότε το εμβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = β κι τον άξον (Σχ. 6) είνι y Ο y = f() Ω β 6 E(Ω) = β f()d 69 / 4

72 Γι πράδειγμ, το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f( ) =, τον άξον κι τις ευθείες = 0, = (Σχ. 7) είνι ίσο με d = d = = y 7 y = Ο Έστω, τώρ, δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, β] με f( ) g ( ) 0 γι κάθε [,β] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες = κι = β (Σχ. 8). y y = f() Ω y = g() 8 Ο () β 70 / 5

73 y y = f() Ο (β) β y y = g() Ο (γ) β Πρτηρούμε ότι Ε(Ω) = Ε(Ω ) Ε(Ω ) = f()d g()d = β β Επομένως, β = (f() g())d. β E(Ω) = (f() g())d () 7 / 5

74 Γι πράδειγμ, το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() = - + κι g() = (Σχ. 9) y 9 Ω y = + Ο είνι ίσο με: E(Ω) = [f() g()]d = = ( + ) d = = + Ο τύπος () βρέθηκε με την προϋπόθεση ότι: (i) f( ) g ( ) γι κάθε [,β] κι (ii) οι f, g είνι μη ρνητικές στο [, β]. Θ ποδείξουμε, τώρ, ότι ο τύπος () ισχύει κι χωρίς την υπόθεση (ii). Πράγμτι, επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, β], θ υπάρχει ριθμός c R τέτοιος ώστε f( ) + c g( ) + c 0, γι κάθε [,β]. = 9. 7 / 5-6

75 Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. 0) έχει το ίδιο εμβδόν με το χωρίο Ω (Σχ. 0β). y 0 y = f() Ω Ο β y = g() () y y = f() + c Ω y = g() + c Ο β (β) Επομένως, σύμφων με τον τύπο (), έχουμε: β Ε(Ω) = Ε(Ω ) = [(f() + c) (g() + c)]d = (f() g())d. Άρ, β E(Ω) = (f() g())d β 7 / 6

76 Με τη βοήθει του προηγούμενου τύπου μπορούμε ν y υπολογίσουμε το εμβδόν του β χωρίου Ω που περικλείετι πό Ο τον άξον, τη γρφική πράστση μις συνάρτησης g, με Ω g() 0 γι κάθε [,β] κι τις y = g() ευθείες = κι = β (Σχ. ). Πράγμτι, επειδή ο άξονς είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης f() = 0, έχουμε β E(Ω) = (f() g())d = β. = [ g()]d = g()d Επομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g() 0 γι κάθε [,β], τότε β E(Ω) = β g()d Γι πράδειγμ, το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g() = - κι τον άξον (Σχ. ) y y = Ο Ω 74 / 6-7

77 είνι ίσο με E(Ω) = ( )d = ( )d = = Ότν η διφορά f() - g() δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,β], όπως στο Σχήμ, τότε το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι τις ευθείες = κι = β είνι ίσο με το άθροισμ των εμβδών των χωρίων Ω, Ω κι Ω. = 4. y y = g() y = f() Ο γ δ β Δηλδή, Ε(Ω) = Ε(Ω ) + Ε(Ω ) + Ε(Ω ) = γ δ β = (f() g())d + (g() f())d + (f() g())d = γ δ γ δ β = f() g() d + f() g() d + f() g() d = γ δ β = f() g() d 75 / 7

78 Επομένως, β E(Ω) = f() g() d Γι πράδειγμ, ς υπολογίσουμε το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() =, g() = κι τις ευθείες = -, =. (Σχ. 4). y 4 Ο y = y = Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της διφοράς f() - g() στο διάστημ [-, ]. Επειδή f() - g() = - = ( - ) = ( - )( + ), έχουμε τον κόλουθο πίνκ: 76 / 7-8

79 - - 0 f() - g() Λμβάνοντς, τώρ, υπόψη τον πρπάνω πίνκ, έχουμε E(Ω) = f() g() = 0 = (g() f())d + (f() g())d + = ( 0 ) d + ( ) d + ( ) d = + (g() f())d = = = 4 ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με τ πρπάνω το β f()d είνι ίσο με το άθροισμ των εμβδών των χωρίων που βρίσκοντι πάνω πό τον άξον μείον το άθροισμ των εμβδών των χωρίων που βρίσκοντι κάτω πό τον άξον (Σχ. 5) y 5 Ο β 77 / 8

80 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() = ημ, g() = συν κι τις ευθείες = 0 κι = π. ΛΥΣΗ Αρχικά βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της διφοράς f() - g() στο διάστημ [0, π]. Στο διάστημ υτό έχουμε f() = g() ημ = συν εφ = π = ή = 4 5π 4 y Ο y = ημ π 4 5π 4 π y = συν 6 π Επομένως, γι το πρόσημο της διφοράς f() - g() = = ημ - συν έχουμε τον κόλουθο πίνκ: 0 π 5π π 4 4 f() - g() / 8-9

81 Λμβάνοντς, τώρ, υπόψη τον πίνκ υτόν, έχουμε π Ε(Ω) = f() g() d = 0 π 4 0 5π 4 π 4 = ( ημ + συν)d + (ημ συν)d + π 5π 4 + ( ημ + συν)d = = συν + ημ 4 + συν ημ + 0 = = 4. π 5π 4 π 4 π + συν + ημ 5π = 4. Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f() = ln, τον άξον των κι την εφπτομένη της C f στο σημείο Α(e, ). y 7 ε Ο e y = ln 79 / 9

82 ΛΥΣΗ Η εξίσωση της εφπτομένης της C f στο σημείο Α(e, ) είνι ε: y - = f (e)( - e). () Επειδή f ( ) = (ln ) =, έχουμε f ( e) =. e Επομένως, η () γράφετι: y = ( e e ) y = e. Το ζητούμενο εμβδόν Ε είνι ίσο με το εμβδόν του τριγώνου μείον το εμβδόν του χωρίου που ορίζετι πό τη C f τον άξον κι τις ευθείες = κι = e, δηλδή E e e d e d e e = = ln [ ln ] d = 0 e = e e 0 e 0 e e e [ ln ] + [ ] =.. Ν υπολογιστεί το εμβδόν Ε του κυκλικού δίσκου + y = ρ. ρ y y = ρ 8 ρ O ρ ρ 80 / 9-0

83 ΛΥΣΗ Το ημικύκλιο C είνι γρφική πράστση της συνάρτησης φού γι y > 0 είνι f() = ρ, [ ρ,ρ], + y = ρ y = ρ. Αν Ε είνι το εμβδόν του ημικυκλίου, τότε Ε = Ε. Επειδή f( ) 0 γι κάθε [ ρ,ρ], έχουμε ρ Ε = ρ d. () ρ Επειδή ρ ρ, έχουμε π π θ, τέτοιο, ώστε. Επομένως, υπάρχει ρ ημθ ρ =. () π π Έτσι, έχουμε = ρημθ, θ,, οπότε d = ρσυνθdθ. Επιπλέον, γι = - ρ είνι θ Επομένως, π π Ε = ρ ρημθ ρσυνθdθ = π = κι γι = ρ είνι θ π =. 8 / 0

84 π π ρ π π = ρ ημθ συνθdθ = συν θ συνθdθ= π π = ρ συν θdθ = (Επειδή συνθ > 0) π + π συνθ θ ημθ πρ = ρ dθ = ρ + = 4 π π. Άρ Ε = Ε = πρ. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύουμε ότι το εμβδόν της y έλλειψης + = είνι ίσο με πβ. β 8 / 0

85 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ΟΜΑΔΑΣ. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() = - +, τις ευθείες = 0, = κι του άξον των.. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον των κι τις ευθείες που δίνοντι κάθε φορά: i) f( ) =, = 0, = 7 ii) f() =, = 0, συν π =.. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() = - κι τον άξον των. 4. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() = κι g() = Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() = 4 - κι την ευθεί - y - = 0. 8 /

86 Β ΟΜΑΔΑΣ. Έστω η συνάρτηση f() = i) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της C f στο σημείο της Α(, ). ii) Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, την εφπτομένη της στο Α κι τον άξον των.. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, f ( ) = + <, τις ευθείες = -, =, κι τον άξον των.. Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f ( ), = + 4 < + 5, κι τον άξον των. 4. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων + f ( ) = κι g( ) =. 84 / -

87 5. i) Ν υπολογίσετε το εμβδόν, Ε(λ), του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f( ) =, g() = ln, τον e άξον των κι την ευθεί = λ, λ > e. ii) Ν βρείτε το όριο lim Ε(λ). λ + 6. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διπλνού σχήμτος. y = y y = y = Ο 7. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διπλνού σχήμτος. y A y = + Ο y = 85 /

88 8. Δίνετι η συνάρτηση f() = ημ y O(0,0) A(π,0) i) Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της C f στ σημεί Ο(0, 0) κι Α(π, 0). ii) Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f κι τις εφπτόμενες στ σημεί Ο κι Α. 9. i) Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f( ) =, την εφπτόμενή της στο σημείο (, ) κι τον άξον των. ii) Ν βρείτε την ευθεί =, η οποί χωρίζει το χωρίο υτό σε δύο ισεμβδικά χωρί. 0. Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f() = ln, g( ) = ln κι την ευθεί y = ln.. i) Ν βρείτε συνάρτηση f της οποίς η γρφική πράστση διέρχετι πό το σημείο Α(0,) κι η κλίση της στο σημείο Μ(, f()) είνι /

89 ii) Ποιο είνι το εμβδόν του χωρίου που ορίζουν η C f κι ο άξονς των.. Έστω η συνάρτηση f() = ( - )( - ). i) Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της γρφικής πράστσης της f στ σημεί Α, Β που η C f τέμνει τον άξον των. ii) Αν Γ είνι το σημείο τομής των εφπτομένων, ν ποδείξετε ότι η C f χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρί που ο λόγος των εμβδών τους είνι. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΟΜΑΔΑΣ. i) Ν χρησιμοποιήσετε την ντικτάστση u = π - γι ν ποδείξετε ότι π π f(ημ)d = 0 0 π f(ημ)d ii) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ. i) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ ii) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ π ημ d 0 + ημ. 0 π π d d ημ. 87 / - 4

90 . Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ du ( u+ )( u+ ) κι στη συνέχει τ ολοκληρώμτ: i) συν d ii) (ημ + )(ημ + ) e d. ( e + )( e + ) 4. Αν I ν+ t ν = 0 dt, ν N, + t i) Ν υπολογίσετε το άθροισμ I ν + I ν+, ν N ii) Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ I 0, I, I. 5. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν πο δείξετε ότι u fu ( )( u ) du = ftdt () du Δίνετι η συνάρτηση F( ) = ftdt (), όπου t ft ()= u du. i) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων f κι F. ii) Ν ποδείξετε ότι η F είνι γνησίως ύξουσ κι κυρτή. 88 / 4-5

91 7. Δίνοντι τ ολοκληρώμτ t F() = eσυν tdt κι G() = eημtdt, R. 0 t i) Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ F() + G() κι F() - G() κι στη συνέχει τ ολοκληρώμτ F() κι G(). ii) Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ 0 π t I= e συν tdt κι π J π t = e ημ tdt. π 8. Το χωρίο που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() = + κι την ευθεί y = 5 χωρίζετι πό την ευθεί y = +, > 0, σε δύο ισεμβδικά χωρί. Ν βρείτε την τιμή του. 9. i) Ν βρεθεί το εμβδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f( ) =, τον άξον των κι τις κι τις ευθείες =, = λ, λ > 0. ii) Ν βρεθούν οι τιμές του λ έτσι, ώστε Ε(λ) =. iii) Ν βρεθούν τ lim E(λ) κι lim E(λ). λ 0 λ + 89 / 5

92 0. Έστω f, g δύο συνρτήσεις συνεχείς στο [, β]. Ν ποδείξετε ότι: i) Αν f( ) g ( ) γι κάθε [,β], τότε ii) Αν m η ελάχιστη κι Μ η μέγιστη τιμή της f στο [, β], τότε β m(β ) f()d M(β ) iii) Με τη βοήθει της νισότητς εφ > γι κάθε π 0,, ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ημ π f() =, 0, είνι γνησίως φθίνουσ κι στη συνέχει ν ποδείξετε ότι: ) ημ γι κάθε π π β) π. π 6 ημ d 4. π π, 6 κι iv) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f( ) = e είνι γνησίως φθίνουσ στο [ 0, + ) κι στη συνέχει, με τη βοήθει της νισότητς e + γι κάθε R, ν ποδείξετε ότι: ) e γι κάθε [ 0, ] κι β) e 0 β f()d d. β g()d 90 / 5-6

93 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντηση σς.. Ισχύει β β β (f() + g())d = f()d + g()d. Ισχύει β β β f() g()d = f()d g()d. Αν = β, τότε β f()d = Αν β f()d = 0, τότε κτ νάγκη θ είνι f() = 0 γι κάθε [,β]. A A A A Ψ Ψ Ψ Ψ 5. Αν f( ) 0 γι κάθε [,β], τότε β f()d Αν β f()d 0, τότε κτ νάγκη θ είνι f( ) 0 γι κάθε [,β]. A A Ψ Ψ 9 / 6-7

94 ( + )d < ( + + )d, γι κάθε > 0. A Ψ 8. π 4 0 π 4 0 ln( ημ )d = lnσυνd. 9. fd ( ) = f( ) f ( ) d. e 0. lnd = ln. t dt e A A A Ψ Ψ Ψ. Aν (( f) ) d = 0 0 τότε f =. A Ψ. Αν β f()d = 0, τότε f(ξ) = 0 γι κάποιο ξ (,β). A Ψ. Αν β f()d = 0 κι η f δεν είνι πντού μηδέν στο [, β], τότε η f πίρνει δυο, τουλάχιστον, ετερόσημες τιμές. A Ψ 4. Το ολοκλήρωμ ( ) d πριστάνει το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f() = κι τον άξον των. A Ψ 9 / 7

95 ΙΙ. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώ σετε τη σωστή πάντηση. Αν f () = ημπ κι f(0) = 0, τότε το f() ισούτι με Α), Β) π π, Γ), Δ) π π.. To ολοκλήρωμ d στο ( 4, + ) είνι ίσο με 4 Α) ln(4 - ) + c, Β) - ln(4 - ) + c, Γ) ln( - 4) + c, Δ) - ln( - 4) + c.. Το ολοκλήρωμ d στο ( 0, + ) είνι ίσο με Α) + c, Β) + Γ) ( ln ) Ε) + c, Δ) + c, + 4. Το ολοκλήρωμ c +., d είνι ίσο με Α) 4, Β) 0, Γ) 4, Δ), Ε) 5. 9 / 7-8

96 5. Το ολοκλήρωμ lnd είνι ίσο με Α) + c, Β) ln + c, Γ) (ln - ) + c, Δ) ln + c. 6. Έστω f, g δυο πργωγίσιμες συνρτήσεις με συνεχείς πργώγους στο [, β]. Αν f() g() γι κάθε [,β], τότε κτ νάγκη θ ισχύει: Α) f ( ) g ( ), [,β], Β) β f()d β g()d, [,β] Γ) fd ( ) gd ( ) g()d. Δ) f()d β β, 7. Το εμβδόν του γρμμοσκι σμένου χωρίου του δι πλ νού σχήμτος είνι ίσο με y Ο 5 5 Α) fd ( ), Β) fd ( ) Γ) fd ( ) fd ( ), Δ) fd ( ) + fd ( ) / 8-9

97 8. Αν f () = g () γι κάθε [, ] κι f(0) = g(0) +, τότε γι κάθε [, ] ισχύει: Α) f() = g() -, Β) (( f) g ( )) d = 4. Γ) f( ) g ( ), [, ] Δ) Οι C f, C g έχουν κοινό σημείο στο [-, ]. 9. Έστω η συνάρτηση F( ) = ftdt () όπου f η συ- νάρτηση του πρκάτω σχήμτος. y f Ο Τότε η F () είνι ίση με Α) 0, Β), Γ), Δ). 0. Έστω η συνάρτηση f του πρκάτω σχήμτος. y Ο β γ Αν Ε(Ω ) =, Ε(Ω ) = κι Ε(Ω ) = τότε το δ f()d είνι ίσο με δ 95 / 9

98 Α) 6, Β) -4, Γ) 4, Δ) 0, Ε).. Έστω η συνάρτηση F( ) = ftdt (), όπου f 0 η συνάρτηση του πρκάτω σχήμτος. y Ο Τότε Α) F() =, Β) F( ) Γ) F( ) =, 0 <,,, 0 < =,, Δ) F( ) =, 0 <., 96 / 9

99 ΙΙΙ.. Ποιο πό τ πρκάτω σχήμτ ντιπροσωπεύει τη γρφική πράστση μις λύσης της διφορικής εξίσωσης y = y, με, y > 0. y y O (Α) O (Β) y y O (Γ) O (Δ) y O (Ε) 97 / 40

100 . Ποι πό τ πρκάτω ολοκληρώμτ είνι κλώς ορισμέν; Α) Δ) d, Β) ημd, Γ) 0 π 0 0 lnd, Ε) d, Ζ) 0 π 0 εφd d Ν εντοπίσετε το λάθος στις πρκάτω πράξεις: d = d ( ) = d = Άρ = d = = + d. d = + d, οπότε 0 =! 4. Ν εντοπίσετε το λάθος στις πρκάτω πράξεις d I = + d = + u = = u du ). u du = + u du I. (Θέσμε = οπότε u 98 / 40-4