Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με y, V και του πολλαπλασιασμού: με V και R Εξετάστε αν το V αποτελεί R- διανυσματικό χώρο. Πρέπει να ελέγξουμε αν ισχύουν οι ακόλουθες 8 ιδιότητες για κάθε yz,, V, ab, R ) y y ) ( y) z ( y z) ) O: O O 4) ( ): ( ) O 5) ( ab) a ( b ) 6) a ( y) a ay 7)( a b) a b 8) Έχουμε: ) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας δίνει: y y Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: y y y Επομένως η πρώτη ιδιότητα ισχύει ) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας δίνει: ( y) z ( y) z ( y) z yz Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: ( y z) ( yz) ( yz) yz Άρα και η δεύτερη ιδιότητα ισχύει ) Αναζητούμε το μηδενικό διάνυσμα O V τέτοιο ώστε O O O O Παρατήρηση: H απλοποίηση της σχέσης O για κάθε V είναι εφικτή γιατί το σύνολο V όπως δίνεται στην εκφώνηση δεν περιέχει το 0. Άρα υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα: O ώστε για κάθε να ισχύει O Επειδή ισχύει η πρώτη ιδιότητα θα είναι προφανώς και O Επομένως και η τρίτη ιδιότητα ισχύει. 4) Αναζητούμε το αντίθετο διάνυσμα ( ) τέτοιο ώστε ( ) O
( ) O ( ) ( ) (Υπενθυμίζουμε ότι είναι 0 για κάθε V ) Άρα για κάθε υπάρχει το αντίθετο διάνυσμα: ( ) Επομένως ισχύει και η τέταρτη ιδιότητα 5) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 5 δίνει: ( ab) ab ( ab) Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: ( ) ( ) b b a ba ab a ( b ) a Επομένως ισχύει και η πέμπτη ιδιότητα 6) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 6 δίνει: ( ) ( ) a a a a ( y) a y y y Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: a a a a a ay y y Επομένως ισχύει και η έκτη ιδιότητα 7) Το αριστερό μέρος της ιδιότητας 6 δίνει: a b ( a b) Ενώ το δεξιό μέρος δίνει: a b a b a b a b Επομένως ισχύει και η έβδομη ιδιότητα 8) Προφανώς ισχύει ότι Άρα ισχύει και η όγδοη ιδιότητα Επομένως τελικά το V αποτελεί R- διανυσματικό χώρο Παράδειγμα Να εξετασθεί αν τα σύνολα U ( yz,, ) R : y z 0 και a) { } b) W {( yz,, ) R : y z } αποτελούν υποχώρους του R α) Παρατηρούμε το μηδενικό στοιχείο (0,0,0) ανήκει στο U (επαληθεύει τον περιορισμό y z 0) επομένως U Έστω δύο διανύσματα u (, y, z) και u (, y, z) με u, u U. Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε γραμμικός συνδυασμός ku lu των u,u με kl, R ανήκει στο U. Έχουμε u U y z 0 () u U y z 0 () Θέλουμε να δείξουμε ότι τα διάνυσμα:
(,, ) (,, ) (,, ) ku lu k y z l y z k l ky ly kz lz () Ικανοποιεί τη συνθήκη: y z 0 δηλ ( k l ) ( ky ly ) ( kz lz ) 0 (4) Εργαζόμαστε με το αριστερό μέλος της (4) και έχουμε διαδοχικά: ( k l) ( ky ly) ( kz lz) kl ky ly kz lz k ky kzl ly lz k( y z) l( y z) Η παράσταση αυτή λόγω των () και () ισούται με 0, επομένως επαληθεύεται η (4). Άρα το U αποτελεί υποχώρο του R b) Παρατηρούμε ότι το μηδενικό στοιχείο (0,0,0) δεν ανήκει στο W (δεν επαληθεύει τον περιορισμό y z ), επομένως το W δεν αποτελεί υποχώρο του R Παράδειγμα Δείξτε ότι span{ u, u, u } R αν u (,,), u (0,, ), u (0,0,) Ο χώρος που παράγεται από τα u,u,u είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών τους: 0 0 span{ u, u, u} { u u u} 0 :,, R Θέλουμε να γράψουμε το τυχόν στοιχείο του R : (,y,z) στην μορφή αυτή. Με άλλα λόγια θέλουμε το σύστημα: y z να έχει λύση ως προς,, για κάθε,y,z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 0 0 Ab 0 y z Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε τον 0 0 0 0 y 0 0 y z Επομένως το σύστημα έχει λύση για κάθε,y,z Άρα span{ u, u, u } R
Παράδειγμα 4 Δείξτε ότι span{ u, u, u } R αν u (,, 5), u (,, 7), u (,, ) Εργαζόμαστε όπως και στο παράδειγμα span{ u, u, u} { u u u} :,, R 5 7 7 Θέλουμε το σύστημα: y 5 7 z να έχει λύση ως προς,, για κάθε,y,z Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο Ab y 5 7 z Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε τον 0 y 0 0 0 y z Άρα το σύστημα έχει λύση μόνον αν ισχύει y z 0 και όχι για κάθε,y,z Επομένως span{ u, u, u } R Παράδειγμα 5 Γράψτε το διάνυσμα v(-4,6,5) ως γραμμικό συνδυασμό των u(,,7), u(4,,0) και u(-,7,) Tο v θα πρέπει να ανήκει στο span{u,u,u}. Επομένως θα πρέπει να βρούμε τις τιμές των σταθερών,, ώστε να ισχύει: u u u v Θα είναι u u u v 4 4 7 6 7 0 5 4 4 7 6 7 5
Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι: 4 4 Ab 7 6 7 0 5 Η απαλοιφή Gauss δίνει τον πίνακα: 4 4 0 8.5 8 0 0 06.5 ο οποίος αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα: 4 4 8.5 8 06.5 Με προς τα πίσω αντικατάσταση παίρνουμε τελικά: Επομένως v u u u Παράδειγμα 6 Γράψτε το πολυώνυμο P ( ) 5 7 ως γραμμικό συνδυασμό των πολυωνύμων P( ) 4, P ( ), P( ) 5 Πρέπει να βρούμε τις τιμές των σταθερών,, R ώστε να ισχύει P( ) P( ) P( ) P( ) Έχουμε: P( ) P( ) P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) 5 7 4 5 ( ) ( ) 5 7 4 5 Εξισώνοντας τους συντελεστές τον ίδιων δυνάμεων του δημιουργείται το ακόλουθο σύστημα: 5 4 5 7 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 0 5 Ab 4 5 7 H απαλοιφή Gauss δίνει
0 5 0 / / 0 0 4 / 6 4 / 6 που αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα: 5 4 4 6 6 η λύση του οποίου είναι: 4 Επομένως P ( ) P ( ) 4 P( ) P( ) Παράδειγμα 7 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα διανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι: α) v(,4,6), v(,,), v(7,,) b) v(,4), v(,), v(4,) ) v(,,), v(5,,), v(5,,) d) v(,-), v(,,4) e) v(,4,,), v(4,-,-,), v(0,0,0,0), v4(,,,5) α) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Υπάρχουν μεθοδολογίες που μπορούμε να ακολουθήσουμε: i) Ξεκινούμε από την σχέση: v v v O, µε,, R Εκτελούμε τις πράξεις και προκύπτει ένα ομογενές σύστημα ως προς,, το οποίο πρέπει να επιλύσουμε. Αν το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, τότε τα v,v,v είναι γραμμικά ανεξάρτητα, διαφορετικά αν έχει άπειρες λύσεις είναι γραμμικά εξαρτημένα Έχουμε λοιπόν:
v v v O 7 0 4 0 6 0 7 0 4 0 6 0 7 0 4 0 6 0 O πίνακας των συντελεστών του συστήματος είναι ο 7 A 4 6 Όπως προκύπτει ο πίνακας αυτός δημιουργείται αν γράψουμε τα δοσμένα διανύσματα ως στήλες του. Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: 7 U 0 0 0 0 0 (Με κόκκινο χρώμα δηλώνονται οι οδηγοί κάθε γραμμής) Επειδή δεν περιέχει κάθε στήλη οδηγό δηλ. έχουμε λιγότερους οδηγούς από τις άγνωστες μεταβλητές και επίσης επειδή το σύστημα είναι ομογενές, συνεπάγεται ότι το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. (Διαφορετικά για να είχαμε μοναδική λύση θα έπρεπε το πλήθος των οδηγών να ήταν ίσο με το πλήθος των στηλών του πίνακα). Επομένως τα διανύσματα v,v,v είναι γραμμικά εξαρτημένα Παρατήρηση: Επειδή ο πίνακας Α είναι τετραγωνικός, αντί για απαλοιφή Gauss θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την ορίζουσα του πίνακα, η οποία είναι ίση με μηδέν. Επομένως τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. (Αν ήταν γραμμικά ανεξάρτητα θα έπρεπε η ορίζουσα να βγει διάφορη του μηδενός) ii) Γράφουμε τα διανύσματα ως γραμμές ενός πίνακα Στη συνέχεια εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss παίρνοντας έναν άνω κλιμακωτό πίνακα U. Αν στον U υπάρχει γραμμή χωρίς οδηγό δηλ. μηδενική γραμμή τότε τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Έχουμε λοιπόν: 4 6 A 7 Εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss στον Α και παίρνουμε τελικά τον ισοδύναμο άνω κλιμακωτό πίνακα U:
4 6 U 0 0 0 0 0 Επειδή υπάρχει μηδενική γραμμή, τα v,v,v είναι γραμμικά εξαρτημένα Προσοχή: Το τέχνασμα με τη μηδενική γραμμή ισχύει μόνον αν αρχικά τα διανύσματα γραφούν ως γραμμές του Α (Εναλλακτικά κοιτάζουμε αν κάθε γραμμή έχει οδηγό). Αν τα διανύσματα γραφούν ως στήλες του Α, τότε εξετάζουμε μόνο αν κάθε στήλη περιέχει οδηγό ή όχι (δηλ. σε αυτή την περίπτωση μπορεί να προκύψουν μηδενικές γραμμές παρόλο που τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα). b) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Επειδή η διάσταση του χώρου είναι και εμείς έχουμε διανύσματα, αυτά είναι οπωσδήποτε γραμμικά εξαρτημένα. Αυτό φαίνεται και αν πάρουμε τον πίνακα: 4 A που περιέχει τα διανύσματα v,v,v ως γραμμές και τον φέρουμε στην άνω 4 κλιμακωτή μορφή: 4 U 0 5 0 0 Επειδή υπάρχει μηδενική γραμμή, τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. Επίσης στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε αν γράψουμε αρχικά τον πίνακα λαμβάνοντας τα διανύσματα v,v,v ως στήλες του: 4 A Με απαλοιφή Gauss παίρνουμε: U 4 0 5 6 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι μικρότερο από το πλήθος των στηλών, συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα. ) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R Τοποθετούμε τα διανύσματα σε ένα πίνακα ως γραμμές A 5 5 H απαλοιφή Gauss δίνει:
U 0 8 0 0 Επειδή δεν υπάρχουν μηδενικές γραμμές τα διανύσματα v,v,v είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Στο ίδιο συμπέρασμα, βέβαια, καταλήγουμε και όταν ο πίνακας Α δημιουργείται από τα v,v,v ως στήλες: 5 5 A Σε αυτή την περίπτωση η απαλοιφή Gauss δίνει: 5 5 U 0 8 0 0 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι ίσο με το πλήθος των στηλών συνεπάγεται ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα. d) Πρόκειται για διανύσματα διαφορετικών χώρων (R και R ) και επομένως δεν μπορούμε να τα συγκρίνουμε e) Πρόκειται για διανύσματα του χώρου R 4 Επειδή ανάμεσά τους υπάρχει το μηδενικό διάνυσμα, είναι γραμμικά εξαρτημένα. Παράδειγμα 8 Ελέγξτε αν τα ακόλουθα σύνολα πινάκων είναι γραμμικά ανεξάρτητα ή όχι α) A, 0 A, A 0 b) A 5, A, A 0 8 0 : a) Πρόκειται για στοιχεία του χώρου M ( R ) Ξεκινούμε από τη σχέση: A A A O, µε,, R Θα επιλύσουμε το ομογενές σύστημα που προκύπτει ως προς τις σταθερές,, Αν αυτό έχει μοναδική λύση (τη μηδενική) τότε οι δοσμένοι πίνακες είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Έχουμε
A A A O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ο πίνακας του συστήματος Α0 είναι ο 0 A με 0 (Παρατηρούμε ότι οι στήλες του πίνακα Α είναι τα στοιχεία των πινάκων A,A,A, επομένως θα μπορούσαμε να σχηματίσουμε απ ευθείας τον πίνακα Α χωρίς να σχηματίσουμε προηγουμένως το ομογενές σύστημα, αρκεί για όλους τους πίνακες να διατηρήσουμε την ίδια σειρά με την οποία γράφουμε τα στοιχεία τους π.χ. με προτεραιότητα γραμμής) Με απαλοιφή Gauss ο Α γίνεται τελικά: 0 6 U 0 0 0 0 0 Με κόκκινο χρώμα συμβολίζονται οι οδηγοί κάθε γραμμής. Επειδή κάθε στήλη έχει οδηγό και το σύστημα είναι ομογενές συνεπάγεται ότι υπάρχει μοναδική λύση (η μηδενική) Επομένως οι πίνακες A, A, Aείναι γραμμικά ανεξάρτητοι. b) Πρόκειται για στοιχεία του χώρου M ( R ) Εργαζόμαστε όπως και στο (a) υποερώτημα: A A A O 5 0 0 0 8 0 0 0 0 5 0 0 8 0 0 O πίνακας συντελεστών του συστήματος είναι ο
5 A 0 8 0 Με απαλοιφή Gauss δίνει τελικά: 0 7 7 U 0 0 0 0 0 0 Επειδή το πλήθος των οδηγών είναι μικρότερο από τον αριθμό των στηλών συνεπάγεται πως το ομογενές σύστημα έχει άπειρες λύσεις. Άρα το σύνολο των δοσμένων πινάκων είναι γραμμικά εξαρτημένο. Παράδειγμα 9 Δείξτε ότι οι συναρτήσεις f ( ), f ( ) e, f ( ) e είναι γραμμικά ανεξάρτητες Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της Βρονσκιανής. f( ) f( ) f( ) e e W( ) f'( ) f'( ) f'( ) 0 e e e 0 f''( ) f''( ) f''( ) 0 e 4e Επομένως οι δοσμένες συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες Παρατήρηση: Αν ήταν W()0 για κάθε, δεν θα μπορούσαμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα και θα έπρεπε να καταφύγουμε στον ορισμό της γραμμικής ανεξαρτησίας.