Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992
T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas............................................. 8 3. Vektorinės erdvės bazė....................................... 13 4. Poerdviai, poerdviu suma bei sankirta............................ 20 5. Tiesiniu lygčiu sistemos....................................... 25 6. Kvadratinės formos.......................................... 32 7. Euklido erdvė.............................................. 40 8. Tiesinės transformacijos...................................... 47 9. Žordano forma............................................. 57 10. Grupiu teorijos elementai..................................... 69 11. Idealai, faktoržiedžiai, algebriniai plėtiniai......................... 76 Literatūra................................................ 80 STANDARTINIAI ŽYMENYS N natūraliu aibė, Z sveiku žiedas, Q racionaliu kūnas, R n n-matė aritmetinė erdvė, K m n vienarūšiu m n-matricu erdvė virš kūno K, K kūno K multiplikacinė grupė, Z n n-osios eilės ciklinė grupė. 2
1. VEKTORINĖ ERDVĖ Apibrėžimas. Adicinė grupė V vadinama vektorine erdve virš kūno K, kai apibrėžta jos elementu daugybos iš kūno K elementu operacija, kuri turi tokias savybes: 1) asociatyvumo a (b α) = (a b) α ( a, b K, α V ); 2) distributyvumo grupės V elementu a (α + β) = a α + a β ( a K, α, β V ); 3) distributyvumo kūno K elementu (a + b) α = a α + b α ( a, b K, α V ); 4) kūno K vieneto e panaikinimo e α = α ( α V ). Vektorinės erdvės V elementus vadiname vektoriais ir žymime graikiškomis raidėmis, o kūno K elementus skaliarais ir žymime mažomis lotyniškomis raidėmis. Vektorinės erdvės sistema α 1, α 2,..., α m vadinama tiesiškai priklausoma, kai galima rasti tokius skaliarus c 1, c 2,..., c m, iš kuriu bent vienas nelygus 0, kad būtu teisinga lygybė c 1 α 1 + c 2 α 2 +... + c m α m = θ (θ nulinis vektorius). Jei pastara ja lygybe tenkina tik skaliarai c 1 = c 2 =... = c m = 0, tai sistema vadinama tiesiškai nepriklausoma. 1 teorema. Jei sistemos posistemis yra tiesiškai priklausomas, tai ir ta sistema yra tiesiškai priklausoma. Išvada. Jei sistema yra tiesiškai nepriklausoma, tai tiesiškai nepriklausomas ir bet kuris jos posistemis. Vektorinės erdvės vektorius α vadinamas tos erdvės α 1, α 2,..., α m tiesine kombinacija, kai galima rasti skaliarus a 1, a 2,..., a m, su kuriais yra teisinga lygybė α = a 1 α 1 + a 2 α 2 +... + a m α m. 2 teorema. Vektoriu sistema, sudaryta iš daugiau kaip vieno vektoriaus, yra tiesiškai priklausoma tada ir tik tada, kai bent viena jos galima užrašyti kitu tos sistemos tiesine kombinacija. 3
Vektoriu sistemos rangu vadinamas didžiausias jos tiesiškai nepriklausomu posistemiu skaičius. 3 teorema. Jei sistemos α 1, α 2,..., α r,..., α m rangas lygus r, o jos posistemis α 1, α 2,..., α r yra tiesiškai nepriklausomas, tai kiekviena sistemos galima užrašyti to posistemio tiesine kombinacija. 4 teorema. Prijungus prie sistemos jos tiesine kombinacija, gaunama to paties rango sistema. Vektoriu sistemos elementariaisiais pertvarkiais vadinami šie pertvarkiai: 1) bet kurio sistemos vektoriaus pakeitimas to vektoriaus ir nelygaus nuliui skaliaro sandauga; 2) sistemos vektoriaus pakeitimas suma to vektoriaus ir kito sistemos vektoriaus, padauginto iš bet kurio skaliaro. 5 teorema. Atlikus sistemos elementaru ji pertvarki, gaunama to paties rango sistema. PAVYZDŽIAI 1. Apibrėšime aritmetine vektorine erdve K n. Nagrinėjame sutvarkytus n kūno K elementu rinkinius α = (a 1, a 2,..., a n ). Dvie elementu sudėti apibrėšime pakomponenčiui: jei α = (a 1, a 2,..., a m ), β = (b 1, b 2,..., b n ), tai tu elementu suma laikome elementa α + β = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ). Apibrėžtos sudėties operacijos atžvilgiu sudarytoji aibė yra adicinė grupė. Iš tikru : 1) operacija asociatyvi jei γ = (c 1, c 2,..., c n ), tai (α + β) + γ = ( (a 1 + b 1 ) + c 1, (a 2 + b 2 ) + c 2,..., (a n + b n ) + c n ) = = ( a 1 + (b 1 + c 1 ), a 2 + (b 2 + c 2 ),..., a n + (b n + c n ) ) = α + (β + γ); 2) egzistuoja nulinis elementas θ = (0, 0,..., 0): α + θ = (a 1 + 0, a 2 + 0,..., a n + 0) = α; 3) kartu su kiekvienu elementu α = (a 1, a 2,..., a n ) aibei priklauso ir jam priešingas elementas α = ( a 1, a 2,..., a n ): 4) operacija komutatyvi α + ( α) = (a 1 a 1, a 2 a 2,..., a n a n ) = θ; α + β = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) = = (b 1 + a 1, b 2 + a 2,..., b n + a n ) = β + α. Elemento daugyba iš skaliaro apibrėžiame taip pat pakomponenčiui aα = (aa 1, aa 2,..., aa n ). 4
Daugybos operacija turi tokias savybes: 5) asociatyvumo a(bα) = ( a(ba 1 ), a(ba 2 ),..., a(ba n ) ) = = ( (ab)a 1, (ab)a 2,..., (ab)a n ) = (ab)α; 6) distributyvumo a(α + β) = ( a(a 1 + b 1 ), a(a 2 + b 2 ),..., a(a n + b n ) ) = = (aa 1 + ab 1, aa 2 + ab 2,..., aa n + ab n ) = aα + aβ; 7) distributyvumo skaliaru (a + b)α = ( (a + b)a 1, (a + b)a 2,..., (a + b)a n ) = 8) kūno K vieneto panaikinimo = (aa 1 + ba 1, aa 1 + aa 2,..., aa n + ba n ) = aα + bα; eα = (ea 1, ea 2,..., ea n ) = (a 1, a 2,..., a n ) = α. 2. Apskaičiuosime aritmetinės vektorinės erdvės R 3 sistemos α 1 = (1, 1, 2), α 2 = (2, 1, 1), α 3 = (0, 1, 5) ranga, pasinaudoje tik jo apibrėžimu. Sprendžiame lygti x 1 α 1 + x 2 α 2 + x 3 α 3 = θ. I raše α 1, α 2, α 3, θ išraiškas ir atlike veiksmus, gauname (x 1 + 2x 2, x 1 x 2 + x 3, 2x 1 x 2 5x 3 ) = (0, 0, 0). Ši lygtis yra ekvivalenti tri tiesiniu lygčiu su trim nežinomaisiais sistemai { x1 +2x 2 =0, x 1 x 2 + x 3 =0, 2x 1 x 2 5x 3 =0. Pastaroji sistema turi bent viena nenulini sprendini, pavyzdžiui, (2, 1, 1), todėl nagrinėjamoji sistema yra tiesiškai priklausoma ir jos rangas r 2. Nagrinėjame posistemius, sudarytus iš dvie. Sprendžiame lygti x 1 α 1 + x 2 α 2 = θ. Atlike veiksmus, gauname ekvivalenčia lygčiu sistema { x1 +2x 2 =0, x 1 x 2 =0, 2x 1 x 2 =0. Ši sistema turi tik nulini sprendini, todėl posistemis α 1, α 2 yra tiesiškai nepriklausomas ir sistemos rangas r = 2. 5
UŽDAVINIAI 1.1. Ar sudaro vektorine erdve : 1) n-osios eilės kvadratinės matricos su elementais iš kūno K matricu sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 2) aibė kūno K elementu virš jo paties tame kūne apibrėžtu operaci atžvilgiu; 3) aibė plėtinio L K elementu virš kūno K kūne L apibrėžtu operaci atžvilgiu; 4) n-osios eilės simetrinės matricos virš kūno K matricu sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 5) aibė visu n-ojo laipsnio virš kūno K sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 6) aibė visu virš kūno K, kuriu laipsniai ne didesni už natūralu ji n, sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 7) aibė visu virš kūno K sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 8) aibė visu tolydžiu kompleksiniu reikšmiu funkci virš kompleksiniu kūno funkci sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu; 9) aibė visu plokštumos laisvu, kuriu galai priklauso vienai tiesei, sudėties ir daugybos iš skaliaro atžvilgiu? 1.2. Ar galima apibrėžti vektorinės erdvės struktūra : 1) realiu aibėje R; 2) teigiamu realiu aibėje R + ; 3) racionaliu aibėje Q; 4) natūraliu aibėje N; 5) aibėje R[t] visu f(t), tenkinančiu sa lyga 6) Dekarto sandaugoje Q Q; 7) Dekarto sandaugoje Z Z? f(3) = 2f(2); 1.3. I rodykite, kad aritmetinės erdvės K 3 bet kuri keturiu sistema yra tiesiškai priklausoma. 1.4. Ar galima apibrėžti elementu tiesinės priklausomybės sa voka Abelio grupėje? 1.5. I rodykite, kad aritmetinės erdvės R 4 sistema α 1, α 2,..., α m yra tiesiškai nepriklausoma ir apskaičiuokite šiu tiesine kombinacija α: 1) α 1 = (2, 1, 0, 1), α 2 = (1, 2, 1, 3), α 3 = (3, 4, 1, 2), α = 2α 1 3α 2 + 4α 3 ; 2) α 1 = (4, 3, 2, 1), α 2 = (5, 1, 3, 2), α = α 1 + 5α 2 ; 3) α 1 = (1, 1, 1, 2), α 2 = (2, 1, 1, 1), α 3 = (4, 1, 2, 3), α 4 = ( 3, 3, 2, 3), α = α 1 2α 2 3α 3 + 4α 4 ; 4) α 1 = (1, 2, 3, 1), α 2 = ( 1, 2, 3, 1), α 3 = (2, 3, 1, 1), α 4 = (1, 1, 1, 3), α = 2α 1 + α 2 3α 3 + 2α 4. 6
1.6. Patikrinkite, ar aritmetinės erdvės R n sistema α 1, α 2,..., α m yra tiesiškai priklausoma: 1) α 1 = (3, 4, 2), α 2 = (2, 1, 3), α 3 = (7, 2, 4); 2) α 1 = (2, 1, 3), α 2 = (3, 2, 1), α 3 = (1, 2, 3); 3) α 1 = (1, 4, 2, 1), α 2 = ( 2, 8, 4, 2); 4) α 1 = (2, 3, 1, 1), α 2 = (2, 3, 0, 1). 1.7. Apskaičiuokite aritmetinės erdvės R 3 sistemos α 1, α 2, α 3 ranga, pasinaudoje tik jo apibrėžimu: 1) α 1 = (1, 1, 1), α 2 = (1, 2, 3), α 3 = ( 1, 1, 2); 2) α 1 = (1, 2, 1), α 2 = (2, 1, 3), α 3 = (4, 3, 5); 3) α 1 = (1, 1, 3), α 2 = (2, 1, 1), α 3 = (1, 2, 2); 4) α 1 = (1, 3, 1), α 2 = ( 2, 6, 2), α 3 = (3, 9, 3). 1.8. Apskaičiuokite, kuriu laipsniai ne didesni už 5, erdvės R 5 [t] sistemos ranga, pasinaudoje tik jo apibrėžimu: 1) 2, 2 + t, 3 + 2t + t 2 ; 2) 1 + t + t 2, 1 + t 2 + t 3, 1 + t + t 2 2t 3 ; 3) 1 + t, 2 + t t 2, 3 + 2t t 3, 1 t 3 ; 4) 1 + t + t 3, 1 + t 2 t 3, 2 + t + t 2, 1 + t 3. ATSAKYMAI 1.1. 1) Taip; 2) taip; 3) taip; 4) taip; 5) ne; 6) taip; 7) taip; 8) taip; 9) taip, jei tiesės yra koordinačiu ašys; ne kitais atvejais. 1.2. 1) Taip; 2) taip; 3) taip; 4) ne; 5) taip; 6) taip; 7) ne. 1.4. Taip. 1.5. 1) α = (13, 24, 7, 1); 2) α = (21, 8, 17, 9); 3) α = ( 27, 12, 5, 3); 4) α = ( 3, 5, 8, 2). 1.6. 1) Taip; 2) ne; 3) taip; 4) ne. 1.7. 1) r = 3; 2) r = 2; 3) r = 2; 4) r = 1. 1.8. 1) r = 3; 2) r = 2; 3) r = 3; 4) r = 3. 7