ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Έλεγχοι σταθερότητας των συντελεστών. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 8: Η τεχνική των ψευδομεταβλητών - Έλεγχοι σταθερότητας των συντελεστών Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1

Περιεχόμενο ενότητας 1. Διαχρονικές επιδράσεις 2. Εποχικές επιδράσεις 3. Αλληλεπίδραση ψευδομεταβλητών 4. Κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση 5. Συνδυασμός διαστρωματικών στοιχείων με στοιχεία χρονολογικών σειρών 6. Έλεγχοι σταθερότητας συντελεστών 2

Εισαγωγή Η συμπεριφορά των οικονομικών μεταβλητών πολλές φορές επηρεάζεται από ποιοτικούς παράγοντες, π.χ. το φύλο, την οικογενειακή κατάσταση, το επάγγελμα κτλ. Οι ποιοτικοί παράγοντες δεν είναι ποσοτικά μετρήσιμοι, αλλά μπορούν να απαριθμηθούν. Το πρόβλημα της εισαγωγής ποιοτικών μεταβλητών σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης λύνεται με την τεχνική των ψευδομεταβλητών (dummy variables) ή δυαδικών μεταβλητών (binary) ή διχοτομικών μεταβλητών (dichotomous). 3

Οι ψευδομεταβλητές είναι τεχνητές μεταβλητές που παίρνουν συνήθως τιμές 0 και 1. Π.χ. ο παράγοντας φύλο, μπορεί να παρασταθεί με μια ψευδομεταβλητή που παίρνει αυθαίρετα την τιμή 1 αν το άτομο είναι άνδρας και την τιμή 0 αν είναι γυναίκα. Οι ψευδομεταβλητές μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για ποσοτικές μεταβλητές, π.χ. για την μεταβλητή ηλικία, όταν μας ενδιαφέρει να χωρίσουμε τα δεδομένα σε ένα συγκεκριμένο πλήθος ηλικιακών ομάδων. Σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης, και η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να παριστάνεται με ψευδομεταβλητή. 4

1. Διαχρονικές επιδράσεις Μια από τις πιο συνηθισμένες εφαρμογές των ψευδομεταβλητών αναφέρεται στην ανάλυση των διαχρονικών επιδράσεων (temporal effects), που έχουν ως συνέπεια την μετατόπιση των διάφορων οικονομικών συναρτήσεων. π.χ. Η εκτίμηση της καταναλώσεως για ένα διάστημα που περιλαμβάνει περιόδους ειρήνης και πολέμου. Οι ειδικές συνθήκες που χαρακτηρίζουν την οικονομία σε περίοδο πολέμου οπωσδήποτε έχουν επιπτώσεις στη συμπεριφορά των δαπανών κατανάλωσης. Κατά συνέπεια, για την εκτίμηση της συνάρτησης κατανάλωσης, πρέπει να ληφθεί υπόψιν αν η περίοδος είναι ειρηνική ή πολεμική. 5

Μια λύση στο παραπάνω πρόβλημα είναι να εκτιμήσουμε δύο συναρτήσεις καταναλώσεως, δηλαδή μια κάθε περίοδο: C t = β 0 + β 1 Χ t + u t C t = β 0 + β 1 Χ t + u t περίοδος ειρήνης περίοδος πολέμου Η μεταβολή της συνάρτησης κατανάλωσης από την μια περίοδο στην άλλη μπορεί να αναφέρεται μόνο στον σταθερό όρο ή μόνο στην κλίση ή και στους δύο συντελεστές. Θα εξετάσουμε ξεχωριστά την κάθε περίπτωση. 6

Περίπτωση Α. Έστω ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση είναι ίδια στις δύο περιόδους, δηλαδή β 1 = β 1, αλλά β 0 β 0. Οπότε οι δύο συναρτήσεις διαφέρουν μόνο κατά τον σταθερό όρο: C t = β 0 + β 1 Χ t + u t περίοδος ειρήνης C t = β 0 + β 1 Χ t + u t περίοδος πολέμου Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να εκτιμήσουμε μόνο μια συνάρτηση, εισάγοντας την ψευδομεταβλητή D t ως εξής: όπου D t = 0 για τα έτη ειρήνης και D t = 1 για τα έτη πολέμου C t = β 0 + γd t + β 1 Χ t + u t 7

C t = β 0 + γd t + β 1 Χ t + u t Για τα έτη ειρήνης D t = 0 άρα C t = β 0 + β 1 Χ t + u t Για τα έτη πολέμου D t = 1 άρα C t = (β 0 + γ) + β 1 Χ t + u t Επομένως β 0 + γ = β 0 γ = β 0 β 0 Ο συντελεστής γ της μεταβλητής D t παριστάνει τη διαφορά ανάμεσα στον σταθερό όρο των δύο περιόδων. C t Ε(C t ) = β 0 + β 1 Χ t περίοδος ειρήνης Ε(C t ) = (β 0 +γ) + β 1 Χ t περίοδος πολέμου γ { Χ t 8

Μπορούμε να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα αυτό με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι η συνάρτηση καταναλώσεως μετατοπίζεται τη περίοδο του πολέμου, ελέγχουμε την μηδενική υπόθεση Η 0 : γ = 0, με εναλλακτική υπόθεση Η 1 : γ 0 Δηλαδή ελέγχουμε αν ο συντελεστής γ είναι στατιστικά σημαντικός στο υπόδειγμα που εκτιμούμε. Αν απορρίψουμε την Η 0, τότε δεχόμαστε ότι ο σταθερός όρος έχει επηρεαστεί από τις συνθήκες που επικρατούν κατά την διάρκεια του πολέμου, πράγμα που σημαίνει παράλληλη μετατόπιση της συνάρτησης κατανάλωσης. 9

Παράδειγμα. Κατάταξη των παρατηρήσεων για το υπόδειγμα κατανάλωσης. C t Χ t D t C 1 Χ 1 0 C 2 Χ 2 0 C 3 Χ 3 0 C 4 Χ 4 1 C 5 Χ 5 1 C 6 Χ 6 0 C 7 Χ 7 1 10

Περίπτωση Β. Έστω ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση διαφέρει στις δύο περιόδους β 1 β 1, αλλά είναι ίδιος ο σταθερός όρος β 0 = β 0. Οπότε οι δύο συναρτήσεις θα είναι: C t = β 0 + β 1 Χ t + u t περίοδος ειρήνης C t = β 0 + β 1 Χ t + u t περίοδος πολέμου Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να εκτιμήσουμε μόνο μια συνάρτηση, εισάγοντας την ψευδομεταβλητή D t Χ t ως εξής: C t = β 0 + δd t Χ t + β 1 Χ t + u t Η μεταβλητή DΧ είναι το γινόμενο της ψευδομεταβλητής D επί την ερμηνευτική μεταβλητή Χ και ονομάζεται πολλαπλασιαστική ψευδομεταβλητή. 11

C t = β 0 + δd t Χ t + β 1 Χ t + u t όπου D t = 0 άρα D t Χ t = 0 Περίοδος ειρήνης D t = 1 άρα D t Χ t = 1 Περίοδος πολέμου οπότε C t = β 0 + β 1 Χ t + u t Περίοδος ειρήνης C t = β 0 + (β 1 + δ)χ t + u t Περίοδος πολέμου Επομένως β 1 + δ = β 1 δ = β 1 β 1 Ο συντελεστής δ της μεταβλητής D t Χ t παριστάνει τη διαφορά στην οριακή ροπή για κατανάλωση ανάμεσα στις δύο περιόδους. Μπορούμε να εκτιμήσουμε το υπόδειγμα αυτό με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 12

C t Ε(C t ) = β 0 + β 1 Χ t Ε(C t ) = β 0 + (β 1 + δ)χ t περίοδος ειρήνης περίοδος πολέμου β 0 Χ t 13

Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση δεν επηρεάζεται από τις συνθήκες που επικρατούν στην περίοδο πολέμου, ελέγχουμε την υπόθεση: Η 0 : δ = 0 Η 1 : δ 0 Δηλαδή ελέγχουμε αν ο συντελεστής του δ είναι στατιστικά σημαντικός στο υπόδειγμα που εκτιμούμε. Αν ο συντελεστής του δ είναι στατιστικά σημαντικός, τότε απορρίπτουμε την Η 0 και δεχόμαστε ότι η οριακή ροπή για κατανάλωση έχει μεταβληθεί. 14

Περίπτωση Γ. Έστω ότι ο σταθερός όρος και η κλίση του υποδείγματος διαφέρουν κατά τις δύο περιόδους. Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγμα κατανάλωσης ορίζεται ως εξής: C t = β 0 + β 1 Χ t + γd t + δd t Χ t + u t όπου D t = 0 για την περίοδο ειρήνης D t = 1 για την περίοδο πολέμου Οπότε C t = β 0 + β 1 Χ t + u t C t = (β 0 + γ) + (β 1 + δ)χ t + u t περίοδος ειρήνης περίοδος πολέμου Είναι β 0 + γ = β 0 και β 1 + δ = β 1 15

C t Ε(C t ) = β 0 + β 1 Χ t περίοδος ειρήνης Ε(C t ) = (β 0 +γ) + (β 1 + δ)χ t περίοδος πολέμου γ { Χ t 16

Άσκηση 1. Θέλουμε να εξετάσουμε την συμπεριφορά της ιδιωτικής καταναλώσεως ως συνάρτηση του ακαθάριστου διαθέσιμου εισοδήματος για την Ελληνική οικονομία κατά την περίοδο 1960-1994. (Τα δεδομένα περιλαμβάνονται στο αρχείο Lecture8_exercise1.xlsx) α) Το υπόδειγμα καταναλώσεως χωρίς την χρήση ψευδομεταβλητών και χωρίς την θεώρηση ότι υπάρχουν διαφορετικές περίοδοι όπου διαφοροποιείται η καταναλωτική συμπεριφορά: Υ t = 17260, 4 + 0, 764X t (R 2 = 0, 995) Για να εξετάσουμε αν διαφοροποιείται η καταναλωτική συμπεριφορά μετά το 1974, θα χρησιμοποιήσουμε την τεχνική των ψευδομεταβλητών. 17

β) Ελέγχουμε αν ο σταθερός όρος μεταβλήθηκε. Υποθέτουμε ότι η κλίση β 1 παραμένει σταθερή αλλά ο σταθερός όρος β 0 μεταβλήθηκε. Το υπόδειγμα καταναλώσεως που εκτιμάμε είναι: Υ t = 17204, 8 + 0, 765X t 97, 6D t όπου D t = 0 για t = 1960,, 1974 και D t = 1 για t = 1975,, 1994 Ο συντελεστής γ της ψευδομεταβλητής D t δεν είναι στατιστικά σημαντικός, άρα η συνάρτηση καταναλώσεως δεν μετατοπίστηκε από την μια περίοδο στην άλλη. 18

γ) Ελέγχουμε αν η οριακή ροπή για κατανάλωση μεταβλήθηκε. Υποθέτουμε ότι η κλίση β 1 μεταβλήθηκε ενώ παραμένει σταθερός ο σταθερός όρος β 0. Το υπόδειγμα καταναλώσεως που εκτιμάμε είναι: Υ t = 21682, 5 + 0, 740X t 0, 016D t Χ t όπου D t = 0 για t = 1960,, 1974 και D t = 1 για t = 1975,, 1994 Ο συντελεστής δ της ψευδομεταβλητής D t Χ t δεν είναι στατιστικά σημαντικός, άρα η οριακή ροπή για κατανάλωση παρέμεινε σταθερή από την μία περίοδο στην άλλη. 19

2. Εποχικές επιδράσεις Όταν έχουμε παρατηρήσεις για χρονικές περιόδους μικρότερες του έτους, π.χ. τρίμηνο, τετράμηνο, εξάμηνο κ.τ.λ., τότε μπορεί στα δεδομένα μας να περιέχονται εποχικές επιδράσεις. Η επίδραση των εποχικών παραγόντων στη διαμόρφωση των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής μπορεί να ληφθεί υπόψιν με ψευδομεταβλητές. Περίπτωση Α. Έστω Υ η εξαρτημένη μεταβλητή, Χ η ερμηνευτική μεταβλητή και οι παρατηρήσεις αναφέρονται σε τρίμηνα. Αν υποθέσουμε ότι οι εποχικοί παράγοντες επηρεάζουν μόνο τον σταθερό όρο, το υπόδειγμα μπορεί να γραφεί: όπου Υ t = β 0 + γ 2 D t2 + γ 3 D t3 + γ 4 D t4 + β 1 Χ t + u t 20

D t2 = 1 αν το t αναφέρεται στο 2ο τρίμηνο, αλλιώς D t2 = 0 D t3 = 1 αν το t αναφέρεται στο 3ο τρίμηνο, αλλιώς D t3 = 0 D t4 = 1 αν το t αναφέρεται στο 4ο τρίμηνο, αλλιώς D t4 = 0 Δηλαδή ορίζουμε τρείς ψευδομεταβλητές, μια για κάθε τρίμηνο. Οπότε Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t Υ t = (β 0 +γ 2 ) + β 1 Χ t + u t Υ t = (β 0 +γ 3 ) + β 1 Χ t + u t Υ t = (β 0 +γ 4 ) + β 1 Χ t + u t για το 1 ο τρίμηνο για το 2 ο τρίμηνο για το 3 ο τρίμηνο για το 4 ο τρίμηνο Παρατήρηση: Δεν ορίζουμε τέσσερις ψευδομεταβλητές, γιατί μετά το υπόδειγμά μας δεν θα μπορούσε να εκτιμηθεί, επειδή θα υπήρχε μια τέλεια γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών (παγίδα των ψευδομεταβλητών). 21

Γενικά, όταν ο παράγοντας ή το χαρακτηριστικό αναφέρεται σε m εποχές, ομάδες ή δυνατότητες, για να είναι δυνατή η εκτίμηση του υποδείγματος στο οποίο υπάρχει σταθερός όρος, ορίζουμε m 1 ψευδομεταβλητές. Μόνο αν δεν υπάρχει σταθερός όρος στο υπόδειγμα, τότε ορίζουμε m ψευδομεταβλητές. Ο σταθερός όρος του 1ο τριμήνου είναι β 0, ενώ οι συντελεστές γ 2, γ 3, γ 4 των ψευδομεταβλητών αντιστοιχούν στη διαφορά ανάμεσα στο σταθερό όρο του 1ου τριμήνου και στο σταθερό όρο των υπολοίπων τριμήνων, αντίστοιχα. Δηλαδή, οι συντελεστές γ 2, γ 3,γ 4 των ψευδομεταβλητών εκφράζουν την παράλληλη μετατόπιση της συνάρτησης σχετικά με το 1 ο τρίμηνο, το οποίο θεωρούμε ως βάση σύγκρισης. 22

Για τον έλεγχο του εποχικού παράγοντα ελέγχουμε την υπόθεση Η 0 : γ 2 = γ 3 = γ 4 = 0 με το κριτήριο F, δηλαδή ελέγχουμε αν είναι στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές γ 2, γ 3, γ 4 στο υπόδειγμα. Αν θέλουμε Περίπτωση Β. Έστω ότι η κλίση διαφέρει στις περιόδους, αλλά είναι ίδιος ο σταθερός όρος. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε το υπόδειγμα όπως στην περίπτωση των διαχρονικών επιδράσεων, δηλαδή εισάγοντας την ψευδομεταβλητή D t Χ t. 23

3. Αλληλεπίδραση ψευδομεταβλητών Οι επιδράσεις που ασκούν στην εξαρτημένη μεταβλητή οι ποιοτικές μεταβλητές, οι οποίες παριστάνονται με ψευδομεταβλητές, μπορεί να μην είναι μόνο προσθετικές αλλά μπορεί να αλληλοσυνδέονται, οπότε υπεισέρχονται στο υπόδειγμα και πολλαπλασιαστικά. Παράδειγμα Έστω Υ i η μηναία αμοιβή του i εργαζόμενου, X i η επαγγελματική εμπειρία του i εργαζόμενου (σε χρόνια) ενώ θέλουμε να εξετάσουμε την επίδραση του φύλου και της γνώσης ξένων γλωσσών στην μηνιαία αμοιβή των εργαζόμενων. Περίπτωση Α. Η επίδραση που ασκεί το φύλο στην αμοιβή του εργαζόμενου είναι σταθερή ως προς τη γνώση ξένων γλωσσών και η επίδραση της γνώσης ξένων γλωσσών είναι σταθερή ως προς το φύλο: Υ i = β 0 + β 1 X i + γ 1 D 1i + γ 2 D 2i + u i 24

Με βάση αυτό το υπόδειγμα, αν η αμοιβή ενός άντρα είναι υψηλότερη από μιας γυναίκας, αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν γνωρίζει ξένες γλώσσες ή όχι. Αν η αμοιβή ενός εργαζόμενου είναι ψηλότερη από για κάποιον που ξέρει ξένες γλώσσες, αυτό ισχύει είτε είναι άντρας είτε γυναίκα. Περίπτωση Β. Στην πραγματικότητα όμως, μπορεί η αμοιβή για έναν άνδρα που γνωρίζει ξένες γλώσσες να είναι ψηλότερη από είναι για μια γυναίκα. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν επιπτώσεις αλληλεπιδράσεως (interaction effects). Το υπόδειγμα έχει τη μορφή: Υ i = β 0 + β 1 X i + γ 1 D 1i + γ 2 D 2i + γ 3 D 1i D 2i + u i Ο συντελεστής γ 3 μετράει την αλληλεπίδραση των παραγόντων φύλο και ξένες γλώσσες. 25

Με βάση το υπόδειγμα: Υ i = β 0 + β 1 X i + γ 1 D 1i + γ 2 D 2i + γ 3 D 1i D 2i + u i Η μέση αμοιβή ενός άνδρα που ξέρει ξένες γλώσσες είναι ΕΥ i = (β 0 +γ 1 + γ 2 + γ 3 ) + β 1 X i ενώ η μέση αμοιβή μιας γυναίκας που δεν ξέρει ξένες γλώσσες είναι ΕΥ i = β 0 + β 1 X i Ο έλεγχος σημαντικότητας του συντελεστή γ 3 γίνεται όπως και για τους υπόλοιπους συντελεστές, με τη στατιστική t. Αν είναι στατιστικά σημαντικός τότε η σωστή εξειδίκευση του υποδείγματος είναι αυτή που λαμβάνει υπόψιν επιπτώσεις αλληλεπιδράσεως. 26

Άσκηση 2. Θεωρούμε τα υποθετικά δεδομένα για τις αμοιβές (Υ) και τα χρόνια επαγγελματικής εμπειρίας (Χ) για 18 εργαζόμενους.d 1 και D 2 είναι οι ψευδομεταβλητές που αναφέρονται στο φύλο (άνδρας= 1, γυναίκα = 0) και την γνώση ξένων γλωσσών (γνώση= 1, μη γνώση= 0), αντίστοιχα. (Τα δεδομένα περιλαμβάνονται στο αρχείο Lecture8_exercise2.xlsx) α) Το υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι: Υ i = 0, 833 + 2, 443X i + 4, 798D 1i + 0, 303D 2i (R 2 = 0, 89) Στην παραπάνω παλινδρόμηση, ο συντελεστή της D 2i δεν είναι στατιστικά σημαντικός, πράγμα που σημαίνει ότι η γνώση ξένης γλώσσας δεν διαφοροποιεί τις αμοιβές. β) Θέλουμε να εξετάσουμε τώρα αν υπάρχουν επιπτώσεις αλληλεπιδράσεως. 27

Το υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι: Υ i = 2, 747 + 2, 365X i + 1, 666D 1i 1, 937D 2i + 4, 817D 1i D 2i (R 2 = 0, 922) Στην παραπάνω παλινδρόμηση, ο συντελεστή της D 1i D 2i δεν είναι στατιστικά σημαντικός. Επομένως, το υπόδειγμα που περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα του παραδείγματος είναι αυτό που περιλαμβάνει μόνο της ψευδομεταβλητή D 1i : Υ i = 0, 912 + 2, 407X i + 4, 7746D 1i (R 2 = 0, 89) Στο υπόδειγμα αυτό, όλοι οι συντελεστές, εκτός του σταθερού όρου, είναι στατιστικά σημαντικοί. 28

4. Κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση Πολλές φορές η συναρτησιακή σχέση που συνδέει δύο οικονομικές μεταβλητές μπορεί να είναι γραμμική, αλλά να αλλάζει η κλίση μετά από μια συγκεκριμένη τιμή της ερμηνευτικής μεταβλητής. Π.χ. Οι αμοιβές (Υ) ενός καρδιοχειρούργου μπορεί να αυξάνονται με ένα ρυθμό μέχρι ενός δεδομένου αριθμού επεμβάσεων (Χ), ενώ πέραν μπορούν να αυξάνουν με υψηλότερο ρυθμό. Σε αυτήν την περίπτωση, η γραμμική παλινδρόμηση ανάμεσα στις αμοιβές και τον αριθμό των επεμβάσεων θα αποτελείται από δύο τμήματα, για αυτό και ονομάζεται κατά τμήματα γραμμική παλινδρόμηση. Το υπόδειγμα αυτό μπορεί να γραφεί με την βοήθεια των ψευδομεταβλητών ως εξής: 29

όπου Υ i = β 0 + β 1 X i + β 2 (Χ i Χ ) D i + u i Χ : η συγκεκριμένη τιμή της Χ που επέρχεται η μεταβολή D = 1: αν Χ i > Χ D = 0: αν Χ i < Χ Επομένως: για D = 0: Υ i = β 0 + β 1 X i + u i για D = 1: Υ i = (β 0 β 2 Χ ) + (β 1 + β 2 ) Χ i + u i 30

Ο συντελεστής β 1 είναι η κλίση του πρώτου τμήματος, ενώ η κλίση του δεύτερου τμήματος είναι β 1 + β 2. Η μεταβολή ή το σπάσιμο (break) της παλινδρομήσεως που επέρχεται στην τιμή Χ θα είναι σημαντική αν ο συντελεστής β 2 είναι σημαντικός. Η στατιστική του σημαντικότητα κρίνεται κατά τα γνωστά με την στατιστική t. Υ i Υ i = (β 0 β 2 Χ ) + (β 1 + β 2 ) Χ i + u i β 0 Υi = β0 + β1xi + ui Χ i 31

Άσκηση 3. Θεωρούμε τα 10 υποθετικά δεδομένα για τον αριθμό των εβδομαδιαίων χειρουργικών επεμβάσεων (Χ) και τις αντίστοιχες αμοιβές των συμμετεχόντων χειρούργων (Υ). Να εξετάσετε αν επέρχεται μεταβολή της γραμμικής παλινδρόμησης για Χ = 9. Χ Υ 5 1 6 1,3 7 1,7 8 2 9 2,7 10 3,6 11 4,9 12 6,2 13 7,6 14 8,9 32

α) Το απλό γραμμικό υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι: Υ i = 4, 49 + 0, 893X i (R 2 = 0, 938) 33

β) Θέλουμε να εξετάσουμε τώρα αν επέρχεται μεταβολή της γραμμικής παλινδρόμησης για Χ = 9. Η παλινδρόμηση που προκύπτει είναι η ακόλουθη: Υ i = 0, 911 + 0, 373X i + 0, 902(Χ i 9) D i + u i (R 2 = 0, 998) όπου D i = 0 για Χ 9 D i = 1 για Χ > 9 Ο συντελεστής β 2 είναι στατιστικά σημαντικός άρα υπάρχει σημαντική μεταβολή πέραν των 9 επεμβάσεων. 34

5. Συνδυασμός διαστρωματικών στοιχείων με στοιχεία χρονολογικών σειρών (panel data) Η τεχνική των ψευδομεταβλητών που εξετάσαμε στην περίπτωση των διαχρονικών και εποχικών επιδράσεων είναι ίδια και για την ανάλυση των μεταβολών μιας οικονομικής συνάρτησης από την μια περιοχή ή περιφέρεια της χώρας στην άλλη, ή γενικώς από την μια διαστρωματική ομάδα στην άλλη. Μια ειδική περίπτωση των ψευδομεταβλητών αναφέρεται σε οικονομικές σχέσεις για την εκτίμηση των οποίων συνδυάζονται στοιχεία χρονολογικών σειρών με διαστρωματικές παρατηρήσεις. Π.χ. Συνάρτηση παραγωγής ενός κλάδου που αποτελείται από Ν επιχειρήσεις και για κάθε επιχείρηση έχουμε παρατηρήσεις για Τ περιόδους. 35

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε Ν διαστρωματικές μονάδες και για κάθε μονάδα Τ παρατηρήσεις, οπότε έχουμε το παρακάτω υπόδειγμα παλινδρόμησης (υπόδειγμα συνδιακυμάνσεως): Υ it = β 0 + β 1 X it,1 + β 2 X it,2 + + β K X it,k + u it ή Υ it = β 0 + K j=1 β j X it,j + u it όπου Υ it : η t παρατήρηση της εξαρτημένης μεταβλητής στην μονάδα i Χ it,j : η t παρατήρηση της ερμηνευτικής μεταβλητής Χ j στην μονάδα i u it : ο διαταρακτικός όρος της t παρατήρησης στην μονάδα i και i = 1, Ν μονάδες t = 1,, T παρατηρήσεις για κάθε μονάδα j = 1,, K ερμηνευτικές μεταβλητές 36

Περίπτωση Α. Έστω ότι ο σταθερός όρος διαφέρει από μονάδα σε μονάδα, δηλ. έχουμε μετατόπιση της συνάρτησης. Τότε το υπόδειγμα γράφεται ως εξής: ή όπου Υ it = β 0 + γ 2 D 2t + γ 3 D 3t + γ N D Nt + β 1 X it,1 + + β K X it,k + u it Υ it = β 0 + N i=2 γ i D it + K j=1 β j X it,j + u it D 2t = 1 αν η t παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα 2, αλλιώς = 0 D Νt = 1 αν η t παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα Ν, αλλιώς = 0 Επομένως: Μονάδα 1:Υ 1t = β 0 + β 1 X 1t,1 + + β K X 1t,K + u 1t Μονάδα 2:Υ 2t = (β 0 +γ 2 ) + β 1 X 2t,1 + + β K X 2t,K + u 2t κτλ 37

Περίπτωση Β. Έστω ότι ο σταθερός όρος και η κλίση διαφέρουν από μονάδα σε μονάδα. Το υπόδειγμα που θεωρούμε είναι: N K N K Υ it = β 0 + γ i D it + β j X it,j + δ ij (D it X it,j ) + u it όπου i=2 j=1 D 2t = 1 αν η t παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα 2, αλλιώς = 0 D Νt = 1 αν η t παρατήρηση προέρχεται από την μονάδα Ν, αλλιώς = 0 i=2 j=1 38

Άσκηση 4. Δίνονται οι ετήσιες παρατηρήσεις για την περίοδο 1970-1974 για την ιδιωτική κατανάλωση (Υ) και το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν (Χ) για την Δ. Γερμανία, τη Γαλλία και τη Μ. Βρετανία. Έτος ιδιωτική κατανάλωση Υ ακαθάριστο εγχώριο προϊόν Χ Δ. Γερμανία Γαλλία Μ. Βρετανία Δ. Γερμανία Γαλλία Μ. Βρετανία 1970 101,2 85,2 74,7 188,4 141,6 120,9 1971 106,8 90,2 76,9 193,9 149,3 123,9 1972 111,2 95,6 81,5 200,4 157,8 127,1 1973 114,3 100,9 85,4 210,5 166,5 134,1 1974 114,5 105,1 84,9 211,8 173,0 135,1 39

Γράφω τα δεδομένα στην παρακάτω μορφή, ώστε να τα καταχωρίσω στο Eviews: Έτος Χώρα Υ Χ 1970 Δ. Γερμανία 101,2 188,4 1971 Δ. Γερμανία 106,8 193,9 1972 Δ. Γερμανία 111,2 200,4 1973 Δ. Γερμανία 114,3 210,5 1974 Δ. Γερμανία 114,5 211,8 1970 Γαλλία 85,2 141,6 1971 Γαλλία 90,2 149,3 1972 Γαλλία 95,6 157,8 1973 Γαλλία 100,9 166,5 1974 Γαλλία 105,1 173,0 1970 Μ. Βρετανία 74,7 120,9 1971 Μ. Βρετανία 76,9 123,9 1972 Μ. Βρετανία 81,5 127,1 1973 Μ. Βρετανία 85,4 134,1 1974 Μ. Βρετανία 84,9 135,1 40

Καταχώριση δεδομένων στο Eviews: File New Workfile 41

Δημιουργούνται αυτόματα οι μεταβλητές crossid και dateid ενώ δημιουργούμε και καταχωρούμε τις μεταβλητές Χ και Υ κατά τον γνωστό τρόπο: File New Workfile 42

Οι μεταβλητές Χ και Υ εμφανίζονται ως εξής: 43

α) Το απλό γραμμικό υπόδειγμα που εκτιμάμε είναι: Υ it = 28, 6 + 0, 41X it (R 2 = 0, 960, SSE K = 102, 5) (K = 1 ερμηνευτική μεταβλητή) 44

β) Οι τρεις διαφορετικές παλινδρομήσεις, δηλαδή οι παλινδρομήσεις ξεχωριστά για κάθε χώρα, είναι: Υ 1t = 2, 28 + 0, 53X 1t (R 2 = 0, 934, SSE 1 = 8, 35) Υ 2t = 4, 08 + 0, 63X 2t (R 2 = 0, 999, SSE 2 = 0, 03) Υ 3t = 15 + 0, 74X 3t (R 2 = 0, 953, SSE 3 = 4, 26) Οπότε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων από τις τρεις παλινδρομήσεις είναι: SSE N = SSE 1 + SSE 2 + SSE 3 = 12, 64 (N = 3 χώρες) 45

γ) Το υπόδειγμα συνδιακυμάνσεως που περιλαμβάνει ψευδομεταβλητές είναι: Υ it = 13, 5 + 12, 35D 2 + 15, 65D 3 + 0, 61X it (R 2 = 0, 992, SSE Κ+m 1 ) (m 1 ψευδομεταβλητές, Τ παρατηρήσεις για κάθε μια από τις N = 3 χώρες) 46

Πηγή μεταβλητότητας Ανάλυση της διακύμανσης Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων β.ε. Χ SSE K Ν Τ Κ 1 Χ, D 2, D 3 SSE K m+1 Ν Τ Κ Ν Οι τρεις διαφορετικές παλινδρομήσεις SSE m Ν (Τ Κ 1) Διαφορά όταν οι σταθεροί όροι είναι διαφορετικοί SSE K SSE K m+1 Ν 1 Διαφορά όταν οι κλίσεις Κ (Ν 1) είναι διαφορετικές SSE K m+1 SSE m Διαφορά όταν όλοι οι συντελεστές διαφέρουν SSE K SSE m (Κ + 1)(Ν 1) 47

Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων β.ε. Χ 102, 5 13 Χ, D 2, D 3 18, 22 11 Οι τρεις διαφορετικές παλινδρομήσεις 12, 64 9 Διαφορά όταν οι σταθεροί όροι είναι διαφορετικοί Διαφορά όταν οι κλίσεις είναι διαφορετικές Διαφορά όταν όλοι οι συντελεστές διαφέρουν 84, 28 5, 58 89, 86 2 2 4 84,28/2 18,22/11 = 25, 44 > 3, 98 = F 2,11,0.05 H H 0 απορρίπτεται 5, 58/2 12, 64/9 = 1, 99 < 4, 26 = F 2,9,0.05 H H 0 γίνεται δεκτή 89, 86/4 12, 64/9 = 16 > 3, 63 = F 4,9,0.05 H H 0 απορρίπτεται F Η 0 : οι σταθεροί όροι είναι ίσοι Η 0 : οι κλίσεις είναι ίσες Η 0 : όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι 48

6. Έλεγχοι σταθερότητας συντελεστών Η σταθερότητα των συντελεστών ενός εκτιμημένου υποδείγματος είναι μια από τις πλέον επιθυμητές ιδιότητες του. Δηλαδή, οι συντελεστές του υποδείγματος δεν μεταβάλλονται διαχρονικά και συνεπώς αναμένουμε ικανοποιητικές προβλέψεις. Ο έλεγχος σταθερότητας των συντελεστών ενός οικονομετρικού υποδείγματος ή ο έλεγχος διαρθρωτικών μεταβολών (structural breaks) εξαρτάται από το αν είναι γνωστό εκ των προτέρων, ή όχι, το χρονικό σημείο που υποτίθεται ότι έχει επέλθει η διαρθρωτική μεταβολή. Άρα υπάρχουν δύο βασικές περιπτώσεις: Α. Γνωστό το σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής Β. Το χρονικό σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής δεν είναι γνωστό 49

Α. Γνωστό το σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής Έλεγχος Chow Έστω το υπόδειγμα: Υ t = β 0 + β 1 Χ t1 + β 2 Χ t2 + β K X tk + u t (1) και έστω Τ Β το χρονικό σημείο που υποθέτουμε ότι έχει επέλθει η διαρθρωτική μεταβολή, οπότε η χρονική περίοδος του δείγματος χωρίζεται σε δύο υποπεριόδους με έστω Τ 1 και Τ 2 παρατηρήσεις αντίστοιχα. Ορίζουμε την δυαδική μεταβλητή D t : D t = { 0 για t Τ Β, Τ 1 παρατηρήσεις 1 για t > Τ Β, Τ 2 παρατηρήσεις 50

Για τον έλεγχο της Η 0 ότι δεν έχει επέλθει διαρθρωτική μεταβολή, το γραμμικό υπόδειγμα διατυπώνεται ως εξής: Υ t = β 0 + K j=1 β j X tj + γ 0 D t + K j=1 δ j D t X tj + u t (2) Δηλαδή με βάση το παραπάνω υπόδειγμα ελέγχουμε την Η 0 : γ 0 = δ 1 =.. = δ Κ = 0. Ο έλεγχος γίνεται με την κατανομή F: F = (SSE Τ SSE U )/(K + 1) SSE U /(T 2K 2) όπου SSE Τ : άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων του υποδείγματος (1) και SSE U : άθροισμα τετραγώνων καταλοίπων του υποδείγματος (2) και SSE U = SSE T1 + SSE T2 51

Μεθοδολογία ελέγχου της Η 0 : γ 0 = δ 1 =.. = δ Κ = 0 Υπολογίζουμε το SSE Τ από το υπόδειγμα (1) με T παρατηρήσεις. Υπολογίζουμε το SSE T1 από το υπόδειγμα (2) για D t = 0 με Τ 1 παρατηρήσεις. Υπολογίζουμε το SSE T2 από το υπόδειγμα (2) για D t = 1 με Τ 2 παρατηρήσεις. Είναι: SSE U = SSE T1 + SSE T2 Οπότε εκτιμάμε το F = (SSE Τ SSE U )/(K+1) SSE U /(T 2K 2) Η Η 0 απορρίπτεται αν F > F K+1,T 2K 2,a 52

Άσκηση 5. Εφαρμόστε τον έλεγχο Chow στα δεδομένα της Άσκησης 1 (Τ Β = 1973). Απλό γραμμικό υπόδειγμα με T = 35 παρατηρήσεις: Υ t = 17260, 4 + 0, 764X t (R 2 = 0, 995, SSE Τ = 1, 66 10 9 ) Γραμμικό υπόδειγμα με T 1 = 14 παρατηρήσεις (1960-1973): Υ t = 29778 + 0, 702X t (R 2 = 0, 99, SSE T1 = 2, 37 10 8 ) Γραμμικό υπόδειγμα με T 2 = 11 παρατηρήσεις (1974-1994): Υ t = 4719 + 0, 815X t (R 2 = 0, 98, SSE T2 = 1, 01 10 9 ) SSE U = SSE T1 + SSE T2 = 2, 37 10 8 + 1, 01 10 9 = 12, 47 10 8 Οπότε F = (SSE Τ SSE U )/(K+1) = 5, 25 SSE U /(T 2K 2) F = 5, 25 > 3, 32 = F K+1,T 2K 2,a η Η 0 απορρίπτεται 53

Επίλυση με το Eviews. Απλό γραμμικό υπόδειγμα με T = 35 παρατηρήσεις: Υ t = 17260, 4 + 0, 764X t 54

Επιλέγουμε: View Stability Diagnostics Chow Breakpoint Test 55

F = 5, 31 Prob. = 0. 0104 < 0. 05 Άρα η Η 0 απορρίπτεται 56

Β. Το χρονικό σημείο της διαρθρωτικής μεταβολής δεν είναι γνωστό Αναφέρουμε τους βασικούς ελέγχους για την περίπτωση αυτή: Τροποποιημένος έλεγχος Chow Κριτήριο Hansen Έλεγχοι CUSUM και CUSUMSQ 57

Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 58