ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Αόδειξη θεωρήματος σελίδα 5 στο σχολικό Α. α) ΨΕΥ ΗΣ β) Η συνάρτηση f()= είναι συνεχής στο o = αφού ισχύει lim f() lim f() Και δεν είναι αραγωγίσιμη στο o = αφού: f() f() lim lim lim f() f() lim lim lim f() f() Άρα δεν υάρχει το lim Α. Ορισμός (ΙΙ) στο σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. fog f() n, εδίο ορισμού Α, g(), εδίο ορισμού Αg R εδίο ορισμού Αfg Ag και g() A f R κ' (,) κ' () o o Τύος f g () f(g()) f n, (,) f
Β. Η συνάρτηση h() (fog)() είναι ορισμένη και αραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο Α=(,) με ' h'() ', (,) Άρα h στο Α=(,), Άρα η h είναι -, άρα ορίζεται η συνάρτηση h :h(a) A όου h(a) lim h(), lim h(), R lim h() lim n u lim nu u u άρα u lim h() lim n u lim nu άρα u Έστω Άρα f() n, f(a) R ( ), R h (), R Β. Συνάρτηση φ(), R Η φ είναι ορισμένη και αραγωγίσιμη, άρα και συνεχής, στο R με φ'(), R Άρα φ στο R, άρα η φ δεν έχει ακρότατα
φ''() φ''() φ''(), R όου κ', R φ'' φ Σ.Κ φ() = Η φ είναι κυρτή στο διάστημα, και κοίλη στο,. Το μοναδικό σημείο καμής της C φ είναι το A(,φ()), αφού μόνο σ αυτό αλλάζει η κυρτότητα της φ και υάρχει η αντίστοιχη εφατομένη της C φ, εειδή φ είναι αραγωγίσιμη στο R. Β. lim φ() lim lim D.L.H Άρα η ευθεία = είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο lim φ() lim Άρα η ευθεία = είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο φ' φ'' φ Σ.Κ φ() =
= C φ / ΘΕΜΑ Γ Γ. f'() συν,, Το σημείο Α, Συνάρτηση f() ημ, [,] δεν ανήκει στη C f αφού Η εφατομένη της C f σε σημείο της ( o,f( o )) έχει εξίσωση f( o) f '( o) ( o) ημ συν ( ) () o ο o f ημ Η εφατομένη αυτή για να διέρχεται αό το σημείο A,, ρέει αό την () να ισχύει: ημο συνo o συνo o ημo, o [,] Θεωρώ τη συνάρτηση g() συν ημ, [,] κι αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση g()= έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα [,]. Η g είναι αραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο [,] με g'() ημ συν συν ημ g'() ημ ή,
ημ -/ g' ημ,, g Τ.Μ Τ.Ε Τ.Μ g() = g()= g =- g()= Για κάθε g()= Για κάθε, δηλαδή, δηλαδή g, g() g() g() g, g() g() g() Άρα η εξίσωση g()= έχει μοναδικές ρίζες το = και το =, άρα υάρχουν ακριβώς δύο εφατόμενες ε, ε της C f ου διέρχονται αό το σημείο A,. Τα αντίστοιχα σημεία εαφής είναι τα Ο(,f()), Β(,f()). Η εξίσωση της (ε ) ροκύτει αό την () για o = και είναι ημ συν ( ) (ε ): Η εξίσωση της (ε ) ροκύτει αό την () για = και είναι ημ συν ( ) (ε ): Γ. f''() (συν)' ημ, [,] Η f είναι συνεχής στο [,] (ως αραγωγίσιμη) με f''(), (,) άρα η f είναι κυρτή στο [,] άρα οι εφατόμενες ε, ε της C f βρίσκονται κάτω αό τη C f, εκτός αό τα αντίστοιχα σημεία εαφής. 5
(ε ): (ε ): (,) Α, B(,) = -ημ Οι συναρτήσεις h()= και ω()=- είναι συνεχείς στο R ως ολυωνυμικές. Ισχύει ότι: Ε f() d ημ d ημ d ημd ημ, [,] συν συν συν τ.μ. εμβαδόν βυ Ε Ε τ.μ. ΟΑΒ Άρα Ε Ε 8 Γ. f() L lim f() lim f() lim ημ ημ όου και lim f() lim ημ ημ αφού η εφατομένη (ε ): βρίσκεται κάτω αό τη C f, εκτός αό το σημείο εαφής, ισχύει f(), [,] όου η ισότητα ισχύει μόνο για = άρα για κάθε κοντά στο ισχύει f() f() άρα lim f() f() f() f() Εομένως L lim lim f() 6
Γ.,, ισχύει : f() f() όου η συνάρτηση f() είναι συνεχής στο [,] ως ηλίκο των συνεχών f() (ολυων.) και η συνάρτηση δηλαδή είναι συνεχής στο [,] ως ρητή Άρα αό τη σχέση f(), [,] Ισχύει ότι f() f() d d d n f() f() d n n d ΘΕΜΑ /,,. Συνάρτηση f() ημ,,, εδίο ορισμού Α [,] Στο διάστημα [-,) είναι f() άρα η f είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών (ολυωνυμική) και (ρίζα της συνεχούς (ολυωνυμική)) Στο διάστημα (,] είναι f() ημ άρα η f είναι συνεχής ως γινόμενο των συνεχών (εκθετική) και ημ (τριγωνομετρική). Στο o = είναι lim f() lim lim f() lim ημ ημ f() ημ limf() Αφού lim f() f() ισχύει ότι η f είναι συνεχής και στο o =, άρα η f είναι συνεχής στο [-, ] 7
Παράγωγος της f Για κάθε, η f() / είναι αραγωγίσιμη με f'() ' ( ) Για κάθε (,) η / / 8 f() ημ είναι αραγωγίσιμη με f'() ημ συν (ημ συν) Στο o = είναι f() f() ( ) lim lim lim lim ( ) άρα άρα f() f() ημ ημ lim lim lim lim αφού lim ημ lim f() f() Άρα δεν υάρχει το lim, άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο =, είναι όμως συνεχής σ αυτό, άρα το = είναι κρίσιμο σημείο της f., [,) 8 f'() (ημ συν), (,] Για [,) είναι Για (,] είναι f'() 8 f'() (ημ συν), όου > : συν f'() ημ συν ημ συν ημ αφού αν συν τότε συν (,] αό ημ συν εφ είναι και ημ ο Άτοο αφού ισχύει = το κρίσιμο σημείο της f ημ συν 8
. Αφού η συνάρτηση f'() (ημ συν) είναι συνεχής στο διάστημα (,] ως ράξεις των συνεχών (εκθετική) και ημ, συν (τριγωνομετρικές) και έχει μοναδική ρίζα το αό τα διαστήματα, ισχύει ότι η f διατηρεί σταθερό ρόσημο σε καθένα, και,. Ειλέον / αφού, και f' ημ συν / /, ισχύει f'() για κάθε, αφού, και f'() (ημ συν) (), ισχύει f'() για κάθε, f' - f Τ.Μ Τ.Ε Τ.Μ f(-) = f() = f = = Τ.Ε f()= Η f είναι: γνήσια φθίνουσα στο διάστημα [-, ] γνήσια αύξουσα στο διάστημα, γνήσια φθίνουσα στο διάστημα, Η f αρουσιάζει στη θέση = τοικό μέγιστο το f(-)=, στη θέση = τοικό ελάχιστο το f()=, στη θέση τοικό μέγιστο το f και στη θέση = τοικό ελάχιστο το f()=. 9
Αφού η f είναι συνεχής στο [-,] η f αίρνει ελάχιστη τιμή m και μέγιστη τιμή Μ, όου mminf( ),f(),f,f() Μ maf( ),f(),f,f() εειδή n n n n ου ισχύει αφού και n n n / Άρα το σύνολο τιμών της f είναι το m,m,. Στο διάστημα [,] η συνάρτηση f() ημ είναι συνεχής (αό ) και η συνάρτηση h()= 5 είναι συνεχής ως εκθετική Θεωρώ τη συνάρτηση 5 φ() f() h() ημ (ημ ), [,] Όου, [, ] Για κάθε [, ] δηλαδή ημ κ' Άρα ημ, άρα φ(), [,] Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 5 E φ()d φ()d ημ d 5 d ημd I I I 5 5 5 d 5 5 ημ ημ ' συνd Ι ημd ' ημd ημ συνd συν ( ημ)d συν συν Ι Άρα Ι Ι Ι I 5 άρα Ε ΙΙ τ.μ. 5
. Εξίσωση 6 f() ( ) 8, [,] 6 f() ( ) 8 f() 6 f() M, όου Μ=f ma 6 :6 / Η εξίσωση αυτή έχει ρίζα το o με είναι M M 6 6 f() M, Άτοο αφού ισχύει f() M, [,] και μάλιστα μοναδική, αφού, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΣΤΟΡΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ