Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto, se spomnimo, kaj je permutacija Permutacija je bijektivna preslikava σ : {1,2,,n} {1,2,,n} Množico vseh permutacij n elementov označimo s Π n Signaturo permutacije σ označimo s sgn σ Definicija signature in osnovne lastnosti permutacij, ki jih bomo uporabljali pri obravnavi determinant, so opisane v dodatku A na koncu učbenika Definicija 11 Naj bo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a n1 a n2 a nn kvadratna matrika reda n Potem je njena determinanta enaka det A sgn σ a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) Determinanta je tako preslikava det : R n n R Determinanto zapišemo tudi s tabelo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A a n1 a n2 a nn 69
70 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Za zgled izpišimo vsoto iz definicije za n 2, 3 in 4 a 11 a 12 a 21 a 22 a 11a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 11 a 22 a 33 a 44 + a 11 a 23 a 34 a 42 + a 11 a 24 a 32 a 43 + a 12 a 21 a 34 a 43 + +a 12 a 23 a 31 a 44 + a 12 a 24 a 33 a 41 + a 13 a 21 a 32 a 44 + a 13 a 22 a 34 a 41 + +a 13 a 24 a 31 a 42 + a 14 a 22 a 31 a 43 + a 14 a 23 a 32 a 41 + a 14 a 21 a 33 a 42 a 11 a 22 a 34 a 43 a 11 a 23 a 32 a 44 a 11 a 24 a 33 a 42 a 12 a 21 a 33 a 44 a 12 a 23 a 34 a 41 a 12 a 24 a 31 a 43 a 13 a 21 a 34 a 42 a 13 a 22 a 31 a 44 a 13 a 24 a 32 a 41 a 14 a 21 a 32 a 43 a 14 a 22 a 33 a 41 a 14 a 23 a 31 a 42 Ker je število permutacij množice {1,2,,n} enako n!, gotovo ne bo praktično računati determinanto s pomočjo definicije O tem nas prepriča že zgled pri n 4 Preden začnemo s študijem lastnosti determinante, opozorimo na to, da smo determinanti za n 2 in n 3 že srečali v poglavju o vektorjih v R 2 in R 3 Determinanta matrike A R 3 3 je enaka mešanemu produktu vektorjev, ki tvorijo stolpce matrike A Absolutna vrednost det A je potem enaka volumnu paralelepipeda, ki ga določajo stolpci matrike A Podobno je za A R 2 2 absolutna vrednost det A enaka ploščini paralelograma, ki ga določata stolpca matrike A v R 2 2 Razvoj determinante Minor je poddeterminanta determinante a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a n1 a n2 a nn
2 RAZVOJ DETERMINANTE 71 ki jo dobimo tako, da izpustimo enako število vrstic in stolpcev Če v determinanti izpustimo i-to vrstico in j-ti stolpec, potem dobljeni minor označimo z m ij Kofaktor k ij je predznačen minor: k ij ( 1) i+j m ij za i,j 1,2,,n 2 3 1 Zgled 21 V determinanti 0 2 1 poiščimo nekaj minorjev in kofaktorjev: 3 1 1 m 11 2 1 1 1 3, m 23 2 3 3 1 7, m 31 3 1 2 1 1, k 11 m 11 3, k 23 m 23 7, k 31 m 31 1 S pomočjo kofaktorjev lahko zapišemo rekurzivne formule za izračun determinante Teh tu ne bomo dokazali Izrek 22 (o razvoju determinante) Za determinanto a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A a n1 a n2 a nn velja: 1) det A a i1 k i1 + a i2 k i2 + + a in k in, i 1,2,,n, je razvoj determinante po i-ti vrstici 2) det A a 1j k 1j + a 2j k 2j + + a nj k nj, j 1, 2,,n, je razvoj determinante po j-tem stolpcu 2 3 1 Zgled 23 Izračunajmo 0 2 1 z razvojem po prvem stolpcu: 3 1 1 2 3 1 0 2 1 3 1 1 2 2 1 1 1 0 3 1 1 1 + 3 3 1 2 1 2( 3) 0( 4) + 3 1 3
72 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Če je v kakem stolpcu ali vrstici veliko ničel, potem je izračun determinante hitrejši, če jo razvijemo po takem stolpcu ali vrstici 1 1 0 2 Zgled 24 Izračunajmo determinanto 1 1 0 0 2 2 0 0 Z razvojem po tret- 3 1 5 1 jem stolpcu dobimo: 1 2 0 1 1 0 0 1 1 2 1 2 0 0 2 5 1 0 1 3 1 5 1 2 0 2 Z razvojem zadnje determinante po drugem stoplcu dobimo: 1 2 1 5 1 0 1 2 0 2 10 1 1 2 2 10(2 + 2) 40 Iskana vrednost determinante je tako enaka 40 3 Lastnosti determinante 1) Determinanti matrike in njene transponiranke sta enaki: ( det A det A ) Dokaz Velja: det A sgn σ a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) sgn σ a σ 1 (1)1a σ 1 (2)2 a σ 1 (n)n ( det A ) V zgornjem računu smo uporabili dejstvo, da je sgnσ sgn σ 1 2) Če eno vrstico v matriki pomnožimo s skalarjem α, se determinanta pomnoži z α
3 LASTNOSTI DETERMINANTE 73 Dokaz Velja: a 11 a 12 a 1n αa i1 αa i2 αa in a n1 a n2 a nn sgn σ a 1σ(1) a iσ(i) a nσ(n) α det A 3) Če en stolpec v matriki pomnožimo s skalarjem α, se determinanta pomnoži z α Dokaz Ker je deta det ( A ) po 1), lastnost 3) sledi iz lastnosti 2) 4) Če matriko pomnožimo s skalarjem, potem velja det(αa) α n det A Dokaz Uporabimo lastnost 2) n-krat 5) Velja: a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 + b i1 a i2 + b i2 a in + b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 a i2 a in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn + a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n b i1 b i2 b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn
74 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Dokaz Z uporabo razvoja determinante po i-ti vrstici dobimo: a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 + b i1 a i2 + b i2 a in + b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn n n n (a ij + b ij ) k ij a ij k ij + b ij k ij j1 j1 j1 a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i 1,1 a i 1,2 a i 1,n a i1 a i2 a in + b i1 b i2 b in a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a i+1,1 a i+1,2 a i+1,n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn 6) Če v matriki zamenjamo dve vrstici, se njena determinanta pomnoži z ( 1) Dokaz Predpostavimo, da zamenjamo i-to in j-to vrstico, kjer je i < j Če je σ Π n, potem s σ označimo permutacijo, za katero je σ(k), če k i, j σ(k) σ(i), če k j σ(j), če k i Iz lastnosti permutacij vemo, da je sgn σ sgn σ Z uporabo definicije
3 LASTNOSTI DETERMINANTE 75 determinante dobimo det A sgn σ a 1σ(1) a iσ(i) a jσ(j) a nσ(n) sgn σ a 1σ(1) a jσ(j) a iσ(i) a nσ(n) sgn σ a 1 σ(1) a i σ(i) a j σ(j) a n σ(n) sgn σ a 1 σ(1) a i σ(i) a j σ(j) a n σ(n) det à Tu smo z à označili matriko, ki jo iz A dobimo tako, da zamenjamo i-to in j-to vrstico 7) Če sta dve vrstici v matriki A enaki, potem je njena determinanta enaka 0 Dokaz Če v matriki enaki vrstici zamenjamo, se matrika ne spremeni Iz lastnosti 6) potem sledi, da je deta det A Zato je deta 0 8) Če v matriki prištejemo skalarni večkratnik ene vrstice drugi vrstici, se determinanta ne spremeni
76 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Dokaz Z uporabo lastnosti 2), 5) in 7) dobimo a 11 a 12 a 1n a j1 + αa i1 a j2 + αa i2 a jn + αa in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn + a 11 a 12 a 1n αa i1 αa i2 αa in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a j1 a j2 a jn a n1 a n2 a nn + α a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn
4 RAČUNANJE DETERMINANTE 77 9) Velja a 11 a 1,j 1 a 1j + b 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 a 2j + b 2j a 2,j+1 a 2n a n1 a n,j 1 a nj + b nj a n,j+1 a nn a 11 a 1,j 1 a 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 a 2j a 2,j+1 a 2n + a n1 a n,j 1 a nj a n,j+1 a nn a 11 a 1,j 1 b 1j a 1,j+1 a 1n a 21 a 2,j 1 b 2j a 2,j+1 a 2n + a n1 a n,j 1 b nj a n,j+1 a nn 10) Če v matriki zamenjamo dva stolpca, se njena determinanta pomnoži z ( 1) 11) Če sta dva stolpca v matriki enaka, je njena determinanta enaka 0 12) Če v matriki prištejemo skalarni večkratnik enega stolpca drugemu stolpcu, se njena determinanta ne spremeni Lastnosti 9), 10), 11) in 12) sledijo iz lastnosti 5), 6), 7) in 8) z uporabo lastnosti 1) 4 Računanje determinante d 1 0 0 0 d 2 0 Če je D diagonalna matrika, potem je njena determinanta enaka produktu diagonalnih elementov: detd n 0 0 d n i1 d i To sledi iz definicije, saj za vsako neidentično permutacijo σ obstaja tak i {1, 2,,n}, da je σ(i) i Še več, za vsako neidentično permutacijo σ obstaja tak i, da je σ(i) < i To dejstvo uporabimo za dokaz naslednje trditve:
78 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 22 a 23 a 2n Trditev 41 Če je A 0 0 a 33 a 3n zgornje-trikotna matrika, 0 0 0 a nn potem je deta n i1 a ii Ker je determinanto zgornje-trikotne matrike lahko izračunati, bomo to s pridom uporabili Izkaže se, da lahko s pomočjo elementarnih transformacij na vrsticah tipa I in III kvadratno matriko A preoblikujemo v zgornje trikotno matriko T Pri tem se pri transformaciji tipa I determinanta ne spremeni, pri transformaciji tipa III pa se determinanta pomnoži z ( 1) Zato je det A ( 1) s det T, kjer je s število transformacij tipa III, ki smo jih uporabili v postopku preoblikovanja A v T Zgled 42 Izračunajmo determinanto matrike 0 2 1 2 A 0 4 4 1 1 2 0 0 2 0 1 4 Najprej zamenjamo prvo in tretjo vrstico: 1 2 0 0 0 4 4 1 0 2 1 2 2 0 1 4 Prištejemo dvakratnik prve vrstice zadnji vrstici: 1 2 0 0 0 4 4 1 0 2 1 2 0 4 1 4 Prištejemo ( 2)-kratnik tretje vrstice k zadnji vrstici: 1 2 0 0 0 4 4 1 0 2 1 2 0 0 1 8
5 DETERMINANTA PRODUKTA IN PRIREJENKA 79 Prištejemo z ( 1 2 ) pomnoženo drugo vrstico k tretji vrstici: 1 2 0 0 0 4 4 1 0 0 3 5 2 0 0 1 8 Zamenjamo zadnji dve vrstici: 1 2 0 0 0 4 4 1 0 0 1 8 0 0 3 5 2 Nazadnje prištejemo trikratnik tretje vrstice k zadnji vrstici in dobimo: 1 2 0 0 T 0 4 4 1 0 0 1 8 43 0 0 0 2 Ker smo uporabili dve transformaciji tipa III, je det A dett 86 5 Determinanta produkta in prirejenka Najprej si oglejmo pravilo, ki velja za determinanto produkta dveh matrik Izrek 51 Če sta A,B Rn n, potem je detab detadet B Dokaz Označimo C AB Naj bodo c 1,c 2,,c n stolpci matrike C, a 1,a 2,,a n stolpci matrike A in b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n B b n1 b n2 b nn
80 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Potem je c j n i j 1 b i j ja ij Z uporabo lastnosti 9), 10), 11) in 1) za determinanto dobimo det C c 1 c 2 c n n i 1 1 b n i 1 1a i1 i 2 1 b i 2 2a i2 n i b n1 i nna in n n n b i1 1a i1 b i2 2a i2 b inna in Posledica 52 i 1 1 i 2 1 n n i 1 1 i 2 1 i n1 n i n1 b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n detadet b i1 1b i2 2 b inn a i1 a i2 a in sgn σb σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n ( B ) detadetb Če je A obrnljiva, potem je det ( A 1) 1 det A a σ(1) a σ(2) a σ(n) a 1 a 2 a n Dokaz Ker velja AA 1 I in deti 1, sledi iz prejšnjega izreka enakost Torej je det ( A 1) 1 det A (deta) ( det ( A 1)) 1 Oglejmo si sedaj še definicijo in uporabo prirejenke Definicija 53 Naj bo a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A Rn n a n1 a n2 a nn S k ij označimo (i, j)-ti kofaktor deta Matriko k 11 k 12 k 1n k 21 k 22 k 2n B A k n1 k n2 k nn
5 DETERMINANTA PRODUKTA IN PRIREJENKA 81 imenujemo prirejenka matrike A Naslednji izrek nam poda kriterij za obstoj inverza dane matrike To je za nas najpomemnejši rezultat v poglavju o determinanti Izrek 54 Matrika A R n n je obrnljiva natanko tedaj, ko je det A 0 Tedaj je A 1 1 det A B A Dokaz Če je A obrnljiva, je (deta) ( det ( A 1)) deti 1 Zato je deta 0 Naj bo deta 0 Izračunajmo produkt AB A : (i, j)-ti element matrike AB A je enak n l1 a ilk jl Po izreku o razvoju determinante je ta vsota enaka deta, če je i j Če je i j, potem je ta vsota razvoj determinante, ki ima i-to in j-to vrstico enako in je zato enaka 0 Tako dobimo det A 0 0 0 det A 0 AB A 0 0 det A Ker je deta 0, je A ( 1 det A B ) A I Zato je A 1 1 det A B A [ ] a b Zgled 55 Če je A obrnljiva matrika v R c d 2 2, potem je [ ] d b deta ad bc 0 Njena prirejenka je B A in njen inverz je c a Konkretno, če je A A 1 1 ad bc [ d b c a ] [ ] 2 1, potem je det A 1 in A 3 2 1 Zgled 56 Poiščimo inverz matrike 2 1 1 A 0 1 0 1 1 3 s pomočjo prirejenke [ ] 2 1 3 2
82 POGLAVJE IV DETERMINANTA MATRIKE Izračunamo determinanto deta 7 in prirejenko 3 0 1 B A 2 7 3 1 0 2 3 2 1 0 7 0 1 3 2 3 2 1 Zato je A 1 1 7 0 7 0 1 3 2 Posledica 57 Produkt dveh obrnljivih matrik je obrnljiva matrika Dokaz Če sta A in B obrnljivi matriki, potem je deta 0 in detb 0 Zato je tudi detab detadet B 0 in produkt AB je obrnljiva matrika 6 Cramerjevo pravilo Naj bo A R n n obrnljiva matrika in naj bo Ax b sistem linearnih enačb Za j 1,2,,n označimo z A j (b) matriko, ki jo dobimo iz A tako, da j-ti stolpec zamenjamo z vektorjem b Izrek 61 (Cramerjevo pravilo) Če je A obrnljiva matrika v Rn n, potem je rešitev sistema linearnih enačb Ax b podana z x j deta j(b) det A, j 1,2,,n Dokaz Ker je A obrnljiva, iz zveze Ax b sledi x A 1 b 1 det A B Ab Naj b 1 b 2 bo b Potem je j-ta komponenta produkta B Ab enaka n i1 k ijb i Po b n izreku o razvoju determinante je ta vsota enaka deta j (b) Zato je x j det A j(b) det A za j 1, 2,,n Zgled 62 Rešimo sistem linearnih enačb 3x 2y 6 5x + 4y 8
6 CRAMERJEVO PRAVILO 83 s pomočjo Cramerjevega pravila Velja: det A 3 2 5 4 2 Ker je b [ ] 6, je 8 det A 1 (b) 6 2 8 4 40 in det A 2 (b) 3 6 5 8 54 Zato je rešitev enaka x 20 in y 27 Zgled 63 S pomočjo Cramerjevega pravila rešimo še sistem linearnih enačb Velja: x y + z 1 y + 2z 0 x + 3z 1 1 1 1 deta 0 1 2 3 2 + 1 4 1 0 3 1 Vektor desne strani je b 0, zato je 1 1 1 1 det A x (b) 0 1 2 3 + 2 1 2, 1 0 3 1 1 1 det A y (b) 0 0 2 1 1 3 2 + 2 4 in 1 1 1 det A z (b) 0 1 0 1 0 1 1 + 1 2 Tako dobimo rešitev x 1 2, y 1 in z 1 2