ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 26 Μαίου 2017 Ασκηση 1. Εστω (R, +, ) µια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου µε µονάδα, εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η µεταθετικότητα της πρόσθεσης και η τριάδα (R, +, ) είναι ένας δακτύλιος. Λύση. Εστω a, b R. Θα δείξουµε ότι : a + b b + a. Χρησιµοποιώντας την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση του R, υπολογίζουµε µε δύο τρόπους το γινόµενο : (a + 1 R )(b + 1 R ): (a + 1 R )(b + 1 R ) a(b + 1 R ) + 1 R (b + 1 R ) ab + a1 R + 1 R b + 1 R 1 R ab + a + b + 1 R (a + 1 R )(b + 1 R ) (a + 1 R )b + (a + 1 R )1 R ab + 1 R b + a1 R + 1 R 1 R ab + b + a + 1 R Χρησιµοποιώντας τον νόµο της διαγραφής στην οµάδα (R, +), ϐλέπουµε άµεσα ότι ϑα έχουµε : a, b R : a + b b + a Σχόλιο 1. Αν στην Ασκηση 1 για την τριάδα (R, +, ) δεν απαιτήσουµε την ύπαρξη µονάδας, τότε το συµπέρασµα της Ασκησης δεν ισχύει. Πράγµατι, έστω (R, +) µια (προσθετική) µη-αβελιανή οµάδα µε παραπάνω από ένα στοιχεία, για παράδειγµα η συµµετρική οµάδα S 3 τάξης 6. Ορίζουµε πράξη πολλαπλασιασµού ως εξής : r s 0 R, r, s R. Τότε η τριάδα (R, +, ) ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου χωρίς µονάδα (αν υπάρχει µονάδα 1 R, τότε 1 R 1 R 1 R 0 R και εποµένως R {0 R το οποίο είναι άτοπο διότι R > 1), εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Η τελευταία ιδιότητα δεν είναι δυνατόν να ισχύει, διότι η οµάδα R δεν είναι αβελιανή. Η παραπάνω ανάλυση δείχνει ότι κάθε αβελιανή οµάδα R µπορεί να ϑεωρηθεί ως δακτύλιος (χωρίς µονάδα αν R > 1) µε τετριµµένο πολλαπλασιασµό. Ασκηση 2. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα. 1. Υποθέτουµε ότι στον R ισχύει η ακόλουθη συνεπαγωγή : x, y, z R : xy zx y z Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. Ισχύει το αντίστροφο ; ηλαδή αν ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός, είναι αληθής η παραπάνω συνεπαγωγή ; 2. Εστω ότι x και y είναι δύο στοιχεία του R και υποθέτουµε ότι xy 1. Να δειχθεί ότι, n N: x n y n 1

2 Λύση. 1. Εστω ότι a, b R. Θα δείξουµε ότι ab ba. Θέτουµε x a, y ba, z ab. Τότε από την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού στον δακτύλιο R, ϑα έχουµε : a(ba) (ab)a, και εποµένως xy zx. Από την υπόθεση τότε έπεται ότι y z και εποµένως ab ba. Επειδή τα στοιχεία a και b επιλέχθηκαν τυχαία, έπεται ότι ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. Το αντίστροφο δεν είναι αληθές : ϑεωρούµε τον δακτύλιο Z 6 ο οποίος είναι µεταθετικός. Θέτοντας x [2] 6, y [4] 6, και z [1] 6, ϑα έχουµε : xy [2] 6 [4] 6 [8] 6 [2] 6 και zx [1] 6 [2] 6 [2] 6. Άρα xy zx αλλά προφανώς y [4] 6 [1] 6 z. 2. Θα αποδείξουµε ότι x n y n 1, µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Για n 1, το Ϲητούµενο ισχύει από την υπόθεση. Υποθέτουµε ότι n N και x n y n 1. Τότε : Άρα το Ϲητούµενο ισχύει για κάθε n N. x n+1 y n+1 xx n y n y x 1 y xy 1 Ασκηση 3. Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου µε µονάδα R ο οποίος περιέχει στοιχεία r και s έτσι ώστε : rs 1 και sr 1 Λύση. Θεωρούµε το σύνολο V όλων των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών : V { a (x 0, x 1, x 2, ) x k R, k 0 το οποίο είναι διανυσµατικός χώρος υπεράνω του R, όταν εφοδιασθεί µε τις ακόλουθες πράξεις, όπου a (x 0, x 1, x 2, ) R, b (y 0, y 1, y 2, ) R, και r R: Θεωρούµε το σύνολο a + b (x 0 + y 0, x 1 + y 1, x 2 + y 2, ) και ra (rx 0, rx 1, rx 2, ) R End R (V) { f : V V f : R-γραµµική όλων των ενδοµορφισµών του V, δηλαδή το σύνολο όλων των R-γραµµικών απεικονίσεων από τον V στον V. Ετσι f R αν και µόνον αν f(a + b) f(a) + f(b), και f(ra) rf(a), a, b R και r R. Το σύνολο R είναι ένας δακτύλιος όταν εφοδιασθεί µε τις ακόλουθες πράξεις πρόσθεσης «+» και πολλαπλασιασµού, f, g R: (f + g)(x 0, x 1, x 2, ) f(x 0, x 1, x 2, ) (f g)(x 0, x 1, x 2, ) (f g)(x 0, x 1, x 2, ) f(g(x 0, x 1, x 2, )) Η µονάδα 1 R του δακτυλίου R είναι η ταυτοτική απεικόνιση Id V : V V. Θεωρούµε τις απεικονίσεις f : V V, f(x 0, x 1, x 2, ) (x 1, x 2, x 3, ) g : V V, g(x 0, x 1, x 2, ) (0, x 0, x 1, x 2, ) Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι απεικονίσεις f και g είναι R-γραµµικές και άρα f, g R. Τότε ϑα έχουµε : (f g)(x 0, x 1, x 2, ) f(g(x 0, x 1, x 2, )) f(0, x 0, x 1, x 2, ) (x 0, x 1, x 2, ) για κάθε (x 0, x 1, x 2, ) V, και εποµένως Από την άλλη πλευρά : f g 1 R Id V (g f)(x 0, x 1, x 2, ) g(f(x 0, x 1, x 2, )) g(x 1, x 2, x 3, ) (0, x 1, x 2, x 3, ) για κάθε (x 0, x 1, x 2, ) V, και εποµένως g f 1 R Id V

3 Υπενθύµιση για υποδακτυλίους : υποδακτύλιος του R αν : (1) x, y S: x y S. (2) x, y S: xy S. Ενα µη-κενό υποσύνολο S R ενός δακτυλίου R, καλείται Ισοδύναµα το υποσύνολο S R είναι υποδακτύλιος του R αν και µόνον αν 0 S και ισχύουν οι παραπάνω συνθήκες (1) και (2). Αν S είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε επειδή το S είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του R, οι πράξεις αυτές επάγουν πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού επί του S, και µε αυτές τις πράξεις το σύνολο S είναι ένας δακτύλιος. Επισηµαίνουµε κάποιες χρήσιµες πληροφορίες για υποδακτυλίους : (1) Ενας δακτυλιος µε µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S µε µοναδα διαφορετικη απο την µοναδα του R: Πράγµατι ο δακτύλιος R M 2 (Z) έχει µονάδα τον πίνακα 1 0 I 2 0 1 και το υποσύνολο S { a 0 M 0 0 2 (Z) a Z είναι ένας υποδακτύλιος του R µε µονάδα τον πίνακα 1 0 I 0 0 2 (2) Ενας δακτυλιος µε µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S χωρις µοναδα: Πράγµατι ο δακτύλιος Z έχει µονάδα, και το υποσύνολο 2Z των αρτίων ακεραίων είναι υποδακτύλιος του Z ο οποίος δεν έχει µονάδα. (3) Ενας δακτυλιος χωρις µοναδα R µπορει να εχει υποδακτυλιους S µε µοναδα: Πράγµατι ο δακτύλιος { a b R M 0 0 2 (Z) a, b Z δεν έχει µονάδα, και το υποσύνολο { a 0 S 0 0 είναι ένας υποδακτύλιος του R µε µονάδα τον πίνακα M 2 (Z) a Z 1 0. 0 0 Ασκηση 4. Ποια από τα επόµενα σύνολα µαζί µε τις αναφερόµενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους; (1) R { a + b 3 a, b Z µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. (2) R { a + bi a, b Q όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών.

4 (3) (4) (5) (6) (7) R { a b 0 a a, b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. R {( a ) b b a a, b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. R { A M 2 (R) Det(A) 0 µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. { m R n Q n : περιττός µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ϱητών αριθµών. R { ri r R όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. Λύση. (1) Το σύνολο R {a + b 3 a, b Z είναι ένα µη κενό υποσύνολο του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του R και εποµένως είναι δακτύλιος. (2) Το σύνολο R {a + bi a, b Q, είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του C και εποµένως είναι δακτύλιος. { a b (3) Το σύνολο R a, b R είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου M 0 a 2 (R) των 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R) και εποµένως είναι δακτύλιος. { a b (4) Το σύνολο R a, b R είναι ένα µη-κενό υποσύνολο του δακτυλίου M b a 2 (R) των 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του M 2 (R) και εποµένως είναι δακτύλιος. (5) Το σύνολο R {A M 2 (R) det A 0 µαζί µε τις συνήθεις ( πράξεις ) πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων δεν είναι δακτύλιος, διότι, π.χ., οι πίνακες και ανήκουν στο σύνολο 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 R αλλά το άθροισµά τους είναι ο πίνακας ο οποίος δεν ανήκει στο υποσύνολο R. 0 1 (6) Το σύνολο R {m/n Q n περιττός είναι ένα µη κενό υποσύνολο του σώµατος Q των ϱητών αριθµών και εύκολα ϐλέπουµε ότι το R είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Εποµένως το σύνολο R είναι υποδακτύλιος του Q και εποµένως είναι δακτύλιος. (7) Το σύνολο R {ri r R, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών δεν είναι δακτύλιος διότι, π.χ., ο µιγαδικός αριθµός i ανήκει στο R αλλά ii i 2 1 / R (ο µόνος πραγµατικός αριθµός ο οποίος ανήκει στο R είναι το 0).

5 Ασκηση 5. Να δειχθεί ότι το σύνολο πινάκων H { u v u, v C v u M 2 (C) εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαί- ϱεσης. Ο δακτύλιος H καλείται ο δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton. Λύση. Εύκολα ϐλέπουµε ότι το υποσύνολο H του δακτυλίου M 2 (C) των 2 2 πινάκων µιγαδικών αριθµών είναι κλειστό στις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων. Εποµένως το σύνολο H είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου M 2 (C) και άρα είναι δακτύλιος. Επιπλέον ο δακτύλιος H έχει µονάδα τον µοναδιαίο 1 0 2 2 πίνακα ο οποίος προφανώς ανήκει στο H. Μένει να δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο 0 1 z w 0 A H w z είναι αντιστρέψιµο. Επειδή ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος ως στοιχείο του δακτυλίου M 2 (C) αν και µόνον αν η ορίζουσα Det(A) 0, για να δείξουµε ότι ο µη-µηδενικός πίνακας A είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του δακτυλίου H, αρκεί να δείξουµε διαδοχικά ότι : (1) Det(A) 0, οπότε υπάρχει ο πίνακας A 1 M 2 (C), και (2) Ο πίνακας A 1 ανήκει στο H. Υπολογίζοντας την ορίζουσα του πίνακα A ϐλέπουµε z w Det zz + ww z w z 2 + w 2 και άρα Det(A) 0 αν και µόνον αν z 2 + w 2 0 αν και µόνον αν z w 0 αν και µόνον αν A 0. Εποµένως, επειδή A 0, ϑα έχουµε ότι πράγµατι Det(A) 0. Εποµένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας A 1, ο οποίος όπως µπορούµε να υπολογίσουµε εύκολα είναι : A 1 1 z 2 + w 2 z w w z Ο πίνακας A 1 προφανώς ανήκει στον υποδακτύλιο H. Εποµένως δείξαµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του H είναι αντιστρέψιµο, και άρα ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ο δακτύλιος διαίρεσης H δεν είναι σώµα διότι δεν είναι µεταθετικός, πχ. οι πίνακες i 0 0 i και ανήκουν στο H αλλά 0 i i 0 i 0 0 i 0 1 0 1 0 i i 0 0 i i 0 1 0 1 0 i 0 0 i Σχόλιο 2. Στον ορισµό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton, { u v H u, v C M v u 2 (C) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε 4 4 πίνακες πραγµατικών αριθµών, και τότε µπορούµε να ταυτίσουµε : a b c d H b a d c c d a b a, b, c, d R M 4 (R) d c b a

6 a b όπου χρησιµοποιήσαµε την ταύτιση του µιγαδικού αριθµού a + bi µε τον 2 2 πίνακα και την ταύτιση b a c d του µιγαδικού αριθµού c + di µε τον 2 2 πίνακα. Επιπλέον ϑέτοντας d c 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I 4 0 1 0 0 0 0 1 0, I 1 0 0 0 0 0 0 1, J 0 0 0 1 1 0 0 0, K 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 έπεται ότι : H { ai 4 + bi + cj + dk a, b, c, d R M 4 (R) Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο H, εκτός από δακτύλιος διαίρεσης, είναι και υπόχωρος του R-διανυσµατικού χώρου M 4 (R) και το σύνολο πινάκων {I 4, I, J, K είναι µια ϐάση του H υπεράνω του R. Σχόλιο 3. Αν στον ορισµό του δακτυλίου H των τετρανίων του Hamilton στο παραπάνω σχόλιο όπου χρησιµοποιήσαµε 4 4 πίνακες πραγµατικών αριθµών, χρησιµοποιήσουµε το πεπερασµένο σώµα Z p, p: πρώτος, αντί του σώµατος των πραγµατικών αριθµών R, αποκτούµε έναν µη-µεταθετικό δακτύλιο µε µονάδα H(Z p ) {ai 4 + bi + cj + dk a, b, c, d Z p M 4 (Z p ) ο οποίος έχει p 4 στοιχεία, και τα µόνα του ιδεώδη (έννοια την οποία ϑα συναντήσουµε στα επόµενα Κεφάλαια) είναι τα τετριµµένα : {0 και H(Z p ). Οµως σε αντίθεση µε τον δακτύλιο H των τετρανίων του Hamilton, ο δακτύλιος H(Z p ) δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης. Αν ο δακτύλιος H(Z p ) ήταν δακτύλιος διαίρεσης, τότε επειδή το σύνολο H(Z p ) είναι πεπερασµένο, σύµφωνα µε ένα (δύσκολο) Θεώρηµα το οποίο οφείλεται στον Wedderburn (κάθε πεπερασµένος δακτύλιος διαίρεσης είναι µεταθετικός, και άρα σώµα), ο δακτύλιος H(Z p ) ϑα ήταν µεταθετικός το οποίο είναι άτοπο. Μπορείτε να αποδείξετε, χωρίς τη χρήση του ϑεωρήµατος του Wedderburn, ότι ο δακτύλιος H(Z p ) δεν είναι δακτύλιος διαίρεσης ; Σύµφωνα µε την Ασκηση 19, αρκεί να δειχθεί ότι ο δακτύλιος H(Z p ) δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Ασκηση 6. Εστω (R, +, ) ένας δακτύλιος. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Z(R) { r R r x x r, x R είναι ένας υποδακτύλιος του R. Ο υποδακτύλιος Z(R) καλείται κέντρο του δακτυλίου R. Λύση. Επειδή x0 R 0 R x0 R, x R, έπεται ότι 0 R Z(R) και ιδιαίτερα Z(R). Εστω r 1, r 2 Z(R), και x R. Τότε ϑα έχουµε : (1) (2) (r 1 r 2 )x r 1 x r 2 x xr 1 xr 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 Z(R) (r 1 r 2 )x r 1 (r 2 x) r 1 (xr 2 ) (r 1 x)r 2 (xr 1 )r 2 x(r 1 r 2 ) r 1 r 2 Z(R) Εποµένως το υποσύνολο Z(R) είναι ένας υποδακτύλιος του R. Σηµειωνουµε οτι: αν ο δακτύλιος R έχει µονάδα, τότε επειδή 1 R x x x1 R, x R, ϑα έχουµε ότι 1 R Z(R). Ετσι αν ο δακτύλιος R έχει µονάδα, τότε και ο υποδακτύλιος Z(R) έχει µονάδα, την µονάδα του δακτυλίου R: 1 Z(R) 1 R.

7 Ασκηση 7. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H) του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton, και να δείξετε ότι : Z(H) Z(M 2 (R)) Λύση. (1) Εστω z w A Z(H) w z 1 1 Επειδή H, ϑα έχουµε : 1 1 z w 1 1 1 1 z w z + w z + w z + w w z w z 1 1 1 1 w z w + z w + z z w w + z Η παραπάνω ισότητα πινάκων δίνει άµεσα ότι : w w και z z z a R και w b R Εποµένως : z w a b A M w z b a 2 (R) i 0 Από την άλλη πλευρά, επειδή H, ϑα έχουµε : 0 i a b i 0 i 0 a b ai bi ia bi b a 0 i 0 i b a bi ai bi ai b 0 bi bi και εποµένως z w a 0 A, a R w z 0 a z w a 0 Άρα αν ο πίνακας A ανήκει στο κέντρο Z(H), τότε A, για κάποιο a R. w z 0 a a 0 Αντίστροφα αν A H, a R, τότε εύκολα ϐλέπουµε ότι A Z(H). 0 a Άρα : { { a 0 1 0 Z(H) a R a a R 0 a 0 1 a b (2) Από την άλλη πλευρά αν A Z(M c d 2 (R)), ϑα έχουµε : 1 0 a b a b 1 0 a b a 0 b c 0 0 0 c d c d 0 0 0 0 c 0 a 0 και άρα A. Επίσης ϑα έχουµε : 0 d 0 1 a 0 a 0 0 1 0 d 0 a a d 0 0 0 d 0 d 0 0 0 0 0 0 a 0 1 0 και εποµένως A a ai 0 a 0 1 2. Αντίστροφα είναι προφανές ότι κάθε πίνακας της µορφής ai 2 µετατίθεται µε κάθε 2 2 πίνακα, και εποµένως : Z(M 2 (R)) { ai 2 M 2 (R)) a R Z(H)

8 Ασκηση 8. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του µηδενός των επόµενων δακτυλίων : (1) Z 4, (2) Z 8, (3) Z 11, (4) Z 4 Z 4 Λύση. (1) Υπενθυµίζουµε ότι ένα στοιχείο [k] n Z n είναι διαιρέτης του µηδενός αν και µόνον αν (k, n) > 1. (Το µηδενικό στοιχείο ενός δακτυλίου δεν ϑεωρείται διαρέτης του µηδενός). Ετσι για τους δακτυλίους Z 4, Z 8, και Z 11, ϑα έχουµε : (αʹ) 1 k 3 και (k, 4) > 1 k 2. Άρα ο µόνος διαιρέτης του µηδενός στον δακτύλιο Z 4 είναι το στοιχείο [2] 4. (ϐʹ) 1 k 8 και (k, 8) > 1 k 2, 4, 6. Άρα οι διαιρέτες το µηδενός στον δακτύλιο Z 8 είναι τα στοιχεία [2] 8, [4] 8, [6] 8. (γʹ) 1 k 11 και (k, 11) > 1. Προφανώς κανένα στοιχείο του δακτυλίου Z 11 δεν είναι διαιρέτης του µηδενός. (2) Για τον δακτύλιο Z 4 Z 4, προφανώς τα στοιχεία : ([1] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [1] 2 ), ([2] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [2] 2 ), ([3] 4, [0] 4 ), ([0] 4, [3] 4 ), είναι διαιρέτες του µηδενός, διότι : [r] 4 Z 4 : ([r] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [r] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Επίσης το στοιχείο ([2] 4, [2] 4 ) είναι διαιρέτης του µηδενός διότι : ([2] 4, [2] 4 ) ([2] 4, [2] 4 ) ([4] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Τα παραπάνω στοιχεία µαζί µε το µηδενικό στοιχείο ([0] 4, [0] 4 ) του δακτυλίου Z 4 Z 4 (το οποίο δεν ϑεωρείται διαιρέτης του µηδενός), δίνουν 8 στοιχεία. Ο δακτύλιος Z 4 Z 4 έχει πλήθος στοιχείων ίσο µε 4 4 16. Ετσι µένουν άλλα 8 στοιχεία. Εξ αυτών, τα στοιχεία ([1] 4, [1] 4 ), ([1] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [1] 4 ), ([3] 4, [3] 4 ) είναι προφανώς όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου Z 4 Z 4, και τα οποία δεν είναι διαιρέτες του µηδενός. Ετσι µένουν προς εξέταση τα στοιχεία ([2] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [2] 4 ), ([1] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [1] 4 ). Αυτά τα σοιχεία είναι διαιρέτες του µηδενός διότι : ([1] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([2] 4, [1] 4 ) ([2] 4, [0] 4 ) ([4] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([2] 4, [3] 4 ) ([2] 4, [0] 4 ) ([4] 4, [0] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) ([3] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [2] 4 ) ([0] 4, [4] 4 ) ([0] 4, [0] 4 ) Συνοψίζουµε : οι διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο Z 4 Z 4 είναι : ([1] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [1] 2 ), ([2] 2, [0] 2 ), ([0] 2, [2] 2 ), ([3] 4, [0] 4 ), ([0] 4, [3] 4 ), ([2] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [3] 4 ), ([3] 4, [2] 4 ), ([1] 4, [2] 4 ), ([2] 4, [1] 4 ) Σχόλιο 4. Στην Ασκηση 8 είδαµε ότι ο δακτύλιος Z 4 Z 4 είναι ξένη ένωση : Z 4 Z 4 { 0 Z4 Z 4 { αντιστρέψιµα στοιχεία { διαιρέτες του µηδενός Μπορείτε να ϐρείτε τους διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο ευθύ γινόµενο Z n Z m ; Ισχύει η παραπάνω ισότητα σ αυτή την περίπτωση ; Ασκηση 9. Ενας δακτύλιος µε µονάδα R καλείται δακτύλιος του Boole, αν : r R : r 2 r Να δειχθεί ότι κάθε δακτύλιος του Boole R είναι µεταθετικός και char(r) 2, αν R {0.

9 Λύση. Εστω r R. Θα δείξουµε πρώτα ότι, r R: r + r 0 R ή ισοδύναµα : r r. (r + r) 2 r + r (r + r)(r + r) r + r r 2 + r 2 + r 2 + r 2 r + r r + r + r + r r + r Εποµένως από την τελευταία σχέση, µε χρήση του Νόµου ιαγραφής στην οµάδα (R, +), ϑα έχουµε : Εστω τώρα r, s R. Θα έχουµε : r R : r + r 0 R ή ισοδύναµα r r ( ) (r + s) 2 r + s (r + s)(r + s) r + s r 2 + rs + sr + s 2 r + s r + rs + sr + s r + s Εποµένως από την τελευταία σχέση, µε χρήση του Νόµου ιαγραφής στην οµάδα (R, +), ϑα έχουµε : Συνδυάζοντας τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : r, s R : rs + sr 0 R ή ισοδύναµα rs sr ( ) r, s R : rs sr δηλαδή ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός Τέλος επειδή 2r r + r 0 R, έπεται ότι ο R έχει πεπερασµένη µη-µηδενική χαρακτηριστική και µάλιστα char(r) 2, διότι αν char(r) 1, τότε 1 R 0 R και εποµένως R {0 το οποίο είναι άτοπο. Σχόλιο : Παρατηρούµε ότι στην παραπάνω απόδειξη δεν χρησιµοποιήσαµε πουθενά ότι ο δακτύλιος R έχει µονάδα. Ετσι η συνεπαγωγή r R : r 2 r r, s R : rs sr ισχύει και για δακτυλίους οι οποίοι δεν έχουν απαραίτητα µονάδα. Αυτό το συµπέρασµα ϑα µας ϕανεί χρήσιµο στην Άσκηση 10. Ασκηση 10. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα R για το οποίο ισχύει ότι : Να δειχθεί ότι ο R είναι µεταθετικός 1. Λύση. Για κάθε x R έχουµε x 3 x. Συνεπώς : r R : r 3 r (x + x) 3 (x + x) x 3 + 3x 2 x + 3xx 2 + x 3 x + x x 3 + 3x 3 + 3x 3 + x 3 x + x 8x 3 2x 8x 2x Με χρήση του Νόµου διαγραφής στην αβελιανή οµάδα (R, +) ϑα έχουµε : x R : 6x 0 R (a) Χρησιµοποιώντας την ευκόλως αποδεικνυόµενη ταυτότητα σε τυχόντα δακτύλιο R: ϑα έχουµε : a, b R : (a b) 3 a 3 a 2 b aba + ab 2 ba 2 + bab + b 2 a b 3 (x 2 x) 3 x 6 x 5 x 5 + x 4 x 5 + x 4 x 3 x 6 3x 5 + 3x 4 x 3 (x 2 ) 3 3x 3 x 2 + 2x 3 x x 3 x 2 3xx 2 + 3xx x x 2 3x 3 + 2x 2 x x 2 3x + 3x 2 x 4x 2 4x Οµως από την υπόθεση έχουµε : (x 2 x) 3 x 2 x 4x 2 4x x 2 x 1 Ενα σηµαντικό Θεώρηµα του Jacobson πιστοποιεί ότι αν R είναι ένας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει ότι : x R, n x N : x nx x τότε ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. - Nathan Jacobson (1910-1999): σπουδαίος Αµερικανός Μαθηµατικός, Πολωνικής καταγωγής, µε ϑεµελιώδη συµβολή στην Άλγεβρα και ιδιαίτερα στην Θεωρία ακτυλίων.

10 και εποµένως από τον Νόµο ιαγραφής στην αβελιανή οµάδα (R, +) ϑα έχουµε : Θεωρούµε το σύνολο Τότε x, y R, ϑα έχουµε : και x R : 3x 2 3x (b) S { 3x x R 3x + 3y 3(x + y) S (c 1 ) (3x)(3y) (x + x + x)(y + y + y) xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy + xy 9xy 6xy + 3xy Επειδή από τη σχέση (α) έχουµε 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι : (3x)(3y) 3xy S (c 2 ) Οι σχέσεις (c 1 ) και (c 2 ) δίνουν ότι το υποσύνολο S είναι ένας υποδακτύλιος του R. Επιπρόσθετα, χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (a), (b), και (c 2 ), για κάθε z 3x S ϑα έχουµε z 2 (3x)(3x) 9x 2 3x 2 3x Εποµένως σύµφωνα µε το πρώτο µέρος της Άσκησης, ο υποδακτύλιος S, ο οποίος δεν έχει απαραίτητα µονάδα, είναι µεταθετικός. Συνεπώς ϑα έχουµε : z x, y R : (3x)(3y) (3y)(3x) 9xy 9yx 6xy + 3xy 6yx + 3yx Επειδή από τη σχέση (a) ισχύει : 6x 0 R, x R, από την παραπάνω σχέση έπεται ότι 3xy 3yx Εργαζόµενοι όπως παραπάνω, αναπτύσσοντας τη σχέση (x + y) 3 x + y, µετά από αναγωγές οµοίων όρων, ϑα έχουµε ότι xy 2 + x 2 y + xyx + yx 2 + yxy + y 2 x 0 (e) και παρόµοια από την σχέση (x y) 3 x y ϑα έχουµε ότι xy 2 x 2 y xyx yx 2 + yxy + y 2 x 0 Προσθέτοντας τις σχέσεις (e) και (f), παίρνουµε την εξής σχέση : 2xy 2 + 2yxy + 2y 2 x 0 Πολλαπλασιάζουµε τη σχέση (g) πρώτα από αριστερά µε y και µετά από δεξιά µε y, και χρησιµοποιώντας ότι y 3 y, ϑα έχουµε τις σχέσεις Αφαιρώντας από την σχέση (h 1 ) την (h 2 ), ϑα έχουµε : 2xy + 2yxy 2 + 2y 2 xy 0 (h 1 ) 2yxy 2 + 2y 2 xy + 2yx 0. (h 2 ) 2xy 2yx Τέλος αφαιρώντας την τελευταία σχέση από την (d), ϑα έχουµε, x, y R: Εποµένως ο δακτύλιος R είναι µεταθετικός. xy yx (d) (f) (g) (i)

11 Ασκηση 11. Να δειχθεί ότι οι επόµενοι δακτύλιοι αποτελούν ακέραιες περιοχές: (1) (2) (3) (4) Z[i] { a + bi a, b Z όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. Q(i) { a + bi a, b Q όπου i 2 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών. Z( 5) { a + b 5 a, b Z µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. Q( 2, 3) { a + b 2 + c 3 + d 2 3 a, b, c, d Q µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών. Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε την εξής απλή παρατήρηση : «αν R είναι µια ακέραια περιοχή και S R είναι ένας υποδακτύλιος του R, τότε ο δακτύλιος S είναι ακέραια περιοχή». (1) Το σύνολο Z[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z[i] είναι ακέραια περιοχή. (2) Το σύνολο Q[i] είναι προφανώς ένας υποδακτύλιος του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q[i] είναι ακέραια περιοχή. (3) Εύκολα ϐλέπουµε ότι το σύνολο Z( 5) είναι ένας υποδακτύλιος του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών, και άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Z( 5) είναι ακέραια περιοχή. (4) Επειδή, όπως µπορούµε να δούµε εύκολα, το σύνολο Q( 2, 3) περιέχει το 0, και είναι κλειστό στην πράξη της αφαίρεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών, έπεται ότι το σύνολο Q( 2, 3) είναι ένας υποδακτύλιος του σώµατος R των πραγµατικών αριθµών. Άρα σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση, ο δακτύλιος Q( 2, 3) είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 12. Εστω (R, +, ) ένας δακτύλιος µε τουλάχιστον δύο στοιχεία και ο οποίος ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a R, a 0, υπάρχει µοναδικό στοιχείο b R έτσι ώστε aba a. Να δειχθεί ότι : (1) ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του µηδενός. (2) bab b. (3) ο R διαθέτει µοναδιαίο στοιχείο. (4) ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. (1) Εστω a, c R έτσι ώστε ac 0 R. Θα δείξουµε ότι : a 0 R ή c 0 R. Υποθέτουµε ότι a 0 R. Εστω b R το µοναδικό στοιχείο του δακτυλίου R έτσι ώστε aba a. Τότε ϑα έχουµε : a(b + c)a aba + aca aba + 0 R a(b + c)a aba a(b + c)a a Λόγω µοναδικότητας του στοιχείου b έτσι ώστε aba a, ϑα έχουµε b b + c και εποµένως από τον Νόµο ιαγραφής, έπεται ότι c 0 R. Παρόµοια δείχνουµε ότι αν c 0 R, τότε a 0 R. Άρα ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. (2) Επειδή, από το (1), ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός, από τη Θεωρία γνωρίζουµε ότι ϑα ισχύουν οι Νόµοι της ιαγραφής στον R. Εποµένως για κάθε a R, a 0 R, ϑα έχουµε : aba a baba ba bab b

12 (3) Θα δείξουµε ότι ο R έχει µοναδιαίο στοιχείο και µάλιστα αυτό είναι το στοιχείο ab, όπου 0 R a R και b R το µοναδικό στοιχείο έτσι ώστε : aba a. Εστω c R. Επειδή aba a, έπεται ότι ca caba και άρα c c(ab) Επειδή από το (2) έχουµε b bab, έπεται ότι bc babc και άρα Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έχουµε ότι c (ab)c (ab)c c c(ab), c R και άρα το ab R είναι το µοναδιαίο στοιχείο του R, το οποίο από τώρα ϑα συµβολίζουµε µε 1 R. (4) Εστω a 0. Τότε, επειδή aba a και λόγω του προηγούµενου ερωτήµατος (3) έπεται ότι ab 1 R, δηλαδή το στοιχείο b είναι ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a. Σηµειώνουµε ότι a, b 0 R, διότι διαφορετικά ϑα έχουµε 1 R 0 R και τότε ο R έχει µόνο ένα στοιχείο : R {0 R το οποίο είναι άτοπο, διότι R > 1. Επίσης χρησιµοποιώντας τον Νόµο ιαγραφής (διότι a, b 0 R ), έχουµε : ab 1 R ab abab 1 R b b bab 1 R ba και άρα δείξαµε ότι ab 1 R ba, δηλαδή το στοιχείο a 0 R είναι αντιστρέψιµο και a 1 b είναι το αντίστροφό του. Συνεπώς κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του R είναι αντιστρέψιµο και άρα ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. ( ) ( ) Ασκηση 13. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιµα στοιχεία των επόµενων δακτυλίων: (1) Z 10, (2) Z 2 Z 4, (3) Z[i], όπου i 2 1, (4) Z Z, (5) H. Λύση. Συµβολίζουµε µε U(R) την οµάδα των αντιστρεψίµων στοιχείων ενός δακτυλίου µε µοναδα R. (1) Ως γνωστόν ένα στοιχείο [k] n Z n είναι αντιστρέψιµο αν και µόνον αν (k, n) 1. Άρα για n 10 ϑα έχουµε : U(Z 10 ) { [1] 10, [3] 10, [7] 10, [9] 10 (2) Εύκολα ϐλέπουµε ότι ϑα έχουµε U(Z 2 Z 4 ) { ([1] 2, [1] 4 ), ([1] 2, [3] 4 ) Γενικά ισχύει ότι αν R 1 R 2 είναι το ευθύ γινόµενο δύο δακτυλίων µε µονάδα, τότε εύκολα προκύπτει ότι : U(R 1 R 2 ) U(R 1 ) U(R 2 ) Επειδή U(Z 2 ) {[1] 2 και U(Z 4 ) {[1] 4, [3] 4, έπεται πάλι ότι U(Z 2 Z 4 ) { ([1] 2, [1] 4 ), ([1] 2, [3] 4 ). (3) Εστω a + bi U(Z[i]). Τότε υπάρχει στοιχείο c + di Z[i] έτσι ώστε : (a + bi)(c + di) 1 Επειδή κάθε στοιχείο a + bi του δακτυλίου Z[i] είναι ιδιαίτερα ένας µιγαδικός αριθµός, µπορούµε να ϑεωρήσουµε το µέτρο του a + bi (a + bi)(a bi) a 2 + b 2. Ως γνωστόν ισχύει : (a + bi) (c + di) a + bi c + di Εποµένως (a + bi)(c + di) 1 (a + bi) (c + di) a + bi c + di 1 (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 1 Επειδή αναζητούµε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 1, προφανώς ϑα έχουµε ότι το στοιχείο a + bi είναι της µορφής 1 + 0i 1, 1 + 0i 1, 0 + 1i i, 0 1i i

13 Αντίστροφα τα στοιχεία ±1, ±i είναι προφανώς αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου Z[i]. Συνοψίζουµε : U(Z[i]) {1, 1, i, i (4) Θα έχουµε : (n, m) U(Z Z) (k, l) Z Z : (n, m)(k, l) (1, 1) (k, l) Z Z : (nk, ml) (1, 1) n ±1 και m ±1 Εποµένως : U(Z Z) { (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1) ιαφορετικά : U(Z Z) U(Z) U(Z) {1, 1 {1, 1 { (1, 1), (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1). (5) Τέλος ϑα έχουµε U(H) H διότι ο δακτύλιος H είναι δακτύλιος διαίρεσης, και άρα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του είναι τα µη- µηδενικά στοιχεία του. Ασκηση 14. Ποιοι από τους επόµενους δακτύλιους είναι σώµατα; (1) Z[i], (2) Q Q, (3) Z 13. Λύση. (1) Ο δακτύλιος Z[i] είναι µια ακέραια περιοχή η οποία δεν είναι σώµα διότι διαφορετικά κάθε µη-µηδενικό στοιχείο του ϑα ήταν αντιστρέψιµο. Σύµφωνα µε την προηγούµενη Άσκηση 13, τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του Z[i] είναι τα ±1, ±i. Άρα ο δακτύλιος Z[i] δεν είναι σώµα. (2) Ο δακτύλιος Q Q δεν είναι ακέραια περιοχή διότι έχει διαιρέτες του µηδενός, π.χ. τα µη-µηδενικά στοιχεία (1, 0) και (0, 1) τα οποία ικανοποιούν τη σχέση (1, 0)(0, 1) (0, 0). Εποµένως ο δακτύλιος Q Q δεν είναι σώµα. (3) Επειδή ο δακτύλιος Z n είναι σώµα (αν και µόνον αν ο δακτύλιος Z n είναι ακέραια περιοχή) αν και µόνον αν ο ϕυσικός αριθµός n είναι πρώτος, έπεται ότι ο δακτύλιος Z 13 είναι σώµα. Ασκηση 15. Ποια είναι η χαρακτηριστική των επόµενων δακτυλίων; (1) Z 10 Z 8, (2) C, (3) Z Z, (4) H, (5) Z 2 Z Z 3. Λύση. (1) Εστω ότι υπάρχει k 1 έτσι ώστε k1 Z10 Z 8 0 Z10 Z 8. Τότε : ([0] 10, [0] 8 ) 0 Z10 Z 8 k1 Z10 Z 8 k([1] 10, [1] 8 ) (k[1] 10, k[1] 8 ) ([k] 10, [k] 8 ) και εποµένως : [k] 10 [0] 10 και [k] 8 [0] 8 10 k και 8 k 40 [10, 8] k k 40 t, t 1 Αντίστροφα αν k 40 t 10(4 t) 8(5 t), t 1, τότε προφανώς [k] 10 [0] 10 και [k] 8 [0] 8, και τότε ϑα έχουµε k([1] 10, [1] 8 ) ([0] 10, [0] 8 ). Επειδή ο αριθµός k 40 είναι ο µικρότερος ϕυσικός µε αυτή την ιδιότητα, ϑα έχουµε : char(z 10 Z 8 ) 40 (2) Προφανώς char(c) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε nz 0, z C. (3) Προφανώς char(z Z) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε n(k, m) (0, 0), (k, m) Z Z.

14 (4) Προφανώς char(h) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε na 0 H, A H. (5) Προφανώς char(z 2 Z Z 3 ) 0 διότι δεν υπάρχει ϕυσικός n 1 έτσι ώστε n([k] 2, l, [m] 3 ) ([0] 2, 0, [0] 3 ), ([k] 2, l, [m] 3 ) Z 2 Z Z 3. Ασκηση 16. Να δειχθεί ότι σε ένα σώµα F χαρακτηριστικής p > 0 ισχύει a, b F : (a + b) p a p + b p. Λύση. Επειδή ένα σώµα είναι µεταθετικός δακτύλιος, ϑα έχουµε ότι ab ba, a, b R. Τότε όµως ισχύει ο διωνυµικός τύπος του Νεύτωνα : p 1 p (a + b) p a p + b p + a p k b k k Από την Θεωρία Αριθµών γνωρίζουµε ότι 2 : p ( ( p k). Αυτό σηµαίνει ότι p k) p r για κάποιον ϑετικό ακέραιο r. Τότε χρησιµοποιώντας ότι η χαρακτηριστική του R είναι ίση µε p, ϑα έχουµε : p k 1, 2,, p 1 : a p k b k p r a p k b k k Επειδή σε έναν δακτύλιο R χαρακτηριστικής p ισχύει p r 0, r R, ϑα έχουµε : και εποµένως : k1 k 1, 2,, p 1 : p r a p k b k 0 p 1 p (a + b) p a p + b p + a p k b k a p + b p k Ασκηση 17. Εστω R ένας δακτύλιος, όχι απαραίτητα µε µονάδα. Να δείξετε ότι το σύνολο Z R { (n, r) n Z & r R εφοδιασµένο µε τις πράξεις : k1 (n, r) + (m, s) (n + m, r + s) και (n, r) (m, s) (nm, ns + rm + rs) είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα. Λύση. Είναι πολύ εύκολο να διαπιστωθεί ότι το σύνολο Z R εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις ικανοποιεί τα αξιώµατα δακτυλίου. Σηµειώνουµε ότι rm συµβολίζει το στοιχείο mr, δηλαδή rm mr r + +r (m παράγοντες αν m 1), r0 0r 0 R (αν m 0), και rm mr ( r) + + ( r) ( m παράγοντες αν m < 0). Επιπρόσθετα το στοιχείο (1, 0 R ) είναι η µονάδα του δακτυλίου Z R διότι : (n, r) Z R : (n, r)(1, 0 R ) (n1, n0 R + r1 + r0 R ) (n, r) (1, 0 R )(n, r) 2 Υπενθυµίζουµε την απόδειξη : Θα έχουµε p p! p! k k!(p k)! ( ) p k k!(p k)! & p p! p ) p k!(p k)! k Επειδή p είναι πρώτος, έπεται προφανώς ότι p k! και p (p k)!. Πράγµατι, διαφορετικά ϑα είχαµε p l για κάποιο 1 l k ή p t για κάποιο t p k αντίστοιχα, δηλαδή p l k ή p t p k. Και οι δύο περιπτώσεις µας οδηγούν σε άτοπο διότι 1 k p 1. Εποµένως ϑα έχουµε p ( p k). (

15 Ασκηση 18. Θεωρούµε τον δακτύλιο πινάκων M 2 (Z 2 ). (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (2) Βρείτε όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (3) Να ϐρεθεί η χαρακτηριστική του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). Λύση. Είναι εύκολο να δεί κανείς ότι αν V είναι ένας διανυσµατικός χώρος διάστασης n υπεράνω ενός πεπερασµένου σώµατος Z p, p: πρώτος, τότε V p n. Επειδή ο δακτύλιος M 2 (Z 2 ) είναι διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος Z 2 διάσταση 2 2 4, µε ϐάση τους πίνακες [1]2 [0] E 11 2 [0]2 [1], E [0] 2 [0] 12 2 [0]2 [0], E 2 [0] 2 [0] 21 2 [0]2 [0], E 2 [1] 2 [0] 22 2 2 [0] 2 [1] 2 έπεται ότι το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ) είναι 2 4 16. Τα αντιστρέψιµα στοιχεία του M 2 (Z 2 ) είναι όλοι οι αντιστρέψιµοι 2 2 πίνακες µε στοιχεία από το σώµα Z 2, δηλαδή όλοι οι πίνακες A M 2 (Z 2 ) έτσι ώστε det(a) [0] 2. Εύκολα ϐλέπουµε ότι οι αντιστρέψιµοι πίνακες είναι οι εξής : [1]2 [0] 2, [0] 2 [1] 2 [1]2 [1] 2, [0] 2 [1] 2 [1]2 [0] 2, [1] 2 [1] 2 [0]2 [1] 2, [1] 2 [0] 2 [1]2 [1] 2, [1] 2 [0] 2 [0]2 [1] 2 [1] 2 [1] 2 Παρατηρώντας ότι 2 [0]2 [1] 2 [1]2 [0 2 [1] 2 [0] 2 [0] 2 [1] 2 και 3 [1]2 [1] 2 [1]2 [0] 2 [1] 2 [0] 2 [0] 2 [1] 2 εύκολα ϐλέπουµε ότι η οµάδα των αντιστρεψίµων στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ) είναι ισόµορφη µε την συµµετρικη οµάδα S 3 : U ( M 2 (Z 2 ) ) S3 ( Μπορείτε να κατασκευάσετε έναν ισοµορφισµό f : U ( M2 (Z 2 ) ) S 3 ; ) Τέλος αν A a11 a 12 a 21 a 22 M 2 (Z 2 ) τότε επειδή 2a ij 0 Z2, έπεται άµεσα ότι 2A 0 M2 (Z 2 ) και εποµένως : char(m 2 (Z 2 )) 2 Σχόλιο 5. Γενικότερα το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z p ), p: πρώτος, είναι p 4 και η τάξη της οµάδας των αντιστρεψίµων στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z p ) είναι : o ( U ( M 2 (Z 2 ) )) (p 2 1)(p 2 p) Μπορείτε να ϐρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου πινάκων M n (Z p ) υπεράνω του σώµατος Z p και (κυρίως) της οµάδας των αντιστρεψίµων στοιχέιων του U ( M n (Z p ) ) ; Ασκηση 19. Εστω R ένας πεπερασµένος δακτύλιος µε µονάδα. Να δείξετε ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης αν και µόνον ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Λύση. Εστω ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Εστω r, s R έτσι ώστε rs 0. Αν r 0, τότε, επειδή ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης, υπάρχει το αντίστροφο r 1 R. Εποµένως r 1 (rs) 0 (r 1 r)s 0 1 R s 0 s 0 Παρόµοια αν s 0, τότε δείχνουµε ότι r 0. Εποµένως ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός.

16 Εστω r 0 R και r 0 0. Ορίζουµε απεικόνιση f : R R, f(r) rr 0 Χρησιµοποιώντας ότι r 0 0 R και ότι ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδέν, ϑα έχουµε : f(r) f(s) rr 0 sr 0 (r s)r 0 0 R r s και άρα η απεικόνιση f είναι 1-1. Επειδή το σύνολο R είναι πεπερασµένο έπεται ότι η f είναι επί 3. Τότε όµως 1 R f(r) και άρα υπάρχει ακριβώς ένα x R έτσι ώστε : f(x) 1 R, δηλαδή xr 0 1 R Επιπλέον χρησιµοποιώντας ότι η f είναι 1-1, ϑα έχουµε : f(r 0 x) (r 0 x)r 0 r 0 (xr 0 ) r 0 1 R r 0 1 R r 0 f(1 R ) r 0 x 1 R Εποµένως το r 0 είναι αντιστρέψιµο, και άρα ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 20. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα. Αν ένα στοιχείο a R έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία (δηλαδή στοιχεία a R έτσι ώστε aa 1 R ) τότε να δείξετε ότι το a έχει άπειρα δεξιά αντίστροφα στοιχεία 4. Λύση. Σταθεροποιούµε ένα στοιχείο a R, και υποθέτουµε ότι το a έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία. Συµβολίζουµε µε X(a) το σύνολο των δεξιά αντίστροφων στοιχείων του a: X(a) { a R aa 1 R Τότε X(a) 2. Θα δείξουµε ότι το σύνολο X(a) είναι άπειρο. Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει 1-1 απεικόνιση από το X(a) στο X(a) η οποία δεν είναι επί (ϐλέπε την υποσηµείωση 3). Σταθεροποιούµε ένα στοιχείο a 0 X(a), δηλαδή aa 0 1 R, και ορίζουµε απεικόνιση f : X(a) X(a), f(a ) a a 1 R + a 0 Η απεικόνιση f είναι καλά ορισµένη, δηλαδή f(a ) X(a), a X(a). Πράγµατι : af(a ) a(a a 1 R + a 0 ) a(a a) a1 R + aa 0 (aa )a a + aa 0 1 R a a + 1 R a a + 1 R 1 R Η απεικόνιση f είναι 1-1 διότι : f(a ) f(a ) a a 1 R + a 0 a a 1 R + a 0 a a a a (a a)a (a a)a a (aa ) a (aa ) a 1 R a 1 R a a Η απεικόνιση f δεν είναι επί. Πράγµατικά το στοιχείο a 0 / X(a), διότι διαφορτετικά : a X(a) : f(a ) a 0 a a 1 R + a 0 a 0 a a 1 R 0 R a a 1 R Τότε όµως ϑα έχουµε a a 1 R aa και εποµένως το στοιχείο a είναι αντιστρέψιµο και a a 1. Τότε όµως για κάθε δύο δεξιά αντίστροφα a 1, a 2 X(a) του a, ϑα έχουµε : aa 1 1 R aa 2 a 1 (aa 1 ) a 1 (aa 2 ) (a 1 a)a 1 (a 1 a)a 2 1 R a 1 1 R a 2 a 1 a 2 Εποµένως υπάρχει ακριβώς ένα δεξιά αντίστροφο στοιχείο του a, δηλαδή X(a) 1. Αυτό όµως είναι άτοπο διότι από την υπόθεση έχουµε X(a) 2. Συµπεραίνουµε ότι η απεικόνιση f δεν είναι επί. Εποµένως επειδή κατασκευάσαµε µια 1-1 απεικόνιση επί του συνόλου X(a) η οποία δεν είναι επί, συνάγουµε ότι το σύνολο X(a) είναι άπειρο. 3 Χρησιµοποιούµε ότι : αν ένα σύνολο X είναι πεπερασµένο τότε κάθε 1-1 απεικόνιση f : X X είναι επί. Ισοδύναµα, αν σε ένα σύνολο X υπάρχει 1-1 απεικόνιση f : X X η οποία δεν είναι επί, τότε το σύνολο X είναι άπειρο. 4 Το αποτέλεσµα αυτό οφείλεται στον Irving Kaplansky (1917-2006): Καναδός Μαθηµατικός ο οποίος έζησε και εργάσθηκε στις ΗΠΑ, µε σηµαντική συµβολή σε πολλούς ερευνητικούς κλάδους και ιδιαίτερα στην Άλγεβρα.

17 Ασκηση 21. Εστω R µια ακέραια περιοχή και υποθέτουµε ότι : nr 0 R, για κάποιο r R, r 0 και κάποιο n Z +, n 0. Να δείξετε ότι : char(r) p για κάποιον πρώτο διαιρέτη p του n. Λύση. Χρησιµοποιώντας την υπόθεση, ϑα έχουµε nr 0 R n(1 R r) 0 R 1 R r + 1 R r 0 R (n παράγοντες) (1 R + + 1 R )r 0 R (n παράγοντες) (n1 R )r 0 R Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και r 0 R, ϑα έχουµε n1 R 0 R. Αυτό σηµαίνει ότι char(r) <. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, γνωρίζουµε ότι char(r) p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθµός. Θα δείξουµε ότι p n. Θεωρούµε την προσθετική αβελιανή οµάδα (R, +). Επειδή nr 0 R, έπεται ότι κάθε στοιχείο r R έχει πεπερασµένη τάξη και µάλιστα o(r) n. Επειδή char(r) p, έπεται ότι o(r) p, r R, και άρα o(r) 1 ή o(r) p, r R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι ο R έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία, και άρα υπάρχει r 0 R έτσι ώστε o(r) p, και εποµένως p n. Ασκηση 22. Εστω R ένας δακτύλιος µε περισσότερα από ένα στοιχεία. Υποθέτουµε ότι η εξίσωση ax b έχει λύση για κάθε 0 a R και για κάθε b R. Να δείξετε ότι ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Λύση. Θα δείξουµε το Ϲητούµενο σε τρία ϐήµατα : (1) Ο δακτύλιος R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Εστω a, b R έτσι ώστε : ab 0 R. Υποθέτουµε ότι a, b 0 R, και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Θα έχουµε abx 0 R, x R. Επειδή b 0 R, η εξίσωση bx c έχει λύση για κάθε c R. Εποµένως ϑα έχουµε : ac 0 R, c R ( ) Οµως a 0 R, και άρα η εξίσωση ax a έχει λύση, την οποία συµβολίζουµε µε e: ae a. Θέτοντας c e στη σχέση ( ), ϑα έχουµε a ae 0 R και εποµένως a 0 R το οποίο είναι άτοπο. Στο άτοπο καταλήξαµε υποθέτοντας ότι a, b 0 R. Εποµένως είτε a 0 R ή b 0 R και άρα ο δακτύλιος R δεν έχει διαρέτες του µηδενός. (2) Ο δακτύλιος R έχει µονάδα. Επειδή ο δακτύλιος R έχει παραπάνω από ένα στοιχεία, έπεται ότι υπάρχει ένα στοιχείο a R, a 0 R. Τότε όπως παραπάνω, έστω e R η λύση της εξίσωσης ax a. Θα έχουµε ae a aee ae a ae 2 ae a(e 2 e) 0 R Επειδή από το (1) ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή και a 0 R, ϑα έχουµε e 2 e. Προφανώς e 0 R, διότι διαφορετικά ϑα έχουµε a ae a0 R 0 R το οποίο είναι άτοπο διότι a 0 R. Θα δείξουµε ότι το στοιχείο e R είναι η µονάδα του δακτυλίου R. Επειδή ο δακτύλιος R είναι ακέραι περιοχή και e 2 e 0, ϑα έχουµε x R : (xe x)e xe 2 xe xe xe 0 R xe x 0 R xe x x R : e(ex x) e 2 x ex ex ex 0 R ex x 0 R ex x Εποµένως : x R : xe x ex το στοιχείο e R είναι η µονάδα του δακτυλίου την οποία από τώρα συµβολίζουµε µε e 1 R. (3) Ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης. ηλαδή ϑα δείξουµε ότι κάθε µη-µηδενικό στοιχείο a R είναι αντιστρέψιµο. Επειδή a 0 R, η εξίσωση ax 1 R έχει λύση a R: aa 1 R. Επιπρόσθετα ϑα έχουµε a(a a 1 R ) a(a a) a1 R (aa )a a 1 R a a a a 0 R. Επειδή a 0 R και ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή, έπεται ότι a a 1 R 0 R και άρα a a 1 R. Ετσι aa 1 R a a και το στοιχείο a είναι αντιστρέψιµο. Εποµένως ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης.