43 Eletón v peodcom pol 43 Vzn pásmovéo enegetcéo spet eletónov Blocov teoém V jednoeletónovej poxmácí má Scödngeov ovnc pe stconáne stvy eletónu v yštál tv de ( ) ψ + V m ( ) ψ = Eψ, ( ) V + T = V V je peodcá potencáln eneg eletónu ( ) ( ) Vo všeobecnost s ovnc ( ) eš poxmtívnym metódm, vycádzjúcm v nultom pblížení zo stvov eletónu v zolovnom tóme tzv metód tesnej väzby (podobnejše v p 434) Rešen ovnce ( ) s opejú o tzv Blocov teoém : Vlnové funce, toé sú ešením ovnce ( ) pe ( ) V peodcé, ψ = u e tzv Blocove funce, de u ( ) je peodcá func s peodctou yštálovej mežy, tj u + T = u mjú tv ( ) ( ) Pozn: ( ) ( ) Úplná vlnová func má ted tv postupnej ovnnej vlny s mpltúdou modulovnou peodcou funcou ( ) u Pmo z Blocovo teoému vyplýv d dôsledov o stve eletónu v peodcom pol, np: Symet dspeznéo vzťu v - pestoe: E( ) = E( ), peodct dspeznéo vzťu v E + T = E, vdtcá závslosť ( ) novej zóne, tď - pestoe: ( ) ( ) E v oolí extémov enege v Bllou- Páve uvžovná peodct yštálovéo poľ mežy má z následo ozštepene ostýc enegetcýc ldín zolovnýc tómov v pásm (poz ďlše ptoly)
43 Kong-Penneyo model Ide o jednoducý model pe jednoozmený yštál, v toom uvžujeme peodctu potencálnej enege Z jeo ešen zísme vceé dôležté výsledy pltné pe tojozmený yštál V tomto model uvžovné zjednodušene pebeu potencálnej V nám umožňuje extne ešť Scödngeovu ovncu enege ( ) Uvžujme ldné óny podľ obázu: + + + + + d X V Sutočný pebe potencálnej enege eletónu b V=0 II I -b 0 + V 0 X Apoxmác potenc enege systémom pvoulýc potencálovýc jám Podľ obázu pltí: v oblst I : V = 0 pe 0 < x <, v oblst II : V = V 0 pe b < x < 0 Upvme Scödngeovu ovncu do vodnejšeo tvu: d ψ ozmený pípd + V ( x) ψ = Eψ m dx d ψ dx m po úpve + ( E V ( x) ) ψ = 0 Potom pe vlnové funce pltí: d ψ m v oblst I : + Eψ = 0 dx d ψ m + 0 ψ = dx v oblst II : ( E V ) 0, ( ) ( )
Pedpoldjme pe enegu eletónov E < V0 (vzné stvy) Zveďme oznčene v ovncc ( ) ( ) me m α =, β = ( V E) 0 α, β eálne Potom, v oblst I : d ψ + α ψ = 0 dx v oblst II : d ψ β ψ = 0 dx Podľ Blocovo teoému ψ ( x ) = u( x) e x ovnce pe u( x) : dψ du x = e dx dx ψ d u = e dx dx + u e x ( ) d x du x Dosdením ( ) + e u dx do ovnce pe oblsť I d u du + + ( α ) u = 0 v oblst I, dx dx do ovnce pe oblsť II d u du + ( β + ) u = 0 v oblst II dx dx dosdením ( ), e x,, dosďme ľdjme ( ) γ x Pe ovncu v oblst I ľdjme ešene v tve u = Ae dostneme vdtcú ctestcú ovncu s oeňm γ, úplné ešene v oblst I v tve súčtu exponencál: γ x γ x u = A e + B e U ovnce v oblst II ovným postupom γ x γ x u = C e + B e ( ) u = ( ) ( ) Koefcenty A, B, C D s uč zo spojtost funcí v bodoc x = 0 x =, tj ( 0) u( 0) zo spojtost c devácí v týcto bodoc, tj du dx x= 0 = du dx x= 0 du dx x= du = dx x= b u x u ( x) u u b =
Z ešteľnost sústvy štyoc ovníc pe A, B, C, D vyplyne podmen: snα P α + cosα mv0 b de P = Rozbo zísnéo vzťu ( ): = cos, ( ) ) Rovnc ( ) pozn : α = me n vlnovom čísle ted dspezný vzť posytuje závslosť enege E ( ) b) Rovncu je možné ešť numecy, esp gfcy tým zísť ľdný dspezný vzť Gfcé ešene: 4 3 P snα α + cosα dovolené odnoty α 0 3 0 4 α - - zázné odnoty α Pozn: fyzálny význm má b ešene α > 0 Dovolené odnoty α zázné odnoty α pásm dovolenýc enegí, pásm záznýc enegí
) Pvá stn ovnce (, tj cos môže ndobúdť b odnoty z ntevlu, α môže ndobúdť b té odnoty, že snα P + cosα α poz gf Ted exstujú oblst dovolenýc enegí oblst záznýc enegí Ší pásem dovolenýc enegí ste s nástom enege E c) Velčn P mv0 b podľ výsledu P = (vď oe) je úmená súčnu V 0 b ted ploce (moutnost) béy Hľdjme ešen pe lmtné odnoty P : ) P = 0 tj bez potencál béy (pípd voľnýc eletónov) : Potom z ovnce ( ) cos α = cos α = E = m - ted dspezný vzť pe voľné eletóny ) P tj neonečne vysoé béy Potom ovnc ( ) má ešene b pe sn α = 0 α = ± n, esp me = ± n E n m = n, - dsétne spetum vznej čstce v neonečne lboej jme tómovéo ozmeu (bez enegetcýc pásem) d) Učme odnoty vlnovéo čísl, toé odpovedjú dovoleným enegetcým pásmm Vo vnút dovolenéo pásm enegí s cos mení od + do (vď pedcádzjúc ob)
Vynesme závslosť cos o funcu : cos 0 - dovolené enegetcé pásmo odpovedá z ntevlu, ted z Bllounovej zóny dovolené enegetcé pásmo pe odpovedjúce čovnej čst funce cos, ted z oblst < + <, tzv Bllounov zón 3 ďlše dovolené enegetcé pásm nlogcým spôsobom e) Vynesme do gfu z ovnce ( ) vypočítnú závslosť E = E( ) pe dné P (vď ob n ďlšej stne) Func E() je nespojtá vzn pásem dovolenýc záznýc odnôt enege Znázonene E( ) E = n obázu ubou plnou čou s nzýv ozšíené pásmové scém Peodcým opovním závslost E( ) E = vo vnút ždéo pásm (n ob čovne) dostávme tzv peodcé pásmové scém Toto peodcé ozšíene umožňuje peodct enege o funce s peódou ozmeu Bllounovej zóny E + n = E( ) Pozn: Dôz vď v ďlšom texte pomocou Blocovo teoému
E dspezný vzť pe voľné eletóny E = m 3 pásmo pásmo 3 0 3 pásmo Ďlším čsto používným zobzením dspeznýc vzťov v jednotlvýc pásmc je tzv eduovné pásmové scém Dostneme o penesením dspeznýc vzťov E = E( ) pe vyšše ležce pásm do Bllounovej zóny s ešpetovním vyšše uvedenej podmeny peodcty Potom s nzýv eduovné vlnové číslo E je vcznčnou funcou E 3 pásmo pásmo pásmo
Dosľ sme uvžovl neončený jednoozmený yštál V ďlšom uážeme, o s zmení uvedené ešene, budeme uvžovť jednoozmený yštál onečnýc ozmeov Nec dĺž tómovéo eťzc bude Aplujme Bon-Kámnove podmeny n vlnovú funcu ψ, tj poždujeme by pltlo ψ ( x + ) =ψ (x) Petože podľ Blocovo teoému pltí: ( x ) = u( x) e x ψ, ( ) poždujeme ted by ( ) x + u x + e = u( x) e x u + = ) (z peodcty u ), ted musí pltť Veme, že ( x ) u(x e = = n, de n = 0, ±, ±, pe dovolené odnoty : = n ted dsétne odnoty Z dsétnost odnôt vlnovéo čísl dsétne odnoty E v ždom enegetcom pásme Petože je pe ždé enegetcé pásmo obmedzené n jednu Bllounovu zónu (po penesení dspeznéo vzťu do Blloun zóny môžeme uvžovť túto zónu) počet ôznyc odnôt je totožný s počtom enegetcýc ldín v pásme oznčme N N učíme z podmeno: dĺž Blloun zóny v - pestoe: + ntevl ppdjúc n jednu odnotu (vď oe): Ted N = =, čo s ovná počtu tómov v eťzc A uvžujeme spn eletónu (n ždej ldne eletóny s opčným spnom) v jednom enegetcom pásme s môže ncádzť mxmálne N eletónov (de N je počet čstíc eťzc)
433 Poyb eletónu v tojozmenej meže V tejto ptole s doážeme netoé všeobecne pltné vzťy pe eálny (tojozmený) yštál ) Uážme, že pe peodcú potencálnu enegu V ( ) (s peodctou mežy) vlnové funce ψ vyzujú tnslčnú vlstnosť ψ + T =ψ e, de T tnslčný veto mežy ( ) ( ) T Pozn: podľ uvedenéo vzťu mení s len fáz vlny eletónu Dôz : Upvme ψ ( + T ) s využtím Blocovo teoému: ( ) ( ) ( ) T T ( ) T T u T e u e e ( ) e + + = + = ψ =ψ, čo bolo teb doázť Zo zísnéo výsledu je vdeť, že veto neje učený jednoznčne A totž zvolíme nmesto veto = + T (de T je tnslčný veto ecpočnej mežy) dostneme tú stú vlnovú funcu: ( ) ( ) T ( ) T T T T T e e e ( ) e ψ + = ψ = ψ = ψ, petože pltí T T = n, de n je celé číslo ψ ψ Pe ovnú fázu vlny pe ždé T ( ) ( Eletónové stvy ctezovné vetom evvlentné pe enegu pltí: E ( T ) = E( ) ) + T sú fyzálne + tzv peodct E v pásme Z vyšše odvodenýc vzťov vyplýv, že všety fyzálne neevvlentné ešen je možné nájsť s vetoom ležcm v pmtívnej bune ecpočnej mežy s výodou s volí z túto bunu Bllounov zón
b) Uvžujme tojozmený yštál s otoombcou symetou, tvu nol s nm,, 3 Z pedcádzjúceo odstvc veme, že všety fyzálne neevvlentné ešen je možné elzovť s ležcm v Bllounovej zóne Voľme súdný systém v smee yštlogfcýc osí x < Bllounov zón pe tento yštál: y <, ( ) z < 3 3 de,, 3 sú mežové pmete otoombcej elem buny Pozn: Veto ( x, y, z ) ndobúd spojté odnoty v Bll zóne uvžujeme neonečne veľý yštál Pe onečný yštál ( ) 3 : plujme Bon-Kámnove ojové podmeny n vlnovú ψ, ted poždujme funcu ( ) ψ ( x y, z) ( x, y, z, =ψ ψ ( x, y z) ( x, y, z, =ψ ψ ( x y, z ) =ψ ( x, y z +, +, + ) ), 3, ) Z týcto podmeno x = n, y = n, z =, ( n = 0, ±, ±, ) - ted dsétne odnoty,, ) x S uvážením obmedzení ( pltnost = N, = N, 3 = N33, de N je počet mežovýc bodov v eťzc (v smee osí X, Y, Z), vyplýv, že počet ôznyc vlnovýc vetoov v Bllounovej zóne je N = N N N3, čo je ovné počtu pmtívnyc bune v yštál A uvážme spn v jednom enegetcom pásme je N možnýc stvov pe eletóny y z 3
c) Eletóny epezentovné vlnovým vetoom ončcm n nc Bllounovýc zón s nemôžu yštálom šíť Dôz: Uvžujme b nce Blloun zón v smeoc yštlogfcýc osí otoombcú mežu (všeobecný dôz je možné nájsť v ctovnej ltetúe) Hnce jednotlvýc Blloun zón v smee yštlogfcýc osí (mežové pmete ) : = n, n = ±, ±,, =,, 3 ( ) Vlnová dĺž de Bogle-o vlny s dným : pltí = λ = λ Poovnním s ( ) podmen: = nλ ( ) Nvc vln s vetoom s ší olmo n sústvu ovín s medzovnnou vzdlenosťou (z vlstnost tnslčnéo veto ecpočnej mežy) Potom ovnc ( ) je totožná s Bggovým záonom pe eflexu vlny od sústvy mežovýc ovín s medzovnnou vzdlenosťou (je splnené θ = 90 ) Intefeencou odzenej vlny s vlnou postupujúcou vzná stojté vlnene čím sme doázl tvdene v úvode Pozn: Z uvedenýc úv vyplýv tež ný spôsob defnovn Bllounovýc zón o oblst -pestou ončené plocm vytvoeným z oncovýc bodov týc vetoov eletónovýc vĺn, p toýc docádz eflex n yštálovej meže Táto defníc Blloun zón je totožná s defnícou z yštlogfe (o vodne vybté elementáne buny ecpočnej mežy)