ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 5 τον ορισµό του µεγίστου. Α3. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 34 την πόδειξη του τύπου = ln. Α4. i. Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 5 τ σχόλι. ii. Ψευδής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 9 τις δυνάµεις του i µε υ = 3. iii. Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 65 το Θεώρηµ ο. iv. ΘΕΜΑ Β Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 4 τον ορισµό του ρυθµού µετβολής. v. Αληθής. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 6 το σχόλιο του Θεωρήµτος του Fermat. Β. Τ πεδί ορισµού των, g είνι ντίστοιχ τ Α = IR κι A g = (, + H og έχει πεδίο ορισµού το σύνολο { A g κι g( Α } ={ > κι g( IR } = (, + Γι τέτοιες τιµές του, έχουµε: Ώστε ( og = µε (, + g ln og = g = e = e = Η go ορίζετι στο σύνολο { A κι ( Α g } = { IR κι Γι τέτοιες τιµές του, έχουµε: e > } = IR go = ln + = ln e + = + = Ώστε go = µε IR. Πρτηρούµε ότι οι συνρτήσεις οg κι go δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού, εποµένως δεν είνι ίσες. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β. Γι κάθε, IR έχουµε e e Εποµένως η είνι κι έχει ντίστροφη. Έχουµε y = y = e Άρ ( = ln +, > Β3 Θεωρούµε την συνάρτηση = ln y, y > = ln y +, y > =. h e ln, e, Η h είνι συνεχής. Πράγµτι η συνάρτηση e είνι συνεχής, ως σύνθεση της πολυωνυµικής µε την εκθετική e, οι οποίες είνι συνεχείς. Εποµένως η h είνι συνεχής, γιτί προκύπτει πό πράξεις των συνεχών συνρτήσεων e, ln (λογριθµική κι (στθερή. Είνι κι Β4. Είνι Οπότε: h e e e ( e = e ln e = e + = e > h = e ln = ln < ( e h e h = e ln < Εφρµόζετι, εποµένως το Θεώρηµ του Bolzano γι την h στο διάστηµ [ e, ], οπότε υπάρχει ( e, µε h( =. Tότε h = e ln = e = ln + Αυτό σηµίνει, ότι η εξίσωση e = ln + έχει ως ρίζ τον ριθµό ( e, κι ποδεικνύει το ζητούµενο. ( e lim = lim =, γιτί (go ( e lim e = lim = lim e = = κι e e e lim = g( ln + Ακόµ, lim = lim. Επειδή lim (ln + = + κι + (og( + lim = + + + έχουµε προσδιόριστη µορφή. Είνι (ln + l lim = lim =, οπότε πό + ( + το ντίστοιχο θεώρηµ του De L Hospital έχουµε: g( ln + (ln + lim = lim = lim = + (og( + + ( ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ώστε ( g( lim = lim = (go ( + (og( ΘΕΜΑ Γ Γ. i Είνι +, οπότε: t (t dt ( = + e ( Η συνάρτηση t(t είνι συνεχής, ως γινόµενο των συνεχών συνρτήσεων t κι (t, οπότε η συνάρτηση που ορίζετι πό το ολοκλήρωµ t (tdt είνι πργωγίσιµη, άρ κι η t (tdt ii. t (t dt είνι πργωγίσιµη. Εποµένως η συνάρτηση e είνι πργωγίσιµη ως σύνθεση πργωγίσιµων συνρτήσεων, της (tdt µε την εκθετική e. Το γινόµενό της επί τον ριθµό +, t (t dt δηλδή η ( = e είνι πργωγίσιµη. Έχουµε + 3 ( t (t dt t (tdt = e t (t = e dt + + = ( ( ( = ( Γι κάθε IR είνι ( >, φού + > κι ( ( = ( = = e t (t dt >. Έτσι ( ( ( Εποµένως υπάρχει c IR, ώστε = c ( ( H ( γι = δίνει ( =. + H ( δίνει c 3 c c 3 ( = + + = + = Άρ η ( δίνει ( =, γι κάθε IR. + Γ. Έχουµε t (t + 3 t (tdt = dt = dt = ln t + 3 t + t + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 = ln ln = ln 3 Η τιµή υτή είνι νεξάρτητη του. Γ3. Η, ως ρητή, είνι συνεχής κι δύο φορές πργωγίσιµη στο IR µε ( + ( = = = + ( + ( + Το πρόσηµο της µε την µονοτονί κι το κρόττο της φίνοντι στον επόµενο πίνκ: + + Η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ (, ], γνησίως φθίνουσ στο [, + κι έχει ολικό µέγιστο το ( = 3 Γι την έχουµε: ( + 3 ( + 3 ( = 4 ( 3 = = + ( + 3 ( + 4 ( + + 4 = = = 6 4 3 3 ( + ( + ( + Το πρόσηµο της µε την κυρτότητ της κι τ σηµεί κµπής της φίνοντι στον επόµενο πίνκ: + + + σ. κ σ. κ Η είνι κυρτή σε κθέν πό τ διστήµτ (, ], [, + κι κοίλη στο διάστηµ [, ]. Έχει σηµεί κµπής τ (, / κι (, / Η, ως συνεχής στο ΙR, δεν έχει κτκόρυφες σύµπτωτες. Στ + κι έχουµε: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ lim ( = lim = lim + + + + lim ( = lim = lim + = Άρ έχει οριζόντι σύµπτωτη στο + κι στο τον άξον των. Σύµφων µε τ πρπάνω συµπληρώνουµε τον επόµενο πίνκ µετβολών: = + + + + + σ. κ ma σ. κ Η γρφική πράστση της δίνετι στο επόµενο σχήµ: Πρτήρηση. Η είνι άρτι φού γι κάθε IR το IR κι ( = = = ( ( + + Εποµένως µπορούµε ν την µελετήσουµε στο διάστηµ [, + κι ν επεκτείνουµε τ συµπεράσµτ στο IR. Γ4. Το ζητούµενο εµβδό (βλέπε τη γρφική πράστση της είνι µεγλύτερο πό το εµβδό E = = του ορθογωνίου που ορίζετι πό τους 4 άξονες κι τις ευθείες =, y =, κι µικρότερο πό το εµβδό ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε = = του ορθογωνίου που ορίζετι πό τους άξονες κι τις 3 ευθείες =, y =. Εποµένως < Ε < 4 3 Αλλιώς: Με >, επειδή ( > είνι E= ( d= ( d. Η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ [, ], οπότε γι [, ] είνι ( ( ( ( κι ( Επειδή οι ντίστοιχες ισότητες δεν ισχύουν σε όλο το [, ], έχουµε ( d > κι ( d > (d > 4 κι (d 3 > E > κι E > Με < θ εργστούµε οµοίως. 4 < Ε < 4 < Ε < 3 ΘΕΜΑ. Θέτουµε Τότε κι Είνι οπότε + ( e g( =, + lim g( = ( ( = (+ g( + e +, - ( lim [g((+ + e ] = lim[g((+ ] + lim e = + = lim ( = Η, ως πργωγίσιµη στο IR, είνι συνεχής στο IR, άρ κι στο =, έτσι lim ( = ( ( = (3 Έχουµε, µε ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (,(3 + + + ( ( (+ g( + e (+ g( e e = = + = g( + + + + + + + e Το όριο lim είνι προσδιόριστη µορφή τύπου. Πρτηρούµε ότι + + ( e + lim = lim (e = e = ( + Εποµένως, εφρµόζετι ο ντίστοιχος κνόνς του De L Hospital σύµφων µε το οποίο βρίσκουµε + + e (e lim = lim = + (+ Τότε + + ( ( e e ( = lim = lim g( + = lim g( + lim = + + + Στη συνέχει πρτηρούµε ότι η C είνι κοίλη, γιτί ( < στο IR. Εποµένως τ σηµεί της C είνι κάτω πό τ ντίστοιχ σηµεί της εφπτοµένης της στο σηµείο της Α(, (, εκτός του σηµείου επφής που είνι κοινό σηµείο. Η εξίσωση της εφπτοµένης είνι: y ( = ( ( + y = + y = + 4 Άρ ( + 4 γι κάθε IR. Πρτήρηση. Η σχέση υτή ποδεικνύετι κι µε τη βοήθει της συνάρτησης T( = ( 4, η οποί έχει µέγιστο το T( =.. Είνι ( = ( =. Ακόµ η είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο (,, ως πργωγίσιµη στο IR. Εφρµόζετι, εποµένως, το θεώρηµ του Rolle γι την στο διάστηµ [, ], οπότε υπάρχει (, τέτοιο, ώστε ( =. Επειδή ( < η είνι γνησίως φθίνουσ στο IR, οπότε το είνι µονδική της ρίζ κι γι κάθε (, είνι < ( > ( ( > γι κάθε (, + είνι > ( < ( ( < Άρ η ως συνεχής έχει µέγιστο (ολικό το ( µε (,. 3. Η είνι γνησίως φθίνουσ στο IR, εποµένως είνι, οπότε ( 5 ( 5 (4 (t dt = ( (t dt = Αρκεί ν δείξουµε, ότι η (4 έχει µονδική ρίζ στο IR την = 5. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 8
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Πράγµτι, γι = 5 η (4 επληθεύετι, γιτί γίνετι (t dt =. Γι ν δείξουµε την µονδικότητ της ρίζς θεωρούµε την συνάρτηση ( 5 h( = (t dt, IR. Θέτουµε t = u, οπότε dt = du. Γι t = το u = κι γι t = ( 5 το u =, εποµένως h( = (udu = (udu (udu Επειδή η είνι συνεχής, η συνάρτηση φ( = (udu είνι πργωγίσιµη, εποµένως κι οι συνθέσεις των κι µε την φ είνι πργωγίσιµες µε ( ( (udu, = = (udu = ( ( = ( Εποµένως η h είνι πργωγίσιµη, ως άθροισµ πργωγίσιµων συνρτήσεων, µε h( = ( + ( Επειδή, πό το ερώτηµ ( + 4 γι κάθε IR, είνι h( = ( + ( ( + 4 + + 4= < Άρ η h είνι γνησίως φθίνουσ, εποµένως κι, που σηµίνει ότι η ρίζ της είνι µονδική. Αυτό ποδεικνύει το ζητούµενο. 4. Στο ερώτηµ δείξµε ότι ( < στο (, + µε (,. Εποµένως η είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστηµ [, +. Είνι z + i κι z + >, φού το µέτρο κάθε µιγδικού είνι µη ρνητικός ριθµός. Τότε, µε z = + iy,, y IR πίρνουµε: ( z + i ( z + z + i z + + (y + i + iy + + (y + + y + ( + (y + ( + y + + y y + + y + y + y + y κι y + y y κι y + y + κι =, άρ z = iy, y IR+, φντστικός. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 8