w x y Υλοποίηση της F(w,x,y,z) με πολυπλέκτη 8-σε-1

Άσκηση 1 Οι λύσεις απαντήσεις που προτείνονται είναι ενδεικτικές και θα πρέπει να προσθέσετε Α) Αρχικά σχεδιάζουμε τον πίνακα αληθείας της λογικής έκφρασης: w x y z x G1 =x y G2 =z w F = G1 G2 Είσοδοι Πολυπλέκτη 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 z 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 z 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 z 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 z 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 z 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 z 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 z 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 z Πίνακας Αληθείας για την λογική συνάρτηση F(w, x, y, z) Παρατηρούμε ότι η τελευταία στήλη του Πίνακα Αληθείας αντιστοιχεί στις εισόδους του πολυπλέκτη 8-σε-1 και οι είσοδοι w, x, y είναι οι γραμμές επιλογής του. z I0 I1 I2 I3 I4 MUX 8-1 F I5 I6 I7 S0 S1 S2 w x y Υλοποίηση της F(w,x,y,z) με πολυπλέκτη 8-σε-1

Β) Από το λογικό διάγραμμα έχουμε ότι: F = (Y 03 + Y 12 ) = Y 03 Y 12 Y 03 = A B } F = A B C D Y 12 = C D όπου το Υ03 αντιστοιχεί σε έξοδο του αποκωδικοποιητή 3-σε-8 ενώ το Υ12 αντιστοιχεί σε έξοδο του αποκωδικοποιητή 2-σε-4. Εργαζόμαστε κατά ανάλογο τρόπο για την έξοδο G G = (Y 01 Y 02 Y 12 ) = Y 01 + Y 02 + Y 12 Y 01 = A B Y 02 = C D Y 12 = C D } G = A B + C D + C D = A B + C όπου τα Υ01, Υ02 αντιστοιχεί σε εξόδους του αποκωδικοποιητή 3-σε-8 ενώ το Υ12 αντιστοιχεί σε έξοδο του αποκωδικοποιητή 2-σε-4. Γ) Από την λογική συνάρτηση G,όπως αυτή φαίνεται στο ερώτημα Β, παρατηρούμε ότι δεν θα χρησιμοποιήσουμε την μεταβλητή D. Θα σχεδιάσουμε τον πίνακα αληθείας της G(A,B,C) προκειμένου να υλοποιήσουμε το κύκλωμα με πολυπλέκτη 2-σε-1. A B C A B C G = A B + C Είσοδοι Πολυπλέκτη 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 C 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 Πίνακας Αληθείας για την λογική συνάρτηση G(A,B,C) Από τον Πίνακα Αληθείας παρατηρούμε ότι όταν A = 1 και B = 0 τότε η έξοδος του πολυπλέκτη πρέπει να είναι ίση με την C και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις η έξοδος του πολυπλέκτη είναι ίση με λογικό ένα.

1 I0 MUX 2-1 F C I1 S0 A B Άσκηση 2)A) 1) Υλοποίηση της G(A, B, C) με πολυπλέκτη 2-σε-1 B4 A4 B3 A3 B2 A2 B1 A1 B0 A0 Cout C4 C3 FA FA FA FA FA C2 C1 C0 M S4 S3 S2 Κύκλωμα αθροιστή(m=0)/αφαιρέτη(m=1) 5-ψηφίων με την χρήση αθροιστών και πυλών XOR 2) B4 A4 B3 A3 B2 A2 B1 S1 A1 B0 S0 A0 ΗA ΗA ΗA ΗA ΗA Cout C4 C3 C2 C1 C0 M ΗA ΗA ΗA ΗA ΗA S4 S3 Κύκλωμα αθροιστή(m=0)/αφαιρέτη(m=1) 5-ψηφίων με την χρήση ημιαθροιστών και πυλών XOR, OR 3) Ο αθροιστής του ερωτήματος 1 χρειάζεται 5 πλήρεις αθροιστές και πέντε πύλες XOR. Ενώ ο αθροιστής του ερωτήματος 2 χρειάζεται 5 πύλες XOR 10 ημιαθροιστές και πέντε πύλες OR. S2 S1 S0

B) Παρακάτω παρουσιάζουμε το κύκλωμα ενός πλήρη αθροιστή. Cin A B Carry Out Λογικό Διάγραμμα Πλήρη αθροιστή Από το παραπάνω κύκλωμα παρατηρούμε ότι η καθυστέρηση είναι ίση με 3x2Α=6A και επιφάνεια 5x2Ε=10E. Αυτό σημαίνει ότι η συνολική επιφάνεια του κυκλώματος ενός αθροιστή 5 ψηφίων με πλήρεις αθροιστές και πύλες αποτελείται από 5 πλήρεις αθροιστές και 5 πύλες. Άρα η συνολική επιφάνεια είναι 5x10E + 5x2E = 60E. Επίσης στο κύκλωμα του αθροιστή 5 ψηφίων με πλήρεις αθροιστές παρατηρούμε ότι η διάδοση του κρατουμένου κάθε βαθμίδας καθυστερεί κατά 4x2A=8A. Επομένως η συνολική καθυστέρηση είναι 8Ax5=40A. Παρακάτω παρουσιάζουμε το κύκλωμα ενός ημιαθροιστή. A B Carry Out Λογικό Διάγραμμα Ημιαθροιστή Από το παραπάνω κύκλωμα παρατηρούμε ότι η καθυστέρηση είναι ίση με 2Α και επιφάνεια 2x2Ε=4E. Αυτό σημαίνει ότι η συνολική επιφάνεια του κυκλώματος ενός αθροιστή 5 ψηφίων με ημιαθροιστές αποτελείται από 10 ημιαθροιστές και 10 πύλες των 2 εισόδων. Άρα η συνολική επιφάνεια είναι 10x2E + 10x4E = 60E. Επίσης στο κύκλωμα του αθροιστή 5 ψηφίων με ημιαθροιστή παρατηρούμε ότι η διάδοση του κρατουμένου κάθε βαθμίδας καθυστερεί κατά 3x2A=6A. Επομένως η συνολική καθυστέρηση είναι 6Ax5=30A. Αν και τα δύο κυκλώματα έχουν την ίδια επιφάνεια η υλοποίηση με ημιαθροιστή καθυστερεί λιγότερο την διάδοση του κρατουμένου. Γ) Για την επίλυση του προβλήματος θα θεωρήσουμε ότι οι είσοδοι ZYX εφαρμόζονται στην είσοδο του αθροιστή. Με βάση τον πίνακα αληθείας του αθροιστή και τον πίνακα αληθείας για τις εξόδους ABC θα σχεδιάσουμε το κύκλωμα.

Z Y X Cout A B C 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Πίνακας Αληθείας Από τον Πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι Α=Cout, B=, C=X. Το κύκλωμα φαίνεται παρακάτω. Z Cin Y X B A FA Co B A C

Άσκηση 3 Αρχικά σχεδιάζουμε τον Πίνακα αληθείας του κυκλώματος. Οι στήλες που αναγράφουν Παρούσα Κατάσταση αναφέρονται στις τρέχουσες τιμές των εξόδων των flip-flops. Αντίστοιχα οι στήλες που αναγράφουν Επόμενη Κατάσταση αναφέρονται στις εξόδους των flip flops σε κάθε επόμενη ανερχόμενη παρυφή. Επίσης οι σκιασμένες γραμμένες αναφέρονται στις καταστάσεις στις οποίες η είσοδος έχει λογική τιμή 0, ενώ οι λευκές γραμμές σε αυτές κατά τις οποίες η είσοδος βρίσκεται σε λογικό 1. Παρούσα Κατάσταση Είσοδος Είσοδοι Flip-Flops Επόμενη Κατάσταση Q 2 Q 1 Q 0 x J 0 = K 0 J 1 = K 1 J 2 = K 2 Q 0 x + Q 0 x Q 1 Q 0 x + Q 1 Q 0 x + Q 2 + + Q 1 Q 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 Πίνακας Αληθείας Κυκλώματος

Από τον Πίνακα Αληθείας σχεδιάζουμε το διάγραμμα καταστάσεων του κυκλώματος 000 111 001 110 010 101 011 100 Διάγραμμα Καταστάσεων Κυκλώματος Β) Από το διάγραμμα καταστάσεων και τον Πίνακα Αληθείας συμπεραίνουμε ότι το κύκλωμα υλοποιεί έναν Πάνω-Κάτω μετρητή. Όταν η είσοδος είναι σε λογικό μηδέν ο μετρητής μετράει προς τα πάνω και όταν η είσοδος βρίσκεται σε λογικό 1 ο μετρητής μετράει προς τα κάτω.

Άσκηση 4 Α)Αρχικά θα σχεδιάσουμε τον Πίνακα καταστάσεων του μετρητή. Παρούσα Κατάσταση Επόμενη Κατάσταση Είσοδοι Flip Flop A B C A + B + C + T A T B T C 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 Πίνακας Καταστάσεων Μετρητή Από τον Πίνακα καταστάσεων παρατηρούμε ότι η είσοδος του flip flop που υλοποιεί το LSB του μετρητή βρίσκεται πάντα σε λογικό 1. Για τις υπόλοιπες εισόδους των flip flops και με βάση τον Πίνακα Καταστάσεων θα κάνουμε δυο χάρτες Karnaugh προκειμένου να υλοποιήσουμε τα αντίστοιχα λογικά κυκλώματα. BC A 00 01 11 10 0 0 1 0 X 1 0 X 0 1 T A = BC + B C = B C BC A 00 01 11 10 0 0 0 1 X 1 1 X 0 0 T B = AB + A B = A B Παρατηρούμε ότι χρειαζόμαστε δυο πύλες XOR στις εισόδους των flip flops για να υλοποιήσουμε τον μετρητή. Το κύκλωμα του μετρητή φαίνεται παρακάτω. 1 T Q C B A T Q T Q Qn Qn Qn Λογικό Διάγραμμα Μετρητή

Β) Σχεδιάζουμε τον Πίνακα Αληθείας του κυκλώματος προκειμένου να ελέγξουμε την ορθή λειτουργία του. Παρούσα Κατάσταση Είσοδοι flip-flops Επόμενη Κατάσταση A B C T A = B C T B = A B T C = 1 A + B + C + 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 Πίνακας Αληθείας Μετρητή Από τον Πίνακα Αληθείας επαληθεύεται η ορθή λειτουργία του μετρητή. Οι αναγραφόμενες τιμές στις στήλες ως Παρούσα Κατάσταση αντιστοιχούν στις τρέχουσες εξόδους του μετρητή. Αντίστοιχα οι αναγραφόμενες τιμές στις στήλες ως Επόμενη Κατάσταση αντιστοιχούν στις επόμενες τιμές των εξόδων του μετρητή. Το διάγραμμα καταστάσεων φαίνεται παρακάτω.

000 011 001 110 100 111 Διάγραμμα Καταστάσεων Μετρητή Άσκηση 5 Α) Παρατηρούμε ότι οι πολυπλέκτες τροφοδοτούν τις εισόδους των flip flops. Οι τιμές στις γραμμές επιλογής των πολυπλεκτών καθορίζουν την λειτουργία του κυκλώματος. Στο σχήμα φαίνεται ότι οι έξοδοι των flips flops συνδέονται στις εισόδους 0 των πολυπλεκτών που τροφοδοτούν τις εισόδους τους και στις εισόδους 2 και 3 των επόμενων πολυπλεκτών. Επομένως όταν οι γραμμές επιλογής έχουν την τιμή 00 τα flip-flops διατηρούν το περιεχόμενο τους. Όταν οι γραμμές επιλογής έχουν τις τιμές 10 και 11 πραγματοποιείται δεξιά ολίσθηση. Το MSB φορτώνεται εξωτερικά από την τιμή C. Όταν οι γραμμές επιλογής έχουν την τιμή 01 τότε γίνεται φόρτωση στα flip-flops με βάση την τιμή X3X2X1X0. AB Λειτουργία 00 Διατήρηση Εξόδου 01 Φορτώνεται η τιμή X3X2X1X0 10 Πραγματοποιείται Δεξιά Ολίσθηση 11 Πραγματοποιείται Δεξιά Ολίσθηση Πίνακας Λειτουργίας B) Αρχικά θα υλοποιήσουμε έναν Πίνακα καταστάσεων όπου θα αναγράφουμε όλες τις τιμές των εξόδων των αντίστοιχων μονάδων του ερωτήματος Α.

clk W5 W4 W3 W2 W1 W0 Έξοδος Κ1 Έξοδος Κ2 Έξοδος Κ3 Έξοδος O 11 1010 Α 0 0 0 11 1010 Α 0 0 0 11 0111 7 A 0 0 11 0111 7 A 5 0 11 0010 2 7 5 0 11 1101 2 7 3 5 11 1101 D 2 3 5 11 1111 F 2 1 3 11 1111 F D 1 3 11 0010 2 D 6 1 11 0010 2 F 6 1 11 1010 2 F 7 6 11 1010 A 2 7 6 00 1111 A 2 2 3 00 1111 7 5 2 3 00 1111 7 5 2 1 00 1111 F B 2 1 00 1111 F B 2 9 Πίνακας Καταστάσεων Από τον Πίνακα Καταστάσεων σχεδιάζουμε τις κυματομορφές εξόδου. Όλες οι αναγραφόμενες τιμές είναι σε δεκαεξαδικό.