ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (3 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1
Περιεχόμενο ενότητας Στατιστική επαγωγή: Έλεγχος του υποδείγματος 1. Διάστημα εμπιστοσύνης για την προσδοκώμενη τιμή E Y t 2. Διάστημα εμπιστοσύνης για προβλέψεις 3. Έλεγχος κανονικότητας διαταρακτικού όρου 2
1. Διάστημα εμπιστοσύνης για την προσδοκώμενη τιμή E Y t Τo 100(1-α)% διαστήματα εμπιστοσύνης για την προσδοκώμενη τιμή της Υ δίνεται από την σχέση: Υ t t Τ 2,a/2 s Y t E Y t Υ t t Τ 2,a/2 s Y t όπου οι τιμές t a/2 δίνονται στους πίνακες της κατανομής Student με βάση το a και το T, s είναι το τυπικό σφάλμα της παλινδρόμησης και s Y t είναι η τυπική απόκλιση της Υ t : s Y t = s 1 T + X t X 2 x 2 Το διάστημα εμπιστοσύνης για την προσδοκώμενη τιμή E Y t σταθερό, αλλά εξαρτάται από το t. δεν είναι 3
2. Διάστημα εμπιστοσύνης για προβλέψεις Οι προβλεφθείσες τιμές Υ t είναι εκτιμήσεις του μέσου Ε( Υ t ) και εξαρτώνται από τον διαταρακτικό όρο. Τo 100(1-α)% διαστήματα εμπιστοσύνης για την προσδοκώμενη τιμή Υ f της Υ δίνεται από την σχέση: Υ f t Τ 2,a/2 s Y f E Y f Υ f t Τ 2,a/2 s Y f όπου οι τιμές t a/2 δίνονται στους πίνακες της κατανομής Student με βάση το a και το T και s Y f είναι το τυπικό σφάλμα της πρόβλεψης: s Y f = s 1 T + X f X 2 x 2 και X f κάποια μελλοντική τιμή της Υ. 4
3. Έλεγχος κανονικότητας διαταρακτικού όρου Οι έλεγχοι με τις στατιστικές t και F, προϋποθέτουν ότι ο διαταρακτικός όρος κατανέμεται κανονικά. Διαφορετικά, οι έλεγχοι δεν είναι έγκυροι. Ανασκόπηση βασικών εννοιών Για μια μεταβλητή Χ ορίζουμε ως S την ασυμμετρία (skewness) και ως k την κύρτωση (kurtosis) της κατανομής: S = (X X) 3 t k = (X X) 4 t Τs 3 Τs 4 όπου Τ το πλήθος των παρατηρήσεων της Χ, X η μέση τιμή της και s η τυπική της απόκλιση. Αν μια μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή, τότε S = 0, k = 3. 5
Έλεγχος Jarque-Bera Η 0 : κατάλοιπα κανονικά κατανεμημένα Στατιστικό ελέγχου JB = T( S2 6 + (k 3)2 24 ) όπου S: ασυμμετρία και k: κύρτωση της κατανομής των καταλοίπων Η Η 0 απορρίπτεται αν η τιμή του στατιστικού JB είναι μεγάλη, ή διαφορετικά, αν η πιθανότητα λάθους αν απορρίψουμε την Η 0 είναι μικρή (Probability < 0. 05). 6
Άσκηση 4. Έστω η ζήτηση ενός αγαθού. Υ Ποσότητα σε κιλά Χ Τιμή κιλού σε ευρώ 100 13 82 13,5 86 13,2 90 13 60 14 70 13,7 α. Να βρεθεί η γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος, αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης είναι γραμμικής μορφής. β. Να γίνουν έλεγχοι σημαντικότητας των συντελεστών. γ. Να ερμηνεύσετε τις εκτιμήσεις των συντελεστών της ευθείας παλινδρόμησης. δ. Υπολογίστε τον συντελεστή προσδιορισμού και το τυπικό σφάλμα της παλινδρόμησης. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. ε. Να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστοσύνης του β 1. στ. Να υπολογιστεί η ελαστικότητας ζήτησης για τους μέσους όρους και να σχολιάσετε το αποτέλεσμα. ζ. Ελέγξτε αν ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί την κανονική κατανομή. η. Να σχολιάσετε την εκτίμηση του συντελεστή συσχέτισης. 7
α. H γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος προκύπτει στο Eviews με τις παρακάτω επιλογές: New Workfile Object New Object Εισάγουμε τα δεδομένα Quick Estimate Equation Y C X H γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος είναι Υ t = 538. 8943 34. 14634X t 8
β. Έλεγχοι σημαντικότητας των συντελεστών Για την Η 0 : β 0 = 0 Prob.=0.0010 < 0.05 άρα η Η 0 απορρίπτεται Για την Η 0 : β 1 = 0 Prob.=0.0019 < 0.05 άρα η Η 0 απορρίπτεται 9
γ. Ερμηνεία συντελεστών παλινδρόμησης Για τον σταθερό όρο: Θετικό πρόσημο για τον σταθερό όρο και αρνητική κλίση ευθείας. Δηλαδή, για μηδενική τιμή της Χ, η ζητούμενη ποσότητα Υ είναι θετική. Για την κλίση της γραμμής παλινδρόμησης: Η αρνητική κλίση της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος δείχνει ότι αύξηση της τιμής οδηγεί σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας π.χ. αύξηση της τιμής κατά 1 μειώνει την ζητούμενη ποσότητα κατά 34.146 κιλά. 10
δ. Ο συντελεστής προσδιορισμού είναι R 2 = 0. 928851 0. 93, δηλ. η τιμή του κιλού ερμηνεύει το 93% της μεταβλητότητας της ζήτησης του αγαθού. Το τυπικό σφάλμα της παλινδρόμησης είναι s = 4. 278895, οποίο είναι σχετικά μικρό και άρα η προσαρμογή του υποδείγματος στα δεδομένα είναι καλή. 11
ε. Το 95% δ.ε. για το β 1 προκύπτει από τις παρακάτω επιλογές: View Coefficients diagnostics Confidence Intervals To 95% δ.ε. για το β 1 είναι: 47. 26574 β 1 21.02695 12
στ. Οι μέσοι όροι των X, Y προκύπτουν από τις επιλογές View Descriptive Stats Individual Samples Οπότε, η ελαστικότητας ζήτησης στο σημείο ( Χ, Υ) είναι: X 13. 4 ε yx = β 1 = 34. 146 = 5. 63 Υ 81. 33 Όταν η τιμή του κιλού αυξάνεται κατά 1%, τότε η ζήτηση του αγαθού μειώνεται κατά 5.63%. 13
ζ. Έλεγχος Jarque-Bera View Residual Diagnostics Histogram Normality Test Η 0 : κατάλοιπα κανονικά κατανεμημένα Probability = 0.798603 > 0.05, άρα η Η 0 δεν απορρίπτεται. Άρα ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί την κανονική κατανομή. 4 3 2 1 0-5.0-2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 Series: Residuals Sample 1 6 Observations 6 Mean -2.75e-13 Median -0.967480 Maximum 5.008130 Minimum -4.991870 Std. Dev. 3.827160 Skewness 0.223518 Kurtosis 1.735369 Jarque-Bera 0.449783 Probability 0.798603 14
η. Ο συντελεστής συσχέτισης προκύπτει με τις παρακάτω επιλογές: View Covariance Analysis Correlation t-statistic Probability t = 0 Είναι r = 0. 963769 Άρα οι μεταβλητές είναι ισχυρά αρνητικά γραμμικά συσχετισμένες. Επειδή Probability= 0. 0019 < 0. 05, η Η 0 : r =0 απορρίπτεται. 15
Correlation applet http://www.rossmanchance.com/applets/guesscorrelation.html Αpplet for regression http://www.rossmanchance.com/applets/regshuffle.htm 16
Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 17