ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Σχετικά έγγραφα
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. (ii) Αν ο Β m+1, με m N, αντιστρέφεται, τότε και ο Β αντιστρέφεται

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ

Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Εφαρμοσμένη Θεωρία Πινάκων. Quiz 3. Σύντομες Λύσεις

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 7 Βάσεις Διάσταση Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπισ τήμιο Κρήτης 7/3/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 7 7/3/ / 1

Γραµµικη Αλγεβρα Ι. Ακαδηµαϊκο Ετος Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

) ( ) Μάθηµα 3 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ. Λυµένες Ασκήσεις * * * Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ (µέχρι Πρόταση 4.18). είναι ορθοκανονικά

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

x 2 = x x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

ΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 3

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

n = dim N (A) + dim R(A). dim V = dim ker L + dim im L.

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

2 Πεπερασμένα ευθέα αθροίσματα και προβολές σε χώρους με νόρμα. με νόρμα, με τις ακόλουθες νόρμες οι οποίες ορίζονται μέσω των νορμών των X και Y.

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 7

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Σ Λ + α = α

Transcript:

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html ευτέρα 23 Απριλίου 2018 Ασκηση 1. Εστω B = { e 1, e 2,, e n µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ). Τι προκύπτει µε την εφαρµογή της διαδικασίας Gram-Schmidt στο σύνολο B; Ασκηση 2. Στον Ευκλείδειο χώρο R 3, ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υποχώρου V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα : x = (1, 1, 0, 1), y = ( 1, 0, 0, 2), z = (1, 0, 2, 1) Ασκηση 3. Να επεκταθεί σε µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 το σύνολο διανυσµάτων { x 1, x 2, όπου : 1 1 x 1 = 2, 0,, x 2 = (0, 1, 0) 2 Ασκηση 4. Θεωρούµε τα ακόλουθα διανύσµατα του R 4 : x = (2, 1, 3, 1), y = (7, 4, 3, 3), z = (1, 1, 6, 0), w = (5, 7, 7, 8) Με την διαδικασία Gram-Schmidt, να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του υπόχωρου V ο οποίος παράγεται από τα παραπάνω διανύσµατα, και ακολούθως να προσδιορισθεί ο ορθογώνιος υπόχωρος V του V. Ασκηση 5. Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο M 2 (R), εφοδιασµένο µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω οι ακόλουθοι 2 2 πίνακες πραγµατικών αρθµών : 1 1 1 0 A = και B = 0 1 1 0 Εστω V ο υπόχωρος του M 2 (R) ο οποίος παράγεται από τους πίνακες A και B. (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονονική ϐάση B 1 του V. (2) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση B 2 του V. (3) Να συµπληρωθεί η B 1 σε µια ορθοκανονική ϐάση B του M 2 (R). (4) Να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του πίνακα 1 1 X = 1 1 στον υπόχωρο V.

2 Ασκηση 6. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και { ε 1,, ε m ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσµάτων του E. Εστω y E. Αν dim R E = n <, τότε να δείξετε ότι στην ανισότητα ισχύει η ισότητα αν και µόνον αν m = n. y, ε 1 2 + + y, ε m 2 y 2 Ασκηση 7. ίνεται ο υπόχωρος του R 4 : V = { (x, y, z, w) R 4 2x y z = 0 και y z w = 0 (1) Να ϐρεθούν δυο διαφορετικοί υπόχωροι V 1 και V 2 του R 4 διάστασης 3 έτσι ώστε V = V 1 V 2. (2) Να ϐρεθεί ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V 1 και ένα ορθογώνιο συµπλήρωµα του V 2 στον R 4, ως προς το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο του R 4. (3) Είναι το u = (0, 0, 1, 1) στοιχείο του V; Αν όχι ϐρείτε την προβολή του u στον V. Ασκηση 8. Θεωρούµε τους Ευκλείδειους χώρους R 4 και R 3, εφοδιασµένους µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω η γραµµική απεικόνιση : f : R 4 R 3, f(x, y, z, w) = (x + y, z + w, x + z) (1) Να ϐρεθούν ορθοκανονικές ϐάσεις των υποχώρων Ker(f) και Ker(f). (2) Να ϐρεθούν οι ορθογώνιες προβολές το διανύσµατος στους υποχώρους Ker(f) και Ker(f). z = (5, 2, 1, 4) Ασκηση 9. Θεωρούµε τον Ευκλείδειο χώρο R 3, εφοδιασµένον µε το συνηθισµένο εσωτερικό γινόµενο, και έστω V = { (x, y, z) R 3 x 5y 2z = 0 (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει δύο διανύσµατα του V. (2) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του R 3 η οποία να περιέχει ένα διανύσµα του V. Ασκηση 10. Στον Ευκλείδειο χώρο (R 4,, ) να ϐρεθεί η ορθογώνια προβολή του διανύσµατος x = (3, 1, 2, 4) στον υπόχωρο V ο οποίος παράγεται από τα διανύσµατα : x 1 = (1, 2, 1, 1), x 2 = (0, 3, 1, 1), x 3 = (0, 0, 2, 1) Ακολούθως να ϐρεθεί ο ορθογώνιος υπόχωρος V του V και να ϐρεθεί η κάθετη προβολή του x στον V. Ασκηση 11. Να δεχιθεί ότι η απεικόνιση, : R 3 R 3 R (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + 5x 2 y 2 + 3x 3 y 3 + 2x 1 y 2 + 2x 2 y 1 + x 3 y 1 + x 1 y 3 + 3x 2 y 3 + 3x 3 y 2 είναι ένα εσωτερικό γινόµενο στον R 3. (1) Να ϐρεθεί µια ορθοκανονική ϐάση του Ευκλείδειου χώρου (E,, ). (2) Αν V = { (x, y, z) R 3 x y + z = 0 να ϐρεθεί η ορθογώνια και η κάθετη προβολή του διανύσµατος x = (1, 1, 1) στον υπόχωρο V.

3 Ασκηση 12. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος, και C = { x 1, x 2,, x n ένα υποσύνολο διανυσµάτων του E. Εστω D = { y 1, y 2,, y n το σύνολο διανυσµάτων το οποίο κατασκευάζεται επαγωγικά ακολουθώντας τη διαδικασία Gram-Schmidt. Σηµειώνουµε ότι αν τα διανύσµατα y 1, y 2,, y k 1 έχουν κατασκευαστεί, τότε αυτά τα διανύσµατα είναι µη-µηδενικά και το διάνυσµα y k κατασκευάζεται µέσω του τύπου ( ). (1) Ισχύει ότι (2) Ισχύει ότι (3) Ισχύει ότι k = 1, 2,, n : k = 1, 2,, n : y k = 0 k = 1, 2,, n : y k = x k 0 y k x k { x 1 = 0, αν k = 1 x k L( x 1, x 2,, x k 1 ), αν k 2 k = 1 ή x k, x j = 0, j = 1, 2,, k 1 αν k 2 Ασκηση 13. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος, και C = { x 1, x 2,, x n ένα γραµµικά ανεξάρτητο υποσύνολο διανυσµάτων του E. Εστω C = { y 1, y 2,, y n το ορθογώνιο σύνολο µη-µηδενικών διανυσµάτων το οποίο κατασκευάζεται ακολουθώντας τη διαδικασία Gram-Schmidt. Να δειχθεί ότι, k = 2,, n: G( x y k 2 1, x 2,, x k ) = G( x 1, x 2,, x k 1 ) Ασκηση 14. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και V ένας υπόχωρος του E. Αν x E, ϑεωρούµε το σύνολο όλων των γωνιών ( x, V) = { ( x, y) y V τις οποίες σχηµατίζουν τα διανύσµατα του υπόχωρου V µε το διάνυσµα x. Να δειχθεί ότι η µικρότερη από όλες αυτές τις γωνίες είναι η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα x µε την ορθογώνια προβολή του x στον υπόχωρο V: min ( x, V) = ( x, Π V ( x)) Ασκηση 15. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος, και C = { x 1, x 2,, x n ένα υποσύνολο διανυσµάτων του E. Για την ορίζουσα Gram G( x 1, x 2,, x n ) των διανυσµάτων x 1, x 2,, x n, να δειχθεί ότι : και επιπλέον : 0 G( x 1, x 2,, x n ) x 1 2 x 2 2 x n 2 (1) G( x 1, x 2,, x n ) = 0 αν και µόνον αν το σύνολο x 1, x 2,, x n είναι γραµµικά εξαρτηµένο. (2) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (αʹ) G( x 1, x 2,, x n ) x 1 2 x 2 2 x n 2. (ϐʹ) (i) είτε ένα τουλάχιστον εκ των διανυσµάτων x 1, x 2,, x n είναι το µηδενικό, (ii) είτε το σύνολο διανυσµάτων x 1, x 2,, x n είναι ορθογώνιο. Ασκηση 16. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και F ένας υπόχωρος του E. Υποθέτουµε ότι F = U V, όπου U V Να δειχθεί ότι : U = F V, όπου F V V = F U, όπου F U

4 Ασκηση 17. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος πεπερασµένης διάστασης και F ένας υπόχωρος του E. Αν x E, να δειχθεί ότι : x 2 = Π F ( x) 2 + K V ( x) 2 Επιεπλέον να δεχιθούν τα εξής : (1) (2) Π F ( x) x Π F ( x) = x x F Ο αριθµός K V ( x) καλείται η απόσταση του διανύσµατος x E από τον υπόχωρο F και συµβολίζεται µε : Εποµένως : d( x, F) = 0 x F. d( x, F) = K V ( x) Ασκηση 18. Εστω (E,, ) ένας Ευκλείδειος χώρος και F ένας υπόχωρος του E. Υποθέτουµε ότι ο υπόχωρος F έχει πεπερασµένη διάσταση. Εστω x E ένα διάνυσµα του E και υποθέτουµε ότι : Να δειχθεί ότι 1 : και επιπλέον : x = x 1 + x 2, όπου x 1 F x = y + z, όπου y F και z F z x 2 z = x 2 y = x 1 και z = x 2 Ασκηση 19. Να ϐρεθεί η απόσταση d( x, V) του διανύσµατος x του R 4 από τον υπόχωρο V του R 4, στις ακόλουθες περιπτώσεις : (1) x = (2, 2, 1, 1) και V = L( y 1, y 2 ), όπου : y 1 = (3, 4, 4, 1) και y 1 = (0, 1, 1, 2). (2) x = (1, 0, 3, 0) και V = L( y 1, y 2, y 3 ), όπου : y 1 = (5, 3, 4, 3), y 2 = (1, 1, 4, 5), και y 3 = (2, 1, 1, 2). Υπενθυµίζουµε ότι ένας ενδοµορφισµός f : E E καλείται προβολή, αν f 2 = f. Γνωρίζουµε ότι για µια προβολή ισχύει ότι : E = Ker(f) Im(f) Αν ο R-διανυσµατικός χώρος είναι Ευκλείδειος, τότε µια προβολή f : E E καλείται ορθογώνια προβολή, αν Ker(f) Im(f). Εποµένως για µια ορθογώνια προβολή f ισχύει ότι : E = Ker(f) Im(f), Ker(f) Im(f) Ασκηση 20. Εστω f : R n R n ένας ενδοµορφισµός του R n και έστω A ο πίνακας του f στην κανονική ϐάση του R n. Αν ο πίνακας A είναι συµµετρικός, να δειχθεί ότι : R n = Ker(f) Im(f) και Ker(f) Im(f) Επιπλέον : ο πίνακας A είναι ταυτοδύναµος, δηλαδή A 2 = A, αν και µόνον αν ο ενδοµορφισµός f είναι µια ορθογώνια προβολή. 1 Αν ο Ευκλείδειος χώρος E έχει πεπερασµένη διάσταση, τότε z είναι η απόσταση του x από τον υπόχωρο F.

5 Ασκηση 21. Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του Ευκλείδειου χώρου (E,, ). Υποθέτουµε ότι ο E έχει πεπερασµένη διάσταση. Από την Ασκηση 19 του Φυλλαδίου 5 ότι : υπάρχει c R: Να δειχθεί ότι ϑέτοντας x E : f( x) c x f = inf { c R c > 0 και f( x) c x, x E αποκτούµε έναν µη-αρνητικό πραγµατικό αριθµό f ο οποίος καλείται η στάθµη του ενδοµορφισµού f, και ισχύει ότι : x E : f( x) f x Ασκηση 22. Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του Ευκλείδειου χώρου (E,, ). Υποθέτουµε ότι ο E έχει πεπερασµένη διάσταση. Να δειχθούν τα εξής : (1) (2) (3) f = sup { f( x) x = 1 = sup { f( x) x 1 { f( x) = sup x 0 x f = sup { f( x), y x = 1 = y x, y E : = sup { f( x), y x 1 y { f( x), y = sup x 0 y x y f( x), y f x y