Σελίδ 1 πό 10 Περίληψη Μερικά συμπεράσμτ πάνω στ θεωρήμτ μέσης τιμής του διφορικού κι ολοκληρωτικού λογισμού Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 009 Το πρκάτω άρθρο γράφηκε με φορμή τ όσ νφέροντι στις δύο σημντικές πηγές που δίνοντι στη βιβλιογρφί. Έχουν σκοπό ν εμπλουτίσουν το οπλοστάσιο του κθηγητή του μθημτικών με το ν κτδείξουν ορισμέν ξιόλογ συμπεράσμτ των θεωρημάτων μέσης τιμής, τόσο του διφορικού όσο κι του ολοκληρωτικού λογισμού. Η χρήση των λτινικών γρμμάτων στις μετβλητές έγινε γι πρκτικούς λόγους κτά την πληκτρολόγηση του κειμένου κι ελπίζω υτό ν μην ποτελέσει ρνητικό στοιχείο στην κτνόηση όσων κολουθούν. Θεωρήμτ κι προτάσεις Θεώρημ 1 ο Α. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [,b], τότε υπάρχει c (,b) τέτοιο, ώστε b f()d f(c)(b ) υπάρχει c c () (,) τέτοιο, ώστε 1 Ο θεώρημ μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού Β. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [,b], τότε γι κάθε (,b] Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιμη στο f(t)dt f(c)( ). με f' () 0, τότε c() 1 Α. Είνι βσικό θεώρημ κι προκύπτει με εφρμογή του ΘΜΤ γι τη συνάρτηση h() f()d στο διάστημ [,b]. Β. Θεωρούμε το όριο :
Σελίδ πό 10 K + f(t)dt f() f() ( ) Σύμφων με το 1 ο θεώρημ μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού, υπάρχει ώστε f(t)dt f(c)( ). Επομένως : c (,) τέτοιο f(t)dt f() + f() f(c)( ) f() + f() K ( ) ( ) f(c)( ) f()( ) f(c) f() ( ) f(c) f() c f(c) f() c ( ) ( ) c c c f'() (1) Εφρμόζοντς όμως το θεώρημ του de L Hospitl γι το όριο Κ πίρνουμε : f(t)dt f() + f() f() f() 1 K f ( ) ( ) '() () Επειδή f' () 0, πό τις σχέσεις (1) κι () πίρνουμε : c() 1 Γενικεύσεις Στο σκεπτικό του πρπάνω θεωρήμτος κινούντι κι οι επόμενες προτάσεις : Πρότση 1. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,b] κι δύο φορές πργωγίσιμη στο σημείο με f'() 0 κι f ''() 0, τότε
Σελίδ 3 πό 10 ) γι κάθε (,b] υπάρχει c c() (,) τέτοιο, ώστε f(t)dt f(c)( ). β) ισχύει ότι : c() 1 3 Πρότση. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,b] (k) (n) f () 0 γι k 1,,3,...,n 1κι f ( ) 0, τότε κι n φορές πργωγίσιμη στο σημείο με ) γι κάθε (,b] υπάρχει c c() (,) τέτοιο, ώστε f(t)dt f(c)( ). β) ισχύει ότι : c() 1 + n n 1 Θεώρημ ο Α. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο κλειστό διάστημ [,b] κι πργωγίσιμη στο (,b), τότε γι κάθε (,b] υπάρχει c c() (,) τέτοιο, ώστε f() f() f'(c)( ). Θεώρημ μέσης τιμής του Lgrnge Β. Αν επιπλέον η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο με f ''() 0, τότε A. Πρόκειτι γι θεώρημ στ σχολικά βιβλί c() 1 B. Θεωρούμε τις συνρτήσεις F() f() f() ( )f'() κι G() ( ), με [,b]. Οι συνρτήσεις υτές είνι πργωγίσιμες στο [,b) με G'() 0 γι κάθε (,b).έχουμε :
Σελίδ 4 πό 10 Σύμφων με τον κνόν de L Hospitl είνι : F() F'() f '() f'() 1 K f ''() G() G'() ( ), Σύμφων κι με το Α είνι επίσης : F() f() f() ( )f'() f '(c)( ) ( )f '() K G() ( ) ( ) f'(c) f'() f'(c) f'() c c ( ) f ''() c Από τις πρπάνω σχέσεις κι φού πρόκειτι γι το ίδιο όριο πίρνουμε ότι c() 1 Θεώρημ 3 ο Α. Αν f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο κλειστό διάστημ [,b] κι η g δεν μηδενίζετι σε κνέν σημείο του [,b], τότε γι κάθε (,b] υπάρχει c c() [,] τέτοιο, ώστε f(t)g(t)dt f(c) g(t)dt. ο θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού Β. Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιμη στο με f' () 0 κι g() 0 τότε c() 1 Α. Η πόδειξη υπάρχει σε βιβλί ολοκληρωτικού λογισμού. Β. Θεωρούμε τις συνρτήσεις F,G στο [,b] με τύπους : κι F() f(t)g(t)dt f() g(t)dt G() ( )
Σελίδ 5 πό 10 Αυτές είνι πργωγίσιμες στο L Hospitl πίρνουμε : [,b] με G' () 0 γι κάθε χ στο (,b]. Από τον κνόν de F() F'() f()g() f()g() K G() G'() ( ) 1 f() f() 1 ( g()) f '()g() (1) Από την άλλη μεριά, σύμφων με το Α. είνι : K F() f(c) g(t)dt f() g(t)dt G() ( ) g(t)dt () f(c) f() c c ( ) f'()g() c όπου στο τελευτίο όριο έχουμε χρησιμοποιήσει ξνά τον κνόν de L Hospitl. Από τις σχέσεις (1) κι () πίρνουμε, λόγω των περιορισμών f '() 0,g() 0ότι Θεώρημ 4 ο c() 1 Α.Έστω f,gσυνεχείς συνρτήσεις στο [,b] κι πργωγίσιμες στο (,b) με g'(t) 0 γι κάθε t (,b). Τότε, γι κάθε (, b] ισχύσει ότι : ) g() g() β) υπάρχει c c() (,), τέτοιο, ώστε f() f() f'(c) g() g() g'(c) Θεώρημ μέσης τιμής του Cuchy Β. Αν επιπλέον οι συνρτήσεις f,gείνι δύο φορές πργωγίσιμες στο, g'() 0 κι f ''()g'() f '()g''(), τότε :
Σελίδ 6 πό 10 c() 1 Α. Είνι βσικό θεώρημ του διφορικού λογισμού. Β. θεωρούμε τις συνρτήσεις f'() F() f() f() [g() g()] κι g'() G() ( ) Οι συνρτήσεις υτές είνι πργωγίσιμες στο [,b) κι G' () 0 στο (,b). Επειδή πό το Α είνι f'(c) f() f() [g() g()], έχουμε: g'(c) f'(c) f'() [g() g()] [g() g()] F() g'(c) g'() K G() ( ) f'(c) f'() g'(c) g'() c g() g() f '() c ( ) g'()( )' c g'() (1) Σύμφων με τον κνόν de L Hospitl έχουμε : f'() f'() f'() f'() g'() F() F'() g'() 1 g'() g'() K ( g G() G'() ( ) '()) 1 f'() g'() ( )' () g'() Από τις σχέσεις (1) κι (), λόγω των περιορισμών, πίρνουμε τη ζητούμενη σχέση. Βιβλιογρφί *** ) B.Jcobson on the men vlue theorem for integrls, AMM, vol 89 199 β) Emil Pop Περί του ενδιάμεσου σημείου στ θεωρήμτ των μέσων, GM 1994
Σελίδ 7 πό 10 *** Ευχριστώ το φίλο κι συνάδελφο Νίκο Μυρογιάννη που μου εξσφάλισε το πρώτο άρθρο της βιβλιογρφίς. Πράρτημ*** Αποδείξεις των βσικών θεωρημάτων του άρθρου Α. 1o ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Θεωρούμε τη συνάρτηση h ( ) f( tdt ) στο [, b ]. Η h είνι συνεχής στο [, b ] κι πργωγίσιμη στο (, b ).Άρ πό το θεώρημ μέσης τιμής θ υπάρχει c (, b) τέτοιο, ώστε b Επομένως ( ) b f () tdt 0 f() tdt hb ( ) h( ) h ( c) b b b f () tdt b h ( c) b Β. ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ LAGRANGE f ( ) f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση ht () f() t f( ) ( t ) [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ) με h () t f () t f ( ) f ( ), η οποί είνι συνεχής στο
Σελίδ 8 πό 10 f ( ) f ( ) h( ) f ( ) f ( ) ( ) 0 Έτσι ισχύει το θεώρημ Rolle, δηλ. υπάρχει c (, ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 0 κι h f f ( ) τέτοιο, ώστε h ( c) 0 δηλ. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( c) 0 f ( c) f ( ) f ( ) ( ) f ( c) Γ. ΘΕΩΡΗΜΑ 3 ( ο θεώρημ ολοκληρωτικού λογισμού ) Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις [ b, ] κι η g δε μηδενίζετι σε κνέν σημείο του [ b, ]. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ( b, ], υπάρχει c (, ) τέτοιο, ώστε f () t g() t dt f ( c) g() t dt Η g είνι συνεχής κι μη μηδενιζόμενη στο [, b ], οπότε διτηρεί στθερό πρόσημο. Έστω ότι g() > 0. Η f είνι συνεχής σε κλειστό διάστημ, οπότε θ πίρνει ελάχιστη κι μέγιστη τιμή δηλ. m f ( ) M. Άρ mg() t f () t g() t Mg() t Ολοκληρώνοντς στο [ ], προκύπτει: mg() t dt f () t g() t dt Mg() t dt m g() t dt f () t g() t dt M g() t dt Όμως g() t dt > 0, οπότε προκύπτει m f() t g() t dt gt () dt M
Σελίδ 9 πό 10 Από εδώ συμπερίνουμε ότι υπάρχει c [,] τέτοιο,ώστε f () t g() t dt gt () dt f ( c) δηλ. f () t g() t dt f ( c) g() t dt Δ. ΘΕΩΡΗΜΑ 4 ( ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ CAUCHY ) Έστω f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [, ] κι πργωγίσιμες στο (, ) με g () t 0γι κάθε ( b, ). Τότε, γι κάθε ( b, ] ισχύει ότι : ) g( ) g( ) β) υπάρχει c (, f ( c) f ( ) f ( ) ) τέτοιο, ώστε g ( c) g( ) g( ) ) Υποθέτουμε ότι g( ) g( ). Όμως η g είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο (, ) κι τέτοιο, ώστε g( ) g( ), Άρ ισχύει το θεώρημ Rolle, δηλ. υπάρχει g ( c ) 0, το οποίο είνι άτοπο, διότι g () t 0 c (, ) γι κάθε ( b, ) β) Θεωρούμε τη συνάρτηση ht () f() t [ g( ) g( )] gt () [ f( ) f( )] Η h είνι συνεχής στο [, ], πργωγίσιμη στο (, ) με κι ισχύει: [ ] [ ] h () t f () t g( ) g( ) g () t f ( ) f ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]. h( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) h( ) f ( ) g( ) g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) f ( ) δηλδή h ( ) h ( ) Από το θεώρημ Rolle προκύπτει ότι υπάρχει c (, ) κι τελικά [ ] [ ] f ( c) g( ) g( ) g ( c) f ( ) f ( ) 0 τέτοιο, ώστε h ( c) 0,δηλδή
Σελίδ 10 πό 10 f ( c) f ( ) f ( ) g ( c) g( ) g( ) *** Την επιμέλει των ποδείξεων έκνε ο συνάδελφος Χρήστος Κρδάσης, τον οποίο κι ευχριστώ.