Μάθηµα ο 0 Οκτωβρίου 008 (9:00-:00) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΜΕ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άσκηση 9 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από τρεις ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας του προβλήµατος ιδιοτιµών Hˆ ψ ( x) Eψ ( x) ) Ε Ε και Ε Αν γνωρίζουµε ότι η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την χρονική στιγµή t0 είναι ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ( x) Να βρεθούν (α) η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος κάθε χρονική στιγµή (β) οι πιθανότητες κατάληψης κάθε ενεργειακής στάθµης κάθε χρονική στιγµή (γ) η µέση ενέργεια και (δ) η αβεβαιότητα της ενέργειας κάθε χρονική στιγµή Λύση Η κυµατοσυνάρτηση δίνεται από την έκφραση ψ ( xt ) Cψ ( xe ) () Εδώ πού έχουµε τρεις καταστάσεις E E E t t t ψ ( xt ) Cψ ( xe ) + Cψ ( xe ) + Cψ ( xe ) (') E t Την χρονική στιγµή t0 αυτή γίνεται ψ ( x t 0) Cψ( x) + Cψ( x) + Cψ( x) καθώς οι εκθέτες στα εκθετικά µηδενίζονται Έτσι από την σύγκριση της δεδοµένης κυµατοσυνάρτησης µε την ψ ( x t 0) Cψ( x) + Cψ( x) + Cψ( x) καταλαβαίνουµε ότι C / C 0 C / Οι συντελεστές µπορούν να εκτιµηθούν και από την σχέση ψ + ψ δ + C ψ( x) ψ( x t 0) dx C ψ( x) dx ( ψψ ψψ) dx δ + καθώς (ακολουθεί η απόδειξη) m m m m m ψ ( x) ψ( x t 0) dx ψ ( x) Cψ ( x) dx C ψ ( x) ψ ( x) dx C δ C (α) Έτσι από την (') βρίσκουµε ότι η κυµατοσυνάρτηση είναι ψ ( xt ) ψ ( xe ) + ψ ( xe ) E E t t (β) Έτσι οι αντίστοιχες πιθανότητες οποιαδήποτε χρονική στιγµή είναι
E t / Pt () Ce / 0 P C e E t η πιθανότητα να έχω κατάσταση µε ενέργεια Ε 0 η πιθανότητα να έχω κατάσταση µε ενέργεια Ε E t / P Ce η πιθανότητα να έχω κατάσταση µε ενέργεια Ε (γ) Όλες οι πιθανότητες είναι χρονοανεξάρτητες (το κβαντικό σύστηµα είναι E+ E αποµονωµένο) και προφανώς E E PE t 0 + PE E+ E Το ίδιο αποτέλεσµα θα βρίσκαµε και από την σχέση E c c e H m ( E E m) t / m m όπου ( ) ˆ m ψ ψm( ) δ m H x H x dx E (δ) Προφανώς ενέργεια δίνεται από την σχέση E + E E PE + PE E + E και η αβεβαιότητα στην / / E + E E + E E E E E E Η Ι ΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΕ ΝΑ ΕΙΧΕ ΙΑΤΥΠΩΘΕΙ ΩΣ «Αρχικά (t0) το σύστηµα βρίσκεται στην Ε και Ε ενεργειακές καταστάσεις µε ίση πιθανότητα» Ίση πιθανότητα σηµαίνει P P ενώ γνωρίζω ότι η συνολική πιθανότητα είναι µονάδα (P +P P +P P ) άρα P P ϕ ϕ Έτσι έχουµε C P C e P e / και ανάλογα C e ϕ / ΚΑΘΩΣ ΕΝ ΕΧΟΥΜΕ ΑΛΛΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΑΣ ΟΙ ΦΑΣΕΙΣ ΜΗ ΕΝΙΖΟΝΤΑΙ ( ϕ ϕ 0 ) ΚΑΙ C / C /
Άσκηση 0 Έστω ένα κβαντικό σύστηµα το οποίο περιγράφεται από δυο ενεργειακές καταστάσεις (ιδιοτιµές ενέργειας του προβλήµατος ιδιοτιµών Hˆ ψ ( x) Eψ ( x) ) Ε και Ε Το σύστηµα αυτό ονοµάζεται και σύστηµα δύο επιπέδων Αν γνωρίζουµε ότι η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος την χρονική στιγµή t0 είναι ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ( x) Να βρεθεί η µέση τιµή της θέσης Λύση Η κυµατοσυνάρτηση δίνεται προφανώς από την έκφραση ψ ( xt ) ψ ( xe ) + ψ ( xe ) E E t t Για την εύρεση της µέσης τιµής της θέσης χρησιµοποιούµε την σχέση που βρήκαµε στο ακριβώς προηγούµενο µάθηµα m (E E m )t m m A CCe A όπου m ψ ( ˆψm ) A (x) A (x)dx Εδώ ο τελεστής Α είναι ο τελεστής της θέσης ενώ το διπλό άθροισµα παίρνει τιµές και m ηλαδή (E E m )t ( E E )t ( E E )t ( E E )t ( E E )t m m m x CC e x CCe x + CCe x + CCe x + CCe x (E E )t (E E )t 0 0 CCex + CCe x + CCe x + CCex x + e (E E )t (E E )t (E E )t x e x e x x + + + Καθώς x j + ψ ι xψ ξ dx (E E )t x + e x + x + x ψ ψ x dx + ψ ψ x x dx + ψ ψ x x dx Ενώ + + + ψ ψ ( ψ ψ ) ψ ψ x x dx x dx x dx x Οπότε θα έχω ϕ x x e x x x e και ϕ
( E E) t ( E E) t ( E E) t ( E E) t + ϕ + ϕ ϕ ϕ e + e x x + x + x e e + x e e [ x + x ] + x ( E E ) t [ x x ] x cos ϕ + + + Παρατηρούµε ότι το <x> αλλάζει µε τον χρόνο η <Ε> δεν αλλάζει µε τον χρόνο Η ταλάντωση της µέσης θέσης εξαρτάται από την διαφορά ενεργειών (περίοδος ταλάντωσης T h/( E E ) ) Επιπλέον ερώτηµα πόση είναι η µέση θέση αν ψ ( x) είναι πραγµατική και περιττή και ψ ( x) ψ ( x) ψ ( x) Προφανώς + + x ψ xψ dx ( ψ ) xdx 0 καθώς ( ψ ) άρτια και x( ψ ) περιττή Ανάλογα + + x ψ xψ dx ( ψ ) xdx 0 για τους ίδιους λόγους (αν ψ ( x) τότε ψ ( x) ψ( x) ψ( x) περιττή) Ενώ τέλος + + x ψ xψ dx xψψ dx 0 καθώς ψψ άρτια και xψ ψ περιττή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ (A) Να λυθεί η Άσκηση 0 θεωρώντας ότι το κβαντικό σύστηµα είναι ένα απειρόβαθο πηγάδι πάχους L (B) Αν η αρχική κυµατοσυνάρτηση έχει την µορφή ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ( x) είναι η µέση τιµή της θέσης ίδια; Φυσική σηµασία ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ( x) Ποια η φυσική σηµασία του γραµµικού συνδυασµού καταστάσεων Αφού τα κβαντικά συστήµατα χαρακτηρίζονται από τις ιδιοτιµές των ιδιοκαταστάσεων τους (πχ ένα κβαντικό σύστηµα θα βρίσκεται ή στην Ε ή στην Ε κτλ
ενεργειακή κατάσταση ΠΟΤΕ ΣΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟ!) Ο γραµµικός συνδυασµός στην ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ ( x) έχει προέρθει ως εξής Προετοιµάζουµε «άπειρα» κβαντικά συστήµατα µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο (είναι δηλαδή όλα ίδια) Κάνουµε µετρήσεις σε αυτά και τα αποτελέσµατα δίνουν 50% την µία ιδιοτιµή και 50% την άλλη ιδιοτιµή (δηλαδή σε αυτά τα συστήµατα θα βρω τα µισά να είναι στην Ε και τα άλλα µισά στην Ε ) Πως ξεχωρίζω όµως την ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ ( x) από την ψ ( x t 0) ψ( x) + ψ( x)