ΘΕΜΑ ο Θέματα και Απαντήσεις Προαγωγικών Εξετάσεων Β ΛΥΚΕΙΟΥ στα Μαθηματικά Θετικού Προσανατολισμού (Α Να χαρακτηρίσετε με τις λέξεις ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω πέντε προτάσεις μεταφέροντας τις απαντήσεις σας στο γραπτό σας. (Α Στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων Ο, η παραβολή με εξίσωση = p βρίσκεται πάντα στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε. Σ Λ (μ (Α Αν τοτε και αντιστροφως. Σ Λ (μ (ΓΙΑ ΤΟ ΟΡΘΟ: Από τον ορισμό εσωτερικού γινομένου 80 ΓΙΑ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ: εάν ισχύει η ισότητα τότε συνω=- και η μόνη γωνία που αντιστοιχεί στο διάστημα [0 ο, 80 ο ] είναι ω=80 ο και επομένως έχουμε ΑΝΤΙΡΡΟΠΑ διανύσματα (Α Εάν έχουμε,,, τότε 0 Σ Λ (μ (Από τον ορισμό εσωτερικού γινομένου, όπου η ω ανήκει στο ο τεταρτημόριο και επομένως έχει αρνητικό συνημίτονο (Α Η εφαπτόμενη ευθεία στο σημείο Σ(, του κύκλου με τύπο, έχει εξίσωση. Σ Λ (μ (Α5 Αν ισχύει ότι τότε είναi Σ Λ (μ ΑΝΤΙΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : έστω (,, (0,, (, και κάνω τις πράξεις... (Β Να αποδείξετε ότι η απόσταση δύο σημείων Α(, και Β(, του Καρτεσιανού επιπέδου, ισούται με ( AB (. ( (0μ Σχολικό βιβλίο...σελ -5
ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα διανύσματα και τέτοια ώστε να έχουν μεταξύ τους γωνία ακτινίων, και μέτρα και αντιστοίχως. Να υπολογίσετε τα : α, β, γ, δ, ε 5 (5μ ΛΥΣΗ α β 6 γ δ 00. 0 0 5 6 5 8 5 8 5 0 8 5
ΘΕΜΑ ο Δίνονται τα σημεία Α (,, Β( 5,5, Γ (, του επιπέδου. α Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ σχηματίζουν τρίγωνο και να υπολογίσετε το εμβαδόν του. (9μ β Να υπολογίσετε την εξίσωση της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΓ. (7μ γ Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες της κορυφής Δ έτσι ώστε το ΑΒΓΔ να είναι ρόμβος. (9μ ΛΥΣΗ α Κάνουμε το σχετικό σχήμα: Φαίνεται πως δημιουργείται τρίγωνο. Επίσης θα δείξουμε πως δημιουργείται τρίγωνο, ελέγχοντας εάν τα διανύσματα είναι παράλληλα. 5 5 det, 5 5 6 0 και
Επομένως αυτά τα διανύσματα ΔΕΝ είναι παράλληλα(συγραμμικά...άρα τα σημεία Α,Β,Γ δημιουργούν ΤΡΙΓΩΝΟ. (Μπορείτε επίσης να ελέγξετε εάν οι συντελεστές διευθύνσεως των εν λόγω διανυσμάτων, είναι ίσοι ή άνισοι. β Στη συνέχεια φέρουμε την μεσοκάθετο (δ της ΑΓ στο Μ, όπως εικονίζεται παρακάτω: Για να βρούμε την εξίσωσή της, αρκεί να βρούμε τις συντεταγμένες του Μ και την κλίση της. (,,,. Επίσης, επειδή η μεσοκάθετος (δ είναι κάθετη με την ΓΑ, πρέπει ( (. Τελικά,... ( ( : ( (. Παρατηρούμε επίσης πως την εξίσωση της μεσοκαθέτου (δ την επαληθεύουν και τα σημεία Ο(0,0, Β(5,5. Άρα εάν την προεκτείνουμε θα τα διαπερνά (βλέπε σχήμα
γ Η άγνωστη προς το παρόν κορυφή Δ (του ρόμβου, οφείλει να είναι πάνω στην (δ διότι ως γνωστό οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι η μια μεσοκάθετος της άλλης. Επομένως οι συντεταγμένες του Δ θα επαληθεύουν την εξίσωση της (δ. Άρα,,. Θεωρώντας τυχαίο σημείο Δ πάνω στην (δ, για να το βρω έτσι ώστε να δημιουργηθεί ΡΟΜΒΟΣ, αρκεί να ισχύει (ΔΜ=(ΜΒ, διότι τότε : α από την διχοτόμηση των διαγωνίων ΔΒ και ΓΑ το ΑΒΓΔ θα είναι παραλληλόγραμμο, και β από την καθετότητα των διαγωνίων το παραλληλόγραμμο (πλέον ΑΒΓΔ θα είναι ρόμβος (βλέπε ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΡΟΜΒΟΥ.
( ( ( ( (5 (5 ( 8 (... (5,5 _ ή _ (, 8 ( 9 Η πρώτη περίπτωση είναι το σημείο Β(5,5 και επομένως το Δ=(-,-. ΘΕΜΑ ο Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση + =, και η παραβολή με εξίσωση = 8. α Να βρεθούν η ΕΣΤΙΑ και η ΔΙΕΥΘΕΤΟΥΣΑ της Παραβολής. (7μ β Να βρεθούν οι κοινές εφαπτόμενες ευθείες του Κύκλου και της Παραβολής. (μ γ Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες αυτές είναι κάθετες μεταξύ τους. (6μ ΛΥΣΗ
Κάνοντας ένα πρόχειρο σχετικό σχήμα, εικάζουμε την ύπαρξη κοινών εφαπτόμενων του ΚΥΚΛΟΥ και της ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ μας. α 8. Επομένως η σταθερά της Παραβολής p=. Άρα Ε(,0 και (δ: = -. β Η εφαπτόμενη ευθεία (g σε τυχαίο σημείο Γ(, της Παραβολής 8 ως γνωστό έχει εξίσωση ( 0 ο γενικός της τύπος, όπου Α=, Β= - και Γ=. Εάν όμως η (g εφάπτεται και στον κύκλο μας, πρέπει το κέντρο του να απέχει από την (g απόσταση ίση με την ακτίνα του κύκλου, δηλαδή με. d( O,( g 6 6 6 6 6 0 ( 0 ( 0... ( 8 6 _ ή _ 6 6 Όμως η η περίπτωση απορρίπτεται διότι αυτή η Παραβολή δεν έχει σημεία με αρνητικές τετμημένες ( 8 0. Άρα 8 6 _ ή _. Επομένως υπάρχουν σημεία της Παραβολής από τα οποία περνούν κοινές εφαπτόμενες με τον Κύκλο, τα σημεία Γ(, και Δ(,- και οι αντίστοιχες κοινές εφαπτόμενες με τον Κύκλο και την Παραβολή έχουν τύπο (g: =+ και (f: =-+, που προκύπτουν από τον γενικό τύπο (. γ Είναι φανερό πως οι συντελεστές διευθύνσεως των ευθειών (g & (f, είναι και - αντιστοίχως, αριθμοί που έχουν γινόμενο -. Επομένως οι κοινές εφαπτόμενες αυτών των γεωμετρικών τόπων είναι ΚΑΘΕΤΕΣ μεταξύ τους. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: α Τα θέματα πιθανόν να λύνονται και με άλλους τρόπους, πράγμα πολύ συχνό στα Μαθηματικά. β Οποιαδήποτε παρατήρηση ή απορία σας, γράψτε στο email μου: gkdodos@ahoo.gr