ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό iv) Λάθος v) Σωστό ΘΕΜΑ B Δόθηκε η συνάρτηση f(x) = a συν ( 1 x) + β, με α, β R. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-π,6) ανήκουν στην γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ. Επομένως ισχύει ότι: f(π) = 4 a συν ( π ) + β = 4 β = 4 f( π) = 6 α συν( π) + β = 6 β=4 α = α = α + 4 = 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 1
Β.. Για α=- και β=4 η έχουμε: f(x) = συν ( 1 x) + 4. Ισχύουν τα παρακάτω: minf(x) = + 4 = maxf(x) = + 4 = 6 T = π ω = π 1 = 4π Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ στο διάστημα [1, 10π] φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Β.3. Έχουμε διαδοχικά: f ( 80π 3 ) = συν (1 80π ) + 4 = συν (40π 3 3 ) + 4 = συν ( 36π 3 + 4π 3 ) + 4 = συν (1π + 4π 3 ) + 4 = συν ( 4π 3 ) + 4 = συν (π + π 3 ) + 4 = ( 1 ) + 4 = 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ
Β.4. i) Έχουμε: f(x) = 5 συν ( 1 x) + 4 = 5 συν ( 1 x) = 1 συν (1 x) = 1 συν ( 1 x) = συν (π 3 ) 1 x = κπ + π 3 ή 1 { x = κπ π 3 x = 4κπ + 4π 3 ή { χ = 4κπ 4π 3, κεz ii) Έχουμε: f(x) = f(π + x) συν ( 1 x) + 4 = συν [1 (π + x)] + 4 συνx = συν ( π + x) συνx = ημx Αν όμως συνx = 0 τότε και ημx = 0 που δεν μπορεί να συμβαίνει επομένως συνx 0 και έτσι διαιρώντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης με συνx έχουμε: εφx = 1 εφx = εφ ( π 4 ) x = κπ π 4, κ Z ΘΕΜΑ Γ Έχουμε το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + βx + γχ + δ όπου β,γ,δ R Το Ρ(x) έχει παράγοντα το x 1. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 3
Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P(x): (x ) και P(x): (x + ) είναι ίσα. Γ.1. Γνωρίζουμε ότι το Ρ(x) έχει παράγοντα το x 1, επομένως: P(1) = 0 1 + β + γ + δ = 0 β + γ + δ = 1 (1) Επίσης, ξέρουμε ότι η αριθμητική τιμή του πολυωνύμου P(x) για x = 3 είναι ίση με, οπότε προκύπτει: Ρ(3) = 7 + 9β + 3γ + δ = 9β + 3γ + δ = 5 () Τέλος, ξέρουμε ότι τα υπόλοιπα των διαιρέσεων P(x): (x ) και P(x): (x + ) είναι ίσα, οπότε: Ρ() = Ρ( ) 8 + 4β + γ + δ = 8 + 4β γ + δ 8 + γ = 8 γ 4γ = 16 γ = 4 (3) Οι σχέσεις (1) και () για γ=-4 γίνονται: β 4 + δ = 1 β + δ = 3 β δ = 3 { { { 9β 1 + δ = 5 9β + δ = 13 9β + δ = 1 Με πρόσθεση κατά μέλη των δύο παραπάνω εξισώσεων έχουμε: 8β = 16 β = Από τη σχέση (1) προκύπτει : 4 + δ = 1 δ = 5. Επομένως P(x) = x 3 x 4x + 5 Γ.. Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της πολυωνυμικής συνάρτησης y = P(x) και της ευθείας y = x 1 προσδιορίζονται από την εξίσωση: Ρ(x) = x 1 x 3 x 4x + 5 = x 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 4
x 3 x 5x + 6 = 0 1 - -5 6 ρ=1 1-1 -6 1-1 -6 0 Με τη βοήθεια του διπλανού σχήματος Horner έχουμε: (x 1)(x x 6) = 0 { x 1 = 0 ή x = 1 { x = 3 x x 6 = 0 x = Επομένως τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = P(x) και της ευθείας y = x 1 είναι: Για x = 1 είναι y = 1 1 = 0 οπότε Α(1,0) Για x = 3 είναι y = 3 1 = οπότε Β(3,) Για x = είναι y = 1 = 3 οπότε Γ(-,-3) Γ.3. Θα βρούμε τα π(x) και υ(x) από τη διαίρεση P(x): (x 3x + ) x 3 x 4x + 5 x 3x + x 3 + 3x x x + 1 x 6x + 5 x + 3x 3x + 3 Οπότε έχουμε π(x) = x + 1 και υ(x) = 3x + 3. Επομένως: x υ(x) < 1 π(x) x 3x + 3 < 1 x + 1 3x + 3 0 x 1 Αρχικά πρέπει { και { και x + 1 0 x 1 Οπότε: x 3x + 3 1 x(x + 1) ( 3x + 3) < 0 < 0 x + 1 ( 3x + 3)(x + 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 5
x + 5x 3 (x + 1)( 3x + 3) < 0 (x + 5x 3)(x + 1)( 3x + 3) < 0 Θα βρούμε τις ρίζες των παραγόντων του παραπάνω γινομένου: x = 3 x + 5x 3 = 0 Δ=49 { ή x = 1 x + 1 = 0 x = 1 3x + 3 = 0 x = 1 Κατασκευάζουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων: x -3-1 1 1 x + 1 - - + + + 3x + 3 + + + + - x + 5x 3 + - - + + Γινόμενο - + - + - Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι (x + 5x 3)(x + 1)( 3x + 3) < 0 x (, 3) ( 1, 1 ) (1, + ) Γ.4. Tα διαστήματα του χ για τα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης y = P(x) είναι πάνω από τον άξονα χ χ προκύπτουν από την ανίσωση Ρ(x) > 0 x 3 x 4x + 5 > 0 1 - -4 5 ρ=1 1-1 -5 1-1 -5 0 Από το διπλανό σχήμα Horner έχουμε: (x 1)(x x 5) > 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 6
Θα βρούμε τις ρίζες των παραγόντων του παραπάνω γινομένου: x x 5 = 0 Δ=1 x 1 = 0 x = 1 x = 1+ 1 ή x = 1 1 { x 1 1 1 1+ 1 x 1 + + x x 5 + + P (x) + + Από τον παραπάνω πίνακα φαίνεται ότι P(x) > 0 x ( 1 1 Γνωρίζουμε όμως ότι για κάθε x R ισχύει : 1 ημx 1 Οπότε ημx ( 1 1, 1]. Συνεπώς:, 1) ( 1 + 1, + ) P(ημx) 0 ημ 3 x ημ x 4ημx + 5 0 ημ 3 x + 5 ημ x + 4ημx ΘΕΜΑ Δ Έχουμε τη συνάρτηση f(x) = ( 1 5a a+1 )x Δ.1. Για να εκθετική και γνησίως φθίνουσα πρέπει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 7
0 < 1 5α α + 1 < 1 Επομένως έχουμε: 1 5α > 0 (1 5α)(α + 1) > 0 α + 1 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων: - -1 1 5 + 1-5α + + 0 α+1 0 + + Γινόμενο 0 + 0 Από τον διπλανό πίνακα προκύπτει ότι α ( 1, 1 5 ) (1) Επιπλέον έχουμε: 1 5α α + 1 < 1 1 5α 1 5α α 1 1 < 0 < 0 α + 1 α + 1 6α α + 1 < 0 Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων: - -1 0 + -6α + + 0 α+1 0 + + Γινόμενο 0 + 0 Από τον διπλανό πίνακα προκύπτει ότι α (, 1) (0, + ) () Από τη συναλήθευση των (1) και () προκύπτει τελικά ότι: α (0, 1 5 ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 8
Δ.. Έχουμε διαδοχικά: (1 5a) x (a + 1) 3 (a + 1) x (1 5a) 3 > 0 (1 5a) x (a + 1) 3 > (a + 1) x (1 5a) 3 :(1 5a)x (a+1) 3 >0 (1 5a) x (a + 1) x x (1 5a)3 5a > (a + 1) 3 (1 a + 1 ) > ( 1 5a 3 a + 1 ) Επειδή όμως για α (0, 1 1 5α ) είναι 0 < < 1 και τότε η συνάρτηση 5 α+1 είναι γνησίως φθίνουσα προκύπτει ότι: x < 3 Για α = 1 8, έχουμε ότι f(x) = ( 1 5 8 ) 1 8 + 1 x 3 = ( 8 ) 9 8 x = ( 3 9 ) x = ( 1 3 ) x Δ.3. Έχουμε ότι: f(log 3 5 + log 9 4) = ( 1 3 ) log 3 5+log 9 4 = ( 1 log 3 5 3 ) ( 1 log 9 4 3 ) = 3 log 3 5 9 1 log 9 4 = 3 log 3 5 1 9 log 9 4 1 = 5 1 4 1 = 1 5 1 4 1 = 1 5 1 = 1 10 Δ.4. Έχουμε διαδοχικά : 3f(x ) 4f(x 1) + 1 = 0 3 ( 1 x 3 ) 4 ( 1 x 1 3 ) + 1 = 0 3 (( 1 x 1) 3 ) 4 ( 13 x 1 ) + 1 = 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 9
Αν στην παραπάνω εξίσωση θέσουμε ( 1 3 )x 1 = ω παίρνουμε: 3ω 4ω + 1 = 0 Από την παραπάνω δευτεροβάθμια έχουμε Δ = 16 1 = 4 και ρίζες τις ω 1 = 1 και ω = 1 3. Επομένως: Για ω = 1 έχουμε ( 1 3 )x 1 = 1 x 1 = 0 x = 1 Gia Για ω = 1 έχουμε 3 (1 3 )x 1 = 1 x 1 = 1 x =. 3 Δ.5. Έχουμε: f(x) 1 f(x) + 3 < 1 f(x)(f(x)+3)>0 f(x) (f(x) 1) f(x) < f(x) + 3 f (x) f(x) < f(x) + 3 f (x) f(x) 3 < 0 Θέτοντας f(x) = ω έχουμε την ανίσωση ω ω 3 < 0. Το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες ω 1 = 1 και ω = 3 και το πρόσημο του φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - -1 3 + ω ω 3 + 0 0 + Από τον παρακάτω πίνακα προκύπτει ότι: 1 < ω < 3 1 < f(x) < 3 1 < ( 1 3 ) x < 3 ( 1 3 ) x < 3 ( 1 3 ) x < ( 1 1 ( 3 ) 1 x 3 ) x > 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Δ. ΠΑΣΣΑΣ 10