Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) Προηγούµενα είδαµε... Η επίλυση της διαφορικής εξίσωσης Laplace για το ελκτικό δυναµικό της βαρύτητας για τις µάζες έξω από τη γήινη επιφάνεια µας οδήγησε σε µια γενική αριθµοσειρά σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων στη µορφή ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος 2016-17 Αρµονικές ζώνης Αρµονικές Τοµέα Τραπεζοειδείς αρµονικές Οι γεωµετρικές παραστάσεις των επιφανειακών σφαιρικών αρµονικών παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον δείχνουν τον τρόπο που αυτές διαιρούν τη µοναδιαία σφαίρα σε περιοχές µε θετικές και αρνητικές τιµές Επιφανειακές cos(mλ) Y m (θ,λ)) = P m (cosθ) e im imλ = 1 P = 2 m (cosθ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) P m (cosθ) ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) m = 2 Y m (θ,λ)) = P m (cosθ) e im imλ Y m (θ,λ)) = P m (cosθ) e im imλ P = 4 m (cosθ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) = 3 = 3 2 3 P m (cosθ) ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) P m (cosθ) ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) m = 2
Y m (θ,λ)) = P m (cosθ) e im imλ P m = 5 (cosθ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) P m = 5 (cosθ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) = 4 m = 3 3 m = 4 4 P m (cosθ) si(mλ) P m (cosθ) cos(mλ) m = 2 m = 5 Γιανα είναι πρακτικά χρήσιµη η γενική αριθµοσειρά σφαιρικών αρµονικών συναρτήσεων στη µορφή, Υποδηλώνουν ότι το ολοκλήρωµα πάνω στη µοναδιαία σφαίρα του γινοµένου οποιονδήποτε δύο διαφορετικών συναρτήσεων R m ή S m είναι µηδέν: είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν προηγουµένως οι συντελεστές a m και b m Ουσιαστικές για το σκοπό αυτό είναι οι λεγόµενες σχέσεις ορθογωνιότητας ήορθογωνικότητας µεταξύ των επιφανειακών σφαιρικών αρµονικών R m και S m Για δύο ίδιες επιφανειακές ισχύουν οι σχέσεις (στοιχειώδης επιφάνεια στη µοναδιαία σφαίρα, dσ = siθ dθ dλ) όπου η 2η σχέση δεν ισχύει για m=0 ( στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιείται η 1η σχέση) Ίδιες σχέσεις ισχύουν για τις επιφανειακές σφαιρικές αρµονικές τύπου S(θ,λ) Οποιαδήποτε τυχαία (µετην πολύ γενική έννοια) συνάρτηση f(θ, λ) στην επιφάνεια της σφαίρας, όπωςη συνάρτηση του ελκτικού δυναµικού της βαρύτητας, µπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά επιφανειακών σφαιρικών αρµονικών R m και S m, και συνεπώς λόγω των σχέσεων ορθογωνικότητας θα ισχύει π.χ. για τις συναρτήσεις R sr (=s, m=r) m και τους συντελεστές a sr ( όλοι οι άλλοι όροι για τους οποίους s, m r θα είναι µηδέν) Οι αρµονικοί συντελεστές a m και b m µπορούν, εποµένως, να προσδιοριστούν µε ολοκλήρωση
Οι συµβατικές επιφανειακές αρµονικές συναρτήσεις R m και S m είναι σχετικά άβολες για να τις διαχειριστούµε (π.χ. οι σχέσεις στις οποίες εµπεριέχονται διαφοροποιούνται για m=0 και m 0, και είναι µάλλον πολύπλοκες) Για το λόγο αυτό έχει προταθεί ότι οι συµβατικές αρµονικές, µπορούν να αντικατασταθούν µε άλλες συναφείς συναρτήσεις οι οποίες διαφέρουν κατά ένα σταθερό παράγοντα και είναι ευκολότερες στο χειρισµό εκφράσεις είναι µάλλον πολύπλοκες Στη Φυσική Γεωδαισία, συχνά χρησιµοποιούνται οι αντίστοιχες πλήρως κανονικοποιηµένες επιφανειακές Με την εισαγωγή των πλήρως κανονικοποιηµένων επιφανειακών σφαιρικών αρµονικών οι σχέσεις ορθογωνικότητας απλουστεύονται και παίρνουν τη µορφή Με άλλα λόγια, ο µέσος όρος του τετραγώνου κάθε πλήρως κανονικοποιηµένης αρµονικής είναι µονάδα, όπουοµέσος όρος λαµβάνεται πάνω στη σφαίρα (και αντιστοιχεί στο ολοκλήρωµα διαιρούµενο µετο εµβαδό 4π). Οιτύποιαυτοί τώρα ισχύουν για κάθε m, είτε είναι µηδένήόχι Μετη χρήση πλήρως κανονικοποιηµένων αρµονικών συναρτήσεων, οι αντίστοιχη αριθµοσειρά σε σφαιρικές αρµονικές εκφράζεται στη µορφή Η απλότητα των ολοκληρωµατικών τύπων για τις πλήρως κανονικοποιηµένες σφαιρικές αρµονικές συνιστά και το κύριο πλεονέκτηµα τους και τις καθιστά χρήσιµες από πολλές απόψεις, έστω και αν οι κανονικοποιηµένες επιφανειακές αρµονικές συναρτήσεις είναι λίγο πιο πολύπλοκες από τις συµβατικές R m και S m Αντίστοιχες εκφράσεις για τα κανονικοποιηµένα πολυώνυµα και συναρτήσεις Legedre Όπως υπάρχουν και αντίστοιχες σχέσεις µεταξύ των κανονικοποιηµένων και συµβατικών αρµονικών συντελεστών Η ανάγκη ανάπτυξης της συνάρτησης του γήινου δυναµικού σε έγινε ώστε να µπορεί να υπολογιστεί η συνάρτηση V και σε οποιαδήποτε άλλα σηµεία ενδιαφέροντος εκτός της επιφάνειας της σφαίρας, πάνω στην οποία ικανοποιούνται οι διαθέσιµες συνοριακές τιµές. Ο όρος r +1 εκφράζει την ακτινική συµπεριφορά ή συνέχεια (radial cotiuatio) του δυναµικού, δηλαδή µια συνεχή ελάττωση ή ενίσχυση του, που εξαρτάται από τον βαθµό
Το ανάπτυγµα γίνεται µε µια νέα σχέση της µορφής η οποία για r=r ικανοποιεί τα δεδοµένα του γήινου δυναµικού στην επιφάνεια της σφαίρας. σφαίρας. Στην πράξη, πράξη, οι άγνωστοι συντελεστές am και bm υπολογίζονται από γνωστές συνοριακές τιµές του γήινου δυναµικού στην επιφάνεια της γήινης σφαίρας, σφαίρας, και εξαρτώνται από τις µεταβολές της πυκνότητας των γήινων µαζών. Συνήθως χρησιµοποιούµε µια εναλλακτική σχέση της µορφής (a = µεγάλος ηµιάξονας ελλειψοειδούς αναφοράς) αναφοράς) στην οποία διαχωρίζουµε τον 1ο όρο, όρο, και οι συντελεστές Cm και Sm δίνονται από τις σχέσεις Cm = am / (a GM) και Sm = bm / (a GM), GM), και στον όρο GM λαµβάνεται υπόψη και η µάζα της ατµόσφαιρας (δηλ. δηλ. Μ = ΜΓη + Ματµ) am και bm εκφράζονται στις µάλλον άβολες µονάδες δυναµικού ανά µονάδα µήκους χωρίς διαστάσεις Συντελεστές του Stokes Συντελεστές του Stokes Συντελεστές του Stokes - Η φυσική σηµασία τους - Η φυσική σηµασία τους - Η φυσική σηµασία τους Οι συντελεστές του Stokes είναι αποτέλεσµα τριπλής ολοκλήρωσης για όλο τον όγκο της Γης Αν το δυναµικό της βαρύτητας αναπτυχθεί σε, τότε το εκάστοτε µοντέλο του γήινου δυναµικού υλοποιείται υιοθετώντας ένα σύστηµα αναφοράς για το οποίο συγκεκριµένοι συντελεστές του Stokes λαµβάνουν συγκεκριµένες τιµές. Συντελεστές του Stokes C00 = 1 αν η µάζα του γήινου µοντέλου είναι ίση µε την πραγµατική µάζα της Γης C10, C11, S11 = 0 αν το κέντρο του γήινου µοντέλου συµπίπτει µε το κέντρο µάζας της Γης C21, S21 = 0 αν ο άξονας Ζ συµπίπτει ( 3 ) κατά µήκος του κύριου άξονα αδράνειας π.χ., Ο όρος Συνήθως, Συνήθως, επίσης χρησιµοποιούµε κανονικοποιηµένες συναρτήσεις, συναρτήσεις, και αντίστοιχους κανονικοποιηµένους αρµονικούς συντελεστές, συντελεστές, σε µια εναλλακτική σχέση της µορφής Η χρήση κανονικοποιηµένων αρµονικών συναρτήσεων έχει κάποια πλεονεκτήµατα ως προς τον υπολογιστικό φόρτο, φόρτο, χωρίς καµιά άλλη διαφορά. διαφορά. Συντελεστές του Stokes C30 εκφράζει το αχλαδοειδές της Γης Ο όρος C20 = C2 εκφράζει την επιπλάτυνση της Γης Οι όροι C22, S22 εκφράζουν την ασυµµετρία της γήινης µάζας στον ισηµερινό σε σχέση µε τον άξονα περιστροφής Συντελεστές του Stokes Oι κανονικοποιηµένοι αρµονικοί συντελεστές, συντελεστές, συνδέονται µε τους αντίστοιχους συµβατικούς αρµονικούς συντελεστές µε τις σχέσεις A30 0.5 A 30 39o
Σήµερα που οι σφαιρικοί αρµονικοί συντελεστές υπολογίζονται από δορυφορικές παρατηρήσεις και µετρήσεις βαρύτητας στην γήινη επιφάνεια, επιφάνεια, χρησιµοποιείται και µια άλλη µορφή αναπτύγµατος Όπου J0 = J = - C0 = - C, Jm = - Cm, Km = - Sm Ή και η αντίστοιχη µορφή µε τη χρήση κανονικοποιηµένων συντελεστών Στην πράξη, πράξη, τα αναπτύγµατα του γήινου δυναµικού σε διακόπτονται σε ένα µέγιστο βαθµό max που εξαρτάται από τα εκάστοτε δεδοµένα που χρησιµοποιούνται για τον υπολογισµό των σφαιρικών αρµονικών συντελεστών του κάθε µοντέλου (Gravity Earth Model, GEM) Παγκόσµια µοντέλα του γήινου δυναµικού της βαρύτητας Αρµονικοί συντελεστές Cm (µοντέλο JGM-2) σε µονάδες 10-6 =0,1,2,, 9 και m =0,1,2,, 9 Ο εκάστοτε συγκεκριµένος βαθµός max, στον οποίο διακόπτεται το ανάπτυγµα του γήινου δυναµικού σε εξαρτάται από διάφορους παράγοντες που επηρεάζουν τον υπολογισµό των σφαιρικών αρµονικών, όπως τα ύψη της τροχιάς των δορυφόρων, ο αριθµός των παρατηρήσεων που περιλαµβάνονται στον υπολογισµό των σφαιρικών αρµονικών συντελεστών, και η οµοιογένεια της κατανοµής των δορυφόρων γύρω από τη Γη, από τους οποίους προέρχονται οι εν λόγω παρατηρήσεις. Αρµονικοί συντελεστές Sm (µοντέλο JGM-2) σε µονάδες 10-6 =0,1,2,, 9 και m =0,1,2,, 9 Σήµερα αναπτυγµατα βαθµού > 360 Αναπτυγµατα µικρού βαθµού < 36 Όσο αυξάνεται ο βαθµός, και η τάξη m τόσο αυξάνεται και η διακριτική ικανότητα, ικανότητα, και υπουπολογίζονται µικρότερα µήκη κύµατος, κύµατος, και υψηλότερες συχνότητες
Παγκόσµια µοντέλα του γήινου δυναµικού της βαρύτητας Επειδή οι είναι επιφανειακές συναρτήσεις Χρειάζεται κάποιος τρόπος προκειµένου να χαρακτηριστούν µε αυτές ισοτροπικά φαινόµενα στην επιφάνεια της Γης, δηλαδή φαινόµενα για τα οποία ισχύει η εξάρτηση τους από την απόσταση άλλα όχι τον προσανατολισµό των σηµείων ενδιαφέροντος συνηθίζεται να χρησιµοποιείται µια µονοδιάστατη παράµετρος το µήκος κύµατος λ, που καθορίζει τη χωρική διακριτικότητα ενός µοντέλου του γήινου δυναµικού σε Ενδεικτικό παράδειγµα συνεχούς βελτίωσης των γήινων µοντέλων βαρύτητας max = 1949 Μήκος κύµατος λ LudquistLudquist-, Veis ΣΑΤΜ εληκαράογλου Παγκόσµια µοντέλα του γήινου δυναµικού της βαρύτητας Το πληρέστερο (και ακριβέστερο µοντέλο) σήµερα παραµένει το EGM2008 ηµιούργηµα πολυπληθούς επιστηµονικής οµάδας (Pavlis et al. (2012) - The developmet ad evaluatio of the Earth Gravitatioal Model 2008, JGR, VOL. 117, B04406) Συνήθως η αξιολόγηση των γεωδυναµικών µοντέλων βαρύτητας γίνεται µε τη σύγκριση υψοµέτρων του γεωειδούς που προκύπτουν από το εκάστοτε µοντέλο, µε αντίστοιχα υψόµετρα από χωροσταθµήσεις GPS (δηλ. συνδυασµό γεωµετρικών και ορθοµετρικών υψοµέτρων) λ λ Παγκόσµια µοντέλα του γήινου δυναµικού της βαρύτητας Υψόµετρα ή αποκλίσεις του γεωειδούς Υψόµετρα του γεωειδούς Το σηµαντικό πλεονέκτηµα από την ανάπτυξη του δυναµικού έλξης σε είναι ότι αν οι συντελεστές Cm και Sm (ή οι Jm και Km ή οι αντίστοιχοι κανονικοποιηµένοι συντελεστές) είναι γνωστοί Earth Gravity Model(s) Model(s), κάθε ποσότητα που χαρακτηρίζει το γήινο πεδίο βαρύτητας, π.χ. Τ, Ν, g, δg, ξ, η µπορεί να εκφραστεί από ένα ανάλογο ανάπτυγµα σφαιρικών αρµονικών
Αποκλίσεις της κατακορύφου Ανωµαλίες υψοµέτρου Ανωµαλίες βαρύτητας Ανωµαλίες βαρύτητας Διαταρακτικό Δυναµικό Διαταραχές βαρύτητας Αποκλίσεις της κατακορύφου Υψόµετρα γεωειδούς Από το µοντέλο EGM96 στον ελλαδικό χώρο: ανωµαλίες βαρύτητας Από το µοντέλο EGM2008 στον ελλαδικό χώρο: ανωµαλίες βαρύτητας Από το µοντέλο EGM96 στον ελλαδικό χώρο: υψόµετρα γεωειδούς Ν
IS Μικρό διάλειµµα καιθα κάνουµε αµέσως µετά µια πρώτη γνωριµία µε Στην επόµενη ενότητα Τα εργαλεία υπολογισµού των παραµέτρων του από µοντέλα σφαιρικών αρµονικών Πραγµατικό (ελκτικό + φυγόκεντρο) δυναµικό της βαρύτητας Κανονικό πεδίο βαρύτητας ιαταρακτικό δυναµικό της βαρύτητας Από το µοντέλο EGM2008 στον ελλαδικό χώρο: υψόµετρα γεωειδούς Ν