ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΆΣΚΗΣΗ Η βαθμολογία στα 0 μαθήματα ενός μαθητή είναι: 3, 9, 6, 0, 5,,, 0, 0, 4. Να υπολογίσετε: α) Τη μέση τιμή. β) Τη διάμεσο. Απάντηση t t + t + t 0 = = = = 3 + 9 + 6 + 0 + 5 + + + 0 + 0 + 4 = = 0 0 = α) t ( ) = + β) Ταξινόμηση 0, 6, 9, 0,,, 3, 4, 5, 0 άρα δ = =, 5 ΆΣΚΗΣΗ Η βαθμολογία στα 0 μαθήματα ενός μαθητή είναι: 3, 9, 6, 0, 5,,, 0, 0, 4 με συντελεστές βαρύτητας,, 5,,,, 5, 5,, 3 αντίστοιχα. Να υπολογίσετε το σταθμικό μέσο. Απάντηση α) 3 9 6 0 5 0 0 4 Σύνολα w 5 5 5 3 30 w 6 8 30 0 30 4 55 0 40 4 85 w w + w + + w = 85 = = = = 9,5 w+ w + + w 30 w = ΆΣΚΗΣΗ 3 Ο παραπάνω πίνακας δείχνει τους βαθμούς 3 μαθητών στα Μαθηματικά. Να υπολογίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο. Βαθμός Συχνότητα 8 4 0 6 7 7 4 8 ΣΥΝΟΛΑ 3 - -
Απάντηση Βαθμός Συχνότητα 8 96 4 0 40 6 7 7 4 68 8 36 ΣΥΝΟΛΑ 3 45 45 Μέση τιμή = = = 4,58 και 3 3+ Διάμεσος δ = η παρατ ήρηση = 6η παρατ ήρηση = 4 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Αν στην κατανομή που δίνεται η μέση τιμή είναι 5, να υπολογίσετε τις συχνότητες και κατόπιν την διάμεσο. ΚΛΑΣΕΙΣ [0,0) 4 [0,0) [0,30) [30,40) σύνολο 0 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε την βαθμολογία ενός μαθητή στα τρία τεστ ενός μαθήματος όταν γνωρίζετε ότι ο διάμεσος βαθμός ήταν 90, ο μέσος βαθμός ήταν 9 και το εύρος 6. ΑΣΚΗΣΗ 3 Να βρεθούν 8 διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με ω = 6, αν γνωρίζετε ότι η μέση τιμή τους είναι 3. ΑΣΚΗΣΗ 4 Μια σχολική τάξη έχει αγόρια. Στα μαθηματικά η μέση τιμή των αγοριών είναι 4 ενώ των κοριτσιών είναι 4,875. Αν η μέση τιμή των βαθμών στα μαθηματικά όλων των παιδιών της τάξης είναι 4,5 τότε πόσα είναι τα κορίτσια της τάξης; ΑΣΚΗΣΗ 5 Οι 3 στους 5 παίχτες μιας ομάδας μπάσκετ έχουν ευστοχία 60% στις ελεύθερες βολές ενώ οι υπόλοιποι έχουν ευστοχία 70%. Ποια είναι η ευστοχία της ομάδας στις ελεύθερες βολές; ΑΣΚΗΣΗ 6 Η μέση τιμή των α, β και γ είναι 30, η μέση τιμή των α, β είναι 4 και η μέση τιμή των β, γ είναι 8. Να βρεθούν οι αριθμοί α, β και γ. - -
ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΆΣΚΗΣΗ Η βαθμολογία στα 0 μαθήματα ενός μαθητή είναι: 3, 9, 6, 0, 5,,, 0, 0, 4. Να υπολογίσετε: α) Τη διακύμανση. β) Την τυπική απόκλιση. γ) Το εύρος (R). δ) Το συντελεστή μεταβολής ΑΠΑΝΤΗΣΗ: (βαθμοί) ( ) 0-6 -5 5 3 9-4 4 0-5 0 0 6 7 3 4 8 4 3 9 9 5 4 6 0 0 9 8 Σύνολα 0 0 6 διακύμανση : ( ) 6 s = = = 6,, τυπική απόκλιση: s = s = 6, = 5, 0 εύρος : R=0-0=0, συντελεστής μεταβολής CV = s = 5, =0,46=46% ΆΣΚΗΣΗ Ο παρακάνω πίνακας δείχνει τους βαθμούς 3 μαθητών στα Μαθηματικά. α. Να υπολογίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβλητότητας Βαθμός Συχνότητα 8 4 0 6 7 7 4 8 ΣΥΝΟΛΑ 3-3 -
= = Μέση τιμή = = = = = f Διακύμανση s = = ( ) f f f = = = = = = = = ( ) β. Αν η βαθμολογία όλων των μαθητών στα μαθηματικά αυξανόταν κατά δύο μονάδες πόση θα γινόταν η μέση τιμή, η διάμεσος, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας; Βαθμός Νέος βαθμός Συχνότητα 8 4 0 6 7 7 4 8 ΣΥΝΟΛΑ 3 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Ο παραπάνω πίνακας δείχνει τα χρήματα που ξόδεψαν 0 μαθητές στον περίπατο του σχολείου τους. Να υπολογίσετε: α) Τη μέση τιμή. β) Τη διάμεσο. γ) Την τυπική απόκλιση δ) Το συντελεστή μεταβολής. ΚΛΑΣΕΙΣ Κεντρική τιμή [0,0) 4 [0,0) 3 [0,30) [30,40) ΣΥΝΟΛΟ 0 ( ) ( ) ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε: α) Τη μέση τιμή. β) Τη διάμεσο. γ) Την τυπική απόκλιση δ) Το συντελεστή μεταβολής της μεταβλητής του παρακάτω πίνακα: ΗΛΙΚΙΑ ΣΕ ΧΡΟΝΙΑ Κεντρική τιμή - 4 -
[0, 4) 3 [4, 8) 5 [8, ) 6 [, 6) 6 [6, 0) ΑΣΚΗΣΗ 3 Οι απουσίες των μαθητών της Γ τάξης ενός Γενικού Λυκείου κατά τους μήνες Οκτώβριο Νοέμβριο Δεκέμβριο του έτους 04 έχουν ομαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους και εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα σχετικών συχνοτήτων: ΑΠΟΥΣΙΕΣ ΜΑΘΗΤΩΝ [.., ) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ [8, ) 0,5 [.., ) 4 [.., ) 0, f ΣΥΝΟΛΑ f Αν επιπλέον δίνεται ότι η σχετική συχνότητα της 3ης κλάσης f 3 είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της ης κλάσης f, τότε: α. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c των κλάσεων ισούται με 4. β. Να μεταφέρετε τον παραπάνω πίνακα σχετικών συχνοτήτων στο τετράδιο σας και να συμπληρώσετε τα κενά, αφού υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές. γ. Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν σε ένα δείγμα μεγέθους ν = 40 ξέρουμε ότι ( ) +( ) +...+( 40 ) = 5.760 και ο συντελεστής μεταβολής είναι 30% να βρεθεί η μέση τιμή του δείγματος. ΑΣΚΗΣΗ 5 Για μία μεταβλητή δίνονται CV = 0%, = 0 και + +... + 0 = 500. Να βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. f ΑΣΚΗΣΗ 6 Ο μέσος χρόνος που χρειάζεται ένα αυτοκίνητο για να διανύσει την απόσταση Θέρμη - Κέντρο είναι 50 λεπτά και η τυπική απόκλιση είναι 0 λεπτά. Αν υποθέσουμε ότι η κατανομή του χρόνου είναι κανονική, να βρεθούν κατά προσέγγιση τα ποσοστά των αυτοκινήτων, που για να κάνουν αυτή τη διαδρομή χρειάζονται: α) από 0 έως 80 λεπτά, β) το πολύ ώρα γ) κάτω από μισή ώρα, δ) πάνω από 40 λεπτά,ε) από μισή έως ώρα. ΑΣΚΗΣΗ 7-5 -
Πριν από 4 χρόνια η μέση ηλικία των 0 υπαλλήλων μιας εταιρείας ήταν 36 χρόνια και η τυπική απόκλιση 6 χρόνια. Να βρεθούν η τωρινή μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των ηλικιών, αν είναι γνωστό ότι η μόνη αλλαγή στο προσωπικό που έγινε ήταν τον τελευταίο χρόνο, όταν απολύθηκε ένας υπάλληλος 40 χρονών και στη θέση του προσλήφθηκε ένας 30 χρόνων. ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν σε ένα δείγμα μεγέθους ν = 40 ξέρουμε ότι να βρεθεί η μέση τιμή του δείγματος. 40 = ( ) = 5.760 και ο συντελεστής μεταβολής είναι 30% ΑΣΚΗΣΗ 9 Οι μαθητές της τάξης έγραψαν διαγώνισμα στα μαθηματικά και ο μέσος όρος των γραπτών τους ήταν 60. Αν ο συντελεστής μεταβολής είναι 0% και α) την τυπική απόκλιση, β) τη διακύμανση, γ) το πλήθος των μαθητών της τάξης. t = = 7.70, να βρείτε: ΑΣΚΗΣΗ 0 Έστω οι μεταβλητές z = 0 + 30 και y = 0-0, οι οποίες έχουν συντελεστές μεταβλητότητας CV z = 0 % και CV y = 40 %. Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας της μεταβλητής, όταν αναφερόμαστε σε δείγμα μεγέθους παρατηρήσεων. ΑΣΚΗΣΗ Αν σε δείγμα μεγέθους για τις μεταβλητές, y, z ισχύουν z = 4, y = και οι μεταβλητές y και z έχουν τον ίδιο συντελεστή μεταβλητότητας, CV z = CV y, να υπολογίσετε την μέση τιμή. ΑΣΚΗΣΗ Μια βιομηχανία κατασκευάζει 4 προϊόντα α, β, γ, δ σε ποσοστά 0%, 0%, 30% και 40% αντίστοιχα με κόστος κατασκευής 5, 4, 3 και χιλιάδες αντίστοιχα. α. Να υπολογίσετε το μέσο κόστος και το συντελεστή μεταβλητότητας του κόστους κατασκευής των α, β, γ και δ. β. Να βρείτε πόσο τουλάχιστον πρέπει να αυξηθεί το κόστος κατασκευής κάθε προϊόντος, ώστε το κόστος κατασκευής των τεσσάρων προϊόντων να είναι ομοιογενές. γ. Αν ελαττωθεί το κόστος κατασκευής κάθε προϊόντος κατά 0% και κατόπιν γίνει αύξηση κατασκευής κατά 0,3 χιλιάδες ανά μονάδα προϊόντος, να βρεθεί πόσο γίνεται ο συντελεστής μεταβολής CV. ΑΣΚΗΣΗ 3 Ποια είναι η διακύμανση των παρατηρήσεων, +, +7; Ποια είναι η τυπική απόκλιση; ΑΣΚΗΣΗ 4-6 -
Το ρολόι Α πάει μπροστά λεπτό την ημέρα, το ρολόι Β χάνει 5 λεπτά την ημέρα και το ρολόι Γ πάει μπροστά 30 δευτερόλεπτα την ημέρα. Αρχικά και τα τρία ρολόγια ρυθμίζονται στη σωστή ώρα t 0. Πόσο κοντά στη σωστή ώρα θα είναι η μέση τιμή των ενδείξεων των τριών ρολογιών μετά από : α. μία εβδομάδα β. 30 ημέρες ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε δείγμα μεγέθους 0. Αν η μέση τιμή είναι 8 και = 000 τότε, να βρεθούν η διακύμανση και η τυπική απόκλιση. ΑΣΚΗΣΗ 6 Μεταξύ 50 δρομέων 400 μέτρων οι έκαναν χρόνο κάτω από 5 sec, οι 0 έκαναν χρόνο κάτω από 5 sec, οι 30 έκαναν χρόνο κάτω από 53 sec και 44 έκαναν χρόνο κάτω από 54 sec. Αν οι χρόνοι των αθλητών κυμάνθηκαν από 50 έως 55 sec τότε : α. Να γίνει πίνακας κατανομής συχνοτήτων - σχετικών συχνοτήτων β. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο γ. Αν προκρίνεται το 6% των αθλητών τότε ποιο χρόνο το πολύ πρέπει να έχει κάνει ένας δρομέας ώστε να προκριθεί ; ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνονται 5 διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί με διάμεσο δ = 99. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση. Ποια θα είναι η νέα μέση τιμή και η νέα τυπική απόκλιση αν οι αριθμοί τριπλασιασθούν. ΑΣΚΗΣΗ 8 Για μία μεταβλητή δίνονται CV = 45,5%, = 0 και = 500. Να βρείτε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση. 0-7 -
ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΡΩΝ ΘΕΣΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΟΜΩΣ ΤΟ ΚΑΛΥΤΕΡΟ ΜΕΤΡΟ ΘΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ; Απάντηση Σύμφωνα με ένα πρώτο κριτήριο η απάντηση εξαρτάται από το αν η μεταβλητή είναι ποιοτική ή ποσοτική. Αν η μεταβλητή είναι ποιοτική, τότε προσφέρεται μόνο η επικρατούσα τιμή, αν όμως η μεταβλητή είναι ποσοτική, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν και τα τρία μέτρα θέσης. Σύμφωνα με ένα δεύτερο κριτήριο, η επιλογή της καταλληλότερης παραμέτρου θέσης εξαρτάται από το σκοπό για τον οποίο θα χρησιμοποιηθεί. Αν επιθυμούμε περαιτέρω στατιστική επεξεργασία, τότε η μέση τιμή προσφέρεται περισσότερο. Αν όμως ο σκοπός είναι βασικά περιγραφικός, τότε πρέπει να χρησιμοποιείται το μέτρο που περιγράφει καλύτερα τα δεδομένα. Η παρουσία ακραίων παρατηρήσεων (πολύ μικρών ή πολύ μεγάλων αναφορικά με τις άλλες παρατηρήσεις) είναι συχνά ένα από τα βασικότερα κριτήρια για την επιλογή κατάλληλης παραμέτρου θέσης. Η επικρατούσα τιμή (εκτός ύλης) και η διάμεσος μένουν γενικά ανεπηρέαστες από τις ακραίες τιμές του δείγματος. Η μέση τιμή όμως επηρεάζεται σημαντικά από τις τιμές αυτές, επομένως δεν ενδείκνυται σε τέτοιες περιπτώσεις. Έτσι, για παράδειγμα, στη διαπραγμάτευση για τους μισθούς των εργαζομένων σε μια εταιρεία, οι εργαζόμενοι θα επικαλούνται ως αντιπροσωπευτικό μισθό τη διάμεσο ή την επικρατούσα τιμή, ενώ οι εκπρόσωποι της εταιρείας τη μέση τιμή που επηρεάζεται σημαντικά από τους μισθούς των υψηλόβαθμων στελεχών της. ΠΟΣΟ ΔΙΑΣΠΑΡΜΕΝΕΣ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΤΙΜΕΣ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ; Απάντηση Για να απαντήσουμε στο ερώτημα πόσο διασπαρμένες είναι οι τιμές μιας κατανομής, χρησιμοποιούμε τις παραμέτρους διασποράς. Από τις παραμέτρους αυτές αναφέρονται στο βιβλίο το εύρος, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση. Από τις παραμέτρους διασποράς το εύρος χρησιμοποιείται αρκετά συχνά σε περιπτώσεις ελέγχου ποιότητας βιομηχανικών προϊόντων, όταν εργαζόμαστε με πολλά ισομεγέθη δείγματα. Αυτό οφείλεται στον εύκολο υπολογισμό του και στην εύκολη ερμηνεία του. Το εύρος όμως έχει το μειονέκτημα να εξαρτάται μόνο από τις δύο ακραίες τιμές και έχει την τάση να αυξάνεται, καθώς το μέγεθος του δείγματος μεγαλώνει. Αυτό έχει ως συνέπεια να μην είναι συγκρίσιμα ως προς το εύρος δύο δείγματα διαφορετικού μεγέθους. Η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Η παράμετρος αυτή διασποράς ικανοποιεί την απαίτηση να εκφράζεται στην ίδια μονάδα μέτρησης με τις παρατηρήσεις. ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΤΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΩΝ ΤΥΠΙΚΩΝ ΑΠΟΚΛΙΣΕΩΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΣΥΛΛΟΓΕΣ; Απάντηση Μερικές φορές σε στατιστικούς υπολογισμούς είναι αναγκαίο όχι μόνο να υπολογίσουμε απλώς τις τυπικές αποκλίσεις, αλλά να συγκρίνουμε μεταξύ τους τα μεγέθη των τυπικών αποκλίσεων σε διαφορετικές στατιστικές συλλογές. Δε φτάνουμε όμως στο σκοπό μας με το να παραλληλίσουμε μεταξύ τους τις τυπικές αποκλίσεις. Αυτό θα μας έδινε στην πλειοψηφία των περιπτώσεων μια εσφαλμένη εικόνα. - 8 -
Ας υποθέσουμε ότι ο μέσος μισθός και η τυπική απόκλιση s των υπαλλήλων δύο εταιρειών Α και Β δίνονται στον παρακάτω πίνακα για 3 διαφορετικές περιπτώσεις: Περίπτωση Περίπτωση Περίπτωση 3 Εταιρεία Α Εταιρεία Β A = 500 = Β 500 s = Α 40 s = Β 600 A = 500 = Β 3500 s = Α 40 s = Β 500 A = 500 Β = $ 400 s = Α 40 s Α = $350 Στην περίπτωση έχουμε την ίδια μέση τιμή, οπότε η σύγκριση της μεταβλητότητας μπορεί να γίνει αμέσως, συνεπώς μπορούμε να πούμε ότι η μεταβλητότητα των μισθών στην εταιρεία Β είναι μεγαλύτερη από την μεταβλητότητα των μισθών στην εταιρεία Α. Δηλαδή οι εργαζόμενοι στην εταιρεία Α παρουσιάζουν μεγαλύτερη ομοιογένεια στις μηνιαίες αποδοχές τους από ό,τι στην εταιρεία Β. Αντίθετα, στη περίπτωση δεν μπορούμε να πούμε ότι έχουμε μεγαλύτερη μεταβλητότητα στην εταιρεία Β από ό,τι στην Α. Η τυπική απόκλιση s = Α 40 έχει υπολογιστεί θεωρώντας τις αποκλίσεις των παρατηρήσεων από τη μέση τιμή A = 500, ενώ η s = Β 500 υπολογίστηκε θεωρώντας τις αποκλίσεις των παρατηρήσεων από τη μέση τιμή = Β 3500. Ανάλογη είναι και η τρίτη περίπτωση, όπου έχουμε διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Στις δύο αυτές περιπτώσεις η μεταβλητότητα των δεδομένων μπορεί να συγκριθεί, αφού πρώτα εκφράσουμε τις σχετικές ποσότητες σε μια κοινή βάση. Γι αυτό υπάρχει ανάγκη ορισμού μέτρων σχετικής μεταβλητότητας, τα οποία να συνδυάζουν παραμέτρους θέσης με παραμέτρους διασποράς. Η πιο γνωστή παράμετρος σχετικής μεταβλητότητας είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας, ο οποίος ορίζεται από τον τύπο CV s = και συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΡΩΝ ΘΕΣΗΣ Σύγκριση μέσης τιμής, διαμέσου ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές. Είναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων. Είναι εύκολα κατανοητή. Ο υπολογισμός της είναι σχετικά εύκολος. Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Επηρεάζεται πολύ από ακραίες τιμές. Μπορεί να μην αντιστοιχεί σε δυνατή τιμή της μεταβλητής. Όταν η Χ είναι διακριτή, με ακέραιες τιμές, τότε η μέση τιμή μπορεί να μην είναι ακέραιος. Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα. Είναι δύσκολος ο υπολογισμός της σε ομαδοποιημένα δεδομένα με ανοικτές τις ακραίες κλάσεις. ΔΙΑΜΕΣΟΣ - 9 -
Είναι εύκολα κατανοητή. ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές. Υπολογίζεται και στην περίπτωση που οι ακραίες κλάσεις είναι ανοικτές. Ο υπολογισμός της είναι απλός. Είναι μοναδική σε κάθε σύνολο δεδομένων. ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Δε χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές για τον υπολογισμό της. Είναι δύσκολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα. Για τον υπολογισμό της μπορεί να χρειαστεί παρεμβολή. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΤΡΩΝ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΕΥΡΟΣ Είναι πολύ απλό στον υπολογισμό. Χρησιμοποιείται αρκετά στον έλεγχο ποιότητας. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης. Δε θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς, επειδή βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. Δε χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση. ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις. Έχουν μεγάλη εφαρμογή στη στατιστική συμπερασματολογία. Το κυριότερο μειονέκτημα της διακύμανσης είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με το χαρακτηριστικό. Το μειονέκτημα αυτό παύει να υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπικής απόκλισης Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα. ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΜΕΤΡΩΝ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Είναι καθαρός αριθμός. Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας, όταν έχουμε ίδιες ή και διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογένειας ενός πληθυσμού. Δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η μέση τιμή είναι κοντά στο μηδέν. - 0 -