ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 5 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Μαρτίου 8 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: Μαϊου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να µελετώνται τα παραδείγµατα και οι λυµένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραποµπών στα συγγράµµατα και στο βοηθητικό υλικό. Οι ασκήσεις της πέµπτης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα 8 (Το ανάπτυγµα Taylor) Ενότητα 9 (Το ολοκλήρωµα) Ενότητα (Γενικευµένη ολοκλήρωση) Ενότητα (Εφαρµογές ολοκληρωµάτων) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Λογισµός Μιας Μεταβλητής» του Γ. άσιου. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συµβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη http://edu.eap.gr/pli/pli/studets.htm ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Λογισµός : Σειρές Taylor, Ολοκληρώµατα, Ολοκληρώµατα. Πιθανότητες : Πιθανότητες Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η κατανόηση και εφαρµογή των δυναµοσειρών και σειρών Taylor, του ορισµένου ολοκληρώµατος, των τεχνικών ολοκλήρωσης και της σύνδεσης αυτών µε την θεωρία πιθανοτήτων συνεχών τυχαίων µεταβλητών. ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5
. ( µονάδες) i) Για a> δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) f x = l x+ a, x > a (α) Αποδείξτε ότι η f αναπτύσσεται σε σειρά Taylor κέντρου (βλ. και Ενότητα 8., Τόµου «Λογισµός Μιας Μεταβλητής») ως εξής: l ( ) l ( ) = ( ) x + a = a + x a (β) Προσδιορίστε το διάστηµα σύγκλισης της προηγούµενης σειράς χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι η ακτίνα σύγκλισης R µιας δυναµοσειράς = ax δίνεται από τον τύπο a R = lim =, όταν τα προηγούµενα όρια a lim a + υπάρχουν. ii) Προσδιορίστε µε ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων το l(.3) χρησιµοποιώντας τον προηγούµενο τύπο και το γεγονός ότι το σφάλµα προσέγγισης που προκύπτει όταν + = για το άθροισµα εναλλάσσουσας σειράς S = ( ) a, µε ( a ) φθίνουσα µηδενική ακολουθία θετικών όρων, χρησιµοποιηθούν οι πρώτοι όροι S k = k = ( ) + a, δεν ξεπερνάει, κατ απόλυτη τιµή, το µέτρο του αµέσως k επόµενου + όρου, δηλ. S S < a +. iii) Χρησιµοποιήστε το ανάπτυγµα Taylor του υποερωτήµατος (i) καθώς και αυτό του si x µε κέντρο για να υπολογίσετε το όριο: lim x 3 ( x + ) ( x + ) l l xsi ( x) ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5
3. ( 5 µονάδες) ίνεται η συνάρτηση f ( x) = x, x. (α) Να υπολογίσετε το εµβαδόν των 4 ορθογωνίων που βρίσκονται κάτω και πάνω από την γραφική παράσταση της f ( x) = x στα δύο παρακάτω σχήµατα. (β) Να χωρίσετε το διάστηµα [,] σε ίσα υποδιαστήµατα και να ξαναυπολογίσετε το εµβαδόν των ορθογωνίων που σχηµατίζονται κάτω και πάνω από την γραφική παράσταση της f ( x) = x στα δύο αντίστοιχα σχήµατα. (γ) Να υπολογίσετε το όριο των δύο αθροισµάτων που υπολογίσατε στο ερώτηµα (β) όταν το τείνει στο άπειρο. (δ) Να συγκρίνετε το αποτέλεσµα που υπολογίσατε στο ερώτηµα (γ) µε το ορισµένο ολοκλήρωµα xdx E =. ( )( ) + + Υπόδειξη. + + + =. 6 = ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5
4 3. ( 5 µονάδες) (Βλέπε Σ.Ε.Υ., Ολοκληρώµατα - Λυµένες ασκήσεις) ίνεται το ολοκλήρωµα: ) Αφού υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I π 3 (si x ) = dx, cos x, την διαφορά I + I. ) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα I,I 3,I 5 π 3 (si x ) cos xdx να βρείτε, συναρτήσει του x π 3) Έστω f ( x ) = l ta + 4, να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι µια π παράγουσα της g( x ) = στο διάστηµα, cos x 3. 4) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώµατα I,I και I 4 ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5
4. ( 5 µονάδες) (Γεν. Μαθηµ. Ι παρ. 9.3, Παραδείγµατα σελ. 5 και Σ.Ε.Υ. Ολοκληρώµατα -Λυµένες ασκήσεις). (α) Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο R και αν α<β είναι τέτοια ώστε f ( α) = f '( α) = f ( β ) = f '( β ) = τότε β α e x f ''( x) dx = β x e α f ( x) dx. (Υπόδειξη: Ολοκλήρωση κατά παράγοντες δύο φορές) (β) Θεωρούµε το ολοκλήρωµα = π x I e si xdx. όπου το είναι φυσικός αριθµός. Χρησιµοποιώντας το (α) (ή αλλιώς) να δείξετε ότι ( ) I = I για κάθε. + (γ) Να υπολογίσετε το Ι 8. 5 ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5
6 5. ( µονάδες) (α) Η τυχαία µεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας a x, αν x f(x) =, αν x > ) Να βρεθεί η τιµή του πραγµατικού αριθµού α. ) Να βρεθούν οι πιθανότητες P x > και 3 P x< x > 3) Να βρεθεί η µέση τιµή EX και η διασπορά VarX (β) Η ποσότητα πορτοκαλάδας που περιέχει κάθε µπουκάλι είναι τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 5 gr και τυπική απόκλιση 8gr. ) Ποια η πιθανότητα ένα µπουκάλι να περιέχει τουλάχιστον 6gr πορτοκαλάδας; ) Ποια η πιθανότητα τα δύο από τα τρία µπουκάλια να περιέχουν τουλάχιστον 6gr και το άλλο να περιέχει το πολύ 6 gr πορτοκαλάδας; 3) Χρησιµοποιώντας την αναπαραγωγική ιδιότητα (βλ. ΣΕΥ Πιθανότητες, σελ. 4-4) να υπολογίσετε την πιθανότητα και τρία µπουκάλια µαζί να περιέχουν ποσότητα πορτοκαλάδας Y έτσι ώστε 73gr Y 76gr ( ίνεται: Φ(,5) =,8944, Φ(,768) =,764, Φ(,4433) =,95) ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5
7 6. ( 5 µονάδες) (Βλέπε Σ.Ε.Υ., Πιθανότητες - Λυµένες ασκήσεις ) Έστω X ο χρόνος εκποµπής του πρώτου ηλεκτρονίου από την κάθοδο ενός αερόκενου σωλήνα. Με χρήση φυσικών µεθόδων βρίσκεται ότι η τυχαία µεταβλητή X έχει την ακόλουθη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ax ae, x f(x) =, x< όπου a ) Να επαληθεύσετε την ισότητα f (x)dx= ) Να βρεθεί η συνάρτηση κατανοµής P X 4) Να βρεθεί η µέση τιµή EX. 3) Να βρεθεί η πιθανότητα ( ) + ΠΛΗ-7-8 Εργασία 5