Resistencia de Materiais. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Chaotianmen (China, 2009). Van principal: 552 m.
Introdución Mecánica - Do punto material - Do sólido ríxido - De medios continuos (corpos deformables) - Plasticidade Simplificacións - Teoría da elasticidade Resistencia de materiais en sólidos 1D e 2D A resistencia de materiais estuda os sólidos deformables que polas súas características de xeometría e carga permiten hipóteses simplificadoras en relación ao estado tensional e ás deformacións. Permitiu coñecer con suficiente precisión o comportamento dos elementos construtivos básicos como: vigas, pilares, arcos, placas, etc. No que sigue consideraremos que o material co que se constrúen as estruturas é: - un medio continuo (medio físico no que as súas propiedades varían de forma continua no espazo), - isótropo (ten iguais características en todas direccións), - homoxéneo (ten iguais características en todas as súas partículas), - elástico (recupera a xeometría anterior á deformación cando desaparecen as cargas que a produciron). Estrutura Real Simplificacións Obxectivo do problema elástico: Dado un corpo deformable sometido a unhas cargas, coñecer en calquera punto Formular este problema pasa por coñecer Modelo estrutural Análise estrutural - Reaccións - Esforzos internos - Tensións - Deformacións - Movementos - Estado tensional - Estado deformacional - Movementos - Relacións entre accións e estado tensional (tema 3) - Relacións entre movementos e deformacións (tema 4) - Relacións entre tensións e deformacións (tema 5) 2
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte Lupu (China, 2003). Van principal: 550 m. 3
3.1. Tensor de tensións nun punto Se un corpo V en equilibrio se corta por un plano S (definido polo vector n), os volumes resultantes tamén estarán en equilibrio. Para que exista equilibrio nas dúas partes resultantes deben existir unhas certas forzas de interacción. En cada superficie elemental ΔA da sección común, a interacción tradúcese en sendas forzas ΔF e ΔF. ΔA ΔF S ΔF F df Defínese tensión nun punto da sección como: tn = lím = que depende do punto e da orientación da A 0 sección elixidos. A da O vector t n pode descompoñerse nun vector σ n segundo a dirección normal, denominado tensión normal, e outro τ n situado no plano da sección, que recibe o nome de tensión tanxencial. t n S τ n σ n As unidades de tensión son forza por unidade de superficie [F L -2 ]. No Sistema Internacional: Pa ou N/m 2. 4
3.1. Tensor de tensións nun punto O vector tensión t n tamén pode descompoñerse nos eixos coordenados: t = t i+ t j+ t k nx ny nz Particularizando o anterior para as direccións dos eixos coordenados: n tx = txx i+ txy j+ txz k ty = tyx i+ tyy j+ tyz k t = t i+ t j+ t k z zx zy zz Definindo unha dirección xenérica n polos cosenos directores l, m, n dos ángulos que forma cos eixos coordenados, poden obterse as compoñentes da tensión t n pola relación matricial seguinte: tnx txx tyx t zx l σx τ yx τ zx l t = t t t m = τ σ τ m tn = τ n ny xy yy zy xy y zy t nz txz tyz t zz n τxz τ yz σ z n Coñecendo as compoñentes tensionais para uns eixos xyz podemos saber canto vale t n para calquera plano de corte. τ: tensor de tensións. 5
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte New River Gorge (EEUU, 1977). Van principal: 518 m. 6
3.2. Ecuacións de equilibrio interno σ Considerando un paralelepípedo elemental de dimensións dx, dy, dz situado no interior do sólido e sometido a unhas forzas de volume b, para que estea en equilibrio estático: x x + x τ σ x xz xz + dx x τ τ σ y dx σ x xy xy + σ z z z + z zx zx + τ yz dz τ yx τ zy σ z dz τ yz τ yz + dy y yx τ yx + dy y dx zy zy + τ zx z τ xy τ xz dz σ σ x σ y y y + dy y Establecendo o equilibrio de forzas en dirección x: σ x yx σx + dx σx dy dz + τ yx + dy τ yx dx dz + x y zx + τzx + dz τzx dx dy + bx dx dy dz = 0 z σ b 0 x y z x yx zx + + + x = Igualmente: xy σ y zy + + + by x y z = 0 xz yz σz + + + bz x y z = 0 Establecendo o equilibrio de momentos en x no centro de gravidade (desprezando infinitésimos de maior orde): yz dy dy zy dz dz τ + dy dx dz + τ dx dz τ + dz dx dy τ dx dy = 0 τ = τ y 2 2 z 2 2 Igualmente: τxz = τzx τxy = τ yx yz yz zy zy yz zy 7
3.2. Ecuacións de equilibrio interno O tensor de tensións resulta ser simétrico: As ecuacións de equilibrio interno son: desenvolvendo: e o módulo τ da tensión tanxencial é: tnx σx τxy τ xz l t = τ σ τ m tn = τ n ny xy y yz t nz τxz τ yz σ z n σ x y z b 0 x yx zx + + + x = xy σ y zy + + + by x y z = 0 xz yz σz + + + bz x y z = 0 A compoñente normal σ da tensión t n pode obterse da forma: ( τ ) T T σ = n = n t n n 2 2 2 σ = σ l + σ m + σ n + 2 τ l m+ 2 τ l n+ 2 τ m n x y z xy xz yz t 2 n σ 2 τ = 8
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte Bayonne (EEUU, 1931). Van principal: 504 m. 9
3.3. Ecuacións de equilibrio no contorno x Considerando un tetraedro elemental situado no contorno do sólido (de modo que as caras sexan o plano tanxente ao medio continuo en dito punto, definido polo vector n, e os tres planos coordenados) e sometido a unhas forzas de superficie p e unhas forzas de volume b, para que estea en equilibrio estático: σ y p n τ yz τ yz τ xy σ z τ xy b τ xz τ xz σ x Establecendo o equilibrio de forzas: 1 1 1 dx dy dz σx dy dz + τxy dx dz + τxz dx dy px da bx = 0 2 2 2 6 1 1 1 dx dy dz τxy dy dz + σ y dx dz + τ yz dx dy py da by = 0 2 2 2 6 1 1 1 dx dy dz τxz dy dz + τ yz dx dz + σz dx dy pz da bz = 0 2 2 2 6 sabendo que: 1 1 1 dy dz = l da dx dz = m da dx dy = n da 2 2 2 e desprezando os infinitésimos de maior orde resulta: y px σx τxy τ xz l p = τ σ τ m p= τ n y xy y yz pz τxz τ yz σ z n Compróbase que nos puntos do contorno as forzas unitarias coinciden coa tensión neses puntos. 10
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte de Sidney (Australia, 1932). Van principal: 503 m. 11
3.4. Hipótese de Saint-Venant O razoamento anterior non é válido para cargas concentradas no contorno, pois provocarían tensións infinitas. Aínda que é certo que na realidade se produce unha concentración de valores altos de tensións na proximidade do punto de aplicación das cargas. No estudio xeral de medios elásticos con presenza de cargas illadas sóese prescindir de definir o tensor de tensións nun pequeno volume na proximidade dos puntos de actuación das cargas illadas, e defínese outro contorno, que exclúe os citados volumes, que contén as cargas distribuídas existentes e unhas cargas distribuídas equivalentes ás cargas illadas actuantes. Esta formulación asume que o estado tensional no volume así definido coincide co realmente reproducido polas cargas exteriores e a hipótese en que se basea é coñecida como hipótese de Saint-Venant. 12
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte Wushan (China, 2005). Van principal: 460 m. 13
3.5. Tensións e direccións principais Sempre é posible atopar un triedro de eixos no que só exista compoñente normal das tensións segundo os tres planos coordenados, convertendo o tensor de tensións en diagonal. Nunha sección definida por un deses novos eixos cumprirase (a tensión resultante será paralela ao vector normal n): tn = σ n= τ n desenvolvendo: τ σ I n= ( ) 0 Para que este sistema de ecuacións homoxéneo teña solución debe anularse o determinante: σx σ τxy τxz 3 2 τxy σ y σ τ yz = 0 σ I1 σ I2 σ I3 = 0 τ τ σ σ xz yz z Onde I 1, I 2, I 3 son coeficientes independentes dos eixos coordenados e coñécense como invariantes do tensor de tensións: I = σ + σ + σ I I 1 x y z 2 2 2 2 xy xz yz x y x z y z 3 = τ + τ + τ σ σ σ σ σ σ = τ σ 3 Sempre haberá tres raíces reais σ 1, σ 2, σ 3, que reciben o nome de tensións principais. As direccións asociadas a cada unha delas denomínanse direccións principais e obtéñense resolvendo: τ σ I n = 0 i= 123 ( ),, i i 2 2 2 l + m + n = 1 σ 1 σ 2 14
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte Mingzhou (China, 2011). Van principal: 450 m. 15
3.6. Tensións tanxenciais máximas Partindo das direccións principais de tensión para simplificar os cálculos, resulta interesante coñecer os planos nos que é máxima a tensión tanxencial. t = τ n= σ l i+ σ m j+ σ n k n 1 2 3 T 2 2 2 tn 1 l 2 m 3 n σ = n = σ + σ + σ ( 1 l 2 m 3 n ) ( 1 l 2 m 3 n ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = tn = + + + + τ σ σ σ σ σ σ σ Obter os valores máximos de τ 2 equivale a resolver un problema de maximización, cuxa solución é: 2 2 m= 0 l = n = 05. Pode comprobarse que os planos asociados a estas direccións forman ángulos de 45 cos de direccións principais σ 1, σ 3 e conteñen ao da dirección σ 2. Substituíndo no valor de τ obtense o valor máximo da tensión tanxencial: σ σ τ = ± 1 3 máx 2 2 16
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas. 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte Zhijinghe (China, 2009). Van principal: 430 m. 17
3.7. Círculo de Mohr En estados tensionais bidimensionais o tensor de tensións redúcese. Por exemplo, no plano xz: σ z ( + ) σ 2 τ xz ( + ) σx τxz τ xz ( ) τ = τxz σ σ x σ x ( + ) z τ xz σ 1 α σ 1 σ z σ 2 Se se calculan as tensións principais da forma que se indicou anteriormente, pode comprobarse que: 2 2 σx + σz σx σz 2 σx + σz σx σz 2 2 τxz σ1 = + + τxz σ2 = + τxz tan( 2 α) = 2 2 2 2 σx σz O círculo de Mohr é un procedemento gráfico que representa o estado de tensións nun punto dun sólido. τ máx τ xz 2 m z σ 2σz b σ x σ 1 a 2α Polo M x a 1 σ Por exemplo, para o gráfico de arriba: - O estado tensional (σ x, -τ xz ) represéntase polo punto a. - O estado tensional (σ z, +τ xz ) represéntase polo punto b. - Os puntos a e b forman parte dunha circunferencia. - O punto M representa a tensión principal máxima σ 1. - O punto m representa a tensión principal mínima σ 2. - Un xiro 2α no círculo de Mohr equivale a un xiro α no mesmo sentido no espazo real. 18
Contido. Tema 3. Relacións de equilibrio tensional nos sólidos elásticos 1. Tensor de tensións nun punto. 2. Ecuacións de equilibrio interno. 3. Ecuacións de equilibrio no contorno. 4. Hipótese de Saint-Venant. 5. Tensións e direccións principais. 6. Tensións tanxenciais máximas 7. Círculo de Mohr. 8. Estado límite en réxime elástico. Fotografía. Ponte Xinguang (China, 2008). Van principal: 428 m. 19
3.8. Estado límite en réxime elástico Denomínase estado límite en réxime elástico ou estado límite de esgotamento elástico ao estado tensional que en caso de superarse, o material deixa de comportarse de modo elástico, e polo tanto, aparecerán deformacións permanentes. Cada material (aceiro, formigón, madeira, terreo de cimentación, ) ten un diferente comportamento e un distinto estado límite en réxime elástico. Enúncianse distintos criterios de plastificación para predicir o momento en que un material determinado acada o estado límite elástico (a validez ou non dun criterio depende do material concreto). Algúns dos criterios máis importantes en enxeñería da construción son: - Criterio de Rankine-Lamé: σ f i= 123,, i y - Criterio de Tresca: - Criterio de Beltrami-Haig: f τ y máx 2 ( ) 2 2 2 σ + σ + σ 2 ν σ σ + σ σ + σ σ f 1 2 3 1 2 1 3 2 3 y - Criterio de Von Mises-Hencky: 1 2 2 2 ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) f 2 Nota: f y é o límite elástico do material. 1 2 1 3 2 3 y 20