Problema Tranformaa Radon Reconrucia unei imaini bidimenionale cu auorul roieciilor rezulae de-a lunul unor dree. Domeniul de uilizare: Prelucrarea imainilor din domeniul medical Prelucrarea imainilor in cazul conrolului nediruciv
Domeniul medical omorafie comuerizaa Scoul: obinerea imainii unei eciuni a obiecului din roiecii obinue cu auorul unor radiaii enerane. Penru fiecare linie e obine o roiecie unidimenionala a unei eciuni a obiecului. Tranformaa Radon aiura uorul maemaic necear enru leaura inre aiul de coordonae x y i aiul roieciilor.
Tranformaa Radon a unei funcii f x y e definee ca inerala de-a lunul unei dree inclinae cu unhiul faa de axa y i iuaa la diana faa de oriine. Se noeaza cu Δ + x co + y in Rf f x y δ dxdy R oeraorul de roiecie [ R Δ + x co + y in Rf f x y δ dxdy ee roiecia unidimenionala a funciei fxy la unhiul. u y u x 3
Inerala dubla e oae ranforma inr-o inerala imla roind axele de coordonae cu unhiul. x co + y in u x in + y co x co u in y x in + u co Δ + Rf < < f co u in in + u co du Tranformaa Radon duce domeniul aial x y in domeniul. Obervaie! Coordonaele nu un coordonaele olare ale lui x y. x r coϕ y r inϕ r co ϕ x co + y in u xin + y co 4
r co ϕ Penru un unc fixa r ϕ relaia da locul eomeric al uuror uncelor din lanul ranformaei o inuoida la care conribuie uncul reeciv. Funcia Tranformaa Radon liniariae limiare aiala f x y f r af x y + bf x a + b y D D D f x y x > y > > imerie f x y ± eriodiciae f x y + k k Z delaare f x x y y x co in y roaie rin r + + ϕ calare conervarea maei f a f ax ay a + a M f x y dxdy M d 5
Oeraorul de roiecie invera ~ f x y Δ B x co + y in d ~ ~ f x y f r ϕ r co ϕ d Proiecia invera inr-un unc de-a lunul inuoidei r ϕ ee inerala lui adica r co ϕ inumarea uuror valorilor din aiul ranformaei care au conribui la acel unc.. Relaii inre imainea oriinala i imainea rezulaa in urma roieciei invere : ~ / f x y f x y* x + y ~ f r ϕ f r ϕ * r Imainea oriinala oae fi refacua din roiecia invera a ranformaei Radon cu o filrare liniara cu un filru ce are funcia de ranfer: H + u v u v H ρ φ H ρ ρ Dezavana imoran: Suorul aial al funciei rezulae din roiecia invera ee mul mai mare deca cel al funciei oriinale comlexiae mare de calcul. 6
G G F Teorema roieciei Tranformaa Fourier unidimenionala in raor cu a roieciei ee eala cu ranformaa Fourier bidimenionala a imainii oriinale f x y exrimaa in coordonae olare de-a lunul unei dree ce rece rin oriine inclinaa cu unhiul. Demonraie: Δ + G e d G + + f x y e x co + y in Δ F F co in f co u in in + u co e ddu dxdy F co in F Teorema Tranformaa Radon a convoluiei bidimenionale dinre doua emnale ee eale cu convoluia unidimenionala dinre raformaele Radon ale lor. { x y* f x y } * R f 7
Tranformaa Radon invera Plecand de la Δ R f < < + [ ranformaa Radon invera ee daa de relaia: f x y dd x co + y co Si in coordonae olare: f r ϕ dd r co ϕ Demonraie: + [ x y ] dd f x y F + Si in coordonae olare: ex [ x co + y in ] dd f x y F ex Permiand a fie i valori neaive i roieciei: f x y G ex ~ x co + F ex [ i uilizand eorema [ x co + y in ] [ x co + y in ] y in d ~ d B d d ~ { } dd 8
9 [ ] [ ] d G d y x G Δ + ex n in co ex ~ { } [ ] { } [ ] d G I I * n * ~ Alicand eorema convoluiei { } ~ ~ B d y x f { } [ ] { } [ ] d G I I * n * ~ Tranformaa Radon invera e obine in doi ai.. e filreaza fiecare roiecie cu un filru undimenional al carui raun in frecvena ee. Filrarea e face fie in domeniul de frecvena fie in domeniul aial obinandu-e.. din rezulaul obinu e calculeaza rin roiecie invera ~ ~ y x f
Filrarea in domeniul de frecvena: Pai: Calcularea roieciei Calcularea ranformaei enru roiecie 3 Filrarea in frecvena cu 4 Calcularea ranformaei invere 5 Proiecia invera 6 Adunarea enru oae unhiurile Exrimarea maemaica: { I{ } } δ x co + y in u I d d Filrul cu funcia de ranfer: e aroximeaza rin divere filre:
Filrul RAM-LAK Banda de frecvena ee limiaa: