Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr
Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν αριθμό. Ω ω X(ω) R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος τιμών Συνεχής τ.μ. : παίρνει άπειρο ή μη-αριθμήσιμο πλήθος τιμών
Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής Ορισμός : Η συνάρτηση F X ()=P(X ), R ονομάζεται συνάρτηση αθροιστικής κατανομής (σ.α.κ.) της τ.μ. Χ και δίνει την πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει όλες της τιμές της μέχρι το σημείο. Σε κάθε τ.μ. Χ αντιστοιχεί μονοσήμαντα μια σ.α.κ. F X () που έχει τις ιδιότητες: i) Η F X () είναι αύξουσα συνάρτηση του ii) lim F ( ) = 0, lim F ( ) = 1 X X iii) Η F X () είναι δεξιά συνεχής: lim FX ( ) = FX ( 0 ) + 0
ιακριτές κατανομές Αν η τ.μ. είναι διακριτή, τότε η συνάρτηση που δίνει την πιθανότητα η τ.μ. Χ να πάρει την τιμή, λέγεται συνάρτηση πιθανότητας της τ.μ. Χ, συμβολίζεται με f X ()=P(X=) και έχει τις ιδιότητες: 1) ( ) 0, και ) f X f ( ) = 1 X Οι συναρτήσεις f X () και F X () συνδέονται με τις σχέσεις: F ( ) = P( X ) = f ( t) X t f X ( i ) = P(X= i ) = P( i-1 <X i ) = P(X i )- P(X i-1 ) = F X ( i )- F X ( i-1 ) X
Παράδειγμα Χ : αριθμός παιδιών μιας οικογένειας Τιμές της Χ 0 1 3 4 5 Πιθανότητες P(X=) 0.10 0.40 0.30 0.10 0.07 0.03 Η συνάρτηση πιθανότητας f(): f(0) =0.10, f(1) =0.40, f() =0.30, f(3) =0.10, f(4) =0.07, f(5) =0.03.
Παράδειγμα H συνάρτηση αθροιστικής κατανομής F() =P(X )= f(t) t F(0) = f(0) = 0.10 F(1) = f(0) + f(1) = 0.50 F() = f(0) + f(1) + f() = 0.80 F(3) = f(0) + f(1) + f() + f(3) =0.90 F(4) = f(0) + f(1) + f() + f(3) + f(4) = 0.97 F(5) = f(0) + f(1) + f() + f(3) + f(4) + f(5) = 1.00 Για ενδιάμεσες τιμές του, π.χ. για =1.4 F(1.4) = P(X 1.4)= P( X =0 ή 1) = f(0) + f(1) = 0.50 Η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής ορίζεται κατά τμήματα 0, 0.1, 0.5, F( ) = 0.8, 0.9, 0.97, 1.00, < 0 0 < 1 1 < < 3 3 < 4 4 < 5 5 1, 1 0,8 0,6 0,4 0, 0 F( ) -4-0 4 6 8
Παράδειγμα Χ : αριθμός παιδιών μιας οικογένειας Τιμές της Χ 0 1 3 4 5 Συνάρτηση πιθανότητας f()= P(X=) 0.10 0.40 0.30 0.10 0.07 0.03 Συνάρτηση αθροιστικής κατανομής F() =P(X ) 0.10 0.50 0.80 0.90 0.97 1.00 Η πιθανότητα μια οικογένεια να έχει τουλάχιστον ένα παιδί: P(X 1) = 1-P(X=0) = 1-f(0) = 1-0.10 = 0.9 Η πιθανότητα μια οικογένεια να έχει τουλάχιστον δύο και το πολύ τέσσερα παιδιά: P( X 4) = P(X 4) - P(X 1) = F(4)-F(1) = 0.97-0.50 = 0.47
Συνεχείς κατανομές Αν η τ.μ. X είναι συνεχής, τότε υπάρχει συνάρτηση f() τέτοια ώστε F( ) = f ( t) dt, H συνάρτηση f() ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) της τ.μ. Χ. Μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχειτιςεξήςιδιότητες: 1) f ( ) 0, R ) R f ( ) d = 1 Προκύπτει ότι b P( a X b) = f ( ) d = F( b) F( a) a
Παράδειγμα Έστω ότι η τ.μ. Τ της διάρκειας ζωής ενός μικροβίου (σε min) έχει σ.π.π. 9 3 10 t (100 t), f ( t) = 0, διαφορετικά 0 t 100 Να υπολογιστεί η πιθανότητα η διάρκεια ζωής ενός μικροβίου να είναι μεταξύ 60 και 70 λεπτά. 70 9 P( 60 X 70) = 3 10 t (100 t) dt = 60 0.154 Να υπολογιστεί η πιθανότητα ένα μικρόβιο να ζήσει περισσότερο από 60 λεπτά. 100 9 P( X 60) = 3 10 t (100 t) dt = 60 0.317
Παράμετροι κατανομής Έστω Χ μια τ.μ. με συνάρτηση κατανομής f() Ορισμός: Η μέση ή αναμενόμενη τιμή της Χ είναι f ( ) d, X συνεχής R μ = E( X ) = f ( ), X διακριτή Θεώρημα: Η μέση ή αναμενόμενη τιμή είναι της g(χ) μ g ( X ) = E [ g( X )] = g( ) f ( ) d, R g( ) f ( ), X X συνεχής διακριτή
Παράμετροι κατανομής Ορισμός: Η διασπορά της Χ είναι σ = V ( X ) = E [( X μ ) ] = R ( μ) ( μ) f ( ) d, f ( ), X X συνεχης διακριτη Θεώρημα: Η διασπορά της τ.μ. Χ υπολογίζεται από σ = E X ( ) μ Η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς, σ, ονομάζεται τυπική απόκλιση.
Παράδειγμα Χ : αριθμός παιδιών μιας οικογένειας Τιμές της Χ 0 1 3 4 5 Πιθανότητες P(X=)=f() 0.10 0.40 0.30 0.10 0.07 0.03 Na υπολογιστεί ο μέσος αριθμός παιδιών ανά οικογένεια και η διασπορά μ = E( X ) = f ( ) = 0 0.1+ 1 0.4 + 0.3 + 3 0.1+ + 4 0.07 + 5 0.03 = 1.73 σ = E( X ) μ = + 0 4 0.1+ 1 0.07 + 5 0.4 + 0.3 + 3 0.03 (1.73) 0.1+ = 1.38
Παράδειγμα Έστω ότι η τ.μ. Τ της διάρκειας ζωής ενός μικροβίου (σε min) έχει σ.π.π. 9 3 10 t (100 t), 0 t 100 f ( ) = 0, διαφορετικά Να υπολογιστεί η μέση διάρκεια ζωής ενός μικροβίου. μ = 9 3 tf ( t) dt = 3 10 t (100 t) dt = 100 Να υπολογιστεί η διασπορά της Τ. 0 50 min σ = V ( T ) = ( t μ) f ( t) dt = 3 10 100 9 0 ( t 50) t (100 t) dt = 357.14 min ή σ = V ( T ) = E( T 3 10 100 9 4 0 t ) [ E( T )] (100 t) = t f ( t) dt 50 dt = 857.14 500 = 357.14 = min
Παράμετροι κατανομής Αν α και b είναι σταθερές, τότε E(α +bx)= α +be(x) Αν θέσουμε b=0, τότε E(α)= α, και Αν θέσουμε α=0, τότε E(bX)= be(x) Αν α και b είναι σταθερές, τότε V(α +bx)=b V(X). Αν θέσουμε b=1, τότε V(α +X)=V(X). (Η διασπορά δεν αλλάζει αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε μια σταθερά από μια τυχαία μεταβλητή). Αν θέσουμε α=0, τότε V(bX)=b V(X). (Αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε μια τυχαία μεταβλητή με μία σταθερά ( 0), τότε η διασπορά πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με το τετράγωνο της σταθεράς)
ιωνυμική κατανομή πείραμα ή δοκιμή Bernoulli: πείραμα όπου τα δυνατά αποτελέσματα είναι μόνο δύο Επιτυχία (S) 1 P(S)=p (σταθερή) Αποτυχία (F) 0 P(F)=1-p=q X: ο αριθμός των επιτυχιών σε n ανεξάρτητες δοκιμές Η συνάρτηση πιθανότητας της τ.μ. X n n b( ; n, p) = P( X = ) = p q, = 0,1,,..., n n = n! όπου k k!( n k συντελεστής. )! ονομάζεται διωνυμικός E(X)= n p και Var(X)=n p q
Poisson κατανομή X: αριθμός εμφάνισης κάποιου γεγονότος στη μονάδα μέτρησης. Η συνάρτηση πιθανότητας της τ.μ. X λ e λ p( ; λ) = P( X = ) =, = 0,1,,..., λ >! 0 λ ο μέσος αριθμός εμφάνισης του γεγονότος E(Χ)= λ και Var(Χ)=λ
Κανονική κατανομή N(μ,σ ) Ητ.μ. X έχει την κανονική κατανομή, αν έχει σ.π.π. : E(X)= μ και Var(X)= σ R R e f > = μ σ π σ σ μ 0,,, 1 ) ( ) ( μ μ-σ μ+σ f()
Ιδιότητες της Ν(μ,σ ) f() μ 1 μ μ 3 Σταθερήτυπικήαπόκλισηκαιμ 1 <μ <μ 3 f() σ 1 σ σ3 μ Σταθερήμέσητιμήκαισ 1 <σ <σ 3
Τυπική κανονική κατανομή -Ν(0,1) Χ~Ν(μ,σ ) Η τυποποιημένη τ.μ Z έχει σ.π.π. : σ f 1 e π z ( z) = Ησ. α. κ. της Z είναι = X μ, z R z y 1 Φ( z) = P( Z z) = e π dy, z R Φ(z) Φ(z) 0 z 0 z σ.α.κ. σ.π.π. Φ(-z)=1-Φ(z)
Σχέση μεταξύ N(μ,σ ) και Ν(0,1) Αν Χ~Ν(μ,σ ) τότε Ζ~Ν(0,1) Όταν η X παίρνει τιμές μεταξύ 1 και η Z παίρνει τιμές μεταξύ z 1 = 1 μ σ και z = μ σ P ( 1 < X < ) = P( z1 < Z < z )
Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calculus for biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 004 Chapter 1: 1.4 και 1.5