Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Τι οοµάζουµε µιγδικό ριθµό Μιγδικός ριθµός είι κάθε ριθµός που έχει τη µορφή + i, όπου, R κι i Τι λέγετι πργµτικό κι τι φτστικό µέρος εός µιγδικού + i Πργµτικός µέρος του είι ο ριθµός κι συµολίζετι µε Re( Φτστικό µέρος του είι ο ριθµός κι συµολίζετι µε Im( 3 i Πότε δύο µιγδικοί είι ίσοι ii Πότε ές µιγδικός είι ίσος µε το µηδέ i Οι µιγδικοί + i κι γ+ δi είι ίσοι κι µόο γ κι δ ii Ο µιγδικός + i είι ίσος µε το µηδέ κι µόο κι 4 ίετι ο µιγδικός + i. Τι λέγετι: i εικό του µιγδικού ii µιγδικό επίπεδο iii πργµτικός άξος iv φτστικός άξος v διυσµτική κτί του µιγδικού ψ Ο M(, ιυσµτική κτί του Εικό του i Εικό του µιγδικού είι το σηµείο Μ(, ii Μιγδικό επίπεδο είι το κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σηµεί είι εικόες τω µιγδικώ ριθµώ iii Πργµτικός άξος είι ο άξος iv Φτστικός άξος είι ο άξος ψ ψ OM,, οπου Μ(, η εικό του v ιυσµτική κτί του µιγδικού είι το διάυσµ ( 5 Έστω οι µιγδικοί ριθµοί + i κι γ + δi. Ν γράψετε το άθροισµ κι τη διφορά υτώ i ( + i + (γ + δi ( + γ + ( + δi ( Α M (, κι M ( γ, δ είι οι εικόες τω + i κι γ+δ i τιστοίχως στο µιγδικό επίπεδο, τότε το 4 άθροισµ της ισότητς ( πριστάετι µε το σηµείο Σ Λ 4 Ε σ π Α Π Ο Δ M( +γ, +δ. 7 Ε σ π Ε Σ Λ M(+γ,+δ Εποµέως, OM OM + OM, δηλδή: Σ Λ M(γ,δ Η διυσµτική κτί του θροίσµτος τω µιγδικώ + i κι γ+ δi είι το άθροισµ τω διυσµτικώ M(, κτίω τους Ο
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - ii ( + i (γ + δi ( γ + ( δi ( Α M (, κι M ( γ, δ είι οι εικόες τω + i κι γ+δ i τιστοίχως στο µιγδικό επίπεδο, τότε η διφορά της ισότητς ( πριστάετι µε το σηµείο N( γ, δ. Εποµέως, ON OM OM, δηλδή Ο Η διυσµτική κτί της διφοράς τω µιγδικώ + i κι γ+ δi είι η διφορά τω διυσµτικώ κτίω τους Μ3( γ, δ Μ (γ,δ Μ (, Ν( γ, δ 6 Α + i,γ+δi είι µιγδικοί ριθµοί, όπου,,γ,δ R ποδείξετε ότι: i (+i(γ+δi(γ-δ+(δ+γi +i γ+δ γ-δ ii + i, ρκεί γ+δi γ+δi γ +δ γ +δ πόδειξη( i ( +i( γ+δ i ( γ+δ i +i( γ+δ i γ+δ i+γ i+ ( i( δ i ii γ+δ i+γ i+δ i γ+δ i+γi δ ( γ δ + ( δ+γ i +i ( +i( γ δi ( γ+δ + ( γ δ i γ+δ γ δ + i γ+δi ( γ+δi( γ δi γ +δ γ +δ γ +δ 3 Ε σ π Α Π Ο Δ 7 Τι λέγετι συζυγής του µιγδικού ριθµού + i κι ποιοι µιγδικοί ριθµοί λέγοτι συζυγείς µιγδικοί Συζυγής του + i είι ο ριθµός i κι συµολίζετι µε Συζυγείς µιγδικοί λέγοτι οι ριθµοί + i, i + i 3 Ε σ π Σ Λ 8 Οι εικόες τω µιγδικώ κι πό ποι συµµετρί προκύπτου Οι εικόες τω κι είι συµµετρικές ως προς το άξο τω πργµτικώ ριθµώ 5 Ε Σ Λ 6 Ε σ π Σ Λ 9 Ν ποδείξετε ότι γι το µιγδικό ριθµό + i ισχύου: i + ii i πόδειξη( i Έχουµε + ( + i + ( i ii Έχουµε ( + i ( i i + Πρτήρηση: Από τις πρπάω σχέσεις προκύπτει επίσης ότι Re( κι Im( i Ν θυµάστε ότι R κι I Χρησιµοποιούτι φού πρώτ ποδειχθού έστω +i i+i i Im( R έστω +i Re( i i I
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Α, C ποδείξετε ότι + + πόδειξη(3 Έστω + i κι γ+ δi Έχουµε + (+ i + (γ+ δi (+ γ + ( ( + γ (+ δi ( i + (γ δi + + δi Ν γράψετε τις ιδιότητες τω συζυγώ µιγδικώ *,, C κι N τότε: Α. + + (πιο γεικά: + + + + + +. 3. (πιο γεικά:...... κι 4. ( ( 3 Ε ξ Σ Λ 5 Ε σ π Σ Λ Πως ορίζοτι οι δυάµεις του i Γι κάθε N υπάρχει µοδικό ζεύγος ρ, υ ώστε i i 4ρ+ υ i 4ρ i υ (i 4 ρ i υ ρ i υ i υ i i,,,, 4ρ+ υ µε υ< 4. Άρ: υ υ υ υ 3 3 Με δεδοµέο ότι η εξίσωση ++γ ( µε,,γ R, είι ισοδύµη µε Δ τη εξίσωση + ( δείξετε ότι οι λύσεις της ( είι συζυγείς 4 µιγδικοί ριθµοί, ότ Δ <. πόδειξη(4 Έχουµε + +γ + 4 Εφόσο < θ ισχύει ( ( i ( i 4 4 ( i Οπότε, η εξίσωση γράφετι: +. i i Τελικά, + ± ± µιγδικοί ριθµοί, ± i οι οποίες είι συζυγείς 3
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 4 Τι ορίζουµε ως µέτρο του µιγδικού Έστω + i, µε, Rκι Μ(, η εικό του στο µιγδικό επίπεδο. Μέτρο του ορίζουµε τη πόστση του Μ πό τη ρχή τω ξόω Ο, δηλδή + Ο a M(, 3 Ε σ π Σ Λ 5 Ε σ π Ο Ρ 5 Ε ξ Ο Ρ 5 Α, C ποδείξετε ότι πόδειξη(5 Έχουµε ( ( που ισχύει Α Π Ο Δ 3 Ε ξ Σ Λ 6 Ε σ π Α Π Ο Δ 7 Α Π Ο Δ 9 Σ Λ 6 Ν γράψετε τις ιδιότητες του µέτρου µιγδικώ ριθµώ *,, C κι N τότε: Α.. προσοχή: R ισχύει 3. κι 4. εώ I ισχύει 5. ± + (Τριγωική ισότητ Άρ ± + εώ ± ma 6. (ειδική περίπτωση: min Σ Λ 3 Σ Λ 3 Ε Σ Λ 5 Ε ξ Σ Λ 6 Σ Λ 6 Ε Σ Λ 6 Ε ξ Σ Λ 7 Έστω M, M οι εικόες τω µιγδικώ, τίστοιχ στο µιγδικό επίπεδο. Τι εκφράζει το µέτρο τις διφοράς τω, Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικώ είι ίσο µε τη πόστση τω εικόω τους. ηλδή (MM 4 Ε ξ Σ Λ 5 Ε Σ Λ 8 Τι πριστάει η εξίσωση ρ, ρ> Η εξίσωση ρ, ρ> πριστάει το κύκλο µε κέτρο το σηµείο K( κι κτί ρ 4
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 9 Τι πριστάει η εξίσωση Η εξίσωση πριστάει τη µεσοκάθετο του τµήµτος µε άκρ τ σηµεί A( κι B( Τι οοµάζουµε πργµτική συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α Συάρτηση (πργµτική πό έ σύολο Α ( Α R σε έ σύολο Β οοµάζουµε µι διδικσί (κό στη οποί κάθε στοιχείο του συόλου Α ( Α τιστοιχίζετι σε έ κριώς στοιχείο του συόλου Β ( ψ Β Τι οοµάζουµε σύολο τιµώ µις συάρτησης :Α R Το σύολο ( ( τ Α { } A ψ / ψ γι κποιο Α που έχει γι στοιχεί του τις τιµές της σε όλ Τι οοµάζουµε γρφική πράστση µις συάρτησης :Α R C τω σηµείω M(,ψ γι τ οποί ισχύει ( ( (, όπου Α Το σύολο M, ψ, δηλδή το σύολο τω σηµείω 3 Πότε δύο συρτήσεις κι g είι ίσες έχουτοιδιοπεδίοορισµούα Έχουµε g γικάθε Α ισχύει ( g( 7 Ε σ π Ε Ο Ρ 7 Ο Ρ 4 Πως ορίζοτι οι πράξεις συρτήσεω Θεωρούµε τις συρτήσεις :Α R κι g :Β R. Α ( + g( ( + g( µε πεδίο ορισµού Α Β ( g( ( g( µε πεδίο ορισµού Α Β ( g( ( g( µε πεδίο ορισµού Β ( ( ( ( µε πεδίο ορισµού { / Α Βκι g( } g g( Α (ισχύει ( Α Β, τότε ορίζουµε: ( 5
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 5 Πως ορίζετι η σύθεση συρτήσεω Θεωρούµε τις συρτήσεις :Α R κι g : Ag R Εά Α { Α κι g( A } τότε ορίζουµε og g τη σύθεση της g µε τη (τη og µε τύπο: (og( (g( Προσοχή: ε ισχύει πάτ og go. Ισχύει όµως ho(go ( hogo 4 Ε Σ Λ 5 Ε Σ Λ 7 Ε σ π Ε Σ Λ 6 Πότε µι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ σε έ διάστηµ του πεδίου ορισµού της Μι συάρτηση : Α Β λέγετι γησίως ύξουσ στο Α ότ: γι κάθε, µε < ( < ( 9 8 7 Ο Ρ 7 Πότε µι συάρτηση λέγετι γησίως φθίουσ σε έ διάστηµ του πεδίου ορισµού της Μι συάρτηση : Α Β λέγετι γησίως φθίουσ στο Α ότ: γι κάθε, µε < ( > ( 9 8 7 Ο Ρ 8 Πότε µι συάρτηση λέγετι γησίως µοότοη σε έ διάστηµ του πεδίου ορισµού της Μι συάρτηση : Α Β λέγετι γησίως µοότοη στο Α ότ είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ στο 9 Πότε µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι προυσιάζει στο A (ολικό µέγιστο το ( Μι συάρτηση γι κάθε : Α Β προυσιάζει (ολικό µέγιστο στο Α ότ: Α ισχύει ( ( 4 Ε ξ Ο Ρ 3 Πότε µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι προυσιάζει στο A (ολικό ελάχιστο το ( Μι συάρτηση γι κάθε : Α Β προυσιάζει (ολικό ελάχιστο στο Α ότ: Α ισχύει ( ( 5 Ε σ π Σ Λ 6
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 3 Τι οοµάζουµε ολικά κρόττ µις συάρτησης Το (ολικό µέγιστο κι το (ολικό ελάχιστο µις συάρτησης λέγοτι (ολικά κρόττ της 3 Πότε µι συάρτηση :A R λέγετι συάρτηση «-» Μι συάρτηση :A R λέγετι συάρτηση (έ προς έ, ότ γικάθε, A µε ( ( Προσοχή: γησίως µοότοη «-» (το τίστροφο δε ισχύει πάτ Πρτήρηση: Ές ισοδύµος ορισµός είι ο εξής: «-» γικάθε, A µε ( ( Σ Λ 3 Ε Σ Λ 3 Ε ξ Ο Ρ 5 Ε Ο Ρ 5 Ε σ π Σ Λ 33 Α µι συάρτηση είι «-», τότε τι οοµάζουµε τίστροφη συάρτηση της Α µι συάρτηση είι «-», τότε µπορούµε ορίσουµε µι έ συάρτηση τη τίστροφη, στη οποί σε κάθε έ µόο A Πρτηρήσεις: - Ισχύει η ισοδυµί ψ ( (ψ Ισχύου οι ισότητες ((, A 3 Από τη ισοδυµί Μ, C Μ, C προκύπτει ( ( ότι οι τίστροφες συρτήσεις έχου γρφικές πρστάσεις συµµετρικές ως προς τη διχοτόµο ψ κι ψ (A τιστοιχεί ( (ψ ψ, C O M(, C - ψ (A M (, 4 Ε Σ Λ 4 Ε ξ Σ Λ 5 Ε Σ Λ 8 Σ Λ 34 Ποι είι σχέση του lim ( Ισχύει lim ( l lim ( + κι τω πλευρικώ ορίω lim ( l 4 Σ Λ 35 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω ορίω. Α lim ( < ( < κοτά στο (τίστροφο: ( < κοτά στο lim (. Α lim ( lim g( < ( < g( κοτά στο (τίστροφο: ( < g( κοτά στο lim ( lim g( Σ Λ 3 Ε σ π Σ Λ 4 Ε Σ Λ 5 Ε σ π Σ Λ 5 Ε ξ Σ Λ 6 Σ Λ 6 Ε Σ Λ Σ Λ 7
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 3. Α lim ( ( κοτά στο 4. Α lim ( l κι lim g( m κι ( g( κοτά στο lim ( lim g( 5. Α lim ( l κι lim g( m lim (( + g( lim ( + lim g( l + m Το όριο του θροίσµτος είι ίσο µε το άθροισµ τω ορίω, µόο ότ υπάρχου τ όρι τω, g Γι πράδειγµ, [ ] δε γωρίζουµε οτι υπάρχου τ lim ( κι lim g( είι λάθος γράψουµε lim ( + g( 5 lim ( + lim g( 5 6. Α lim ( l κι lim g( m lim (( g( lim ( lim g( l m Το όριο του γιοµέου είι ίσο µε το γιόµεο τω ορίω µόο ότ υπάρχου τ όρι τω, g 7. Α lim ( l κι lim g( m lim ( g( lim ( lim g( Το όριο του πηλίκου είι ίσο µε το πηλίκο τω ορίω µόο ότ υπάρχου τ όρι τω, g 8. Α lim ( l lim (κ( κ lim ( κl l m, γι κάθε στθερά κ R 9. Α lim ( l lim ( l (τίστροφο: ισχύει µόο ότ l. ηλδή: lim ( lim (. Α lim ( l lim k ( k lim ( κ l. Α lim ( l lim(( [lim(] (τίστροφο: ισχύει µόο ότ l. ηλδή. lim ( l lim (( l l όπου * Ν lim ( l lim (( 36 Ν ποδείξετε ότι πόδειξη(6 lim P( P( Έστω το πολυώυµο P( + + + + κι R. Έχουµε: lim P( lim ( + + + lim ( + lim ( + + lim lim + lim + + lim + + + P(. Εποµέως, lim P ( P ( 8
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 37 Ν γράψετε το κριτήριο πρεµολής Έστω οι συρτήσεις, g, h h( ( g( γι κάθε (, (, Α κι lim h( lim g( l τότε lim ( l Πρτήρηση: πό το πρπάω κριτήριο προκύπτει η ιδιότητ: Α g( ( κοτά στο κι lim ( lim g( που σε όριο ρω ηµ ή συ (χρησιµοποιείτι στη περίπτωση 38 Ν γράψετε τη σική τριγωοµετρική ίσωση Ισχύει ηµ, γι κάθε R (η ισότητ ισχύει µόο γι, δηλδή ηµ ηµ συ Πρτήρηση: Ν θυµάστε τ σικά όρι lim κι lim 39 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω µη πεπερσµέω ορίω. Α lim ( + (> κοτά στο. Α lim ( (< κοτά στο 3. lim ( + lim ( ( 5 Σ Λ 6 Ε σ π Σ Λ 4. lim ( lim ( ( + 5. lim ( ± lim ( 6. Α lim ( 7. Α lim ( κι (> κοτά στο lim + ( κι (< κοτά στο lim ( 8. Α lim ( ± lim ( + 9. Α lim ( + lim k ( +. Α lim ( +. Α lim g( κι κι ( g( κοτά στο lim g( + ( g( κοτά στο lim ( 9
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 4 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω ορίω στο άπειρο *. lim +, όπου N +. lim, όπου + * N 7 Σ Λ 3. lim +, -, άρτιος περιττός 4. lim, * N 5. Γι τη πολυωυµική συάρτηση P( + + +, µε ισχύει: lim P( lim ( κι lim P( lim ( + + 6. Γι τη ρητή συάρτηση ( lim ( lim κι + + κ κ + κ κ κ + κ + + + + + + lim ( lim κ κ,, κ ισχύει: 7. Α >, τότε lim, lim +, limlog, lim log + + + πιο συγκεκριµέ: lim e, lim e +, lim ln, lim ln + + + lim, lim +, lim log, lim log + + + 8. Α < <, τότε lim +, lim, limlog +, lim log + + 4 Πότε µι συάρτηση είι συεχής στο σηµείο του πεδίου ορισµού της Μι συάρτηση είι συεχής στο του πεδίου ορισµού της, ότ lim ( ( Πρτήρηση: Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο (, τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο. 9 8 6 Ο Ρ 6 Ε ξ Ο Ρ 7 Σ Λ 4 Πότε µι συάρτηση είι συεχής συάρτηση Μί συάρτηση λέγετι συεχής συάρτηση ότ είι συεχής σε όλ τ σηµεί του πεδίου ορισµού της Πρτηρήσεις: Μι συάρτηση θ λέµε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (,, ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, 4 Ε Ο Ρ 8 Ο Ρ
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Μι συάρτηση θ λέµε ότι είι συεχής σε έ κλειστό,, ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, κι διάστηµ [ ] επιπλέο lim ( ( κι + lim ( ( 43 Ν διτυπωθεί το Θεώρηµ του Bolano (Θ.Β Έστω µι συάρτηση, ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α ( ( [ ] είι συεχής στο, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο ( τέτοιο, ώστε (, 5 Σ Λ 8 Σ Λ Γεωµετρική Ερµηεί Η ισότητ ( µς δείχει ότι η γρφική πράστση της συάρτησης τέµει το άξο σε έ τουλάχιστο σηµείο µε τετµηµέη (, ( O ( Α(,( B(,( Πρτήρηση: Α µι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστηµ κι δε µηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε ή είι ρητική γι κάθε, δηλδή διτηρεί πρόσηµο στο διάστηµ 44 Ν ποδείξετε το Θεώρηµ εδιάµεσω τιµώ (Θ.Ε.Τ Έστω µι συάρτηση, η οποί είι ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α πόδειξη(7 ( ( [ ] είι συεχής στο, ( ( (<( ή (>( Υποθέτουµε ότι (< ( Τότε θ ισχύει ( < η< τότε ( ( ( ( γι κάθε ριθµό η µετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε η ( Θεωρούµε τη συάρτηση g( ( η, [, ] η g είι συεχής στο [, ] g( ( η < g( g( < g( ( η Εποµέως, σύµφω µε το θεώρηµ του Bolano, υπάρχει (, τέτοιο, ώστε g( ( η, οπότε ( η ( η ( O Α(,( B(,( η Α Π Ο Δ 5 Α Π Ο Δ 6 Σ Λ 7 Ε Σ Λ Πρτήρηση: Η εικό ( εός διστήµτος µέσω µις συεχούς κι µη στθερής συάρτησης είι διάστηµ
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 45 Ν διτυπωθεί το Θεώρηµ Μέγιστης κι Ελάχιστης τιµής (Θ.Μ-Ε.Τ Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η Μ προυσιάζει µέγιστο κι ελάχιστο στο [, ] ηλδή, υπάρχου, [,] τέτοι, ώστε, m m ( κι M (, ισχύει m ( M, γι [ ] O κάθε [, ] Σ Λ 5 Ε ξ Σ Λ Σ Λ Πρτηρήσεις: Α συεχής κι γησίως ύξουσ στο (, Α συεχής κι γησίως φθίουσ (, Α τότε ( Α ( lim (, lim ( + Α τότε ( Α ( lim (, lim ( + 46 Πότε µι συάρτηση λέµε ότι είι πργωγίσιµη σε έ σηµείο του πεδίου ορισµού της κι τι οοµάζετι πράγωγος της στο Μι συάρτηση λέµε ότι είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο του πεδίου ορισµού της, υπάρχει το ( ( lim κι είι πργµτικός ριθµός Το όριο υτό οοµάζετι πράγωγος της στο κι συµολίζετι µε (. ( ( ηλδή ( lim Πρτήρηση: Ν θυµάστε κι το τύπο ( h ( + h ( lim h 9 Ο Ρ 47 Α µι συάρτηση είι πργωγίσιµη σε έ σηµείο, ποδείξετε ότι είι κι συεχής στο σηµείο υτό πόδειξη(8 Εφόσο η είι πργωγίσιµη στο ισχύει ( ( ( lim lim lim Αρκεί ποδείξουµε ( ( ( ( ( ( Έχουµε: lim[( ( ] lim ( ( ( lim lim ( ( Εποµέως, είι συεχής στο Προσοχή: το τίστροφο δε ισχύει Α συεχής στο τότε δε είι πρίτητ κι πργωγίσιµη στο η δε είι συεχής στο τότε η δε είι πργωγίσιµη στο (τιθετοτίστροφο Σ Λ Ε ξ Ο Ρ 3 Α Π Ο Δ 4 Ο Ρ 4 Ε Σ Λ 4 Ε ξ Σ Λ 5 Ε σ π Α Π Ο Δ 6 Ε σ π Σ Λ 7 Ε Α Π Ο Δ 9 Σ Λ
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 48 Τι οοµάζετι κλίση της στο Είι η κλίση ( της εφπτοµέης ε στο σηµείο Α, ( ( 49 Πότε µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α λέγετι πργωγίσιµη στο Α H είι πργωγίσιµη στο Α, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A 5 Έστω µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι A τo σύολο τω σηµείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιµη. Τι οοµάζουµε πρώτη πράγωγο της ή πλά πράγωγο της Πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος της οοµάζετι η συάρτηση :A R η οποί τιστοιχεί κάθε Aστο ( 5 Έστω η στθερή συάρτηση c (, c R. Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιµη στο R κι ότι (, δηλδή(c πόδειξη(9 Έστω τυχίο R ( ( c c Έχουµε lim lim άρ ( γι κάθε R Εποµέως, (, δηλδή (c 5 Έστω η συάρτηση (. Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιµη στο R κι ότι (, δηλδή( πόδειξη( Έστω τυχίο R ( ( Έχουµε lim lim άρ ( γι κάθε R Εποµέως, (, δηλδή ( 3
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 53 Έστω η συάρτηση στο R κι ότι (, δηλδή ( πόδειξη( (, Ν {,}. Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιµη Έστω τυχίο R ( ( ( ( + + + Έχουµε lim lim lim lim ( + + + + + άρ ( γι κάθε R Εποµέως, (, δηλδή ( + 54 Έστω η συάρτηση (. Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιµη στο (, + κι ότι (, δηλδή ( πόδειξη( Έστω τυχίο (, + Έχουµε lim ( ( ( lim - lim lim ( ( + ( ( + lim ( + + + άρ ( γι κάθε (, + Εποµέως, (, δηλδή ( 5 Ε Α Π Ο Δ 6 Ε ξ Α Π Ο Δ 55 Έστω η συάρτηση ( ηµ. Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιµη στο R κι ότι ( συ, δηλδή (ηµ συ πόδειξη(3 Γι κάθε R έχουµε: (+ h ( ηµ(+ h ηµ lim lim h h h h Α Π Ο Δ ηµ συh+ συ ηµh ηµ lim h h ηµ (συh - + συ ηµh συh ηµh lim lim ηµ + συ ηµ + συ συ h h h h h Εποµέως ( συ, γι κάθε R. ηλδή (ηµ συ Πρτήρηση: Χρησιµοποιήθηκε η τυτότητ ηµ( + ηµσυ + συηµ 4
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 56 Έστω η συάρτηση ( συ. Ν ποδείξετε ότι η είι πργωγίσιµη στο R κι ότι ( ηµ, δηλδή (συ ηµ πόδειξη(4 Γι κάθε R έχουµε: (+ h ( συ(+ h συ lim lim 6 Ε Α Π Ο Δ h h h h Σ Λ συ συh ηµ ηµh συ lim h h συ (συh - ηµ ηµh συh ηµh lim lim συ -ηµ συ -ηµ ηµ h h h h h Εποµέως ( ηµ, γι κάθε R. ηλδή (συ ηµ Πρτήρηση: Χρησιµοποιήθηκε η τυτότητ συ(+ συσυ ηµηµ 57 Ν ποδείξετε ότι οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση πόδειξη(5 Γι κάθε, έχουµε: + g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( + g ( ( + g ( ( + g( ( + g( ( + g( ( g( lim lim ( ( g( g( lim + ( ( g( g( lim + lim ( + g ( δηλδή ( + g ( ( + g ( 9 8 5 Α Π Ο Δ 9 8 9 Α Π Ο Δ 7 Ε σ π Ε Α Π Ο Δ Πρτήρηση: Α οι συρτήσεις, g είι πργωγίσιµες σ έ διάστηµ, τότε γι κάθε ισχύει: ( + g ( ( + g ( 58 Ν γράψετε τους κόες πργώγισης Έχουµε Πράγωγος θροίσµτος-διφοράς συρτήσεω Πράγωγος γιοµέου συρτήσεω Πράγωγος ριθµού µε συάρτηση Πράγωγος πηλίκου συρτήσεω Πράγωγος σύθεσης συρτήσεω ( ± g ( ( ± g ( ( g ( (g( + (g ( (c ( c ( όπου c R (g( (g ( ( g g ( ((g( (g( g ( 4 Σ Λ 6 Ε Σ Λ 5
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 59 Έστω η συάρτηση (, πργωγίσιµη στο πόδειξη(6 Γι κάθε R έχουµε ( R κι ισχύει * Ν. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι ( ( ( (, δηλδή ( 6 Έστω η συάρτηση ( εφ. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο A R -{ /συ} κι ισχύει (, δηλδή (εφ συ συ πόδειξη(7 Γι κάθε A έχουµε ηµ (ηµ συ ηµ(συ συσυ + ηµηµ (εφ 3 Ε σ π Α Π Ο Δ συ συ συ 6 Ε ξ Σ Λ συ + ηµ συ συ 6 Έστω η συάρτηση πργωγίσιµη στο (,+ κι ισχύει πόδειξη(8 Γι κάθε (,+ έχουµε (, R Z. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι ( ( Πρτήρηση: Χρησιµοποιήθηκε ότι (e e g gln ln (, δηλδή e ln (ln e ( ln 6 Έστω η συάρτηση (,. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει ( ln, δηλδή ( ln πόδειξη(9 Γι κάθε R έχουµε ( ( (e Πρτήρηση: Χρησιµοποιήθηκε ότι ln e g gln e ln (ln e ln ln ln 63 Έστω η συάρτηση ( ln πργωγίσιµη στο * R κι ισχύει πόδειξη( ln,> Έχουµε ( ln ln(,< >, τότε Άρ γι κάθε ( (ln <, τότε [ ] ( ln( ( * R ισχύει, R. Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι (, δηλδή (ln (, δηλδή (ln 8 Α Π Ο Δ 6
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 64 Α η µι πργωγίσιµη συάρτηση στο,τότε γράψετε τη εξίσωση της εφπτοµέης της στο σηµείο A(,( Η εφπτοµέη της : ψ ( C στο σηµείο επφής A(,( είι: ( ( ε Ο Ρ Ε ξ Ο Ρ 65 Α δύο µετλητά µεγέθη ψ, συδέοτι µε τη σχέση ψ (, κι µι πργωγίσιµη συάρτηση στο, τότε τι οοµάζουµε ρυθµό µετολής του ψ ως προς το στο σηµείο Ρυθµό µετολής του ψ ως προς το στο σηµείο οοµάζουµε τη πράγωγο ( 66 Ν γράψετε το Θεώρηµ Rolle (Θ.R κι τη γεωµετρική ερµηεί υτού είι συεχής στο, [ ] ( ( υπάρχει έ, τουλάχιστο ξ, Α είι πργωγίσιµη στο, τότε τέτοιο, ώστε ( ξ ( ( Γεωµετρική Ερµηεί Η ισότητ (ξ µς δείχει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ (, τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της C στο M(ξ, (ξ είι πράλληλη στο άξο O Μ(ξ,(ξ Α(,( ξ 7 Ε Ο Ρ ξ Β(,( 67 Ν γράψετε το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού (Θ.Μ.Τ κι τη γεωµετρική ερµηεί υτού υπάρχει έ, τουλάχιστο ξ, [ ] ( ( ( ( είι συεχής στο, Α τότε είι πργωγίσιµη στο, τέτοιο, ώστε ( ξ 3 Ο Ρ 5 Ε σ π Σ Λ Γεωµετρική Ερµηεί ( ( Η ισότητ (ξ, µς δείχει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της στο σηµείο M(ξ, (ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Ο M(ξ,(ξ A(,( ξ ξ Β(,( 7
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 68 Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ. Α η είι συεχής στο κι ( γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε ποδείξετε ότι η είι στθερή σε όλο το διάστηµ πόδειξη( Αρκεί ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε Πράγµτι,, τότε προφώς ( ( Α, ισχύει ( (. Α <, τότε στο διάστηµ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής, είι συεχής στο φού [, ] ( ( ( ( ( υπάρχει έ, τουλάχιστο ξ, εποµέως είι πργωγίσιµη στο, τέτοιο, ώστε ( ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει (ξ,οπότε, λόγω της (, είι ( ( <, τότε οµοίως ποδεικύετι ότι ( ( Α Συεπώς σε όλες, τις περιπτώσεις είι ( ( 9 9 6 Α Π Ο Δ 3 Ε ξ Α Π Ο Δ 4 Ε Α Π Ο Δ 9 Α Π Ο Δ 69 Έστω δυο συρτήσεις, g ορισµέες σε έ διάστηµ. Α οι, g είι συεχείς στο κι ( g ( γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε δείξετε ότι υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει: ( g( + c πόδειξη( Η συάρτηση g είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο Ισχύει: ( g ( ( g (. Εποµέως, η συάρτηση g είι στθερή στο. Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει οπότε ( g( + c ( g( c, 4 Ε σ π Σ Λ 6 Ε σ π Σ Λ 7 Ε Σ Λ 7 Έστω µι συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστηµ Α ( > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε ποδείξετε ότι η είι γησίως ύξουσ σε όλο το. πόδειξη(3 Έστω, µε <. Θ δείξουµε ότι ( < (. Στο διάστηµ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. ( ( Εποµέως, υπάρχει ξ (, τέτοιο, ώστε (ξ, οπότε έχουµε ( ( (ξ( Επειδή (ξ > κι >, έχουµε ( ( >, οπότε ( < ( 8 9 9 6 Α Π Ο Δ 4 Σ Λ 6 Α Π Ο Δ 7 Σ Λ Σ Λ
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - Πρτήρηση: Α ( < σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είι γησίως φθίουσ σε όλο το Προσοχή: εώ εώ 7 Έστω µι συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α. Πότε θ λέµε ότι προυσιάζει στο A τοπικό µέγιστο Μι συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α, θ λέµε ότι προυσιάζει στο A τοπικό µέγιστο, ότ υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε ( ( γι κάθε A ( δ, + δ Πρτήρηση: Το λέγετι θέση ή σηµείο τοπικού µεγίστου, εώ το ( τοπικό µέγιστο της 7 Έστω µι συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α. Πότε θ λέµε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο Μι συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α, θ λέµε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε ( ( γι κάθε A ( δ, + δ Πρτήρηση: Το λέγετι θέση ή σηµείο τοπικού ελχίστου, εώ το ( τοπικό ελάχιστο της 73 Τι οοµάζουµε τοπικά κρόττ µις συάρτησης Τοπικά κρόττ µις συάρτησης είι τ τοπικά µέγιστ κι τοπικά ελάχιστ υτής 74 Έστω µι συάρτηση ορισµέη σ έ διάστηµ κι έ εσωτερικό σηµείο του. Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιµη στο σηµείο υτό, τότε ποδείξετε ότι ( o πόδειξη(4 Ας υποθέσουµε ότι η προυσιάζει στο τοπικό µέγιστο. Επειδή το είι εσωτερικό σηµείο του κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό µέγιστο, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε ( (, γι κάθε ( δ, + δ ( Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιµη στο, ισχύει ( Εποµέως, ( ( lim ( ( lim + ( δ, < < κι λόγω της ( είι ( ( ( ( ( ( Άρ, οπότε θ έχουµε lim ( ( O δ +δ 9 9 3 Α Π Ο Δ 9 9 9 Α Π Ο Δ 3 Σ Λ 4 Α Π Ο Δ ( 9
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - (, δ > > κι λόγω της ( είι ( ( + ( ( ( ( Άρ, οπότε θ έχουµε lim ( + Έτσι, πό τις ( κι (3 έχουµε ( Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη Προσοχή: το τίστροφο δε ισχύει πάτ. ηλδή έχουµε ( δε σηµίει ότι έχουµε πάτ στο τοπικό κρόττο (3 75 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τοπικώ κροτάτω µις συάρτησης σε έ διάστηµ θέσεις πιθώ κροτάτω µις συεχούς συάρτησης στο [,] 5 E Σ Λ τ άκρ του ( ήκου στο πεδίο ορισµού της κρίσιµ σηµεί της τ εσωτερικά σηµεί του στ οποί η πράγωγος της µηδείζετι (στάσιµ σηµεί τ εσωτερικά σηµεί του στ οποί η δε πργωγίζετι (γωικά σηµεί 76 Έστω µι συάρτηση πργωγίσιµη σ έ διάστηµ (,, µε εξίρεση ίσως έ σηµείο του, στο οποίο όµως η είι συεχής. Α ( > στο (, κι ( < στο (, τότε ποδείξετε ότι η προυσιάζει η στο τοπικού µέγιστο πόδειξη (5 Επειδή ( > γι κάθε (, κι η είι συεχής στο η είι γησίως ύξουσ στο (, ]. Έτσι έχουµε: ( (, γι κάθε (, ] Επειδή ( < γι κάθε (, κι η είι συεχής στο η είι γησίως φθίουσ στο [,. Έτσι έχουµε: ( (, γι κάθε [, Τελικά, ( (, γι κάθε (, Οπότε η προυσιάζει στο τοπικό µέγιστο 3 Ε σ π Σ Λ 3 Ε Σ Λ
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 77 Έστω µι συάρτηση πργωγίσιµη σ έ διάστηµ (,, µε εξίρεση ίσως έ σηµείο του, στο οποίο όµως η είι συεχής. Α ( < στο (, κι ( > στο (, τότε τι είδος τοπικού κροτάτου προυσιάζει η στο Η προυσιάζει στο τοπικό ελάχιστο 78 Έστω µι συάρτηση πργωγίσιµη σ έ διάστηµ (,, µε εξίρεση ίσως έ σηµείο του, στο οποίο όµως η είι συεχής. Α η ( διτηρεί πρόσηµο στο (, (, (ς είι θετική τότε ποδείξετε ότι i το ( δε είι τοπικό µέγιστο ii η είι γησίως µοότοη στο (, πόδειξη (6 Έστω ότι ( > γι κάθε (, (, θ είι γησίως ύξουσ σε κθέ πό τ διστήµτ ( ] i Επειδή η είι συεχής στο [, Συεπώς, γι ii Έστω, (, < < ισχύει ( < ( < ( οπότε το ( µε η περίπτωση,, <. Θ δείξουµε ότι ( < (, κι δε είι τοπικό µέγιστο της Α ( ] επειδή η είι γησίως ύξουσ στο ( ], θ ισχύει ( < ( η περίπτωση,,, Α [ επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει ( < ( 3 η περίπτωση Α < < τότε ( < ( < (, οπότε θ ισχύει ( < ( Εποµέως, η είι γησίως ύξουσ στο (, 79 Έστω µί συάρτηση συεχής σ έ διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε Θ λέµε ότι η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω (ή είι κυρτή στο Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο, η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του 3 Σ Λ 4 Ε ξ Σ Λ 6 Ο Ρ Πρτήρηση: Α είι κυρτή σε έ διάστηµ, τότε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο του ρίσκετι κάτω πό τη γρφική της πράστση, µε εξίρεση το σηµείο επφής τους Πρτήρηση: Ν θυµάστε κυρτή
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 8 Έστω µί συάρτηση συεχής σ έ διάστηµ κι πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε Θ λέµε ότι η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω (ή είι κοίλη στο Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο, η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Ο Ρ Πρτήρηση: Α είι κοίλη σε έ διάστηµ, τότε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της σε κάθε σηµείο του ρίσκετι πάω πό τη γρφική της πράστση, µε εξίρεση το σηµείο επφής τους Πρτήρηση: Ν θυµάστε κοίλη 8 Έστω µι συάρτηση συεχής σ έ διάστηµ κι δυο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Α ( > γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε τι γωρίζετε γι τη Η είι κυρτή στο Προσοχή: > εώ 3 Σ Λ 8 Σ Λ 8 Έστω µι συάρτηση συεχής σ έ διάστηµ κι δυο φορές πργωγίσιµη στο εσωτερικό του. Α ( γι κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε τι γωρίζετε γι τη Η είι κοίλη στο Προσοχή: < εώ 83 Έστω µι συάρτηση πργωγίσιµη σ έ διάστηµ (,, µε εξίρεση ίσως έ σηµείο του.πότε το σηµείο A(,( οοµάζετι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της. Έ σηµείο A(, ( είι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της ότ: Υπάρχει η εφπτοµέη της C στο Η λλάζει κυρτότητ εκτέρωθε του (η είι κυρτή στο (, κι κοίλη στο (,, ή τιστρόφως Πρτήρηση: 5 E Σ Λ η δε είι πργωγίσιµη στο κι υπάρχει η εφπτοµέη στο σηµείο Α, τότε υτή θ είι κτκόρυφη (εκτός ύλης Στ σηµεί κµπής η εφπτοµέη της C διπερά τη κµπύλη
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 84 Α το A(,( είι σηµείο κµπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιµη, τότε τι ισχύει γι τη στο Ισχύει ( 85 Ποιες είι οι πιθές θέσεις σηµείω κµπής πιθές θέσεις σηµείω κµπής µις συεχούς συάρτησης στο Στ εσωτερικά σηµεί που δε υπάρχει η δεύτερη πράγωγος Στ εσωτερικά σηµεί που η δεύτερη πράγωγος είι µηδέ 86 Πότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της Η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της ότ έ τουλάχιστο πό τ όρι lim (, lim ( είι + ή + Πρτήρηση: Μι συάρτηση µπορεί έχει άπειρες κτκόρυφες σύµπτωτες 3 Ε Ο Ρ 6 Ε σ π Σ Λ Ο Ρ 87 Πότε η ευθεί l στο ψ λέγετι οριζότι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της + (τιστοίχως στο Η ευθεί ψ l λέγετι οριζότι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο + (τιστοίχως στο ότ lim ( l (τιστοίχως + 7 Ο Ρ lim ( l 88 Πότε η ευθεί ψ λ+ λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, τιστοίχως στο Η ευθεί ψ λ+ λέγετι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, τιστοίχως στο ότ lim [( (λ+ ] τιστοίχως lim [( (λ+ ] + Πρτήρηση: Μι συάρτηση έχει το πολύ πλάγιες σύµπτωτες (ή οριζότιες σύµπτωτες 5 Ο Ρ 3
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 89 Α η ευθεί ψ λ+ είι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, τιστοίχως στο τότε τι ισχύει ( λ lim Η ψ λ+ είι πλάγι σύµπτωτη της C στο + + lim[ ( λ] + Οµοίως στο 9 Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ. Τι οοµάζετι ρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο οοµάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: F ( (, γι κάθε Πρτήρηση: συεχής στο διάστηµ υπάρχει η πράγουσ F της στο (το τίστροφο δε ισχύει 6 Ε Ο Ρ 9 Έστω µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ. Α F είι µι πράγουσ της στο, τότε δείξετε ότι: όλες οι συρτήσεις της µορφής G( F( + c, c R είι πράγουσες της στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της στο πίρει τη µορφή G( F( + c, c R πόδειξη(7 Κάθε συάρτηση της µορφής πράγουσ της στο, φού Έστω G είι µι άλλη πράγουσ της στο. Τότε γι κάθε ισχύου Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G( F( + c, όπου c R, είι µι G ( (F( + c F ( (, γι κάθε. F ( ( κι G ( (, οπότε G ( F (, γι κάθε. G( F( + c, γι κάθε. 9 9 8 Α Π Ο Δ 3 Ε Α Π Ο Δ 4 Ε ξ Α Π Ο Δ Α Π Ο Δ 9 Ν γράψετε τις ιδιότητες του ορισµέου ολοκληρώµτος Έστω, g συεχείς συρτήσεις σε διάστηµ µε,, γ κι λ, µ R. Τότε ισχύου: λ(d λ (d [( + g(]d (d + g(d [λ( + µg(]d λ (d + µ γ (d (d+ (d γ g(d 4 5 Ε Σ Λ 6 Ε ξ Σ Λ 7 Σ Λ 8 Σ Λ
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - (d (d (d Α (, τότε (d (το ισχύει µόο στη περίπτωση που η είι µηδεική συάρτηση ηλδή ( (d κι ( (d 93 Α είι µι συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ κι είι έ σηµείο του, τότε τι γωρίζετι γι τη συάρτηση F( (tdt, Η συάρτηση F( (tdt είι µι πράγουσ της στο. ηλδή ισχύει: (tdt (, γι κάθε a Πρτήρηση: g( (tdt (g( g ( Πρτήρηση: Α (t συεχής στο διάστηµ (tdt πργωγίσιµη στο 5 Σ Λ 7 Σ Λ 7 Ε Σ Λ 94 Έστω µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [, ]. Α G είι µι πράγουσ της στο [, ], τότε (tdt G( G( (Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού πόδειξη(8 Η συάρτηση F( (tdt είι µι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι µι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, Ώστε Γι G( F( + c. (, πό τη ( έχουµε G( F( + c (tdt+ c c, οπότε c G(. Εποµέως, οπότε, γι κι άρ G( F( + G(,, έχουµε G( F( + G( (tdt+ G( (tdt G( G( 9 9 Α Π Ο Δ Α Π Ο Δ 4 Σ Λ 6 Ε Σ Λ 5
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 95 Ν γράψετε το τύπο που εκφράζει τη µέθοδο ολοκλήρωσης κτά πράγοτες γι το ορισµέο ολοκλήρωµ Ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοτες γι το ορισµέο ολοκλήρωµ πίρει τη µορφή 6 Σ Λ 7 Ε Σ Λ g (d [(g(] ( (g(dόπου, g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ] 96 Ν γράψετε το τύπο που εκφράζει τη µέθοδο ολοκλήρωσης µε λλγής µετλητής γι το ορισµέο ολοκλήρωµ Ο τύπος ολοκλήρωσης µε λλγή µετλητής γι το ορισµέο ολοκλήρωµ πίρει τη µορφή όπου (g( g (d (udu,, g είι συεχείς συρτήσεις, u g(, du g (d κι u g(, u g(. u u 97 Ν γράψετε το τύπο που δίει το εµδό Ε(Ω εός χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση µις συεχής συάρτησης σε έ διάστηµ [, ] κι τις ευθείες κι Είι E( Ω ( d 9 Σ Λ 98 Έστω δυο συρτήσεις κι g, συεχείς στο διάστηµ ] [, µε ( ( g γι κάθε [,] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, g κι τις ευθείες κι. N ποδείξετε ότι γι το εµδό Ε(Ω του Ω ισχύει E(Ω ( ( ( -g d πόδειξη(9 Ας υποθέσουµε ότι οι γρφικές πρστάσεις τω, g µοιάζου µε τις πρκάτω ( ( Ω g( Ω g( Ω O O O Πρτηρούµε ότι: Ε( Ω Ε( Ω Ε( Ω (d g(d (( g(d Εποµέως, E( Ω (( g(d 6
Επιµέλει: Βιτσξής Μιχάλης ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περίοδος: - 99 Έστω δυο συρτήσεις κι g, συεχείς στο διάστηµ ] [, µε ( g( γι κάθε [,] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, g κι τις ευθείες κι. N ποδείξετε ότι γι το εµδό Ε(Ω του Ω ισχύει E(Ω ( ( ( -g d πόδειξη(3 Πράγµτι, επειδή οι συρτήσεις, g είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθµός c R τέτοιος ώστε ( + c g( + c, γι κάθε [, ]. Είι φερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. έχει το ίδιο εµδό µε το χωρίο Ω (Σχ.. ( Ω (+c Ω g(+c O O g( ( ( Εποµέως, έχουµε: Ε( Ω Ε( Ω [(( + c (g( + c]d (( g(d 7