y = π 2 π 2 π 4 1 f 1.0

Στην άσκηση για στάσιµο κύµα ου ακοουθεί, γίνεται αναυτική εεξεργασία 11 ερωτηµάτων ΑΣΚΗΣΗ Σε γραµµικό οµογενές εαστικό µέσο ου ταυτίζεται µε τον άξονα, διαδίδονται µε αντίθετες ταχύτητες µέτρου 8 m / s, δύο αρµονικά κύµατα άτους 0.5m. Όα τα σηµεία της χορδής ευθυγραµµίζονται κάθε 0.05s. Το κάθε κύµα αναγκάζει το σηµείο (x = 0) να εκτεεί αρµονική ταάντωση µε εξίσωση y = ηµωt x x ίνονται: συν = 0, συν =, = + 1 συν, συν 0 = + 1, ηµ = + 1, ηµ =, ηµ 0 = 0, = 10 Ε Ρ Ω Τ Η Μ Α Τ Α Α Σ Κ Η Σ Η Σ ΕΡΩΤΗΜΑ 1ο ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος ου δηµιουργείται Αό την εκφώνηση έχουµε T = 0. 5m, υ = 8m / s και ευθυγραµµίζονται κάθε 0.05s σηµαίνει (όγω της κίνησης του µέσου) = 0.05s 1 T = 0. 1s εοµένως f = T f 1 = 0.1 f = 10Hz και αό τη σχέση υ = f ροκύτει υ 8m / s = = = 0. 8m και ω = f = 10 = 0rad / s f 10Hz Η εξίσωση του στάσιµου κύµατος είναι x y = συν ηµ t µε αντικατάσταση έχουµε y = 0.5συν.5xηµ 0t T 33

ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΥΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΣΥΜΒΑΟΝΤΑΣ ΗΜΙΟΥΡΓΟΥΝ ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ Να γράψετε τις εξισώσεις των κυµάτων ου συµβάοντας δηµιουργούν το στάσιµο κύµα Οι εξισώσεις των κυµάτων ου συµβάουν είναι t x t x y1 = ηµ και y = ηµ + T T Με αντικατάσταση ροκύτουν y = 0.5ηµ (10t + 1.5x) y 1 = t x ηµ 1 = 0.5ηµ (10t - 1.5x) 0.1 y και ΕΡΩΤΗΜΑ 3ο ΥΠΟΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΟΙΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΜΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΘΕΣΕΩΝ ΚΟΙΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΜΩΝ Να υοογίσετε τον αριθµό και τις θέσεις των κοιιών και δεσµών του στάσιµου κύµατος µεταξύ των σηµείων ( x = +m) και ( x = -0.3m) ΕΕΓΧΟΣ ΑΚΡΩΝ Εξετάζουµε τι είναι τα σηµεία ( x = +m) Για το σηµείο ( x = +m) και ( x = -0.3m) (δεσµοί, κοιίες ή άο σηµείο) κοιία x = συν = συν = συν = δη. το σηµείο είναι Για το σηµείο ( x = -0.3m) x = συν ( 0.3) = συν σηµείο δεν είναι ούτε κοιία ούτε δεσµός 0.6 = συν = συν ( 3 ) δη. το 3

Τα σύµβοα των ανισώσεων ροκύτουν αό τον έεγχο Αριθµός κοιιών x < xκοιι ών x x < N x - 0.3< N + - 0.3< 0.N + 0. 8-0.75< N + δη. N = 0,1, εοµένως υάρχουν 3 κοιίες µεταξύ των σηµείων και Θέση κοιιών xκοιι ών = N xκοιι ών = N Για N = 0 έχουµε x = 0 κοιιών Για N = 1 έχουµε x ώ = 0. m κοιι ν Για N = έχουµε x ώ = 0. 8m κοιι ν x ώ = 0. N κοιι ν Αριθµός δεσµών x < xδεσµ ών < x x < (N + 1) < x - 0.3< (N + 1) <+ 0. 8-0.3< 0.(N + 1) <+ 0. 8-1.5< N+ 1<+ -.5< N <+ 3-1.5< N <+ 1. 5 δη. N = -1,0, 1 εοµένως υάρχουν 3 δεσµοί µεταξύ των σηµείων και Θέση δεσµών xδεσµ ών = (N+ 1) xδεσµ ών = ( N+ 1) Για N = 1 έχουµε x ώ = 0. m δεσµ ν Για N = 0 έχουµε x ώ = 0. m δεσµ ν Για N = 1 έχουµε x ώ = 0. 6m δεσµ ν xδεσµ ών = ( N + 1)0. xδεσµ ών = 0.N + 0. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ(ΕΠΑΗΘΕΥΣΗ) ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ Μ κοιία / Με βάση τα αραάνω / -0.3-0. -0.1 0 0.1 0. 0.3 0. 0.5 0.6 0.7 Θέση δεσµού Θέση κοιίας Θέση δεσµού Θέση κοιίας Θέση δεσµού 35

ΕΡΩΤΗΜΑ ο ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Να σχεδιάσετε το στιγµιότυο του στάσιµου κύµατος µεταξύ των σηµείων ( x = -0.3m) και ( x = +m) για τις χρονικές στιγµές t = 0, t = 0. 3875s και t = 0. 5s Χρονική στιγµή t = 0 Εέγχουµε τα άκρα (ή και άο σηµείο) δη. βρίσκουµε την αοµάκρυνση των σηµείων αό τη θέση ισορροίας τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή, αό τη σχέση του άτους εέγχουµε αν στο σηµείο αντιστοιχεί κοιία ή δεσµός και αό την ταχύτητα ρος οια κατεύθυνση κινείται. Στο ίδιο αοτέεσµα καταήγουµε αν υοογίσουµε τους δεσµούς ή τις κοιίες ου µεσοαβούν εειδή γνωρίζουµε ότι δύο σηµεία έχουν διαφορά φάσης rad ή 0 Για το σηµείο Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή t = 0 δίνεται αό τη σχέση y = 0.5συν.5 (-0.3) ηµ 0 0 y = 0.5συν(-0.75 ) ηµ 0 = 0 Εξέταση σηµείου = x (-0.3) συν = συν = συν (-0.75 ) σηµείο είναι ενδιάµεσο σηµείο Η ταχύτητα του σηµείου είναι υ = 0.5 0συν.5 (-0.3) συν 0 0 υ = -10συν3 υ = -10 υ = y = συν (-3 ) 10συν(-0.75 ) συν 0υ = 10 συν (-3 )( + 1) υ = -5 m / s δη. αρνητική (µε φορά ρος τα κάτω) δη. το Για το σηµείο Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή t = 0 δίνεται αό τη σχέση y = 0.5συν.5 ( + ) ηµ 0 0 y = 0.5συν ηµ 0 = 0 36 y

Εξέταση σηµείου κοιία x = συν = συν = συν = δη. το σηµείο είναι Η ταχύτητα του σηµείου είναι υ = 0.5 0συν.5 ( + ) συν 0 0 δη.θετική (µε φορά ρος τα άνω) υ = 10συν συν0 υ = 10 ( + 1)( + 1) υ = +10m / s Για το σηµείο Η αοµάκρυνση του σηµείου ( = 0) τη χρονική στιγµή = 0 x y = ηµωt y = ηµω0 y = 0 Εξέταση σηµείου t δίνεται αό τη σχέση x = συν 0 = συν = συν 0 = δη. το σηµείο είναι κοιία Η ταχύτητά του σηµείου είναι υ = ωσυνω0 υ = ωσυν 0 υ = συνωt υ = + ω υ = + υ max 0.5m Μ -0.m Ο 0.m m -0.5m Χρονική στιγµή t = 0. 3875s Η σχέση της χρονικής στιγµής t = 0. 3875s µε την ερίοδο T = 0. 1s είναι T T t 3T + 3 + 8 = εοµένως 37

όα τα σηµεία (ην των δεσµών ου αραµένουν ακίνητα) θα βρίσκονται σε τυχαίες θέσεις γιατί θα έχουν εκτεέσει τρεις ήρεις τααντώσεις ( t = 3T ) και σε χρόνο T T t 3 + 8 = θα µεταβαίνουν αό ακραία θέση στη θέση ισορροίας άρα µε βάση τη θέση τους και τη φορά της κίνησής τους τη χρονική στιγµή t = 0 ροκύτουν Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή y = 0.5συν.5 (-0.3) ηµ 0 0.3875 y t 0. 3875s = 0.5συν(-0.75 ) ηµ 7. 75 = δίνεται αό τη σχέση y = 0.5συν (-0.75 ) ηµ (7 + 3 ) y = 0.5συν (-3 )( ) y = 0.5 (- )( ) y = 0.5m Η ταχύτητα του σηµείου είναι υ = 0.5 0συν.5 (-0.3) συν 0 0. 3875υ = 10συν(-0.75 ) συν 7. 75 υ = 10 (- )( ) υ = 5m / s Για το σηµείο t 0. 3875s = 0.5συν.5 ( + ) ηµ 0 0.3875 = 0.5συν ηµ 7. 75 Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή y y = 0.5 ( + 1)( Η ταχύτητά του σηµείου είναι υ = 10συν συν7.75 Για το σηµείο y ) y = 0.5 m υ = δίνεται αό τη σχέση υ = 0.5 0συν.5 ( + ) συν 0 0.3875 = 10 ( + 1)( Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή y = 0.5συν.5 0ηµ 0 0. 3875 Η ταχύτητα του του σηµείου είναι υ = 0.5 0συν 0συν 7. 75 Για το σηµείο υ υ y ) υ = 5 m/ s t = 0. 3875s = 0.5συν 0ηµ 7. 75 δίνεται αό τη σχέση = 0.5 0συν.5 0συν 0 0. 3875 = 10 ( + 1)( ) υ = 5 m / s y = 0.5( + 1)( ) y = 0.5 m 38

Κινείται ρος τα κάτω ρος τη θέση ισορροίας Για το σηµείο Κινείται ρος τα άνω ρος τη θέση ισορροίας Για το σηµείο Κινείται ρος τα άνω ρος τη θέση ισορροίας 0.5m Μ -0.m Ο 0.m m Χρονική στιγµή t = 0. 5s Εειδή οι δεσµοί και οι κοιίες είναι σταθερά σηµεία για το στάσιµο κύµα (εκτός και αν αάξει η συχνότητα των κυµάτων), για το στιγµιότυο του ίδιου στάσιµου κύµατος άη χρονική στιγµή, εέγχουµε µόνο την αοµάκρυνση και την ταχύτητα. Στο ίδιο αοτέεσµα καταήγουµε αν συνδυάσουµε τη χρονική στιγµή µε την ερίοδο των κυµάτων, γνωρίζοντας ότι τα σηµεία του µέσου εκτεούν ταάντωση Για το σηµείο Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή 1ος τρόος t = 0. 5s δίνεται αό τη σχέση y = 0.5συν.5( -0.3) ηµ 00.5 y = 0.5συν (-0.75 ) ηµ 0 y = 0.5συν( -3 )(+1) y = 0.5 (- ) y = -0.5 m Η ταχύτητα του σηµείου είναι υ = 0.5 0συν.5 (-0.3) συν 0 0. 5υ = 10συν(-0.75 ) συν8. 5 υ = 0 Για το σηµείο 39

t 0. 5s = 0.5συν.5 ( + ) ηµ 0 0.5 y = 0.5συν ηµ 8. 5 y = 0. 5m Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή y Η ταχύτητά του σηµείου είναι Για το σηµείο Η αοµάκρυνση του σηµείου τη χρονική στιγµή y = 0.5συν.5 0ηµ 0 0. 5 Η ταχύτητα του του σηµείου είναι υ = 0.5 0συν 0συν 8. 5 = δίνεται αό τη σχέση υ = 0.5 0συν.5 ( + ) συν 0 0.5 υ = 0 y υ υ = 0 t 0. 5s = 0.5συν 0ηµ 8. 5 = δίνεται αό τη σχέση y = 0.5( + 1)( + 1) y = 0. 5m = 0.5 0συν.5 0συν 0 0. 5 y (m) 0.5-0.3-0. Ο 0. 0. 0.6 Μ χ (m) -0.5 Η σχέση της χρονικής στιγµής ος τρόος t = 0. 5s µε την ερίοδο T = 0. 1s είναι T t T + = εοµένως όα τα σηµεία (ην των δεσµών ου αραµένουν ακίνητα) θα βρίσκονται στις ακραίες τους θέσεις γιατί θα έχουν εκτεέσει τέσσερις ήρεις τααντώσεις ( t = T ) και σε χρόνο ακραία θέση T t = θα έχουν µεταβεί αό τη θέση ισορροίας σε άρα µε βάση τη θέση τους και τη φορά της κίνησής τους τη χρονική στιγµή t = 0 ροκύτουν Για το σηµείο Κινείται ρος τα κάτω άρα θα βρίσκεται στην ακραία του θέση ρος τα κάτω Για το σηµείο Κινείται ρος τα άνω άρα θα βρίσκεται στην ακραία του θέση ρος τα άνω 0

Για το σηµείο Κινείται ρος τα άνω άρα θα βρίσκεται στην ακραία του θέση ρος τα άνω 0.5m Στιγµιότυο τη χρονική στιγµή t = 0s Μ -0.3m -0.5m Ο 0.m m Στιγµιότυο τη χρονική στιγµή t = 0. 3875 s 0.5m Στιγµιότυο τη χρονική στιγµή t = 0. 5 s 0.5m 1

ΕΡΩΤΗΜΑ 5ο ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΕΣΜΟΣ Ή ΚΟΙΙΑ Να εξετάσετε αν το σηµείο Z( x z = +1.8m) είναι δεσµός ή κοιία Για το σηµείο Z Z x Z = συν 1.8 Z = συν Z = συν.5 Z = 0 δη. το σηµείο Z είναι δεσµός ΕΡΩΤΗΜΑ 6ο ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΑΝΤΩΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Να γράψετε τη χρονική εξίσωση ταάντωσης του σηµείου ( x = +1.6m) K K y K x K 1.6 = συν ηµ t y K = 0.5συν ηµ 0t y K = 0.5συν ηµ 0t T y K = 0.5ηµ 0t ΕΡΩΤΗΜΑ 7ο ΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Να υοογίσετε τη διαφορά φάσης µεταξύ των σηµείων και Τα σηµεία και είναι εκατέρωθεν δεσµού εοµένως αρουσιάζουν διαφορά φάσης rad

ΕΡΩΤΗΜΑ 8ο ΥΠΟΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ 13 Να υοογίσετε την ταχύτητα ταάντωσης του σηµείου N( x N = + m) µια χρονική στιγµή ου το 30 σηµείο ερνά αό τη θέση ισορροίας του µε θετική ταχύτητα Για το σηµείο N N x N = συν δεσµός ούτε κοιία 13 = 30 6 N συν N = συν δη. το σηµείο N δεν είναι ούτε Για το σηµείο x = συν 0 = συν = συν 0 = δη. το σηµείο είναι κοιία Βρίσκουµε τον αριθµό των δεσµών ου υάρχει µεταξύ και N : < δεσµών N < N 13 13 13 7 1 7 0 < (N + 1) < + 0 < 0.(N + 1) < + 0 < N + 1< + - 1< N < + - < N < + 30 30 6 6 6-0.5< N < + 0.58 N = 0 δη. µεταξύ των σηµείων και N υάρχει 1 δεσµός x x < x x (N +1) < x εοµένως όταν το σηµείο ερνά αό τη θέση ισορροίας του µε θετική ταχύτητα (ρος τα άνω) το σηµείο N ερνά αό τη θέση ισορροίας του µε µέγιστη ταχύτητα αρνητική (ρος τα κάτω) και εειδή υ = ω = 10rad / s υ N υ = 10rad / max έχοµε και = max s Σηµείωση Τα µαθηµατικά σύµβοα στην εύρεση του αριθµού των δεσµών ροέκυψαν αό τη µεέτη των σηµείων και N Αν υοογίζαµε τον αριθµό την κοιιών ου υάρχουν x x < x κοιι ών N µεταξύ και N η σχέση θα γράφονταν ΕΡΩΤΗΜΑ 9ο ΕΥΡΕΣΗ ΘΕΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Να υοογίσετε τη θέση σηµείου P (το οοίο είναι κοιία), αν γνωρίζουµε ότι µεταξύ και P υάρχουν δεσµοί 3

Η αόσταση δίνεται αό τη σχέση x P = N xp = x P = 1. 6m Ο x P Ρ / / / / Με ράσινο χρώµα οι κοιίες, µε κίτρινο χρώµα οι δεσµοί ΕΡΩΤΗΜΑ 10ο ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της ειτάχυνσης ενός σηµείου E ( = +1.9m) x E x 1.9 υ E = ωσυν συν tυ E = 10συν συν 0t υ E = 10 συν.5συν0t T υ E = 10 συν 0t υ E = 5 συν0t Ειτάχυνση a E a E x = -ω συν ηµ t T a E 1.9 = -00 συν ηµ 0t = -000συν.5ηµ 0t a E = -000 ηµ0t a E = -1000 ηµ 0t ΕΡΩΤΗΜΑ 11ο ΣΧΕΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΣΜΩΝ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ Πόσο τοις % ρέει να µεταβηθεί η συχνότητα των κυµάτων ου συµβάουν ώστε µεταξύ των σηµείων και να δηµιουργηθεί διάσιος αριθµός δεσµών (τα σηµεία και αραµένουν ως έχουν)

Μεταξύ και έχοµε αριθµό δεσµών: x < xδεσµ ών < x x < (N + 1) < x 1 3 0 < (N +1) < + 0 < 0.(N +1) < + 0 < N +1 < + -1< N <+ 3 - < N <+ - 0.5 < N < +1.5 N = 0, 1 δη. µεταξύ των σηµείων και υάρχουν δεσµοί Μετά τη µεταβοή της συχνότητας οι δεσµοί θα είναι. Τα σηµεία και αραµένουν κοιίες. Η αόσταση = 0. 8m εκφράζεται τώρα µε τη σχέση = = υ 8 συχνότητα είναι υ = f f = f = = 0Hz 0. f - f f 10-0 100% = 100% = -100% 10 άρα έχοµε µεταβοή = 0.m εοµένως και η καινούργια ΕΠΑΗΘΕΥΣΗ ΜΕ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 0.5m Ο Ο Μ -0.3-0.m 0 m -0.5m ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΕΤΑ ΤΗΝ ΑΑΓΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 0.5m Ο Μ -0.3m 0 0.m m -0.5m 5