ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr
Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύλ τυ συόλυ R τω πργμτικώ ριθμώ στ πί επεκτείτι ι πράξεις της πρόσθεσης κι τυ πλλπλσισμύ πυ ισχύυ στ R, με τ 0 είι τ υδέτερ στιχεί της πρόσθεσης κι τ είι τ υδέτερ στιχεί τυ πλλπλσισμύ. Υπάρχει έ στιχεί i τέτι ώστε i =-. Κάθε στιχεί z τυ C γράφετι κτά μδικό τρόπ με τη μρφή z=+i, όπυ,r. Ο πργμτικός ριθμός λέγετι πργμτικό μέρς (=Re(z)) τυ z κι πργμτικός ριθμός (=Im(z)) λέγετι φτστικό μέρς τυ z. Ο ριθμός i λέγετι φτστικός ριθμός. Ές μιγδικός ριθμός z είι πργμτικός κι μό Im(z)=0. Ές μιγδικός ριθμός z είι φτστικός κι μό Re(z)=0. Γεωμετρική πράστση μιγδικύ ριθμύ Κάθε μιγδικό ριθμό z=+i μπρύμε τ τιστιχίσυμε στ σημεί Μ(,) εός κρτεσιύ y M(,) επιπέδυ. Τ σημεί Μ(,) (ή Μ(z)) λέγετι εικό τυ μιγδικύ z. Ο άξς χ χ λέγετι πργμτικός άξς κι άξς y y λέγετι φτστικός άξς. Ο x Πράξεις μιγδικώ ριθμώ Έστω δύ μιγδικί ριθμί z =+i, z =γ+δi. Πρόσθεση: z +z =(+i)+(γ+δi)=(+γ)+(+δ)i H διυσμτική κτί τυ θρίσμτς τω μιγδικώ z κι z είι τ άθρισμ τω διυσμτικώ κτίω τυς. Αφίρεση: z z =(+i)-(γ+δi)=(-γ)+(-δ)i H διυσμτική κτί της διφράς τω μιγδικώ z κι z είι η διφρά τω διυσμτικώ κτίω τυς. Πλλπλσισμός:z z =(+i)(γ+δi)=γ+δi+γi+δi =(γ-δ)+(δ+γ)i Διίρεση: z z i ( i )( )iδγ γ δi γi δi iδγ ( iδγ )( )iδγ iδγ (γ δ γ() δ i) (γ δ) (δ δ) i δγ δγ δγ
Δύ μιγδικί ριθμί z =+i, z =γ+δi είι ίσι ότ =γ κι =δ, δηλδή: )zr e ()zr e ( zz κι )zi m ()zi m ( Πρτήρηση: Α ισχύει z z τότε είι: γ κι =δ=0 φύ διάτξη στ σύλ C δε ρίζετι, πότε ι z, z είι πργμτικί. z =z, z =zz, z =z - z με θετικό κέρι κι >. z =, z - = z με z 0 γι κάθε θετικό κέρι. i =, i =i, i =-, i 3 =-i, i 4 =. Γεικά ισχύει: Ισότητ μιγδικώ Δυάμεις τυ μιγδικύ z κι δυάμεις τυ i, 4ρ,i 4ρ i, ρ Ζ., 4ρ,i 4ρ 3 4ρυ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i i i (i ) i i i, υ 0 i, υ, υ i, υ 3 Συζυγής μιγδικύ Συζυγής μιγδικύ ριθμύ z=+i μάζετι μιγδικός ριθμός z =-i, δηλδή ισχύει: Re(z)=Re( z ) κι Im(z)=-Im( z ). A Μ(,) είι η εικό τυ μιγδικύ z=+i, τότε τ Μ (,-) είι η εικό τυ συζυγή τυ, δηλδή τ Μ, Μ είι συμμετρικά ως πρς τ πργμτικό άξ χ χ. Γι τυς συζυγείς δύ μιγδικώ ριθμώ z =+i, z =γ+δi ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: zz zz zz R )z e ( κι zz i zz z i)z I m ( i z zz zz ( (γ (δ γ) (i (δ γ) ( δ)i) i ( (γ δi) zz i )
z zz zzzzzz )z()z( z z z z z)z ( Πρτηρήσεις: Α ριθμός z είι πργμτικός, τότε zr Im(z)=0 Im(z)i=0 Α ριθμός z είι φτστικός, τότε zi Re(z)=0 Re(z)=0 zz κι τιστρόφως φύ: κι zz τιστρόφως φύ zz0zz. zz0zz. Έστω η εξίσωση z +z+γ=0 () με,,γr κι 0 κι Δ= -4γ η δικρίυσ. Δικρίυμε τις εξής περιπτώσεις: Α Δ>0 η () έχει δύ πργμτικές λύσεις: z, Δ A Δ=0 η () έχει μί διπλή πργμτική λύση: z Α Δ<0 η () έχει δύ μιγδικές λύσεις (κι μάλιστ συζυγείς): z, i Δ Από τη μέθδ συμπλήρωσης τετργώω της εξίσωσης z +z+γ=0 με Δ<0 πρκύπτει: z Δ 4 ( )( Δ) i z z 4 4 Δ i Δ z z, i ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Λύσεις της εξίσωσης z +z+γ=0, 0 κι,,γr Δ γ Επίσης ισχύυ ι τύπι τυ Vieta δηλ.: z +z = κι z z =. Πρτηρήσεις: Από τ τύπ τω ριζώ τυ τριωύμυ z +z+γ=0 με Δ<0 πρκύπυ: z= z κι z =z
z+z= zz ) )R R κι e μίως ( z )R, πότε Re(z)=Re(z)= e ( z zz= γ z z πρκάτω). γ γ γ γ z z z κι μίως z, πότε γ (όπυ z,z είι τ μέτρ τω z, z τίστιχ όπως θ δύμε Έστω μιγδικός ριθμός z=x+yi κι η εικό τυ Μ(x,y). Ορίζυμε ως μέτρ τυ z τη πόστση τυ Μ πό τ Ο, δηλδή τ μέτρ τυ διύσμτς OM. Άρ: yxz Γι τ μέτρ εός μιγδικύ ριθμύ ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: zz zzzz zzz zzzzzz, πυ ισχύει. z z z z, z 0 z zzzzzz ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μέτρ μιγδικύ ριθμύ zz zzz zz Γεωμετρικί τόπι μιγδικώ Η πόστση τω εικόω Α, Β δύ μιγδικώ z, z είι ΑΒ= zz, δηλ. τ μέτρ της διφράς δύ μιγδικώ είι ίσ με τη πόστση τω εικόω τυς. Η εξίσωση πριστάει zzz τη μεσκάθετ εός ευθύγρμμυ τμήμτς ΑΒ με Α(z ) κι Β(z ).
Έστω z=x+yi κι z =x +y i δύ μιγδικί ριθμί. Η εξίσωση: zz ρ x( x ) y( y i) ρ, ρ>0 πριστάει εξίσωση κύκλυ με κέτρ Κ(χ,y ) κι κτί ρ δηλ. c: (χ-χ ) +(y-y ) =ρ. Πρτηρήσεις: Η ισϊσότητ zzz πριστάει τ ημιεπίπεδ πυ ρίζετι πό τη μεσκάθετ ΑΒ με Α(z) κι Β(z) κι τ σημεί Α(z). Η ίσωση zzz πριστάει τ ημιεπίπεδ πυ ρίζετι πό τη μεσκάθετ ΑΒ με Α(z) κι Β(z) κι τ σημεί Α(z) με εξίρεση τη ΑΒ. Η ισϊσότητ zz με ρ ρ>0 πριστάει κυκλικό δίσκ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση zz με ρ ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ισϊσότητ zz ρ με ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι πάω κι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση zz με ρ ρ>0 πριστάει τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ τ Κ(z) κι κτί ρ. Η ισϊσότητ ρ zz ρ πριστάει κυκλικό δκτύλι πυ ρίζετι πό τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι πάω κι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ κι πάω κι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ. Η ίσωση ρ zz ρ πριστάει κυκλικό δκτύλι πυ ρίζετι πό τ σύλ τω σημείω πυ ρίσκτι εξωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ κι εσωτερικά τυ κύκλυ με κέτρ Κ(z) κι κτί ρ. Η εξίσωση z γ z χ y γ με,γ>0 πριστάει τη έλλειψη c:, = -γ. Η εξίσωση z γi z γi χ y με,γ>0 πριστάει τη έλλειψη c:, = -γ. Η εξίσωση z γ z χ y γ με,γ>0 πριστάει τη υπερλή c:, =γ -. Η εξίσωση z γi z γi ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ y x με,γ>0 πριστάει τη υπερλή c:, =γ -.
Έστω Α έ υπσύλ τυ R. Ομάζυμε πργμτική συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α μί διδικσί f, με τη πί κάθε στιχεί χα τιστιχίζετι σε έ μό πργμτικό ριθμό y. Τ y μάζετι τιμή της f στ χ κι συμλίζετι με f(χ). Τη διδικσί υτή τη εκφράζυμε f: Α R. Τ γράμμ χ, πυ πριστάει πιδήπτε στιχεί τυ Α λέγετι εξάρτητη μετλητή, εώ τ γράμμ y, πυ πριστάει τη τιμή της f στ χ, λέγετι εξρτημέη μετλητή. Ορισμός συάρτησης Γρφική πράστση συάρτησης Τ σύλ πυ έχει στιχεί τυ τις τιμές της f σε όλ τ χα, λέγετι σύλ τιμώ της f κι συμλίζετι με f(α). Είι δηλ.: f(α)={y/y=f(x) γι κάπι χα}. Έστω f μι συάρτηση με πεδί ρισμύ Α κι Οχy έ σύστημ συτετγμέω στ επίπεδ. Τ σύλ τω σημείω Μ(χ,y) γι τ πί ισχύει y=f(χ), δηλ. τ σύλ τω σημείω Μ(χ,f(χ)), χα, λέγετι γρφική πράστση της f. Η y=f(x) είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της f. Επειδή κάθε χα τιστιχίζετι σε έ μό yr, δε υπάρχυ σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ίδι τετμημέη. Τ πεδί ρισμύ της f είι τ σύλ Α τω τετμημέω της C f, εώ τ σύλ τιμώ της f είι τ σύλ f(α) τω τετγμέω τω σημείω της C f. Τέλς η τιμή της f στ χ Α είι η τετγμέη τυ σημείυ τμής της ευθείς χ=χ κι της C f. Η γρφική πράστση της συάρτησης f είι συμμετρική ως πρς τ άξ χ χ της γρφικής πράστσης της f. Η γρφική πράστση της f πτελείτι πό τ τμήμτ της C f πυ ρίσκτι πάω πό τ άξ χ χ κι πό τ συμμετρικά, ως πρς τ άξ χ χ, τω τμημάτω της C f πυ ρίσκτι κάτω πό τ άξ χ χ. Έστω δύ συρτήσεις f με πεδί ρισμύ τ Α κι g με πεδί ρισμύ τ Β. Ισχύυ: (f+g)(x)=f(x)+g(x) με D f+g=a B (f-g)(x)=f(x)-g(x) με D f-g=a B (fg)(x)=f(x)g(x) με D fg=a B Πράξεις συρτήσεω f g )x(f )x( με D f ={x/xa κι χβ, με g(χ) 0} )x(g g
Δύ συρτήσεις f κι g λέγτι ίσες ότ: έχυ τ ίδι πεδί ρισμύ Α κι γι κάθε χα ισχύει f(x)=g(x) δηλ. έχυ τ ίδι τύπ. Πρτήρηση: Α f(x) g(x) τότε δε είι πρίτητ f(x)= g(x). ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Ισότητ συρτήσεω Σύθεση συρτήσεω Α f κι g είι δύ συρτήσεις με πεδί ρισμύ Α, Β τίστιχ, τότε μάζυμε σύθεση της g με τη f κι τη συμλίζυμε fg τη συάρτηση με τύπ (fg)(x)=f(g(x)). Τ πεδί ρισμύ Γ της fg πτελείτι πό όλ τ χ τυ πεδίυ ρισμύ Β της g γι τ πί τ g(χ) ήκει στ πεδί ρισμύ Α της f, δηλδή: Γ={χΒ/g(x)Α} Γεικά, f,g είι δύ συρτήσεις κι ρίζτι ι fg κι gf τότε υτές δε είι υπχρεωτικά ίσες. Α f,g,h είι τρεις συρτήσεις κι ρίζετι η h(gf), τότε ρίζετι κι η (hg)f κι ισχύει: h(gf)=(hg)f. Μί συάρτηση f λέγετι: γησίως ύξυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x )<f(x ). Μτί συρτήσεω γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x )>f(x ). Μί συάρτηση πυ είι γησίως ύξυσ ή γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της λέμε ότι είι γησίως μότη στ Δ κι είι.
Μί συάρτηση f λέγετι: ύξυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x ) f(x ). φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ γι πιδήπτε χ, χ Δ με χ <χ ισχύει f(x ) f(x ). Μί συάρτηση πυ είι ύξυσ ή φθίυσ σ έ διάστημ Δ τυ πεδίυ ρισμύ της λέμε ότι είι μότη στ Δ. Πρτηρήσεις: Α η συάρτηση f είι γησίως ύξυσ σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε χ, χ Δ ισχύει: f(x)<f(x) x<x. Α η συάρτηση f είι γησίως φθίυσ σ έ διάστημ Δ τότε γι κάθε χ, χ Δ ισχύει: f(x)<f(x) x>x. Η μτί μις συάρτησης φέρετι πάττε σε συγκεκριμέ διστήμτ τυ πεδίυ ρισμύ της κι όχι πάτ στη έωσή τυς. Μί συάρτηση f με πεδί ρισμύ Α λέμε ότι: πρυσιάζει στ χ Α (λικό) μέγιστ, τ f(χ ) ότ, γι κάθε χα ισχύει: Ακρόττ συάρτησης f(x) f(x ) πρυσιάζει στ χ Α (λικό) ελάχιστ, τ f(χ ) ότ, γι κάθε χα ισχύει: f(x) f(x ) Τ (λικό) μέγιστ ή τ (λικό) ελάχιστ της f λέγτι κρόττ της f. Πρτήρηση: Μι γησίως μότη συάρτηση σε ιχτό διάστημ δε έχει κρόττ. Μί συάρτηση f: Α R λέγετι συάρτηση -, ότ γι πιδήπτε χ, χ Α ισχύει η συεπγωγή: χ χ τότε f(x ) f(x ) ή f(x )=f(x ) x =x Mί συάρτηση f είι - κι μό : Συάρτηση γι κάθε yf(a) η εξίσωση f(x)=y έχει κριώς μί λύση ως πρς χ.
δε υπάρχυ σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ίδι τετγμέη. Κάθε γησίως μότη συάρτηση f: Α R είι συάρτηση -. Τ τίστρφ δε ισχύει. Έστω μί συάρτηση f: Α R η πί είι -. Ομάζυμε τίστρφη συάρτηση της f, τη συάρτηση f - : f(a) R γι τη πί ισχύυ: έχει πεδί ρισμύ τ σύλ τιμώ f(a) της f έχει σύλ τιμώ τ πεδί ρισμύ Α της f ισχύει: f(x)=y f - (y)=x. Ατίστρφη συάρτηση Από τ πρπάω πρκύπτει ότι: f - (f(x))=x, xa κι f(f - (y))=y, yf(a). Πρτήρηση: Η f κι η f - έχυ τη ίδι μτί κι είι συμμετρικές ως πρς τη ευθεί y=χ. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ σύλ της μρφής (,χ ) (χ,). Ότ ι τιμές της μετλητής χ τείυ πρς τ πργμτικό ριθμό χ, τότε ι τιμές της συάρτησης f τείυ πρς έ πργμτικό ριθμό. Τότε λέμε ότι τ όρι της συάρτησης f στ χ είι κι συμλίζυμε )x(f. xx Σχόλι: Γι ζητήσυμε όρι μις συάρτησης f στ χ πρέπει η f ρίζετι σ έ σύλ της μρφής (,χ ) (χ,) ή (,χ ) ή (χ,). Τ χ μπρεί ήκει στ πεδί ρισμύ της συάρτησης ή μη ήκει σ υτό. Η τιμή της f στ χ μπρεί είι ίση με τ όριό της στ χ ή διφρετική π υτό. Επίσης τ όρι της f στ χ είι εξάρτητ τω άκρω, τω διστημάτω (,χ ) κι (χ,) στ πί θεωρύμε ότι είι ρισμέη η f. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ της μρφής (,χ ). Θ λέμε ότι η f έχει στ χ πό ριστερά όρι τ R κι γράφυμε )x(f. xx Ομίως μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ της μρφής (χ,) έχει στ χ πό δεξιά όρι τ R κι γράφυμε Όρι συάρτησης στ πργμτικό x )x(f. xx Γι μί συάρτηση f ρισμέη στ σύλ (,χ ) (χ,) ισχύει: )x(f )x(f )x(f xx xx xx Α )x(f )x(f, τότε η f δε έχει όρι στ χ. xx xx Επίσης ισχύυ ι ισδυμίες: )x(f 0) x ( f xx xx xx )x(f x(f )h 0h
Ιδιότητες ρίω ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ () Α xx 0)x(, τότε f(x)>0 (τίστιχ f 0)x(, τότε f(x)<0) κτά f στ χ. () A ι f, g έχυ όρι στ χ κι f(x) g(x), τότε (3) Ισχύυ xx xx κι cc xx xx )x(f )x(g. xx xx A ι f, g έχυ όρι στ χ τότε υπάρχυ τ πρκάτω όρι κι ισχύυ: (4) )x(g)x(f )x(f )x(g xx xx (5) κ )x(f κ )x(f xx xx, κr xx (6) )x(g)x(f )x(f )x(g (7) xx xx xx xx )x(f χ(f) xx, 0)x(g )x(g )x(g xx xx (8) )x(f xx xx )x(f (9) (0) κ )x(f k xx xx xx )x(f, f(x) 0 χ(f ) xx )x(f, Ν* () Α Ρ(χ)= χ + -χ - + + χ+ έ πλυώυμ κι χ R τότε: xx )x(p)x(p. P(x) xx χχ χ χ xx xx xx xx - χ χχ Ρ(χ ) xx xx xx () Έστω f(χ)= Ρ(χ), όπυ Ρ(χ) κι Q(χ) πλυώυμ τυ χ κι χ R με Q(χ ) 0, )x(q τότε: )x(p )x(q xx )x(p. )x(q P(x) P(x) xx f(x) xx xx Q(x) Q(x) xx )P ( x. )Q ( x Πρτηρήσεις: Τ τίστρφ της ιδιότητς () δε ισχύει πάτ. Η ιδιότητ () ισχύει κι f(x)<g(x) κτά στ χ τότε f(x) g(x). xx xx Γι τη ιδιότητ (8) ισχύει ειδικά 0f ( 0f 0f. x ( ) x ( xx xx xx
Γι τις ιδιότητες (4), (6), (7) πδεικύετι ότι υπάρχυ τ όρι τω συρτήσεω f+g, fg, g f στ χ κι υπάρχει τ όρι της f στ χ (ή της g στ χ) τότε υπάρχει κι τ όρι της g στ χ (ή της f στ χ). Έστω ι συρτήσεις f, g, h. Α: h(x) f(x) g(x) κτά στ χ κι xx )x(h )x(g xx τότε υπάρχει τ όρι της f στ χ κι ισχύει: )x(f. xx Ισχύυ: ημχ ημχ xx ημχ 0x χ Ισχύει:, συχ συχ xx συχ κι 0 0x χ κι χη γι κάθε χr μ χ x(g(f )) )u(f, όπυ u=g(x), u = )x(g κι g(χ) u με τη xx uu πρϋπόθεση ότι υπάρχυ τ όρι xx )x(g κι xx uu )u(f. xx )x(f ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Κριτήρι πρεμλής Τριγωμετρικά όρι Όρι σύθετης συάρτησης Μη πεπερσμέ όρι στ πργμτικό x (ιδιότητες) xx )x(f xx )x(f κι xx )x(f xx )x(f xx )x(f Α xx )x(f (τ. ) τότε f(χ)>0 (τ. f(χ)<0) κτά στ χ. )x(f )x(f κι )x(f )x(f xx xx )x(f )x(f 0 xx xx xx xx xx xx, 0)x( f xx )x(f, )x(f )x(f xx 0)x( f κτά στ χ 0)x( f xx )x(f κ xx )x(f Πρτηρήσεις: Α Α f(x) xx f(x) xx <0 ή τότε υπάρχει κ κτά στ χr >0 ή + τότε υπάρχει κ κτά στ χr τέτις ώστε f(κ)<0. τέτις ώστε f(κ)>0.
(+ ) (+ ) (+ ) + (- ) Απρσδιόριστες μρφές )(0 0 0 0 0 )( )( 0 Α R: + (+ ) = (+ ) + (- )= (- ) (+ )= (- ) (- )= (+ ) Επιτρεπτές πράξεις )()(, 0 )()( )()(, 0 )()( 0 )( )( με 0 0 (+ ) + (+ )= (+ ) (- ) + (- )= (- ) (+ ) (- )= (+ ) )()()( 0 )( )( )()()( )()()( )( Γι τ όρι στ ισχύυ ι ίδιες ιδιότητες τω ρίω στ χ με τη πρϋπόθεση ότι ι συρτήσεις είι ρισμέες σε κτάλληλ σύλ κι δε κτλήγυμε σε πρσδιόριστη μρφή. Επιπλέ ισχύυ: x x, Ν* 0 x x, Ν* x x,, άρτις π ςό ε ρ ι τ τ ( x ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Απρσδιόριστες μρφές - Επιτρεπτές πράξεις Όρι στ άπειρ χχ )χ ( )χ χ
x κ κ χχ χ κ χ κ κ χχ χ κχ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ, χ χ,0 0,0 χ χ, 0 χ lg χ κι ln χ χ lg χ χ0 κι ln χ χ0 Οι τριγωμετρικές συρτήσεις δε έχυ όρι στ. Ακλυθίες Όρι κλυθιώ Ακλυθί μάζετι κάθε πργμτική συάρτηση : N* R. Θ λέμε ότι μί κλυθί ( ) έχει όρι R κι θ γράφυμε, ότ γι κάθε ε>0, υπάρχει Ν* τέτι, ώστε γι κάθε > ισχύει ε. Πρτήρηση: Οι γωστές ιδιότητες τω ρίω συρτήσεω ότ χ ισχύυ κι γι τις κλυθίες κι υπλγίζτι με τις ίδιες μεθόδυς. Συέχει συάρτησης Έστω μί συάρτηση f κι χ έ σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της. Θ λέμε ότι η f είι συεχής στ χ, ότ: )x(f)x(f xx Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σ έ ικτό διάστημ (,), ότ είι συεχής σε κάθε σημεί τυ (,). Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ [,], ότ είι συεχής σε κάθε σημεί τυ (,) κι επιπλέ )x(f (f ) x )x(f (f ). Οι πλυωυμικές, ι ρητές, ι συρτήσεις ημχ κι συχ, ι εκθετικές κι ι x λγριθμικές συρτήσεις είι συεχείς συρτήσεις σ όλ τ πεδί ρισμύ τυς. κι Α ι συρτήσεις f, g είι συεχείς στ χ, τότε κι ι συρτήσεις f+g, cf, f gf,, f g, f, fg, gf (g συεχής στ f(χ )) είι συεχείς στ χ.
Πρτηρήσεις: Σύμφω με τ ρισμό της συέχεις μις συάρτησης πρκύπτει ότι μί συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σημεί χ τυ πεδίυ ρισμύ της ότ δε υπάρχει τ όριό της στ χ ή υπάρχει τ όριό της στ χ λλά είι διφρετικό πό τη τιμή f(χ). Α μί συάρτηση είι - κι συεχής σ έ διάστημ Δ τότε είι κι γησίως μότη στ Δ. A μί συάρτηση f είι κι συεχής σ έ διάστημ Δ τότε η f - είι συεχής στ f(δ). Θεώρημ Blzan Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ κλειστό διάστημ [,]. Α: η f είι συεχής στ [,] (f (f) 0) τότε υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε: f(χ )=0, δηλδή υπάρχει μί τυλάχιστ ρίζ της εξίσωσης f(x)=0 στ (,). Πόρισμ: Από τ θεώρημ Blzan πρκύπτυ ότι: μί συάρτηση f είι συεχής σ έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι στ διάστημ υτό, τότε η f διτηρεί τ πρόσημό της στ Δ. μί συεχής συάρτηση f διτηρεί πρόσημ σε κθέ πό τ διστήμτ στ πί ι διδχικές ρίζες της f χωρίζυ τ πεδί ρισμύ της. Πρτηρήσεις: Τ τίστρφ τυ θεωρήμτς δε ισχύει: είι δυτό υπάρχει ρίζ στ (,) μις συεχύς συάρτησης στ [,] κι ισχύει f(a)f() 0 ή υπάρχει ρίζ στ (,) κι η f μη είι συεχής στ [,]. Γεικά η συθήκη f()f() είι ική κι όχι γκί γι έχει μί συεχής συάρτηση στ [,] ρίζ στ (,). Τ θεώρημ κι τ πόρισμ ισχύυ μό σε διάσημ κι όχι σε έωση διστημάτω.
Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Έστω μί συάρτηση f η πί είι ρισμέη σ έ κλειστό διάστημ [,]. Α: η f είι συεχής στ [,] f() f() τότε γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f() κι f() υπάρχει ές τυλάχιστ χ (,) τέτις ώστε: f(χ )=η. Έστω f()<f(). Τότε θ ισχύει f()<η<f() όπως φίετι κι στ σχήμ. Θεωρύμε τη συάρτηση: g(x)=f(x) η, χ[,]. Η g είι συεχής στ [,] y f() η f() x O x g g f 0η g f η 0 g 0 Άρ σύμφω με τ θεώρημ Blzan, υπάρχει χ(,) τέτις ώστε: g(x)=0 f(x) η=0 f(x)=η Σύμφω με θεώρημ εδιάμεσω τιμώ πδεικύετι ότι: Η εικό f(δ) εός διστήμτς Δ μέσω μις συεχύς κι μη στθερής συάρτησης f είι διάστημ. Πρτηρήσεις: Α μί συάρτηση f δε είι συεχής στ [,] δε πίρει υπχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές. Α δε ισχύει τ θεώρημ τότε η συάρτηση δε είι συεχής. Η εικό μις στθερής συάρτησης είι σημεί. Η εικό ικτύ διστήμτς μέσω συεχύς κι γησίως μότης συάρτησης είι ικτό διάστημ. Θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής συάρτησης Α f είι μί συεχής συάρτηση στ [,], τότε η f πίρει στ [,] μί μέγιστη τιμή Μ κι μί ελάχιστη τιμή m, δηλδή m f(x) M γι κάθε χ[,]. Τ σύλ τιμώ της πρπάω συάρτησης θ είι τότε τ [m,μ]. Σύμφω με τ θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής πδεικύετι ότι: Α μι συάρτηση f είι γησίως ύξυσ (τ. γησίως φθίυσ) κι συεχής σ έ ιχτό διάστημ (,), τότε τ σύλ τιμώ της στ διάστημ υτό είι τ διάστημ (Α,Β) (τ. (Β,Α)), όπυ Α= x )x(f κι Β= x )x(f.
Πρτηρήσεις: Από τ πρπάω θεώρημ συμπερίυμε ότι μί συάρτηση f είι συεχής σ έ διάστημ [,] τότε υπάρχυ χ,χ[,] τέτιι ώστε f(x) f(x) f(x). Eιδικότερ η f είι επιπλέ γησίως ύξυσ στ [,] είι f() f(x) f() δηλ. f([,])=[f(),f()], εώ είι γησίως φθίυσ στ [,] είι f() f(x) f() δηλ. f([,])=[f(),f()].
Η έι της πργώγυ στ x Μί συάρτηση f λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημεί χ τυ πεδίυ ρισμύ της, υπάρχει τ xx xx )x(f)x(f κι είι πργμτικός ριθμός. Τ όρι υτό μάζετι πράγωγς της f στ χ κι συμλίζετι f (χ ), δηλδή: f (χ )= ή xx xx )x(f)x(f )x(f)hx(f f (χ )= 0h h Α τ σημεί χ είι εσωτερικό σημεί τυ πεδίυ ρισμύ μις συάρτησης f, τότε η f είι πργωγίσιμη στ χ κι μό υπάρχυ στ R τ όρι: κι είι ίσ. xx xx )x(f)x(f )x(f)x(f κι Εξίσωση εφπτμέης xx xx Έστω μι συάρτηση f κι Α(χ,f(χ )) έ σημεί της C f. Α υπάρχει τ xx xx )x(f)x(f κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ρίζυμε ως εφπτμέη της C f στ σημεί της Α, τη ευθεί ε πυ διέρχετι πό τ Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ, δηλ.: y-y =λ(χ-χ ). Η εξίσωση της εφπτμέης της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης f στ σημεί Α(χ,f(χ )) είι: y-f(x)=f (x)(x-x) O πράγωγς ριθμός f (χ ) (εφόσ υπάρχει) είι συτελεστής διεύθυσης της πρπάω εφπτμέης στ Α κι τη λέμε κλίση της f στ χ. Πρτηρήσεις: Μι εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f μπρεί έχει περισσότερ πό έ κιά σημεί με υτή. Μι ική συθήκη γι μη έχει η εφπτμέη δεύτερ κιό σημεί με τη γρφική πράστση της συάρτησης είι η συάρτηση είι πργωγίσιμη κι με πράγωγ.
Α μί συάρτηση f είι πργωγίσιμη σ έ σημεί χ, τότε είι κι συεχής στ σημεί υτό. Πράγωγς κι συέχει Γι χ χ έχυμε: f(x) )f ( xf ( x ) (x )f. Επμέως: x)x xx f(x) xx f' (x xx Άρ η f είι συεχής στ χ. )f (x ( )f xf ( )f x)x x (x ) ( )f xf ( ( x x) xx xx xx xx )f. ( x)f ( x0) Α μί συάρτηση f είι συεχής σ έ σημεί χ, τότε δε είι υπχρεωτικό η f είι πργωγίσιμη στ χ. Α μί συάρτηση f δε είι συεχής σ έ σημεί χ, τότε η f δε είι κι πργωγίσιμη στ χ. Έστω μί συάρτηση f με πεδί ρισμύ τ σύλ Α. Η f είι πργωγίσιμη στ Α ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ Α. Η f είι πργωγίσιμη σ έ ικτό διάστημ (,) τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ (,). Η f είι πργωγίσιμη σ έ κλειστό διάστημ [,] τυ πεδίυ ρισμύ της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημεί χ (,) κι επιπλέ ισχύει: x Πργωγίσιμη συάρτηση (f)x(f) R κι x x (f)x(f ) R. x (c) =0, c πργμτική στθερά. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=c. Τότε: )f f (x)= cc ( xf ( x ) 00 xx x-x xx x-x xx Πράγωγι σικώ συρτήσεω (x) =, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=x. Τότε: )f xx ( xf ( x ) f (x)= xx x-x xx x-x xx
(x ) =x -, xr, Ν {0,}. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=x. Τότε: f (x)= xx - )f ( xx xf χ χ-( )(x ( x ) )χχχ x-x xx χ - χ χχ χ - χ (χ χχ χ )χχχ χ χ χ ', χ(0,+ ). χ Aπόδειξη: Έστω f(χ)= f (x)= xx χ χχ χ. Τότε: χ-( ) χ χ-( ) )f ( xx xf ( x χχχχ ) x-x xx χ - χ χχ χχ χ - χ χχ xx xx x (ημχ) =συχ, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=ημχ. Τότε: f(x f (x)= 0h h) f(x) ημ(x h 0h h) ημx ημχσυh συχημh ημχ h 0h h συh ημχ 0h h - ημh συχ h ημχ 0 συχ συχ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ (συχ) =-ημχ, χr. Aπόδειξη: Έστω f(χ)=συχ. Τότε: f (x)= f(x 0h h) f(x) συ(x h 0h h) συx συχσυh h 0h ημχημh συχ h συh συχ 0h h - ημh ημχ h συχ 0 ημχ ημχ
π Πρτήρηση: Α η γωί χ τυ ημχ κι συχ είι σε μίρες τότε: (ημχ) = συχ κι 80 π (συχ) = ημχ 80 Α ι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιμες στ χ, τότε: (f+g) (x )=f (x )+g (x ) Κόες πργώγισης Aπόδειξη: (f g)' (x (f g)(x) (f )g ) ( )g x ( x) ) xx xx xx xx 0 0 xx )f ( )g xf ( )f xg x ( ) )g xf x ( ) x xg ) ( f' (x ) g' (x xx 0 xx xx xx 0 xx xx (fg) (x )=f (x )g(x )+f(x )g (x ) (cf) (x )=cf (x ) ' f g )x( ( x ) x, N )x( 'g)x(f)x(g)x( ' f )x(g Aπόδειξη: Έστω η συάρτηση f( x) x, κι ισχύει, δηλδή f ( x) x N. Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στ ( x ) x Πράγμτι, γι κάθε x έχυμε: () x ( x ) x ( x ) x x ( x ) x. Είδμε, όμως, πι πρι ότι Z {0,}, τότε γι κάθε φυσικό ( x ). ( x ) x x N. Επμέως,
( x) συ x Aπόδειξη: Έστω η συάρτηση f( x) x. Η συάρτηση f είι πργωγίσιμη στ { x συx 0} κι ισχύει f ( x), δηλδή ( x) συ x συ x Πράγμτι, γι κάθε x έχυμε: ημ x (ημ x) συx ημ x(συ x) συxσυ x ημxημx (εφ x) συx συ x συ x συ x ημ x. συ x συ x Πίκς πργώγω σικώ συρτήσεω Συάρτηση Πράγωγς Συάρτηση Πράγωγς c 0 e x e x x lnx x x χ - χ χ ln x lg χ x x ln ημχ συχ εφχ συχ -ημχ σφχ χσ υ ημ χ Πράγωγς σύθετης συάρτησης Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στ χ κι η f είι πργωγίσιμη στ g(χ ), τότε η συάρτηση fg είι πργωγίσιμη στ χ κι ισχύει: ) f' (x ) (x'f g')g g. ( x (χ ) =χ -, με R-Z κι χ>0. Α y=χ =e alnx κι θέσυμε u=lnχ, τότε είι y=e u. Έχυμε: y =(e u ) =e u u =e alnx χ χ. χ χ ( χ ) = χ ln με >0 κι χr. Α y= χ =e χln κι θέσυμε u=χln, τότε είι y=e u. Έχυμε: y =(e u ) =e u u =e xlna lna= χ lna.
ln x ' με χr* x Α χ>0 τότε: (ln x ) =(lnx) = χ A x<0 τότε: : ln x =ln(-x), πότε θέσυμε y=ln(-x) κι u=-x έχυμε y=lnu. Επμέως: y =(lnu) = u u ( ). x x Ρυθμός μετλής Α δύ μετλητά μεγέθη χ, y συδέτι με τη σχέση f(x)=y, ότ f είι μί συάρτηση πργωγίσιμη στ χ, τότε μάζυμε ρυθμό μετλής τυ y ως πρς τ χ στ σημεί χ τη πράγωγ f (x ). Ο ρυθμός μετλής τυ διστήμτς s ως πρς τ χρό t τη χρική στιγμή t είι η πράγωγς s (t ) κι λέγετι τχύτητ u(t ). Επίσης έ κιητό κιείτι πρς τ δεξιά κτά στ t ότ u(t ) 0, εώ κιείτι πρς τ ριστερά ότ u(t ) 0. Ο ρυθμός μετλής της τχύτητς u ως πρς τ χρό t τη χρική στιγμή t είι η πράγωγς u (t ) κι λέγετι επιτάχυση (t ). Είι δηλ.: u(t )=s (t ) κι (t )=u (t )=s (t ). Θεώρημ Rlle Α μί συάρτηση f είι: συεχής στ κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στ ικτό διάστημ (,) f()=f() τότε υπάρχει έ τυλάχιστ, χ (,) τέτι ώστε: f (χ )=0 Γεωμετρική ερμηεί Θ. Rlle: Γεωμετρικά τ Θ. Rlle σημίει ότι υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f στ σημεί (χ,f(χ )) είι πράλληλη στ άξ χ χ.
Θεώρημ Μέσης Τιμής τυ Διφρικύ Λγισμύ Α μί συάρτηση f είι: συεχής στ κλειστό διάστημ [,] πργωγίσιμη στ ικτό διάστημ (,) τότε υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε: )x('f (f (f) ). Γεωμετρική ερμηεί Θ.Μ.Τ.: Γεωμετρικά τ Θ.Μ.Τ. σημίει ότι υπάρχει έ τυλάχιστ χ (,) τέτι ώστε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f στ σημεί (χ,f(χ )) είι πράλληλη στη ευθεί ΑΒ με Α(,f()) κι Β(,f()). Πρτηρήσεις: Η πρώτη συθήκη τυ Θ. Rlle κι τυ Θ.Μ.Τ. μπρεί τικτστθεί πό τη συθήκη f συεχής στ κι φύ είι πργωγίσιμη (άρ κι συεχής) στ (,). Δεδμέες τις δύ πρώτες συθήκες τω πρπάω θεωρημάτω τ τίστρφ υτώ δε ισχύυ. Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Α: η f είι συεχής στ Δ f (χ)=0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ τότε η f είι στθερή σ όλ τ διάστημ Δ. Συέπειες τυ Θ.Μ.Τ. Έστω χ, χδ. Α χ=χ τότε f(x)=f(x) δηλδή η f είι στθερή. Α χ<χ τότε η f ικπιεί τις πρϋπθέσεις τυ Θ.Μ.Τ. στ [χ,χ]. Επμέως υπάρχει χ(χ,χ) τέτι ώστε: f' (x ) f χ f χ. χχ Όμως χ(χ,χ) πότε η f είι στθερή. )f ( x)f ( x f' (x 0) )f, δηλδή x)f xx Α χ>χ μίως πδεικύετι ότι f(x)=f(x), δηλδή η f στθερή. Άρ σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f(x)=f(x), δηλδή η f στθερή.
Έστω δύ συρτήσεις f, g ρισμέες σ έ διάστημ Δ. Α: ι f, g είι συεχείς στ Δ f (x)=g (x) γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτι ώστε γι κάθε χδ ισχύει: f(x)=g(x)+c. Έστω f-g συάρτηση η πί είι συεχής στ Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημεί χδ ισχύει: (f-g) (x)=f (x)-g (x)=0. Tότε η συάρτηση f-g είι στθερή στ Δ, πότε υπάρχει στθερά c τέτι ώστε γι κάθε χδ ισχύει f(x)-g(x)=c f(x)=g(x)+c. Πρτήρηση: Τ πρπάω ισχύυ σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω. Mτί συάρτησης Έστω μί συάρτηση f η πί είι συεχής σ έ διάστημ Δ. Α f (x)>0 σε κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι γησίως ύξυσ στ Δ. Α f (x)<0 σε κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι γησίως φθίυσ στ Δ. Έστω χ, χδ με χ<χ. Η f ικπιεί τις πρϋπθέσεις τυ Θ.Μ.Τ., επμέως υπάρχει χ(χ, χ) τέτι ώστε: Όμως είι: )f ( x)f ( x f' (x ) f' (x )(x )f. ( x)f xx f' (x 0) f' (x )(x 0xx Δηλδή γι χ<χ πρκύπτει f(x)<f(x) πότε η f είι γησίως ύξυσ. )f ( Πρόμι είι κι η πόδειξη στη περίπτωση της γησίως φθίυσς. Πρτηρήση: Α μί συεχής συάρτηση f κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ είι γησίως ύξυσ (τίστιχ γησίως φθίυσ) στ Δ τότε f (χ) 0 (τίστιχ f (χ) 0) (εφόσ δε υπάρχει υπδιάστημ τυ Δ στ πί η f είι στθερή, δηλ. η f μηδείζετι σε δικεκριμέες θέσεις πεπερσμέυ πλήθυς ή μη). Μί συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α, θ λέμε ότι πρυσιάζει στ χ Α τπικό μέγιστ, ότ υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: f(x) f(x ) γι κάθε χ A (χ -δ,χ +δ) Τ χ λέγετι θέση ή σημεί τπικύ μέγιστυ, εώ τ f(χ ) τπικό μέγιστ της f. Α η ισότητ f(χ) f(χ ) ισχύει γι κάθε χα, τότε η f πρυσιάζει στ χ λικό μέγιστ ή πλά μέγιστ τ f(χ ). Τπικά κρόττ συάρτησης
Μί συάρτηση με πεδί ρισμύ τ Α, θ λέμε ότι πρυσιάζει στ χ Α τπικό ελάχιστ, ότ υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: f(x) f(x ) γι κάθε χ A (χ -δ,χ +δ) Τ χ λέγετι θέση ή σημεί τπικύ ελάχιστυ, εώ τ f(χ ) τπικό ελάχιστ της f. Α η ισότητ f(χ) f(χ ) ισχύει γι κάθε χα, τότε η f πρυσιάζει στ χ λικό ελάχιστ ή πλά ελάχιστ τ f(χ ). Πρτηρήσεις: Μί στθερή συάρτηση σ έ διάστημ Δ έχει σε κάθε σημεί τυ Δ τπικό κι λικό ελάχιστ κι μέγιστ. Κάθε λικό μέγιστ (ελάχιστ) είι κι τπικό μέγιστ (ελάχιστ). Τ τίστρφ δε ισχύει. Έ τπικό μέγιστ (ελάχιστ) μπρεί είι μικρότερ (μεγλύτερ) πό έ τπικό ελάχιστ (μέγιστ). Τ μεγλύτερ (μικρότερ) πό τ τπικά μέγιστ (ελάχιστ) μις συεχύς συάρτησης σ έ ιχτό διάστημ δε είι πάτ λικό μέγιστ (ελάχιστ). Α μι συάρτηση είι συεχής σ έ κλειστό διάστημ, τότε τ μεγλύτερ (μικρότερ) πό τ τπικά μέγιστ (ελάχιστ) είι λικό μέγιστ (ελάχιστ). Α μί συάρτηση συεχής σε ιχτό διάστημ είι γησίως μότη τότε δε έχει τπικά κρόττ. Α μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ (τ Δ δε είι έωση διστημάτω) δε έχει τπικά κρόττ, τότε είι γησίως μότη. Α μί συεχής συάρτηση σε ιχτό διάστημ έχει μδικό τπικό κρόττ τότε είι λικό.
Έστω μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ Δ κι χ έ εσωτερικό σημεί τυ Δ. Α η f πρυσιάζει τπικό κρόττ στ χ κι είι πργωγίσιμη στ σημεί υτό, τότε: f (χ )=0. Θεώρημ Fermat Έστω ότι η f πρυσιάζει στ χ τπικό μέγιστ. Επειδή τ χ είι εσωτερικό σημεί τυ Δ κι η f πρυσιάζει σ υτό τπικό μέγιστ, υπάρχει δ>0 τέτι ώστε: (χ-δ,χ+δ) Δ κι f(x) f(x) γι κάθε χ(χ-δ,χ+δ). Αφύ η f είι πργωγίσιμη στ χ ισχύει: f' (x ) xx Δικρίυμε τις περιπτώσεις: )f ( )f xf ( x xf ) ( x ) xx xx xx )f ( xf ( )f x ) ( xf ( Α χ(χ-δ,χ) τότε: 0, πότε f' (x ) 0 () xx xx xx )f ( xf ( )f x ) ( xf Α χ(χ,χ+δ) τότε: 0, πότε f' (x ) 0 () xx xx xx Από τις () κι () πρκύπτει ότι f (χ)=0. Αάλγη είι η πόδειξη γι τπικό ελάχιστ. y f(x ) Ο x x -δ x +δ x Πρσδιρισμός τπικώ κρόττω Από τ θεώρημ Fermat πρκύπτει ότι τ εσωτερικά σημεί τυ Δ, στ πί η f είι διφρετική πό τ μηδέ, δε είι θέσεις τπικώ κρτάτω. Επμέως ι πιθές θέσεις τπικώ κρτάτω μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η πράγωγς μηδείζετι (στάσιμ σημεί), τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η f δε πργωγίζετι (γωικά σημεί), τ άκρ τυ Δ ( ήκυ στ πεδί ρισμύ της f). Τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η πράγωγς μηδείζετι ή δε πργωγίζετι (δηλ. τ στάσιμ κι τ γωικά σημεί) λέγτι κρίσιμ σημεί.
Κριτήρι πρώτης πργώγυ: Έστω μι συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ, ),( με εξίρεση ίσως έ σημεί τυ x 0, στ πί όμως η f είι συεχής. i) Α xfστ 0)( x 0 ),( κι xfστ 0)( x 0 ),(, τότε τ 0xfείι )( τπικό μέγιστ της f. (Σχ. 35) ii) Α xfστ 0)( x 0 ),( κι xfστ 0)( x 0 ),(, τότε τ 0xfείι )( τπικό ελάχιστ της f. (Σχ. 35) iii) A η )(xf διτηρεί πρόσημ στ 0 0 xx ),(),(, τότε τ xfδε 0 )( είι τπικό κρόττ κι η f είι γησίως μότη στ. ),( (Σχ. 35γ). i) Eπειδή xfγι 0)( κάθε x x 0 ),( κι η f είι συεχής στ x 0, η f είι ii) γησίως ύξυσ στ ],(. Έτσι έχυμε x 0 0xfxf )()(, γι κάθε x x 0 ],(. () Επειδή xfγι 0)( κάθε xx 0 ),( κι η f είι συεχής στ x 0, η f είι γησίως φθίυσ στ x ),[. Έτσι έχυμε: 0 0xfxf )()(, γι κάθε xx 0 ),[. () y f >0 f <0 y f >0 f <0 35a f(x 0 ) f(x 0 ) O a x 0 x O a x 0 x Επμέως, λόγω τω () κι (), ισχύει: 0xfxf )()(, γι κάθε x ),(, πυ σημίει ότι τ xfείι 0 )( μέγιστ της f στ κι ),( άρ τπικό μέγιστ υτής. ii) Εργζόμστε λόγως. y y 35 f <0 f >0 f <0 f >0 O ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ a x 0 x O a x 0 x iii) Έστω ότι xf, 0)( γι κάθε x. xx ),(),( 00
y f >0 y f >0 35γ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ f >0 f >0 O a x 0 x O a x 0 x Επειδή η f είι συεχής στ x 0 θ είι γησίως ύξυσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ x 0 ],( κι x 0 ),[. Επμέως, γι ισχύει xxx 0 0. xfxfxf )()()( Άρ τ xfδε 0 )( είι τπικό κρόττ της f. Θ δείξυμε, τώρ, ότι η f είι γησίως ύξυσ στ. ),( Πράγμτι, έστω xx ),(, με xx. Α xx ],(,, επειδή η f είι γησίως ύξυσ στ ],(, θ ισχύει x 0 )()( xfxf. Α xxx ),[,, επειδή η f είι γησίως ύξυσ στ x ),[, θ ισχύει )()( xfxf. 0 Τέλς, xxx 0, τότε όπως είδμε 0. xfxfxf )()()( x 0 0 Επμέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει xfxf )()(, πότε η f είι γησίως ύξυσ στ. ),( Ομίως, xfγι 0)( κάθε. xx ),(),( 00 Έστω μί συάρτηση f συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ θ λέμε ότι: Η συάρτηση f στρέφει τ κίλ πρς τ άω ή είι κυρτή στ Δ, η f είι γησίως ύξυσ στ εσωτερικό τυ Δ. Η συάρτηση f στρέφει τ κίλ πρς τ κάτω ή είι κίλη στ Δ, η f είι γησίως φθίυσ στ εσωτερικό τυ Δ. Έστω μί συάρτηση f συεχής σ έ διάστημ Δ δύ φρές πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ. Α f (χ)>0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι κυρτή στ Δ. Α f (χ)<0 γι κάθε εσωτερικό σημεί χ τυ Δ, τότε η f είι κίλη στ Δ. Α μί συάρτηση f είι κυρτή (τιστίχως κίλη) σ έ διάστημ Δ, τότε η εφπτμέη της γρφικής πράστσης της f σε κάθε σημεί τυ Δ ρίσκετι κάτω (τιστίχως πάω) πό τη γρφική πράστση της f με εξίρεση τ σημεί επφής τυς. Πρτηρήσεις: Μι κυρτή ή κίλη συάρτηση σ έ διάστημ Δ είι συεχής στ Δ κι πργωγίσιμη στ εσωτερικό τυ Δ. Κυρτότητ συάρτησης
Α μι συάρτηση f είι κυρτή (κίλη) κι δύ φρές πργωγίσιμη σ έ διάστημ (,) τότε f (χ) 0 (f (χ) 0) γι κάθε χ(,). Έστω μί συάρτηση f πργωγίσιμη σ έ διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έ σημεί τυ χ. Α: η f είι κυρτή στ (,χ ) κι κίλη στ (χ,) ή τιστρόφως κι η c f έχει εφπτμέη στ σημεί Α(χ,f(χ )) τότε τ σημεί Α(χ,f(χ )) μάζετι σημεί κμπής της γρφικής πράστσης της f κι λέμε ότι η f πρυσιάζει κμπή στ χ. Α τ Α(χ,f(χ )) είι σημεί κμπής της c f κι η f είι δύ φρές πργωγίσιμη, τότε f (χ )=0. Από τ πρπάω πρκύπτει ότι τ εσωτερικά σημεί τυ Δ, στ πί η f είι διφρετική πό τ μηδέ, δε είι θέσεις σημείω κμπής. Επμέως ι πιθές θέσεις σημείω κμπής μις συάρτησης f σ έ διάστημ Δ είι: τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί η f μηδείζετι, τ εσωτερικά σημεί τυ Δ στ πί δε υπάρχει η f. Α μί συάρτηση f ρισμέη σ έ διάστημ (,) κι χ (,) κι: η f λλάζει πρόσημ εκτέρωθε τυ χ κι ρίζετι η εφπτμέη της c f στ Α(χ,f(χ )), τότε τ Α(χ,f(χ )) είι σημεί κμπής. Σημεί κμπής συάρτησης Πρσδιρισμός σημείω κμπής Πρτηρήσεις: Τ σημεί κμπής είι μό σε εσωτερικά σημεί διστημάτω τυ πεδίυ ρισμύ. Α τ (χ, f(χ)) είι σημεί κμπής μις συάρτησης f τότε η f είι πργωγίσιμη σ έ διάστημ πυ περιέχει τ χ κι η f διτηρεί διφρετικό είδς μτίς εκτέρωθε τυ χ στ διάστημ υτό. Στ σημεί κμπής η εφπτμέη της Cf «διπερά» τη κμπύλη. Α έ τυλάχιστ πό τ όρι Α xx λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της c f. x )x(f R (τιστίχως x σύμπτωτη της c f στ + (τιστίχως στ ). )x(f, )x(f είι, τότε η ευθεί χ=χ xx )x(f ), τότε η ευθεί y= λέγετι ριζότι Α λ()x(f x 0) (τιστίχως λ()x(f x 0) x Ασύμπτωτες συάρτησης x λέγετι πλάγι σύμπτωτη της c f στ (τιστίχως στ ). ), τότε η ευθεί y=λχ+
Πρτήρηση: Η διφρά f(χ) (λχ+) εκφράζει τη κτκόρυφη πόστση στη θέση χ τω συρτήσεω f(χ) κι y=λχ+. Η ευθεί y=λχ+ είι πλάγι σύμπτωτη της c f στ +, τιστίχως στ, κι μό : λ= τιστίχως λ= x x )x(f x )x(f x κι = λχ x κι = λχ x )x(f, λ,r )x(f, λ,r Πρτήρηση: Στη περίπτωση πυ λ=0 έχυμε ριζότι σύμπτωτη. Οι πλυωυμικές συρτήσεις θμύ μεγλύτερυ ή ίσυ τυ δε έχυ σύμπτωτες. Οι ρητές συρτήσεις )x(p, με θμό τυ Ρ(χ) μεγλύτερ τυλάχιστ κτά δύ )x(q τυ θμύ τυ πρμστή, δε έχυ πλάγιες σύμπτωτες. Ασύμπωτες μις συάρτησης f ζητύμε: στ άκρ τω διστημάτω τυ πεδίυ ρισμύ της στ πί η f δε ρίζετι. στ σημεί τυ πεδίυ ρισμύ της, στ πί η f δε είι συεχής, στ, εφόσ η συάρτηση είι ρισμέη σε διάστημ της μρφής (,+ ), τιστίχως (,). Α γι δύ πργωγίσιμες συρτήσεις f κι g κτά στ χ ισχύει xx xx 0)x(g (ή )x(f κι xx )x('f (πεπερσμέ ή άπειρ) τότε: )x('g Εύρεση πλάγις σύμπτωτης Συμπεράσμτ ρισμώ τω σύμπτωτω Κόες de L Hspital xx )x(g )x(f )x(g xx xx ), χ R )x('f )x('g xx, κι υπάρχει τ 0)x( κι f Πρτηρήσεις: Στ πρπάω κό ι f,g είι πργωγίσιμες με g (χ) 0 κτά στ χ. Οι f,g μπρεί μη είι πργωγίσιμες ή κι μη ρίζτι στ χ ότ χr. Τ θεώρημ de L Hspital ισχύει κι γι πλευρικά όρι κι μπρύμε, χρειάζετι, τ εφρμόσυμε περισσότερες φρές, ρκεί πληρύτι ι πρϋπθέσεις τυς.
Έστω f μί συάρτηση ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Αρχική συάρτηση ή πράγυσ συάρτηση της f στ Δ μάζετι κάθε συάρτηση F πυ είι πργωγίσιμη στ Δ κι ισχύει: F (χ)=f(x) γι κάθε χδ. Έστω f μί συάρτηση ρισμέη σ έ διάστημ Δ. Α F είι μί πράγυσ της f στ Δ, τότε: όλες ι συρτήσεις της μρφής G(x)=F(x)+c, cr είι πράγυσες της f στ Δ, κάθε άλλη πράγυσ G της f στ Δ πίρει τη μρφή G(x)=F(x)+c, cr. Κάθε συάρτηση της μρφής G(x)=F(x)+c, cr είι μί πράγυσ της f στ Δ φύ: Aρχική συάρτηση ή πράγυσ συάρτηση G (x)=(f(x)+c) =F (x)=f(x) γι κάθε χδ. Έστω G μί πράγυσ της f στ Δ. Τότε γι κάθε χδ ισχύυ: F' (x) f(x) F' (x) G' cf, γι κάθε χδ. ( x )G G' (x) f(x) Ορισμέ λκλήρωμ Έστω μί συάρτηση f συεχής στ [,]. Με τ σημεί =χ <χ <χ < <χ = χωρίζυμε τ [,] σε ισμήκη υπδιστήμτ μήκυς Δχ=. Στη συέχει επιλέγυμε υθίρετ έ ξ κ[χ κ-,χ κ], γι κάθε κ{,,,} κι σχημτίζυμε τ άθρισμ S = κ ξ(f ) χδ. Τ όρι S μάζετι ρισμέ λκλήρωμ της f κ πό τ στ κι συμλίζετι: )x(f dx S. Έστω f, g συεχείς συρτήσεις στ Δ με,,γδ με <γ< κι λ,μr. Τότε ισχύυ ι πρκάτω ιδιότητες: Ιδιότητες ρισμέυ λκληρώμτς )x(f dx )x(f dx )x(f dx 0
λ )x(f dx λ )x(f dx )x(g)x(f dx )x(f dx )x(g dx λ )x(f μ )x(g dx λ )x(f dx μ )x(g dx γ )x(f dx ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ )x(f dx )x(f dx γ Α f(χ) 0, τότε )x(f dx 0 Α f(χ) 0 κι η f δε είι πτύ μηδέ στ [,] τότε )x(f dx 0 c d (c x ) γι πιδήπτε cr. Πρτηρήσεις: Ισχύει: f(u)du f(x)dx. Η έκφρση: «f(χ) 0 κι η f δε είι πτύ μηδέ στ [,]» ισδυμεί με τη έκφρση: «υπάρχει κ[,] με f(κ)>0». Α c>0 τότε τ cdx εκφράζει τ εμδό εός ρθγωίυ με άση (-) κι ύψς c. Η συάρτηση F(x)= x f(t)dt Α f μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι είι έ σημεί τυ Δ, τότε η συάρτηση F(x)= χ )t(f, dt xδ είι μί πράγυσ της f στ Δ, δηλδή ισχύει: χ F (x)= ' )t(f dt =f(x), γι κάθε χδ
Σχόλι: Α Ε(Ω) είι τ εμδό τυ χωρίυ πυ περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f κι τ άξ χ χ πό χ έως χ+h με h>0 τότε τ συμπέρσμ τω πρπάω πρκύπτει ως εξής: F(x+h)-F(x)= hx )x(f)h )t(f dt Ω(E h)x(f) γι μικρά h>0 πότε )x(f. h x Άρ: F (χ)= 0h )x(f)h )x(f. h )x(g Γεικότερ ισχύει: F (x)= )t(f dt =f(g(χ))g (x), με τη πρϋπόθεση ότι τ χρησιμπιύμε σύμλ έχυ όημ. ' Πρτήρηση: Η εξάρτητη μετλητή της F είι η χδ, εώ η μετλητή t είι η μετλητή λκλήρωσης η πί ρίσκετι πάτ στ διάστημ [,χ] ή [χ,]. Τ κι χ τ πίρυμε πάτ στ ίδι διάστημ στ πί η f είι συεχής. Θεμελιώδες Θεώρημ τυ Ολκληρωτικύ Λγισμύ Έστω f μί συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [,]. Α G είι μί πράγυσ της f στ [,], τότε: )x(f=g()-g(). dx χ Έστω F(x)= f(t)dt μί πράγυσ της f στ [,]. Επειδή κι η G είι μί πράγυσ της f στ [,], θ υπάρχει cr τέτι ώστε: G(x)=F(x)+c () Γι χ= η () γράφετι: G()=F()+c= f(t)dt +c=0+c=c c=g(). Άρ: G(x)=F(x)+G() () Γι χ= η () γράφετι: G()=F()+G() F()=G() G() f(t)dt =G() G()
Μέθδι λκλήρωσης ρισμέυ λκληρώμτς ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Έστω δύ συρτήσεις f,g συεχείς στ [,] κι f, g συεχείς στ [,]. Τότε: Ολκλήρωση κτά πράγτες: )x('g)x(f dx )x(g)x('f dx )x(g)x(f Ολκλήρωση με τικτάστση: )x('g)x(gf dx du)u(f, όπυ u=g(x) κι du=g (x)dx, u =g(), u =g(). u u Πρτήρηση: Ο τύπς της λκλήρωσης με λλγή μετλητής ισχύει ότ η συάρτηση g είι στ διάστημ [,]. Εμδό επίπεδυ χωρίυ Α μι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστημ [,] κι ( ) 0 x,, τότε τ εμδό τυ f x γι κάθε χωρίυ Ω πυ ρίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες x=, χ= κι τ άξ χ χ είι E( ) f( x) dx Έστω, τώρ, δυ συρτήσεις f κι g, συεχείς στ διάστημ [,] με f( x) g( x) 0 x, κι Ω τ χωρί πυ περικλείετι πό τις γι κάθε γρφικές πρστάσεις τω f,g κι τις ευθείες χ= κι χ= (Σχ. ). Πρτηρύμε ότι Ε(Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) fxdx ( ) gxdx ( ) ( fx ( ) gx ( )) dx Επμέως, E( ) ( f( x) g( x)) dx () Ο τύπς () ρέθηκε με τη πρϋπόθεση ότι: (i) fx ( ) gx ( ) γι κάθε x, κι (ii) ι f κι g είι μη ρητικές στ [,]. y y=f(x) Ω y=g(x) O () x
Ο τύπς () ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση (ii). Πράγμτι, επειδή ι συρτήσεις είι συεχείς στ, θ υπάρχει ριθμός c τέτις ώστε fx ( ) c gx ( ) c 0, γι κάθε x,. Είι φερό ότι τ χωρί Ω (Σχ. 0) έχει τ ίδι εμδό με τ χωρί Ω (Σχ. 0). Επμέως, σύμφω με τ τύπ (), έχυμε: Ε(Ω) Ε(Ω ) [( fx ( ) c ) ( gx ( ) c )] dx ( fx ( ) gx ( )) dx. Άρ, E(Ω) ( f( x) g( x)) dx y y y=f(x)+c 0 Ω y=f(x) Ω y=g(x)+c ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ O x O x y=g(x) () () Με τη ήθει τυ πρηγύμευ τύπυ μπρύμε υπλγίσυμε τ εμδό τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τ άξ χ χ, τη γρφική πράστση μις συάρτησης g, με gx ( ) 0 γι κάθε x, κι τις ευθείες χ= κι χ= (Σχ. ). Πράγμτι, επειδή άξς χ χ είι η γρφική πράστση της συάρτησης fx ( ) 0, έχυμε y E(Ω) ( f( x) g( x)) dx [ g( x)] dx g( x) dx x O Επμέως, γι μι συάρτηση g ισχύει gx ( ) 0 Ω γι κάθε x,, τότε E(Ω) g( x) dx y=g(x) Ότ η διφρά fx ( ) gx ( ) δε διτηρεί στθερό πρόσημ στ,, όπως στ Σχήμ 3, τότε τ εμδό τυ χωρίυ Ω πυ περικλείετι πό τις γρφικές
πρστάσεις τω f,g κι τις ευθείες χ= κι χ= είι ίσ με τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω Ω, Ω κι Ω 3. Δηλδή, y Ω y=g(x) Ω y=f(x) Ω 3 O γ δ x Ε(Ω) Ε(Ω ) Ε(Ω ) Ε(Ω ) γ 3 ( fx ( ) gx ( )) dx ( gx ( ) fx ( )) dx ( fx ( ) gx ( )) dx γ δ δ γ δ fx ( ) gx ( ) dx fx ( ) gx ( ) dx fx ( ) gx ( ) dx γ δ fx ( ) gx ( ) dx Επμέως, E( ) f( x) g( x) dx Σχόλι: Σύμφω με τ πρπάω τ f( x) dx είι ίσ με τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω πυ ρίσκτι πάω πό τ άξ x x μεί τ άθρισμ τω εμδώ τω χωρίω πυ ρίσκτι κάτω πό τ άξ x x y Ο a ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ + + x