ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii. iv. e 2kt2 f(t) dt e = e k2 23 e όπου η πργμτική πράμετρος κ πίρνει μονδική τιμή, ν υπολογισθεί ο τύπος της f. Εάν γι την πργωγίσιμη συνάρτηση g: R R ισχύει g () < (f(2 + ) + ) 23 24 γι κάθε R (2) + ν δειχθεί ότι η γρφική πράστση της g τέμνει τη γρφική πράστση της h() = ln( 24 + ), R σ έν μόνο σημείο. Ν υπολογισθεί το όριο + ΛΥΣΗ i. Θ δείξουμε ότι f () =, γι κάθε (, + ). Θέτω y = με (, + ) κι. Τότε η () γίνετι: f() f( ) + f( ) f( ) +23 ft 2 + et dt +22 f() f( ) = f + f() f( ) = + f + ( ) + f() f( ) + f( ) = ( )f + ( ) + () = f + f() f( ) + f( ) = f + + f() f( ) + f( ) ( ) + = f + + f() f( ) + f( ) = f + + + Αφού f πργωγίσιμη στο (, + ) συμπερίνουμε ότι: f() f( ) = f ( ) κι f συνεχής στο (, + ) Άρ, f() f( ) + f( ) f + = + + f ( ) + f( ) = f(2 ) f ( ) = f ( ) = φού (, + ) 2 2 Άρ, f () =, γι κάθε (, + ). Οπότε, η f είνι στθερή στο (, + ). ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ: ) Γρμούσης 5 & Κγιμπή - Τηλ./fa: 28 285 726-2) Λεωφόρος Κνωσσού 87 Τηλ./fa: 28 22 333 ΑΘΗΝΑ ΑΛΙΜΟΣ: Ησιόδου 8 - Τηλ: 2 993433 - Fa: 2 9969367 ΒΕΡΟΙΑ: Φιλίππου 25 (πεζόδρομος Δημοτικής Αγοράς) - Τηλ: 233 222 233
ii. Έστω f() = c, γι κάθε (, + ) κι c R. Αφού η συνάρτηση e 2kt2 f(t) είνι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συνρτήσεων τότε η e 2kt2 f(t) dt είνι πργωγίσιμη άρ κι συνεχής στο (, + ). Πρτηρούμε ότι, e2kt2 f(t) Επομένως, πό τον Κνόν De L Hospital έχουμε: dt = e 2kt2 f(t) dt e2kt2 f(t) dt e 2kt2 c dt e = e (e e) = κι (e e) = e 2k2 c = e = e2k c e Οπότε, e2kt2 cdt e = e k2 23 e2k c = e k2 23 e 2k c = e k2 22 e e 2k c = k 2 22 k 2 2k + c 22 = (3) Αφού υπάρχει μονδική πργμτική τιμή γι το k κι η (3) είνι δευτεροάθμι εξίσωση πρέπει Δ = 4 4(c 22) = c = 23 Συνεπώς, f() = 23, γι κάθε (, + ). iii. Γι κάθε R έχουμε 2 + >. Άρ, f( 2 + ) = 23, γι κάθε R. Οπότε, η σχέση (2) γίνετι : 24 g 23 () < 24 + γι κάθε R. Γι ν δείξω ότι η C g τέμνει τη C h σ έν μόνο σημείο, ρκεί ν δείξω ότι η εξίσωση έχει μονδική ρίζ στο R. g() = h() g() h() = g() ln( 24 + ) = Θέτω φ() = g() ln( 24 + ), R. Η φ είνι πργωγίσιμη στο R ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων άρ κι συνεχής. Οπότε, φ () = g () (24 + ) 24 + = g () 2423 24 + < Άρ, η φ είνι γνησίως φθίνουσ στο R. Στη συνέχει, θ υπολογίσουμε το σύνολο τιμών της φ με τη οήθει του θεωρήμτος Μέσης Τιμής. Έστω >. Η φ είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ). Από θεώρημ Μέσης Τιμής, υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε: φ() φ() φ (ξ ) = φ (ξ ) = φ() φ() φ() = φ (ξ ) + φ() Άρ, φ() = + + φ (ξ ) + φ() = (+ )φ (ξ ) = φού φ () < γι κάθε R Έστω <. H φ είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ). Από Θεώρημ Μέσης Τιμής υπάρχει έν τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε: φ() φ() φ ( ) = φ (ξ 2 ) = φ() φ() φ() = φ ( ) + φ() Άρ, φ() = φ ( ) + φ() = ( ) φ ( ) = + φού φ () < γι κάθε R ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ: ) Γρμούσης 5 & Κγιμπή - Τηλ./fa: 28 285 726-2) Λεωφόρος Κνωσσού 87 Τηλ./fa: 28 22 333 ΑΘΗΝΑ ΑΛΙΜΟΣ: Ησιόδου 8 - Τηλ: 2 993433 - Fa: 2 9969367 ΒΕΡΟΙΑ: Φιλίππου 25 (πεζόδρομος Δημοτικής Αγοράς) - Τηλ: 233 222 233
Αφού η φ είνι γνησίως φθίνουσ στο R το σύνολο τιμών της είνι το φ(r) = f(), f() = (, + ) = R + Επομένως, η εξίσωση φ() = έχει μονδική ρίζ στο R διότι το φ(r) κι η φ είνι γνησίως φθίνουσ στο R. iv. + +23 +22 etft2+ dt et23 + +22 = dt +23 + e t23 dt = + +23 et23 dt +22 e t23 dt Θέτω G() = e t23 dt, H G είνι πργωγίσιμη στο (, + ) φού e t23 συνεχής ως σύνθεση συνεχών, με G () = e 23 >. Άρ, η G είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ). H G είνι συνεχής στο [ + 22, + 23] με > κι πργωγίσιμη στο ( + 22, + 23). Από θεώρημ Μέσης Τιμής, υπάρχει έν τουλάχιστον ξ ( + 22, + 23) τέτοιο ώστε: G( + 23) G( + 22) G (ξ) = G (ξ) = G( + 23) G( + 22) + 23 ( + 22) G (ξ) = +23 e t23 dt +22 e t23 dt Όμως, η G είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ) διότι G () = e 23 ( 23 ) = 23 22 e 23 > γι κάθε > Οπότε, + 22 < ξ < + 23 G ( + 22) < G (ξ) < G ( + 23) e (+22)23 < +23 e t22 dt +22 e t22 dt < e (+23)23 Όμως, e(+22)23 = + κι e(+23)23 = + + + Άρ, πό κριτήριο Πρεμολής +23 et23 + dt +22 e t23 dt = + +23 ft 2 + + et dt +22 = + Β τρόπος: Θέτω G(t) = e t23, με t [ + 22, + 23]κι >. Η G είνι πργωγίσιμη στο [ + 22, + 23] ως σύνθεση πργωγίσιμων συνρτήσεων άρ κι συνεχής με, G (t) = e t23 (t 23 ) = 23t 22 e t23 > γι κάθε t [ + 22, + 23], με >. Άρ, η G είνι γνησίως ύξουσ στο [ + 22, + 23] κι έχουμε: +23 Άρ, G( + 22) +22 G( + 22)[t] +23 +22 + 22 t + 23 G( + 22) G(t) G( + 23) dt +23 +22 +23 G(t) +22 Όμως, e(+22)23 = + κι e(+23)23 = + + + +23 dt G( + 23) dt +22 G(t)dt G( + 23)[t] +23 +22 e (+22)23 +23 +22 G(t)dt e (+23)23 ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ: ) Γρμούσης 5 & Κγιμπή - Τηλ./fa: 28 285 726-2) Λεωφόρος Κνωσσού 87 Τηλ./fa: 28 22 333 ΑΘΗΝΑ ΑΛΙΜΟΣ: Ησιόδου 8 - Τηλ: 2 993433 - Fa: 2 9969367 ΒΕΡΟΙΑ: Φιλίππου 25 (πεζόδρομος Δημοτικής Αγοράς) - Τηλ: 233 222 233
Άρ πό Κριτήριο Πρεμολής, +23 et23 + +22 dt = + ΘΕΜΑ 2 A. Εάν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,] τότε ν δειχθεί ότι: B. f() d f() d i. Δίνετι συνεχής συνάρτηση f: R R, η οποί είνι «-» στο R κι ισχύει ότι z F() = f( + t) dt, z C. ii. 2 Αν υπάρχει ξ R έτσι ώστε η γρφική πράστση της F ν δέχετι οριζόντι εφπτομένη στο σημείο Aξ, F(ξ), ν ρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z. Ν υπολογισθεί το όριο + + 22 t z + t2 + z 2 dt, όπου z ο μιγδικός του πρπάνω ερωτήμτος. C. Έστω μι συνάρτηση f δύο φορές πργωγίσιμη στο [, ] με συνεχή δεύτερη πράγωγο, γι την οποί ισχύουν: f() = f() = κι f() < γι κάθε (, ). i. Ν δείξετε ότι υπάρχουν ii. ξ, (, ) με ξ < τέτοι ώστε f ( ) f (ξ ) > Ν δείξετε ότι: f () ΛΥΣΗ A. Γι κάθε [, ] ισχύει ότι f() f() f(). Αφού f συνεχής στο [,] έπετι ότι f συνεχής στο [,]. Οπότε, B. f() d f() i. Θέτω + t = u τότε dt = du. Γι t = 2 έχουμε u = + 2. Γι t = z έχουμε u = + z. Άρ, z F() = f( + t)dt 2 + z = f(u)du +2 d < 2 ξ f() a d f() = f(u)du +2 2 d f() + z + f(u)du όπου = inf() στο [, ] d f() d + z = f(u)du +2 f(u)du H F είνι πργωγίσιμη φού f συνεχής συνάρτηση στο R, με F () = f( + z ) ( + z ) f( + 2) ( + 2) F () = f( + z ) f( + 2), R. Αφού η C F δέχετι οριζόντι εφπτομένη στο σημείο Aξ, F(ξ) έπετι ότι F f " " (ξ) = f(ξ + z ) f(ξ + 2) = f(ξ + z ) = f(ξ + 2) ξ + z = ξ + 2 z = 2 Οπότε, ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z είνι ο κύκλος με κέντρο O(,) κι κτίν ρ = 2. ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ: ) Γρμούσης 5 & Κγιμπή - Τηλ./fa: 28 285 726-2) Λεωφόρος Κνωσσού 87 Τηλ./fa: 28 22 333 ΑΘΗΝΑ ΑΛΙΜΟΣ: Ησιόδου 8 - Τηλ: 2 993433 - Fa: 2 9969367 ΒΕΡΟΙΑ: Φιλίππου 25 (πεζόδρομος Δημοτικής Αγοράς) - Τηλ: 233 222 233
ii. Aφού +, έχουμε ότι >. Άρ, + 22 t z + t2 + z 2 dt = + 22 t z + t2 + z 2 dt + 22 t z + t2 + z 2 dt + 22 t z + t2 + z 2 dt = 22 + t z + t2 + z 2 dt = 22 + 2t + 4t2 + dt Δηλδή, + 22 t z + t2 + z 2 dt 2 + 22 t + 2t2 + dt, γι κάθε > () Θέτω g(t) = t + 2 t 2 +, t [, + ] με >. H g είνι πργωγίσιμη στο [, + ] ως πράξεις πργωγίσιμων συνρτήσεων άρ κι συνεχής στο [, + ]. Οπότε, g (t) = + 2(t2 + ) 2 t 2 + = + 2t > γι κάθε t [, + ], με > t 2 + Άρ, η g είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ]. Επομένως, γι κάθε t + έχουμε g(t) g( + ). Οπότε, + + + g(t) dt g( + )dt g(t) dt g( + ) [t] + + t + 2t 2 + dt + + 2( + ) 2 + Συνεπώς, η () γίνετι + 22 t z + t2 + z 2 dt 2 22 + + 2( + )2 + 2 22 + + 22 + 2 + 2 Όμως, κι 22 + t z + t2 + z 2 dt 2 22 + + 22 + 2 + 2 2 + + 2 + 2 2 + 22 + + + 2 2 22 + 2 + 2 = + 22 2 + + 2 + 2 + 2 2 2 + + 2 + 2 + 2 2 = + 22 = + 2 = + + 2 + + = 2 + 22 + + 22 + 2 + 2 = Οπότε, πό Κριτήριο Πρεμολής έπετι ότι, + + 22 t z + t2 + z 2 dt = C. i. Αφού η f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε πίρνει στο [, ] μί ελάχιστη τιμή < επειδή f() < = f() = f(), γι κάθε (, ). Δηλδή υπάρχει ξ [, ] τέτοιο ώστε f(ξ) =. ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ: ) Γρμούσης 5 & Κγιμπή - Τηλ./fa: 28 285 726-2) Λεωφόρος Κνωσσού 87 Τηλ./fa: 28 22 333 ΑΘΗΝΑ ΑΛΙΜΟΣ: Ησιόδου 8 - Τηλ: 2 993433 - Fa: 2 9969367 ΒΕΡΟΙΑ: Φιλίππου 25 (πεζόδρομος Δημοτικής Αγοράς) - Τηλ: 233 222 233
Η f είνι συνεχής σε κθέν πό τ [,ξ], [ξ,]. Η f είνι πργωγίσιμη σε κθέν πό τ (,ξ), (ξ,). Άρ, πό το Θεώρημ Μέσης τιμής υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ξ) τέτοιο ώστε f (ξ ) = ξ κι (ξ, ) τέτοιο ώστε f ( ) = ξ Οπότε, f ( ) f (ξ ) = ξ ξ > 2 = 2 φού > ξ < ξ < κι ομοίως ποδεικνύετι ότι ξ < ξ ii. Γι κάθε [ξ, ] ισχύει: Άρ, Συνεπώς, f () f() f () φού f() f() f () d f () d f () d ξ f() ξ ξ f() f () d ξ (Α) ξ f () d ξ f() f ()d f () d ξ f() f ( ) f (ξ ) ξ f () f ( ) f (ξ )> d f() f ( ) f (ξ ) > 2 = 2 ξ f () f () d > 2 f() d < 2 ξ f() ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ: ) Γρμούσης 5 & Κγιμπή - Τηλ./fa: 28 285 726-2) Λεωφόρος Κνωσσού 87 Τηλ./fa: 28 22 333 ΑΘΗΝΑ ΑΛΙΜΟΣ: Ησιόδου 8 - Τηλ: 2 993433 - Fa: 2 9969367 ΒΕΡΟΙΑ: Φιλίππου 25 (πεζόδρομος Δημοτικής Αγοράς) - Τηλ: 233 222 233