2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη: η πώληση ενός τρακτέρ αφήνει κέρδος 5,000 χρηματικών μονάδων κι ενός γερανού 4,000. Η παραγωγή των δύο μηχανημάτων πραγματοποιείται σε δύο διακριτά στάδια όπως αναλυτικά φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί. ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10 ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ (hr) 150 160 Επιπλέον, υπάρχει κι ένα τελικό στάδιο ποιοτικού ελέγχου. Εδώ, ένα τρακτέρ χρειάζεται 30 ώρες κι ένας γερανός μόλις 10, ενώ οι (εβδομαδιαίες) ώρες που υποχρεούται να διαθέσει η εταιρεία για το σκοπό αυτό δε μπορούν να αποκλίνουν περισσότερο του 10% από το όριο των 150 ωρών που ορίζει η σχετική νομοθεσία. Η TRACPRO πουλάει τα δύο μηχανήματα μόνο πακέτο: για κάθε τρία τρακτέρ τουλάχιστον ένα γερανό. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, η πώληση πέντε μηχανημάτων εβδομαδιαία είναι εξασφαλισμένη, υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση της βέλτιστης γραμμής παραγωγής. Λύση Μεταβλητές. Φανερά, μεταβλητές απόφασης είναι ο αριθμός των τρακτέρ και γερανών που πρέπει να κατασκευάζονται εβδομαδιαία. Ορίζουμε να είναι x 1 ο αριθμός των τρακτέρ που κατασκευάζονται σε μια εβδομάδα, x 2 ο αριθμός των γερανών που κατασκευάζονται σε μια εβδομάδα. Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Συμβολίζοντας με Z το συνολικό εβδομαδιαίο κέρδος της TRACPRO, αναζητούνται οι τιμές x 1, x 2 οι οποίες επιτυγχάνουν να μεγιστοποιήσουν τη συνάρτηση Z = (5,000x 1 + 4,000x 2 ) λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλονται σ αυτές. Περιορισμοί. Ένας προφανής περιορισμός προκύπτει εξ αιτίας των περιορισμένων ωρών στα δύο στάδια Α και Β της κατασκευαστικής διαδικασίας 10x 1 + 15x 2 150 20x 1 + 10x 2 160 (εβδομαδιαίος χρόνος στο στάδιο Α), (εβδομαδιαίος χρόνος στο στάδιο Β).
90 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη οι ώρες που πρέπει να διατεθούν εβδομαδιαία για τον ποιοτικό έλεγχο -το 10% του 150 είναι 15-30x 1 + 10x 2 135 (εβδομαδιαίος χρόνος για ποιοτικό έλεγχο), η υποχρεωτική αναλογία τρακτέρ και γερανών στις πωλήσεις x1 3 x1 3x2 0 (αναλογία τρακτέρ προς γερανούς), x 1 2 η υπάρχουσα παραγγελία για τα μηχανήματα x 1 + x 2 5 (εβδομαδιαία ζήτηση των μηχανημάτων), και η μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης x 1, x 2 0. Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η TRACPRO αφορά τον: προσδιορισμό εκείνων τιμών για τις μεταβλητές x 1, x 2 (αριθμός τρακτέρ και γερανών αντίστοιχα) οι οποίες επιτυγχάνουν να κάτω από περιορισμούς (όταν είναι) maximize Z = (5,000x 1 + 4,000x 2 ) 10x 1 + 15x 2 150 20x 1 + 10x 2 210 30x 1 + 10x 2 135 x 1-3x 2 0 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0 Γραφική Επίλυση. Η εφικτή περιοχή του ανωτέρω π.γ.π. ορίζεται από το πολύγωνο ΑΒΓΔ (εικόνα 2.9) του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(4.05, 1.35), Β(6.857, 2.286), Γ(4.5, 7) και Δ(1.5, 9). Με αντικατάσταση των συντεταγμένων τους στην αντικειμενική συνάρτηση, εντοπίζεται η κορυφή που δίνει τη μεγαλύτερη τιμή στο Ζ. Πρόκειται για τη βέλτιστη λύση. ΚΟΡΥΦΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ζ Α (4.05, 1.35) 25,650 Β (6.857, 2.286) 43,429 Γ (4.5, 7) 50,500 ΒΕΛΤΙΣΤΗ Δ (1.5, 9) 43,500
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 91 Εικόνα 2.9 Εφικτή περιοχή και κορυφές για το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 2.10. Το μέγιστο κέρδος της TRACPRO, ύψους 50,500 χρηματικών μονάδων, επιτυγχάνεται με την εβδομαδιαία κατασκευή 4.5 τρακτέρ και 7 γερανών. Σημειώνεται επίσης το γεγονός ότι, ο 5 ος περιορισμός είναι πλεονάζων. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.11 Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα ΔΛ1, ΔΛ2. Σε γενικές γραμμές, η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Για την παραγωγή 1000 lit ΔΛ1 απαιτούνται δύο ώρες στο τμήμα της μίξης και μία ώρα στο τμήμα καθαρισμού, ενώ για την παραγωγή 1000 lit ΔΛ2 απαιτούνται μία ώρα στο τμήμα της μίξης και δύο ώρες στο τμήμα καθαρισμού. Το οικονομικό τμήμα της εταιρείας, γνωρίζοντας ότι το εργατικό δυναμικό «προσφέρει» εβδομαδιαία 230 ώρες για τη μίξη και 250 ώρες για τον καθαρισμό των δύο διαλυμάτων, υπολογίζει σ ένα κέρδος 300 χρηματικών μονά-
92 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας δων ανά lit ΔΛ1 και 500 χρηματικών μονάδων ανά lit ΔΛ2. Δεδομένου ότι η αγορά σε εβδομαδιαία βάση μπορεί να απορροφήσει άπειρες ποσότητες lit ΔΛ1 αλλά το πολύ 120,000 lit ΔΛ2 προσδιορίστε τις ποσότητες που πρέπει να παραχθούν από κάθε διάλυμα ΔΛ1 και ΔΛ2 σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιηθεί το συνολικό κέρδος της εταιρείας. Στη συνέχεια, i. μελετήστε τη μεταβολή στη βέλτιστη λύση (και στην αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) αν κάποιος από τους αντικειμενικούς συντελεστές αλλάξει. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι για λόγους ανταγωνισμού στην αγορά για το διάλυμα ΔΛ1, η εταιρεία μειώνει το κέρδος στις 275 χρηματικές μονάδες ανά lit. 74 ii. μελετήστε τη μεταβολή στη βέλτιστη λύση (και στην αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης) αν το δεξιό μέλος ενός εκ των περιορισμών αλλάξει. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι ο χρόνος εργασίας στο τμήμα μίξης μειώνεται στις 220 ώρες. 54 Λύση Μεταβλητές. Εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι μεταβλητές απόφασης είναι η ποσότητα των διαλυμάτων ΔΛ1 και Δλ2 (σε χιλιάδες lit) που πρέπει να παράγονται σε μια εβδομάδα. Ορίζουμε να είναι x 1 η ποσότητα του διαλύματος ΔΛ1 που παράγεται εβδομαδιαία (,000 lit), x 2 η ποσότητα του διαλύματος ΔΛ2 που παράγεται εβδομαδιαία (,000 lit). Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). Συμβολίζοντας με Z το συνολικό εβδομαδιαίο κέρδος, αναζητούνται οι τιμές x 1, x 2 οι οποίες επιτυγχάνουν να μεγιστοποιήσουν τη συνάρτηση Z = (3x 1 + 5x 2 ) (εκατοντάδες χιλιάδες χρηματικές μονάδες) λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που επιβάλλονται σ αυτές. Περιορισμοί. Ένας προφανής περιορισμός προκύπτει εξ αιτίας των περιορισμένων ωρών στα δύο τμήματα (μίξης και καθαρισμού) της κατασκευαστικής διαδικασίας 2x 1 + x 2 230 (εβδομαδιαίος χρόνος για μίξη των διαλυμάτων), x 1 + 2x 2 250 (εβδομαδιαίος χρόνος για καθαρισμό των διαλυμάτων). Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η εβδομαδιαία απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2 74 Η αλλαγή αυτή επηρεάζει το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής που εντοπίστηκε ;
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 93 x 2 120 (εβδομαδιαία ζήτηση του διαλύματος ΔΛ2), και η μη αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης x 1, x 2 0. Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η εταιρεία του παραδείγματος, αφορά τον: προσδιορισμό εκείνων τιμών για τις μεταβλητές x 1, x 2 (ποσότητα σε,000 lit διαλύματος ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα) οι οποίες επιτυγχάνουν να κάτω από περιορισμούς (όταν είναι) maximize Z = (3x 1 + 5x 2 ) 2x 1 + x 2 230 x 1 + 2x 2 250 3 x 2 120 x 1, x 2 0 Γραφική Επίλυση. Η εφικτή περιοχή του ανωτέρω π.γ.π. αντιστοιχεί στο πολύγωνο ΑΒΓΔE (εικόνα 2.10) του οποίου οι κορυφές έχουν συντεταγμένες Α(0, 0), Β(115, 0), Γ(70, 90), Δ(10, 120) και E(0, 120). Για τον εντοπισμό Εικόνα 2.10 Εφικτή περιοχή και κορυφές για το γραμμικό μοντέλο του παραδείγματος 2.11.
94 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας της βέλτιστης λύσης (κορυφής), θα πρέπει να χαραχθούν ευθείες σταθερού κέρδους στην κατεύθυνση αύξησης της Ζ. Στην εικόνα 2.10 παρατηρούμε ότι, η τελευταία κορυφή από την οποία διέρχεται μια από αυτές τις παράλληλες πριν φύγει έξω από την εφικτή περιοχή, είναι η Γ. Επομένως, η εβδομαδιαία παραγωγή 70,000 lit ΔΛ1 και 90,000 lit ΔΛ2, οδηγεί στο μεγαλύτερο δυνατό συνολικό κέρδος ύψους Ζ = 66,000,000 χρηματικών μονάδων. Σύμφωνα με τον ορισμό 2.6, οι δύο πρώτοι περιορισμοί οι οποίοι αναφέρονται αντίστοιχα στο διαθέσιμο χρόνο (ώρες) για τη μίξη και τον καθαρισμό των δύο διαλυμάτων, είναι δεσμευτικοί (η βέλτιστη λύση του προβλήματος είναι το σημείο τομής των περιοριστικών ευθειών τους). Ο περιορισμός, που αφορά την απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2, είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή 75 120 90 = 30. 75 Έτσι ονομάζεται η τιμή της χαλαρής (ή πλεονάζουσας) μεταβλητής ενός χαλαρού περιορισμού (βλ. και τον ορισμό 2.7).
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 95 2.5 Λογισμικό για την Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού Η ραγδαία ανάπτυξη των προσωπικών ηλεκτρονικών υπολογιστών (PCs) κατά την τελευταία εικοσαετία, οδήγησε στην εμφάνιση μιας ποικιλίας λογισμικού με στόχο τη διευκόλυνση του χρήστη στην εφαρμογή των μεθόδων βελτιστοποίησης (μοντέλων) της Επιχειρησιακής Έρευνας. Επιπλέον, είναι πια καθολικά αποδεκτό ότι, οι μέθοδοι αυτές (μαζί με εκείνες της Στατιστικής) αποτελούν το αναγκαίο επιστημονικό υπόβαθρο για την τεκμηριωμένη υποστήριξη των καθημερινών αποφάσεων των διοικητικών στελεχών ακόμη και σε κλάδους που παραδοσιακά είχαν πολύ μικρή σχέση με τις Ποσοτικές Τεχνικές. Στις μέρες μας, ακολουθείται η λογική των εξειδικευμένων λογισμικών για την κάθε (σχεδόν) μέθοδο χωριστά τα οποία να περιέχουν όλους τους σχετικούς αλγόριθμους επίλυσής της. Ιδιαίτερα για τo Γραμμικό Προγραμματισμό, το δημοφιλέστερο μοντέλο στο χώρο της Επιχειρησιακής Έρευνας, υπάρχουν διαθέσιμα στην αγορά περισσότερα από 70 διαφορετικά λογισμικά 76. Τις τελευταίες εκδόσεις των περισσοτέρων εξ αυτών ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να τις βρει δωρεάν για περιορισμένη χρήση, στις ιστοσελίδες των κατασκευαστών τους. Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν τρεις διαφορετικές φιλοσοφίες για τη μοντελοποίηση και εν συνεχεία επίλυση/ανάλυση ενός π.γ.π. από κάποιο λογισμικό: i) Πρόσθετα εργαλεία (add-ins) σε λογιστικά φύλλα (π.χ. Solver, What s Best). Τα λογιστικά φύλλα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση σχετικά απλών και μικρού μεγέθους π.γ.π. με ικανοποιητικά αποτελέσματα. Έχουν το πλεονέκτημα να υπάρχουν πλέον σε κάθε χώρο εργασίας, αλλά η ανάπτυξη σύνθετων προβλημάτων σ αυτά απαιτεί μεγάλη επένδυση χρόνου από την πλευρά του χρήστη. ii) Ολοκληρωμένα πληροφοριακά συστήματα (π.χ. LINDO, WinQSB, DS for Windows). Προσφέρουν ένα αυτόνομο φιλικό περιβάλλον εργασίας και αποτελούν τον πιο εύκολο τρόπο για την ανάπτυξη και επίλυση ενός π.γ.π. Η μεταφορά του προτύπου που αναπτύσσεται στο περιβάλλον τους είναι άμεση και χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες, όπως ακριβώς γράφεται στο χαρτί. 76 Λεπτομερείς πληροφορίες γύρω από αυτά μαζί με σχετικό πληροφοριακό υλικό υπάρχουν στις διευθύνσεις του διαδικτύου : www.mcs.anl.gov/otc/guide/softwareguide/ και lionhrtpub.com/orms/surveys/lp/lp-survey.html.
96 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας iii) Γλώσσες μοντελοποίησης (π.χ. AMPL, MPL, GAMS, LINGO). Αποτελούν την ενδεδειγμένη επιλογή σε περιπτώσεις μεγάλων ή/και περίπλοκων π.γ.π. Στις περιπτώσεις αυτές το πρόβλημα παρίσταται με βάση τους συντακτικούς κανόνες και τη γραμματική της γλώσσας που χρησιμοποιείται. Στο Παράρτημα Β του παρόντος βιβλίου, παρατίθεται μια (σχετικά) λεπτομερής ανάπτυξη του πρόσθετου εργαλείου (add-in) Solver που υπάρχει ενσωματωμένο στο Excel, των πληροφοριακών συστημάτων LINDO και WinQSB, καθώς και της γλώσσας μοντελοποίησης LINGO. Υπάρχουν επίσης σχετικές αναφορές στις πολύ γνωστές συμβολικές γλώσσες μαθηματικών Mathematica και Maple V. Στην παρούσα παράγραφο περιοριζόμαστε στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων για τα παραδείγματα 2.11 και 2.10 όπως αυτά προκύπτουν από το WinQSB και το LINDO αντίστοιχα, επιχειρώντας ταυτόχρονα μια αντιπαραβολή με τη γραφική τους επίλυση που δόθηκε σε προηγούμενες σελίδες του βιβλίου. Επιπρόσθετα, ένα καινούριο παράδειγμα διατυπώνεται και στη συνεχεία αναλύεται με τη βοήθεια του Excel. Στην εικόνα 2.17 φαίνονται οι οθόνες μοντελοποίησης και λύσης του παραδείγματος 2.11 στο περιβάλλον του WinQSB. Η αναφορά επίλυσης χωρίζεται σε δύο τμήματα: το πρώτο αφορά τις μεταβλητές, ενώ το δεύτερο τους περιορισμούς. Στο πρώτο μέρος των αποτελεσμάτων καταγράφεται η βέλτιστη λύση του προβλήματος (Solution Value), η αντίστοιχη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης (Objective Function =), το κόστος ευκαιρίας των μεταβλητών απόφασης (Reduced Cost) καθώς επίσης και η ανάλυση ευαισθησίας για τους αντικειμενικούς συντελεστές (: στη στήλη που επιγράφεται Allowable Min c(j) δίνεται το κάτω όριο του εύρους αριστότητας, στη στήλη Allowable Max c(j) το άνω όριο, ενώ στη Unit Cost or Profit c(j) η υπάρχουσα τιμή). Η βέλτιστη λύση x 1 = 70, x 2 = 90 (χιλιάδες lit των διαλυμάτων ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα) αποφέρει εβδομαδιαίο κέρδος 660 εκατοντάδων χιλιάδων χρηματικών μονάδων. Σύμφωνα με τα υποδεικνυόμενα εύρη αριστότητας, διακύμανση του κέρδους από τα 1000 lit διαλύματος ΔΛ1 στο διάστημα των [2.5, 10] εκατοντάδων χιλιάδων χρηματικών μονάδων, ή του αντίστοιχου από τα 1000 lit διαλύματος ΔΛ2 στο διάστημα [1.5, 6] 77, δε θα αλλάξει την υπάρχουσα βέλτιστη λύση. 77 Βλ. εικόνα 2.11 για τη γραφική μέθοδο εύρεσής τους.
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 97 Εικόνα 2.17 Οι οθόνες μοντελοποίησης και επίλυσης του παραδείγματος 2.11 στο περιβάλλον του WinQSB. Το κόστος ευκαιρίας μιας μεταβλητής απόφασης παριστά την ελάχιστη βελτίωση που πρέπει να υποστεί ο αντίστοιχος αντικειμενικός συντελεστής, ώστε αυτή να μπορεί να έχει θετική τιμή 78. Συνεπώς, μεταβλητές που συμμετέχουν στη βέλτιστη λύση έχουν μηδενικό κόστος ευκαιρίας μια και δε χρειάζεται να υποστεί καμία βελτίωση ο αντικειμενικός τους συντελεστής. Πράγματι, στο συγκεκριμένο παράδειγμα που και οι δύο μεταβλητές συμμετέχουν στην άριστη λύση, το κόστος ευκαιρίας τους είναι μηδέν: δε χρειάζεται να βελτιωθεί (εδώ μεγαλώσει) το ανά μονάδα κέρδος κάποιου από τα δύο διαλύματα για να ξεκινήσει η παραγωγή του, με το τρέχον κέρδος παράγονται και τα δύο. Το δεύτερο μέρος των αποτελεσμάτων αναφέρεται αποκλειστικά στους περιορισμούς του δοθέντος π.γ.π. Πιο συγκεκριμένα για τον καθένα εξ αυτών καταγράφεται η φορά του (Direction), το δεξιό μέλος του (Right 78 Ισοδύναμα (βλ. ορισμό 3.7), το κόστος ευκαιρίας μπορεί να θεωρηθεί ως η μείωση που θα υποστεί η βέλτιστη τιμή του Ζ αν εξαναγκάσουμε κάποια μεταβλητή να συμμετάσχει στη βέλτιστη λύση.
98 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Hand Side), η τιμή που έχει για τη βέλτιστη λύση (Left Hand Side), η περιθώρια τιμή του (Slack or Surplus), το κάτω (Allowable Min RHS) και άνω (Allowable Max RHS) όριο του εύρους εφικτότητας, και τέλος η αντίστοιχη δυϊκή τιμή (Shadow Price). Στο πρόβλημα όλοι οι περιορισμοί είναι της μορφής (το σύμβολο «<» σημαίνει μικρότερο ή ίσο κι όχι απλώς μικρότερο). Οι δύο πρώτοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί και ο τρίτος χαλαρός με περιθώρια τιμή (120-90=) 30. Άρα η παραγωγή του διαλύματος ΔΛ2 είναι μικρότερη κατά 30 χιλιάδες lit από τη μέγιστη ζητούμενη ποσότητα. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν με την ανάλυση που περιγράφηκε στη σελίδα 72. Η δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού είναι 0.33333, όσο είχε υπολογιστεί και με τη γραφική μέθοδο στην παράγραφο 2.4. Έτσι, όπως είναι ήδη γνωστό, αν αυξηθούν οι ώρες στο τμήμα της μίξης κατά μία, τότε αναμένεται ότι τα συνολικά κέρδη θα αυξηθούν κατά 33,333 χρηματικές μονάδες. Από την άλλη πλευρά, αν οι ώρες στο τμήμα της μίξης μειωθούν κατά μία, τα κέρδη θα μειωθούν κατά 33,333 χρηματικές μονάδες. Το επόμενο θέμα στο οποίο δίνει απάντηση το δεύτερο μέρος αποτελεσμάτων του WinQSB, σχετίζεται με τα όρια μέσα στα οποία μπορεί να μεταβάλλεται το δεξιό μέλος του 1ου περιορισμού (διάστημα εφικτότητας) ώστε οι δυϊκές τιμές να παραμένουν οι ίδιες. Έτσι βλέπουμε ότι για την πρώτη ύλη «ώρες στο τμήμα της μίξης», με τρέχουσα τιμή 230, τα όρια εφικτότητας είναι μεταξύ 140 και 500. Το διάστημα αυτό συμπίπτει προφανώς με εκείνο που βρέθηκε με τη γραφική ανάλυση ευαισθησίας και δημιουργείται από την κίνηση του σημείου Γ πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΔΗ (βλ. εικόνα 2.13). Ανάλογα ερμηνεύονται τα ευρήματα για το δεύτερο περιορισμό (εικόνα 2.15). Η δυϊκή τιμή του τρίτου περιορισμού λογικά είναι μηδέν, αφού αν μπορούσε να αυξηθεί η απορροφητικότητα της αγοράς για το διάλυμα ΔΛ2, αυτό δε θα σήμαινε απολύτως τίποτα για την εταιρεία, μια και τη συμφέρει να παράγει λιγότερα από την ήδη μέγιστη απορροφητικότητα των 120 μονάδων. Το διάστημα εφικτότητας του b 3 είναι μεταξύ 90 και άπειρο (το γράμμα Μ παριστά έναν πολύ μεγάλο θετικό αριθμό, πρακτικά το άπειρο), με περίσσευμα 30 μονάδες. Το άπειρο ως άνω όριο υπογραμμίζει το γεγονός ότι, επειδή υπάρχει περίσσευμα αυτού του «πόρου», αν αυξηθεί η διαθέσιμη ποσότητά του δεν πρόκειται να αλλάξει ούτε η βέλτιστη λύση ούτε η αντικειμενική τιμή του προβλήματος. Αν όμως η διαθέσιμη ποσότητα του «πόρου» μειωθεί σε επίπεδο μικρότερο από 120-30=90 μονάδες, τότε η βέλτιστη λύση θα αλλάξει (βλ. εικόνα 2.16).
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 99 Η ταχύτητα με την οποία το λογισμικό επιλύει ένα π.γ.π. μας επιτρέπει να επιβεβαιώσουμε, σε πραγματικό χρόνο, θεωρητικές απαντήσεις ποικίλων σεναρίων. Για παράδειγμα, οι οθόνες από το WinQSB στην εικόνα 2.18 αποδεικνύουν αντίστοιχα ότι i) καμιά αλλαγή δε χρειάζεται να γίνει στην υπάρχουσα βέλτιστη γραμμή παραγωγής αν η εταιρεία χαμηλώσει το συντελεστή κέρδους του διαλύματος ΔΛ1 από τις 300,000 δρχ. ανά 1000 lit που είναι στις 275,000 δρχ. Τα εβδομαδιαία κέρδη θα ανέρχονται στις 2.75(70)+5(90) = 642.5 εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ. ii) νέο βέλτιστο σχέδιο που προβλέπει την παραγωγή x 1 = 63,333 και x 2 = 93,333 lit των διαλυμάτων ΔΛ1 και ΔΛ2 αντίστοιχα πρέπει να υιοθετηθεί αν ο διαθέσιμος χρόνος εργασίας στο τμήμα της μίξης μειωθεί από 230 σε 220 ώρες. Τα εβδομαδιαία κέρδη θα πέσουν τότε στις 1 660 10 = 656.667 εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ 3 Εικόνα 2.18 Επίλυση του παραδείγματος 2.11 για (i) c 1 = 2.75 και (ii) b 1 = 220.
100 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Με την ίδια ευκολία μπορούμε να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της αντικειμενικής συνάρτησης καθώς οι παράμετροι του προβλήματος κινούνται σε όλο το φάσμα της πιθανής μεταβολής τους κι όχι μέσα στα ευρεθέντα όρια αριστότητας (αντικειμενικοί συντελεστές) ή εφικτότητας (δεξιά μέλη των περιορισμών). Σύμφωνα με τα μέχρι στιγμής ευρήματα, το εύρος εφικτότητας του b 1 είναι το [140, 500], ενώ η δυϊκή τιμή του πρώτου περιορισμού ισούται με 0.33333. Ως απόκριση στη ζητηθείσα παραμετρική ανάλυση για το b 1, τo WinQSB δημιούργησε μια λεπτομερή αναφορά των αλλαγών που πραγματοποιούνται στο δοθέν π.γ.π. ως αποτέλεσμα της μεταβολής στις διαθέσιμες ώρες του τμήματος μίξης (εικόνα 2.19). Τα ευρήματα συμφωνούν με τα αντίστοιχα της γραφικής ανάλυσης που βρίσκονται στις σελίδες 81-83 του βιβλίου (βλ. εικόνα 2.14). Η πρώτη γραμμή της αναφοράς επιβεβαιώνει 79 ότι, καθώς οι διαθέσιμες ώρες στο τμήμα μίξης αυξάνονται από τις 230 που δόθηκαν στις 500, η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Z μεγαλώνει από τις 660 μονάδες που είναι και φτάνει τις 750, με ρυθμό ίσο με τη δυϊκή τιμή (Slope) των 0.33333 μονάδων. Μόλις οι διαθέσιμες ώρες ξεπεράσουν τις 500 (δεύτερη γραμμή), η τιμή Z παραμένει σταθερή, μια και η δυϊκή τιμή του περιορισμού καθίσταται μηδέν και ο περιορισμός χαλαρός με περίσσευμα ωρών ίσο, με όλες τις επιπλέον των 500 ώρες. Από την άλλη μεριά (τρίτη γραμμή), ανά λιγότερη ώρα που θα διατίθεται στο τμήμα της μίξης και μέχρις των 140 ωρών (από 230 που είναι), η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται από 660 σε 630 μονάδες με ρυθμό 0.33333 μονάδων 77. Η επόμενη γραμμή υποδεικνύει ότι αν οι διαθέσιμες ώρες υποχωρήσουν κάτω από τις 140 και φτάσουν τις 120 (τέταρτη γραμμή), η Z τιμή μειώνεται από 630 σε 600 μονάδες με ρυθμό ίσο με τη νέα δυϊκή τιμή των 1.5 μονάδων. Περαιτέρω μείωση των διαθεσίμων Εικόνα 2.19 Παραμετρική ανάλυση του δεξιού μέλους b 1 του πρώτου περιορισμού (διαθέσιμες ώρες στο τμήμα μίξης). 79 Γνωστά από την ανάλυση ευαισθησίας του προβλήματος.
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 101 Εικόνα 2.20 Μεταβολή του ύψους των εβδομαδιαίων κερδών Z σε σχέση με τις διαθέσιμες ώρες b 1 στο τμήμα μίξης. ωρών από τις 120 (πέμπτη γραμμή), θα ρίξει την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από τις 600 μονάδες στις 0, με το ρυθμό να είναι 5 μονάδες. Τέλος (έκτη γραμμή), για b 1 < 0 το πρόβλημα γίνεται αδύνατο. Μεταβολές επέρχονται και στη βέλτιστη γραμμή παραγωγής: για τιμές του b 1 στο διάστημα [120, 500] παράγονται και τα δύο διαλύματα, για b 1 500 μόνο ΔΛ1, ενώ για b 1 120 μόνο ΔΛ2 80. Το λογισμικό έχει την επιπλέον δυνατότητα γραφικής αναπαράστασης (εικόνα 2.20) της παραμετρικής αναφοράς που δημιούργησε: επίδραση των αυξομειώσεων της τιμής του b 1 στο διάστημα [0, ) πάνω στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Z. Η μεταφορά στο περιβάλλον εργασίας του LINDO του μοντέλου που αναπτύχθηκε για το παράδειγμα 2.10 είναι προφανής (εικόνα 2.21). Για την επίλυσή του, αρκεί να πατήσουμε το κουμπί της γραμμής εργαλείων του προγράμματος. Τότε, στο σχετικό παράθυρο αποτελεσμάτων δημιουργούνται η αναφορά επίλυσης του π.γ.π. και, αν απαντήσουμε θετικά στο σχετικό ερώτημα, η αναφορά ευαισθησίας της λύσης του. 80 Για b 1 = 120, 500 υπάρχουν εναλλακτικές βέλτιστες γραμμές παραγωγής.
102 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας Εικόνα 2.21 Τα παράθυρα εργασίας, κατάστασης και αποτελεσμάτων του παραδείγματος 2.10 στο περιβάλλον του LINDO. Σημειώστε την ονοματολογία μεταβλητών και περιορισμών και το ξεκάθαρο διαχωρισμό των αποτελεσμάτων σε δύο τμήματα : την αναφορά επίλυσης (με τις βέλτιστες, περιθώριες και δυϊκές τιμές) και την αναφορά για την ανάλυση ευαισθησίας (αντικειμενικών συντελεστών και δεξιών μελών).
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 103 Η αναφορά επίλυσης χωρίζεται σε τρία τμήματα. Το πρώτο αφορά την αντικειμενική συνάρτηση, το δεύτερο τις μεταβλητές, ενώ το τρίτο τους περιορισμούς. Αρχικά, το λογισμικό δίνει την τιμή Z της αντικειμενικής συνάρτησης για τη άριστη λύση (OBJECTIVE FUNCTION VALUE 50500) καθώς επίσης και το πλήθος των βημάτων που πραγματοποίησε η μέθοδος Simplex για να φτάσει σ αυτή (LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3). Επειδή στο LINDO η αντικειμενική συνάρτηση θεωρείται ως η πρώτη εξίσωση του προβλήματος, πριν τη βέλτιστη τιμή του Z εμφανίζεται ο αριθμός 1. Στη συνέχεια, για την κάθε μεταβλητή τυπώνεται η βέλτιστη τιμή της (VALUE) και το αντίστοιχο κόστος ευκαιρίας (REDUCED COST). Συνεπώς, και σύμφωνα με το γραμμικό πρότυπο που αναπτύχθηκε στη σελίδα 65, η γραμμή παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος σχηματίζεται από την παραγωγή 4.5 τρακτέρ και 7 γερανών. Ακολουθούν οι τιμές των περιθώριων μεταβλητών (SLACK OR SUR- PLUS) για τον κάθε περιορισμό, και, δίπλα ακριβώς, οι δυϊκές (DUAL PRI- CES). Αν στους περιορισμούς του προβλήματος δεν είχαν αποδοθεί ονόματα, τότε οι σειρές αυτές θα είχαν αριθμηθεί αυτόματα από το 2 μέχρι το 6. Η πλεονάζουσα μεταβλητή του τρίτου περιορισμού ισούται με 70 και συνεπώς η άριστη λύση δημιουργεί ένα (εβδομαδιαίο) πλεόνασμα 70 ωρών στο στάδιο του ποιοτικού ελέγχου. Ανάλογα, από τις τιμές των περιθώριων μεταβλητών του 4ου (= 16.5) και 5ου περιορισμού (= 6.5) συμπεραίνουμε ότι στην ευρεθείσα λύση της βέλτιστης εβδομαδιαίας παραγωγής υπάρχει πλεόνασμα 16.5 : 3 = 5.5 γερανών (σε σχέση με τον απαιτούμενο συνδυασμό τρακτέρ-γερανών) και 6.5 οχημάτων 81 (σε σχέση με τις εξασφαλισμένες πωλήσεις). Η δυϊκή τιμή που αντιστοιχεί στον 1ο περιορισμό είναι ίση με 150, στον 2ο περιορισμό με 175, ενώ στον 3ο, 4ο και 5ο περιορισμό ισούται με 0. Επομένως, για κάθε επιπλέον ώρα που θα εξασφαλίζει η αυτοκινητοβιομηχανία στο στάδιο Α, θα αυξάνει τα κέρδη της κατά 150 χ.μ. Ανάλογα, κάθε επιπλέον ώρα στο τμήμα Β θα αυξάνει τα κέρδη κατά 175 χ.μ. Το γεγονός αυτό, έχει ισχύ μόνο σ' ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών που προσδιορίζεται στη συνέχεια, στην ανάλυση ευαισθησίας των δεξιών μελών. Η ανάλυση ευαισθησίας της ευρεθείσας βέλτιστης λύσης έχει τίτλο RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED και σχηματίζεται από 81 Φανερά, πρόκειται για τους 5.5 γερανούς της περιθώριας τιμής του 4ου περιορισμού και 1 τρακτέρ.
104 Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας δύο μέρη τα οποία περιγράφονται διεξοδικά στη συνέχεια. Το τμήμα που επιγράφεται OBJ COEFFICIENT RANGES αφορά την ανάλυση ευαισθησίας των αντικειμενικών συντελεστών c j του προβλήματος. Για την κάθε μεταβλητή, στη στήλη CURRENT COEF δίνεται ο αντίστοιχος αντικειμενικός συντελεστής, ενώ οι στήλες ALLOWABLE INCREASE και ALLOWABLE DECREASE δίνουν τη μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση και ελάττωσή του η οποία δε μεταβάλλει την άριστη λύση: 2333.333 Δc 1 3000 1500.000 Δc 2 3500 (τα εύρη αριστότητας προκύπτουν άμεσα). Επειδή η λύση είναι μη εκφυλισμένη 82 : i) οσάκις η μεταβολή του συντελεστή είναι μικρότερη από τα επιτρεπόμενα όρια, η τρέχουσα βέλτιστη λύση παραμένει η μοναδική βέλτιστη λύση του προβλήματος. ii) αν κάποιος συντελεστής αυξηθεί όσο επιτρέπεται να αυξηθεί, τότε το πρόβλημα αποκτά εναλλακτική βέλτιστη λύση στην οποία, αν πρόκειται για πρόβλημα μεγιστοποίησης όπως εδώ, η αντίστοιχη μεταβλητή θα έχει μεγαλύτερη τιμή (μικρότερη σε προβλήματα ελαχιστοποίησης). iii) αν κάποιος συντελεστής ελαττωθεί όσο επιτρέπεται να ελαττωθεί, τότε το πρόβλημα αποκτά εναλλακτική βέλτιστη λύση, στην οποία, σε προβλήματα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) η αντίστοιχη μεταβλητή θα έχει μικρότερη (μεγαλύτερη) τιμή. Στο τμήμα των αποτελεσμάτων που επιγράφεται RIGHTHAND SIDE RANGES βρίσκεται η ανάλυση ευαισθησίας για τα δεξιά μέλη των περιορισμών (b i ). Για κάθε περιορισμό, στη στήλη CURRENT RHS δίνεται η τρέχουσα τιμή, ενώ οι στήλες ALLOWABLE INCREASE και ALLOWABLE DECREASE αναφέρουν τη μέγιστη επιτρεπόμενη αύξηση και ελάττωσή του η οποία διατηρεί σταθερές τις δυϊκές τιμές (δε μεταβάλλει την άριστη βάση): 47.143 Δb 1 90 40.000 Δb 2 73.333 Δb 3 70 16.500 Δb 4 Δb 5 6.5 (τα εύρη εφικτότητας προκύπτουν άμεσα). 82 Η λύση ενός π.γ.π. χαρακτηρίζεται ως μη-εκφυλισμένη, όταν το πλήθος των θετικών συνιστωσών της, είτε αυτές αντιστοιχούν σε μεταβλητές απόφασης είτε σε περιθώριες μεταβλητές, ισούται με το πλήθος των περιορισμών του προβλήματος.