ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.. Σταθερό ρεύμα 5 Α μέσω χάλκινου σύρματος ρέει προς δεξαμενή ανοδείωσης. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το τμήμα του σύρματος μήκους, cm, σε ένα σημείο που απέχει από αυτό, m, αν το σημείο βρίσκεται α πάνω σε ευθεία κάθετη στο τμήμα, β πάνω σε ευθεία που σχηματίζει γωνία 3 ο με αυτό, όπως φαίνεται στο σχήμα Σχ... Λύση. α Από τον κανόνα του δεξιού χεριού βρίσκουμε ότι η κατεύθυνση του Β σε κάθε σημείο είναι κάθετη στο επίπεδο της σελίδας, προς τη σελίδα. Κάνοντας χρήση μοναδιαίων διανυσμάτων, έχουμε dl = dl (-i. Για το σημείο Ρ, rˆ j, οπότε στην Εξ. (.4 έχουμε dl rˆ dl( i j dl( k. Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (.3. Στο σημείο Ρ ισχύει dl sin 4 r A m T m A 7 5, sin 9 7 / 8,7 T (, m β Στο σημείο Ρ, dl sin 4 r A m T m A 7 5, sin 3 8 / 4,3 T (, m Σχήμα.
Παράδειγμα.. Το πεδίο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό μεγάλου μήκους. Για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο στο εσωτερικό κυλινδρικού αγωγού ακτίνας σε απόσταση r από τον άξονά του όπως φαίνεται στο Σχ.., επιλέγουμε ως δρόμο ολοκλήρωσης οποιονδήποτε κύκλο ακτίνας r. Λόγω συμμετρίας το Β έχει το ίδιο μέτρο σε κάθε σημείο αυτού του κύκλου και εφάπτεται σε αυτόν. Άρα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι ίσο με Β(πr. Για να υπολογίσουμε το ρεύμα Ι ολ που περικλείεται από το δρόμο, παρατηρούμε ότι η πυκνότητα ρεύματος J (ρεύμα ανά μονάδα επιφάνειας είναι Ι / π, επομένως Ι ολ = J (πr = r /. Τελικά από τον νόμο του Ampere έχουμε dl r r r (.4 Για r =, δηλαδή πάνω στην επιφάνεια του αγωγού η Εξ. (.7 και η Εξ. (.4 συμπίπτουν. Το Σχ..3 δείχνει τη γραφική παράσταση του Β σαν συνάρτηση του r, τόσο στο εσωτερικό όσο και στο εξωτερικό του αγωγού. Σχήμα.. Το πεδίο μέσα σε κυλινδρικό αγωγό μεγάλου μήκους. Σχήμα.3. Το μέτρο του μαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό και στο εξωτερικό ενός ευθύγραμμου κυλινδρικού αγωγού μεγάλου μήκους και ακτίνα που διαρρέεται από ρεύμα Ι.
Παράδειγμα.3. Το πεδίο σε ένα σωληνοειδές πηνίο. Ένα σωληνοειδές αποτελείται από μία συρμάτινη ελικοειδή περιέλιξη γύρω από κύλινδρο, συνήθως κυκλικής διατομής. Στο Σχ..4 φαίνεται ένα σωληνοειδές με μικρό αριθμό σπειρών Ν που διαρρέονται από ρεύμα Ι. Το ολικό πεδίο σε κάθε σημείο είναι το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων που δημιουργούνται από τις επιμέρους σπείρες. Το Σχ..4 δείχνει τις μαγνητικές γραμμές στα επίπεδα και z. Σχήμα.4. Οι γραμμές του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται από το ρεύμα σε ένα σωληνοειδές. Αν το μήκος του σωληνοειδούς είναι μεγάλο σε σύγκριση με τη διάμετρό του, το εσωτερικό πεδίο κοντά στο κέντρο είναι σχεδόν ομογενές σε όλη την έκταση της διατομής και παράλληλο στον άξονα, ενώ το εξωτερικό πεδίο είναι πολύ μικρό. Μπορούμε να χρησιμοποιήσου τον νόμο του Ampere για να βρούμε το πεδίο στο κέντρο και κοντά σε αυτό. Ως δρόμο ολοκλήρωσης επιλέγουμε το ορθογώνιο αbcd του Σχ..5. Η πλευρά αb μήκους L είναι παράλληλη προς τον άξονα του σωληνοειδούς. Οι πλευρές bc και dα θεωρούνται ότι είναι μεγάλου μήκους, οπότε η πλευρά cd βρίσκεται μακριά από το σωληνοειδές, και το πεδίο κατά μήκος αυτής είναι αμελητέο. Λόγω συμμετρίας, το πεδίο Β κατά μήκος της πλευράς αb είναι παράλληλο σε αυτή και σταθερό, δηλαδή για την πλευρά αb ισχύει Β // = Β και dl L Κατά μήκος των πλευρών bc και d ισχύει Β // = επειδή το πεδίο είναι κάθετο σε αυτές. Κατά μήκος της πλευρά cd Β // = επειδή Β =. Επομένως το ολοκλήρωμα dl κατά μήκος μιας πλήρους κλειστής διαδρομή είναι ίσο με L. Έστω ότι η περιέλιξη περιέχει Ν σπείρες ανά μονάδα μήκους. Ο συνολικός αριθμός 3
σπειρών σε μήκος L είναι τότε NL. Καθεμιά από αυτές περνά μέσα από το ορθογώνιο αbcd μία φορά και διαρρέεται από ρεύμα Ι, όπου Ι είναι το ρεύμα στις σπείρες. Άρα το ολικό ρεύμα που περικλείεται από το ορθογώνιο είναι ολ = ΝL. Από τον νόμο του Ampere έχουμε, L = μ ο NLΙ, Β = μ ο NΙ (για σωληνοειδές. Σχήμα.5. Εφαρμογή του νόμου του Ampere για τον καθορισμό του μαγνητικού πεδίου κοντά στο κέντρο σωληνοειδούς μεγάλου μήκους και πυκνής περιέλιξης. Δεδομένου ότι η πλευρά b δεν συμπίπτει αναγκαστικά με τον άξονα του σωληνοειδούς, ο παραπάνω υπολογισμός αποδεικνύει ότι το πεδίο στο κέντρο είναι ομογενές σε όλη την έκταση της διατομής. Για σημεία πάνω στον άξονα, το πεδίο παίρνει τη μεγαλύτερή του τιμή στο κέντρο του σωληνοειδούς και μειώνεται κοντά στα άκρα. Για σωληνοειδή μεγάλου μήκους σε σύγκριση με τη διάμετρό τους, το μέτρο του πεδίου στα άκρα είναι ακριβώς ίσο με το μισό εκείνου στο κέντρο. Για ένα σωληνοειδές μικρού μήκους και μεγάλης διατομής η πιο πάνω σχέση είναι περισσότερο πολύπλοκη. Το Σχήμα.6. Το μέτρο του μαγνητικού πεδίου πάνω σε σημεία του άξονα ενός σωληνοειδούς με μήκος 4α. Σχ..6 δείχνει τη γραφική παράσταση του Β συναρτήσει του πάνω στον άξονα ενός σωληνοειδούς μικρού μήκους. 4
Παράδειγμα.4. Το πεδίο σε ένα δακτυλιοειδές σωληνοειδές πηνίο. Το Σχ..7α δείχνει ένα δακτυλιοειδές σωληνοειδές όπου το σύρμα της περιέλιξης διαρρέεται από ρεύμα Ι. Οι μαύρες καμπύλες στο Σχ..7 β παριστάνουν τους δρόμους ολοκλήρωσης που θα χρειαστούμε στην εφαρμογή του νόμου του Ampere. Ας πάρουμε πρώτα τη διαδρομή. Έστω ότι το πηνίο δημιουργεί κάποιο πεδίο στην περιοχή αυτή. Λόγω συμμετρίας τότε, θα πρέπει να είναι εφαπτόμενο σε όλα τα σημεία του δρόμου, και το dl θα είναι ίσο με το γινόμενο του Β επί την περιφέρεια Ι = πτ της διαδρομής. Όμως, το ολικό ρεύμα που περικλείεται από τον δρόμο είναι μηδέν, κι επομένως σύμφωνα με τον νόμο του Ampere το πεδίο Β πρέπει να είναι μηδέν παντού στην περιοχή αυτή. Εντελώς ανάλογα, αν το πηνίο δημιουργεί κάποιο πεδίο στα σημεία του δρόμου 3, θα πρέπει να είναι επίσης εφαπτόμενο του δρόμου σε όλα του τα σημεία. Κάθε ρεύμα όμως διαπερνά την περικλειόμενη από το δρόμο επιφάνεια δύο φορές σε αντίθετες κατευθύνσεις. Άρα το ολικό ρεύμα, που περικλείεται από τον δρόμο 3 είναι μηδέν, και επομένως Β = σε όλα του τα σημεία. Συμπέρασμα : Το πεδίο του δακτυλιοειδούς σωληνοειδούς πεδίου περιορίζεται αποκλειστικά στον χώρο που περικλείουν οι σπείρες. Τέλος, θεωρούμε τον δρόμο, έναν κύκλο ακτίνας r. Η συμμετρία επιβάλλει και πάλι στο Β να είναι εφαπτόμενο σε όλα τα σημεία του δρόμου, και το dl δίνει πr. Η κάθε σπείρα της περιέλιξης διαπερνά µόνο µία φορά την επιφάνεια που περικλείει ο δρόμος. Το ολικό ρεύμα που περικλείεται από τον δρόμο είναι Ι ολ = ΝΙ, όπου Ν είναι ο ολικός αριθμός σπειρών της περιέλιξης. Ο νόμος του Ampere δίνει τότε, πr Β= μ ΝΙ ή N r (.5 Το μαγνητικό πεδίο δεν είναι ομογενές σε όλη την έκταση της διατομής του πυρήνα επειδή η εξωτερική του ακτίνα είναι μεγαλύτερη της εσωτερικής. Σχήμα.7. Δακτυλιοειδές σωληνοειδές πηνίο Πάντως, αν η διαφορά των δύο ακτίνων είναι μικρή σε σύγκριση µε την ακτίνα r, η μεταβολή του πεδίου πάνω στη 5
διατομή είναι ανεπαίσθητη. Στην περίπτωση αυτή, λαμβάνοντας υπόψη ότι πr είναι το μήκος περιφέρειας του δακτυλιοειδούς σωληνοειδούς και ότι n = Ν/πr είναι ο αριθμός σπειρών ανά μονάδα μήκους, το πεδίο µμπορεί να γραφτεί µε τη μορφή Β = µ ο nι, ακριβώς όπως και το πεδίο στο κέντρο ενός ευθύγραµµου σωληνοειδούς μεγάλου μήκους. Παράδειγμα.5. Το Σχ..8 δείχνει επίπεδη χάλκινη ταινία πλάτους α και αμελητέου πάχους, που διαρέεται από ρεύμα Ι. Βρείτε το μαγνητικό πεδίο σε απόσταση από το κέντρο της ταινίας και κάθετα σ αυτό. Λύση. Ας διαιρέσουμε την ταινία σε μικρά απειροστά νήματα πλάτους d που το καθένα θεωρείται σαν σύρμα με ρεύμα d το οποίο δίνεται από d = (d / α. Η τιμή του d για το πεδίο στο Ρ του Σχ..8, που δημιουργεί το στοιχείο από το νόμο του Ampere είναι: d d d r r όπου τελικά r Σχήμα.8. Επίπεδη ταινία με πλάτος α που διαρέεται από ρεύμα Ι. d d d r Οι συνιστώσες του πεδίου κατά τους άξονες και όπως φαίνονται στο σχήμα είναι d dsin και d dcos ενώ sin και cos Τελικά d d ( και d d ( 6
7 Ολοκληρώνοντας τις πιο πάνω σχέσεις έχουμε και Βλέπουμε ότι μόνο η οριζόντια συνισταμένη του d είναι ενεργός γιατί η κατακόρυφη εξουδετερώνεται από την αντίστοιχη συνιστώσα του συμμετρικού στοιχειώδους σύρματος. Επομένως Β = Β. Για μακρινά σημεία η α / είναι μικρή γωνία για την οποία - α α έτσι έχουμε : Το αποτέλεσμα αυτό το περιμένει κανείς γιατί σε μακρινά σημεία η ταινία δεν ξεχωρίζει από ένα απλό κυλινδρικό σύρμα. 4 ln 4 ln ln ( d d (