The Product Mix Problem

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 1 The Product Mix Problem Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται σε συστήματα τα οποία εκμεταλλευόμενα τους περιορισμένους πόρους που έχουν στη διάθεσή του, παράγουν διάφορα προϊόντα. Η (βέλτιστη) απόφαση που αναζητείται αφορά τον εντοπισμό του πλήθους των τεμαχίων που πρέπει να παράγονται από το κάθε προϊόν -επιλογή συνδυασμού παραγωγής προϊόντων- ώστε να βελτιστοποιείται κάποιο κριτήριο επίδοσης (π.χ. μεγιστοποίηση των κερδών του συστήματος για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο). Μια εταιρεία παράγει τέσσερις τύπους κορνιζών για φωτογραφίες οι οποίες διαφέρουν μεταξύ τους ως προς το σχήμα, το μέγεθος και το υλικό από το οποίο κατασκευάζονται. Για την κατασκευή τους, πέραν φυσικά του χρόνου εργασίας, απαιτείται επίσης μέταλλο και γυαλί: Είδος Κορνίζας Ανθρωποώρες Μέταλλο Γυαλί Τύπος Α 2 4 6 Τύπος Β 1 2 2 Τύπος Γ 3 1 1 Τύπος Δ 2 2 2 Για την εβδομάδα που έρχεται, η εταιρεία έχει εξασφαλίσει 4000 ανθρωποώρες, 6000 κιλά μετάλλου και 10000 κιλά γυαλιού, ενώ ξέρει ότι η αγορά δεν μπορεί να απορροφήσει περισσότερες από 1000 κορνίζες τύπου Α, 2000 κορνίζες τύπου Β, 500 κορνίζες τύπου Γ και 1000 κορνίζες τύπου Δ. Αν το κέρδος (: τιμή πώλησης μείον κόστος παραγωγής και διάθεσης) από την κάθε κορνίζα τύπου Α ανέρχεται στις 4 χρηματικές μονάδες, από την κάθε κορνίζα τύπου Β στις 2 χ.μ., από την κάθε κορνίζα τύπου Γ στις 4 χ.μ. και από την κάθε κορνίζα τύπου Δ στις 3 χ.μ. υποδείξτε τη γραμμή παραγωγής η οποία μεγιστοποιεί το κέρδος. Λύση Ας είναι x 1 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Α που θα κατασκευαστούν, x 2 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Β, x 3 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Γ και x 4 ο αριθμός των κορνιζών τύπου Δ. Τότε το συνολικό κέρδος ανέρχεται σε 4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 χρηματικές μονάδες, και φυσικά θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν αφενός μεν από τη διαθεσιμότητα των αναγκαίων πόρων για την κατασκευή των τεσσάρων τύπων φωτογραφικών κορνιζών (χρόνος εργασίας, ποσότητα μετάλλου, ποσότητα γυαλιού), αφετέρου δε από την απορροφητικότητα της αγοράς. Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος, για την εβδομάδα τη βέλτιστη γραμμή παραγωγής της οποίας αναζητάμε, υπάρχουν διαθέσιμες 4000 ανθρωποώρες, 6000 κιλά μετάλλου και 10000 κιλά γυαλιού. Συνεπώς θα πρέπει: 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 4000 διαθέσιμες ανθρωποώρες 4x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 6000 διαθέσιμη ποσότητα μετάλλου, κιλά 6x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 10000 διαθέσιμη ποσότητα γυαλιού, κιλά Αναφορικά τώρα με την απορροφητικότητα της αγοράς, υπάρχει η δυνατότητα για την πώληση το πολύ 1000 κορνιζών τύπου Α, 2000 κορνιζών τύπου Β, 500 κορνιζών τύπου Γ και 1000 κορνιζών τύπου Δ: x 1 1000 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Α x 2 2000 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Β x 3 500 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Γ x 4 1000 μέγιστες πωλήσεις κορνιζών τύπου Δ

2 Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού Επιπλέον, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η μη αρνητικότητα των μεταβλητών : x 1, x 2, x 3, x 4 0 Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζει η εταιρεία αφορά τον : προσδιορισμό εκείνων των τιμών για τις μεταβλητές x 1, x 2, x 3, x 4 οι οποίες επιτυγχάνουν να maximize Ζ = 4x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 κάτω από τους περιορισμούς: 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 4000 4x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 6000 6x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 10000 x 1 1000 x 2 2000 x 3 500 x 4 1000 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Η μεταφορά του μοντέλου αυτού σ ένα φύλο εργασίας του Excel θα πρέπει να γίνει με την ίδια λογική που αναπτύχθηκε και στο χαρτί (εικόνα 1): Στα κελιά C6:F8 τοποθετούνται τα δεδομένα του προβλήματος που αφορούν την κατανάλωση σε πρώτες ύλες μιας μονάδος του κάθε διαφορετικού προϊόντος (: τύπος φωτογραφικής κορνίζας Α, Β, Γ ή Δ). Στα κελιά J6:J8 βρίσκονται οι διαθέσιμες ποσότητες των τριών πρώτων υλών που χρησιμοποιούνται στη διαδικασία παραγωγής, ενώ στα κελιά C20:F20 η μέγιστη απορροφητικότητα της αγοράς ανά προϊόν. Οι μεταβλητές απόφασης, το πλήθος από τον κάθε τύπο κορνίζας που πρέπει να κατασκευαστεί, βρίσκονται στα κελιά C18:F18. Οι απαιτήσεις σε χρόνο εργασίας για την κατασκευή των x 1 κορνιζών τύπου Α, x 2 κορνιζών τύπου Β, x 3 κορνιζών τύπου Γ και x 4 κορνιζών τύπου Δ βρίσκονται στο κελί Η6: = SUMPRODUCT(C6:F6;C18:F18) Ανάλογες σχέσεις έχουν δοθεί και για τις υπόλοιπες πρώτες ύλες (μέταλλο και γυαλί) στα κελιά Η7:Η8. Το συνολικό κέρδος που πρέπει να μεγιστοποιηθεί, προκύπτει από τη σχέση του κελιού Η11: = SUMPRODUCT(C11:F11;C18:F18) Το μέγιστο δυνατό κέρδος ανέρχεται σε 7200 χ.μ. και προκύπτει από την παραγωγή 1000 κορνιζών τύπου Α, 800 κορνιζών τύπου Β, 400 κορνιζών τύπου Γ και 0 κορνιζών τύπου Δ. Το κέρδος από κάθε κορνίζα τύπου Δ θα πρέπει να αυξηθεί κατά 0.2 χρηματικές μονάδες 1 προκειμένου να ξεκινήσει η παραγωγή του. Η βέλτιστη λύση αφήνει ανεκμετάλλευτα 200 κιλά γυαλιού ενώ ο αντικειμενικός συντελεστής c 1 συμπίπτει με το κάτω άκρο του εύρους αριστότητάς του. Κατά συνέπεια το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. 1 Στο Excel, ως κόστος ευκαιρίας θεωρείται η μείωση που θα υποστεί η τιμή Ζ της αντικειμενικής συνάρτησης αν εξαναγκάσουμε κάποια μεταβλητή να συμμετάσχει στη βέλτιστη λύση: γι αυτό και το αρνητικό πρόσημο -0.2.

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 3 Εικόνα 1. Οι οθόνες μοντελοποίησης, επίλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας ενός product mix παραδείγματος στο περιβάλλον του Excel.

4 Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού Media Selection Το πρόβλημα της επιλογής της (άριστης) σύνθεσης των μέσων μιας διαφημιστικής καμπάνιας αφορά τον προσδιορισμό του αριθμού των καταχωρήσεων/προβολών που πρέπει να γίνουν σε διάφορα μέσα όπως η τηλεόραση, το ραδιόφωνο, οι εφημερίδες, τα περιοδικά, κλπ. έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το πλήθος των ατόμων που θα έρθουν σε επαφή με το διαφημιζόμενο προϊόν. Παράγοντες που λαμβάνονται υπόψη είναι ο συνολικός προϋπολογισμός της εκστρατείας, ο μέγιστος/ελάχιστος αριθμός καταχωρήσεων που μπορούν να γίνουν, τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά των ακροατών του κάθε μέσου, κ.α. Βιομηχανία τροφίμων ήρθε σε επαφή με διαφημιστικό γραφείο προκειμένου να λανσάρει στην αγορά ένα νέο snack για παιδιά. Η διαφήμιση αποφασίστηκε να επικεντρωθεί σε τηλεοπτικά spots παιδικών προγραμμάτων του Σαββάτου, καταχωρήσεις σε εβδομαδιαία οικογενειακά περιοδικά και καταχωρήσεις στα Κυριακάτικα ένθετα των εφημερίδων. Για το σκοπό αυτό το γραφείο συνέταξε ένα σχετικό πίνακα γύρω από το κόστος (ποσά σε ) της κάθε καταχώρησης και την αναμενόμενη απόδοσή 2 της: μέσο καταχώρησης ΤV ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΈΝΘΕΤΑ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΜΠΑΝΙΑΣ 300,000 150,000 100,000 4,000,000 ΑΜΟΙΒΗ ΓΡΑΦΕΙΟΥ 3 90,000 30,000 40,000 1,000,000 ΜΕΓΙΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΣΕΩΝ 5 ΑΠΟΔΟΣΗ 4 130 60 50 Εκτιμήσεις έγιναν, κι αντίστοιχοι στόχοι τέθηκαν, και για την ακροαματικότητα των καταχωρήσεων σε παιδιά και γονείς: μέσο καταχώρησης ΕΛΑΧΙΣΤΕΣ ΤV ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΈΝΘΕΤΑ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΠΑΙΔΙΑ 1,200,000 100,000 0 5,000,000 ΓΟΝΕΙΣ 500,000 200,000 200,000 5,000,000 Τέλος, και προκειμένου να εξασφαλιστεί η μέγιστη δυνατή προσέγγιση του κοινού στο νέο προϊόν, αποφασίστηκε να μοιραστούν εκπτωτικά κουπόνια μαζί με τις καταχωρήσεις. Ο κατωτέρω πίνακας καταγράφει την αναμενόμενη χρήση -κόστος- ανά καταχώρηση μαζί με το διαθέσιμο (για το σκοπό αυτό) ποσό: μέσο καταχώρησης ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΤV ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΈΝΘΕΤΑ ΠΟΣΟ ΕΚΠΤΩΤΙΚΟ ΚΟΥΠΟΝΙ 0 40,000 120,000 1,490,000 Αναζητείται ένα γραμμικό μοντέλο για το σχεδιασμό της βέλτιστης διαφημιστικής εκστρατείας (καμπάνιας). Λύση Ας είναι x 1 ο αριθμός των καταχωρήσεων που θα δοθούν στην τηλεόραση, x 2 στα περιοδικά και x 3 στα Κυριακάτικα ένθετα. Τότε, η συνολική απόδοση της καμπάνιας ανέρχεται σε Ζ = 130x 1 + 60x 2 2 Πρόκειται για ειδική μονάδα μέτρησης (exposure unit) η οποία παριστά τη θετική επίδραση μιας διαφήμισης λαμβάνοντας υπόψη διάφορους σχετικούς παράγοντες. 3 Έχουν γίνει οι παραδοχές ότι (i) το κόστος ανάπτυξης για κάθε επιπλέον διαφήμιση σ ένα από τα μέσα καταχώρησης είναι το ίδιο με εκείνο της πρώτης, (ii) η εργασία που γίνεται για κάποιο από τα μέσα καταχώρησης, είναι ανεξάρτητη από την εργασία που γίνεται σε κάποιο από τα υπόλοιπα. 4 Έχει γίνει η παραδοχή ότι κάθε επιπλέον διαφήμιση σ ένα από τα μέσα καταχώρησης παρέχει την ίδια απόδοση με εκείνο της πρώτης.

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 5 Εικόνα 2. Οι οθόνες μοντελοποίησης, επίλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας ενός media selection παραδείγματος στο περιβάλλον του Excel.

6 Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού + 50x 3 μονάδες και φυσικά θα πρέπει να μεγιστοποιηθεί. Οι περιορισμοί του προβλήματος αναφέρονται στη διαθεσιμότητα των πόρων του συστήματος: 300x 1 + 150x 2 + 100x 3 4000 (προϋπολογισμός καταχωρήσεων) 90x 1 + 30x 2 + 40x 3 1000 (προϋπολογ. αμοιβής διαφ. γραφ.) x 1 5 ( χώρος στην τηλεόραση) στην ακροαματικότητα που ζητείται: 1.2x 1 + 0.1x 2 5 (ακροαματικότητα παιδιών) 0.5x 1 + 0.2x 2 + 0.2x 3 5 (ακροαματικότητα γονέων) 3 το κόστος της έκπτωσης που θα χορηγηθεί κατά τη διάρκεια της διαφημιστικής καμπάνιας: 40x 2 + 120x 3 = 1490 στη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών: x 1, x 2, x 3 0. (κόστος έκπτωσης) Στην εικόνα 2 δίνεται το φύλο εργασίας Excel το οποίο κατασκευάστηκε για την επίλυση κι α- νάλυση του προβλήματος. Οι μεταβλητές απόφασης βρίσκονται στα κελιά C26:E26, ενώ η αντικειμενική συνάρτηση στο G20 = SUMPRODUCT(C20:E20; C26:E26). Οι περιορισμοί για τη διαθεσιμότητα των πόρων του συστήματος καταγράφονται στα κελιά G6:G8, οι αντίστοιχοι της ακροαματικότητα στα G12:G13, ενώ η εκπτωτική πολιτική δίνεται στο κελί G17. Η άριστη λύση του προβλήματος υποδεικνύει τη δημιουργία 3 τηλεοπτικών spots, 14 καταχωρήσεων για τα περιοδικά και 7.75 καταχωρήσεων στα Κυριακάτικα ένθετα. Την καμπάνια αναμένεται να τη δούνε 5,850,000 γονείς και 5,000,000 παιδιά, ενώ θα μείνει αδιάθετο ποσό 225,000 του σχετικού προϋπολογισμού. Ειδικό ενδιαφέρον παρουσιάζει η δεκαδική τιμή των 7.75 καταχωρήσεων στα Κυριακάτικα ένθετα. Μπορεί η παραδοχή της διαιρετότητας για το γραμμικό μοντέλο να την καθιστά αποδεκτή αλλά η πρακτική της υλοποίηση είναι αδύνατη. Η προφανής λύση της στρογγυλοποίησης στις 8 καταχωρήσεις δεν ικανοποιεί περιορισμούς του μοντέλου. Αντ αυτού το λογισμικό προσφέρει την ευελιξία δήλωσης των μεταβλητών απόφασης ως ακέραιες. The Blending Problem Το πρόβλημα της μείξης υλικών ήταν από τα πρώτα πεδία εφαρμογής του γραμμικού μοντέλου. Εδώ, δύο ή περισσότερες πρώτες ύλες που περιέχουν κάποια συστατικά αναμειγνύονται προκειμένου να δημιουργηθεί μια σειρά προϊόντων με συγκεκριμένες προδιαγραφές. Ζητούμενο (συνήθως) είναι ο καθορισμός των ποσοτήτων από τις πρώτες ύλες που πρέπει να αναμειχθούν έτσι ώστε τα προϊόντα/μείγματα να παρασκευαστούν με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Το πρόβλημα έχει τις ρίζες του στη βιομηχανία διύλισης πετρελαίου (για την παραγωγή των διαφόρων τύπων βενζίνης), αλλά εμφανίζεται πολύ συχνά στη χημική βιομηχανία (λιπάσματα, ζιζανιοκτόνα), στη βιομηχανία τροφίμων (αναψυκτικά, σούπες, ζωοτροφές), στη βιομηχανία καλλυντικών, τη μεταλλουργία, κ.α. Σ έναν αμπελώνα ετοιμάζονται να αναμείξουν τέσσερις διαφορετικές ποικιλίες σταφυλιών ώστε να παράγουν τρεις τύπους κρασιού. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι διαθεσιμότητες των σταφυλιών (τόνοι) μαζί με κάποιους περιορισμούς που αφορούν το ποσοστό συμμετοχής τους στα τρία μείγματα (κρασιά) και οι τιμές πώλησης των κρασιών (χρηματικές μονάδες ανά τόνο):

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 7 ΠΟΙΚΙΛΙΑ ΣΤΑΦΥΛΙΟΥ ΜΕΙΓΜΑ 1 2 3 4 ΤΙΜΗ ΠΩΛΗΣΗΣ Α τουλάχιστον 75% το πολύ 5% 70,000 Β τουλάχιστον 35% 40,000 Γ τουλάχιστον 50% από 1 & 3, χωρίς περιορισμό για το 2 το πολύ 40% 30,000 ΔΙΑΘ/ΤΗΤΑ 180 250 200 400 Αναζητείται ένα γραμμικό μοντέλο για την εύρεση της βέλτιστης χρήσης των υπαρχόντων σταφυλιών. Λύση Ορίζουμε να είναι x ij οι ποσότητες (τόνοι) της i-ποικιλίας σταφυλιού που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή ενός τόνου του j-κρασιού (i = 1, 2, 3, 4 και j = A, B, Γ). Τότε τα συνολικά έσοδα από την πώληση των τριών κρασιών ανέρχονται σε 70(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A ) + 40(x 1B + x 2B + x 3B + x 4B ) + 30(x 1Γ + x 2Γ + x 3Γ + x 4Γ ) (χρηματικές μονάδες) και πρέπει βέβαια να μεγιστοποιηθούν. Οι περιορισμοί του προβλήματος προκύπτουν από τη διαθεσιμότητα των τεσσάρων ποικιλιών σταφυλιών: x 1A + x 1B + x 1Γ 180 x 2A + x 2B + x 2Γ 250 x 3A + x 3B + x 3Γ 200 x 4A + x 4B + x 4Γ 400 τους κανόνες δημιουργίας του 1ου μείγματος/κρασιού: x 1A + x 2A 0.75(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A ) x 4A 0.05(x 1A + x 2A + x 3A + x 4A ) 3 τους κανόνες δημιουργίας του 2ου μείγματος/κρασιού: x 2B + x 3Β 0.35(x 1B + x 2B + x 3B + x 4B ) τους κανόνες δημιουργίας του 3ου μείγματος/κρασιού: x 1Γ + x 3Γ 0.50(x 1Γ + x 2Γ + x 3Γ + x 4Γ ) x 4Γ 0.40(x 1Γ + x 2Γ + x 3Γ + x 4Γ ) τη μη-αρνητικότητα των μεταβλητών απόφασης: x ij 0 (i = 1, 2, 3, 4 και j = A, B, Γ) Στην εικόνα 3 δίνεται το φύλο εργασίας Excel το οποίο κατασκευάστηκε για την επίλυση και ανάλυση του προβλήματος. Οι μεταβλητές απόφασης βρίσκονται στα κελιά B5:D8, ενώ η αντικειμενική συνάρτηση στο E13: = SUMPRODUCT(B9:D9;B13:D13). Σύμφωνα με το πρότυπο του π.γ.π. που αναπτύχθηκε, οι περιορισμοί αφορούν αφενός μεν τις διαθέσιμες ποσότητες σταφυλιών, αφετέρου δε τις οδηγίες μείξης. Προφανώς, οι χρησιμοποιούμενες ποσότητες σταφυλιών Ε5:Ε8 δεν μπορούν να είναι περισσότερες από τις διαθέσιμες που βρίσκονται στα κελιά G5:G8. Ότι αφορά τις οδηγίες μείξης, αυτές χωρίστηκαν σε δύο κατηγορίες: αυτές της μορφής «τουλάχιστον» που καταγράφονται στα κελιά B22:D22 κι εκείνες της μορφής «το πολύ» που βρίσκονται στα κελιά I22:K22. Για παράδειγμα, το ποσοστό των σταφυλιών τύπου 1 και 2 στο κρασί Α είναι

8 Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού Εικόνα 3. Οι οθόνες μοντελοποίησης, επίλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας ενός blending παραδείγματος στο περιβάλλον του Excel.

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 9 ίσο με (Β5 + Β6) και, σύμφωνα με τις οδηγίες, πρέπει να είναι τουλάχιστον το 75% του συνόλου -που βρίσκεται στο κελί Β9- (Β5 + Β6)/Β9 0.75. Πρόκειται όμως για μια μη-γραμμική σχέση, κι έτσι στο κελί Β22 καταγράφεται μια ισοδύναμη γραμμική : (Β5 + Β6) - 0.75Β9. Η ποσότητα του κελιού Β22 όπως κι εκείνες των κελιών C22:D22 (που προκύπτουν με ανάλογο τρόπο) πρέπει να είναι μη-αρνητικές, ενώ οι αντίστοιχες των κελιών I22:K22 μη-θετικές. Η βέλτιστη λύση του προβλήματος ΠΟΙΚΙΛΙΑ ΣΤΑΦΥΛΙΟΥ ΜΕΙΓΜΑ 1 2 3 4 ΣΥΝΟΛΟ Α 176,708 250,000 0,000 22,458 449,167 Β 3,292 0,000 200,000 377,542 580,833 Γ 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 ΣΥΝΟΛΟ 180 250 200 400 η οποία αντιστοιχεί σε έσοδα ύψους 54,675,000 χρηματικών μονάδων, είναι εκφυλισμένη 5. Επιπλέον, επειδή υπάρχουν μη βασικές μεταβλητές με μηδενικό κόστος ευκαιρίας (εικόνα 4), το πρόβλημα έχει εναλλακτικές βέλτιστες λύσεις. Εικόνα 4. Η αναφορά ευαισθησίας του παραδείγματος στο περιβάλλον του Excel. 5 Υπάρχουν μόνον 6 θετικές συνιστώσες ενώ οι περιορισμοί είναι 9.

10 Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού The Portfolio Selection Problem Το πρόβλημα της επιλογής χαρτοφυλακίου αφορά την επιλογή ενός πακέτου εναλλακτικών ε- πενδύσεων (π.χ. μετοχές, ομόλογα, καταθέσεις) για ένα προκαθορισμένο κεφάλαιο. Ο αντικειμενικός σκοπός αφορά (συνήθως) την μεγιστοποίηση της απόδοσης ή/και την ελαχιστοποίηση του επενδυτικού κινδύνου σε μια ορισμένη χρονική περίοδο. Μεγάλη εταιρεία των Η.Π.Α. σκοπεύει να επενδύσει τα ανερχόμενα σε 1,000,000$ κέρδη της. Ο συνεργαζόμενος χρηματιστής πρότεινε να τοποθετηθούν τα χρήματα σε μετοχές εταιρειών πετρελαίου, σε μετοχές βιομηχανιών ατσαλιού και σε κρατικά ομόλογα. Συγκεκριμένα, κατέγραψε πέντε εναλλακτικές προτάσεις και υπολόγισε τις αναμενόμενες ετήσιες αποδόσεις από την κάθε μια από αυτές: Αναμενόμενη Επένδυση σε ετήσια απόδοση (%) Atlas Oil 7.3 Past Oil 10.3 Genius Steel 6.4 Heavy Steel 7.5 Κρατικά ομόλογα 4.5 Η εταιρεία αποφάσισε τελικά να πραγματώσει την επένδυση μέσα όμως στα εξής αυστηρά πλαίσια/κανόνες: i) σε κανένα προϊόν (πετρέλαιο ή ατσάλι) να μην επενδυθεί ποσό μεγαλύτερο των 500,000$, ii) η επένδυση σε κρατικά ομόλογα πρέπει να είναι τουλάχιστον το 25% της επένδυσης που θα γίνει στις βιομηχανίες ατσαλιού, iii) η επένδυση στην Past Oil, η πιο προσοδοφόρα αλλά και πιο ριψοκίνδυνη από όλες, δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από το 60% της συνολικής επένδυσης στις βιομηχανίες πετρελαίου. Υποδείξτε ένα π.γ.π. για την εύρεση του καταμερισμού των χρημάτων στις προτεινόμενες προτάσεις σε τρόπο ώστε να μεγιστοποιείται η αναμενόμενη ετήσια επένδυση. Λύση Μεταβλητές. Ο χρηματιστής αναζητεί το ποσό των χρημάτων ($) που θα πρέπει να επενδυθεί σε κάθε μία από τις πέντε προτάσεις που έχει κάνει. Επομένως, μεταβλητές απόφασης είναι το ποσό x 1 που θα επενδυθεί στην Atlas Oil, x 2 στην Past Oil, x 3 στην Genius Steel, x 4 στην Heavy Steel και x 5 σε κρατικά ομόλογα. Αντικειμενική συνάρτηση. Συμβολίζοντας με Ζ τη συνολική ετήσια απόδοση της επένδυσης, στόχος του χρηματιστή είναι η εύρεση εκείνων των ποσών x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 τα οποία θα μεγιστοποιήσουν τη συνάρτηση: Ζ = 0.073x 1 + 0.103x 2 + 0.064x 3 + 0.075x 4 + 0.045x 5 Περιορισμοί. Εξ αιτίας των οδηγιών που δόθηκαν από την εταιρεία στο χρηματιστή θα πρέπει σε κανένα προϊόν (πετρέλαιο ή ατσάλι) να μην επενδυθεί ποσό μεγαλύτερο των 500,000$: x 1 + x 2 500,000 (μέγιστη επένδυση στις εταιρείες πετρελαίου) x 3 + x 4 500,000 (μέγιστη επένδυση στις βιομηχανίες ατσαλιού) η επένδυση σε κρατικά ομόλογα πρέπει να είναι τουλάχιστον ίση με το 25% της επένδυσης που θα γίνει στις βιομηχανίες ατσαλιού: x 5 0.25(x 3 + x 4 ) -0.25x 3-0.25x 4 + x 5 0

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 11 3 η επένδυση στην Past Oil να μην είναι μεγαλύτερη από το 60% της συνολικής επένδυσης στις ε- ταιρείες πετρελαίου: x 2 0.60(x 1 + x 2 ) -0.60x 1 + 0.40x 2 0 το συνολικό ποσό που θα επενδυθεί πρέπει να ισούται με το διαθέσιμο των 1,000,000$: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1,000,000 τέλος, τα επενδυόμενα ποσά δε μπορούν να έχουν αρνητικές τιμές: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Συνοψίζοντας, το γραμμικό μοντέλο για το πρόβλημα βελτιστοποίησης της επένδυσης αφορά τον : προσδιορισμό του ποσού ($) x 1 που θα πρέπει να επενδυθεί στην Atlas Oil, x 2 στην Past Oil, x 3 στην Genius Steel, x 4 στην Heavy Steel και x 5 σε κρατικά ομόλογα σε τρόπο ώστε maximize Ζ = (0.073x 1 + 0.103x 2 + 0.064x 3 + 0.075x 4 + 0.045x 5 ) όταν x 1 + x 2 + 500,000 x 3 + x 4 500,000-0.25x 3-0.25x 4 + x 5 0-0.60x 1 + 0.40x 2 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1,000,000 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Στην εικόνα 5 δίνεται το φύλο εργασίας Excel το οποίο κατασκευάστηκε για την επίλυση κι ανάλυση του προβλήματος. Οι μεταβλητές απόφασης βρίσκονται στα κελιά B14:B18, ενώ η αντικειμενική συνάρτηση στο Β19: = C5*B14 + D5*B15 + E5*B16 + F5*B17 + G5*B18 Οι οδηγίες επένδυσης καταγράφονται στα κελιά I7:I11. Για παράδειγμα, οι τύποι των κελιών Ι7 (επένδυση στις εταιρείες πετρελαίου) και Ι9 (επένδυση σε κρατικά ομόλογα) είναι αντίστοιχα οι: = C7*B14 + D7*B15 = E9*B16 + F9*B17 + G9*B18 Η βέλτιστη λύση του προβλήματος υποδεικνύει ως καλύτερη επένδυση την τοποθέτηση 200,000$ στην Atlas Oil, 300,000$ στην Past Oil, 400,000$ στη Heavy Steel και 100,000$ σε κρατικά ομόλογα. Το συνολικό κέρδος θα ανέρθει τότε σε 80,000$, η ετήσια δηλαδή απόδοση είναι της τάξης του 8%. Η αναφορά ευαισθησίας δίνει όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για την ευαισθησία της άριστης λύσης σε πιθανές αλλαγές των παραμέτρων του προβλήματος : Το κόστος ευκαιρίας για τη μεταβλητή x 3, η οποία έχει στη βέλτιστη λύση τιμή 0, είναι -0.011. Συνεπώς, για να υπάρξει επένδυση στην Genius Steel, η αναμενόμενη ετήσια απόδοσή της πρέπει να γίνει τουλάχιστον 7.5%. Η δυϊκή τιμή του 2ου περιορισμού είναι μηδέν. Επομένως, μεγαλύτερη επομένως επένδυση στις βιομηχανίες ατσαλιού δε μεγαλώνει τα κέρδη. Για την ακρίβεια, η προτεινόμενη επένδυση είναι κατά 100,000$ μικρότερη του ορίου των 500,000$. Ο περιορισμός είναι μη ενεργός (loose). Η δυϊκή τιμή του 5ου περιορισμού που αφορά τη συνολική επένδυση υποδεικνύει ότι η αντικειμενική συνάρτηση θα μεγαλώνει κατά 0.069$ για κάθε επιπλέον δολάριο που είναι δυνατόν να επενδυθεί. Άρα, αν είναι δυνατή η εύρεση κεφαλαίων με κόστος λιγότερο του 6.9% είναι προς το συμφέρον της εταιρείας η απόκτησή τους και η εν συνεχεία τοποθέτησή τους στη συγκεκρι-

12 Θέματα Εργασίας Γραμμικού Προγραμματισμού Εικόνα 5. Οι οθόνες μοντελοποίησης, επίλυσης και ανάλυσης ευαισθησίας ενός portfolio selection παραδείγματος στο περιβάλλον του Excel.

Προσδιοριστικές Μέθοδοι Επιχειρησιακής Έρευνας 13 μένη επένδυση (για άλλα 125,000$). Από την άλλη μεριά, η εταιρεία θα χάνει 0.069$ για κάθε λιγότερο δολάριο που επενδύεται (και μέχρι των 500,000$). Ανάλογη συζήτηση μπορεί να γίνει και για τις υπόλοιπες δυϊκές τιμές. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον τέλος παρουσιάζει η δυϊκή τιμή του 3ου περιορισμού (κρατικά ομόλογα) που έχει τιμή -0.024: για κάθε επιπλέον δολάριο που θα επενδύεται σε κρατικά ομόλογα το α- ναμενόμενο συνολικό κέρδος θα μειώνεται κατά 0.024$.