Απειροσ τικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Πρόχειρες Σημειώσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών -

Περιεχόμενα Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες. Θεώρημα Bolzno Weierstrss.αʹ Απόδειξη με χρήση της αρχής του κιβωτισμού 3.3 Ανώτερο και κατώτερο όριο ακολουθίας 4.4 Ακολουθίες Cuchy 8.5 *Παράρτημα: συζήτηση για το αξίωμα της πληρότητας.6 Ασκήσεις Σειρές πραγματικών αριθμών 5. Σύγκλιση σειράς 5. Σειρές με μη αρνητικούς όρους 9.αʹ Σειρές με φθίνοντες μη αρνητικούς όρους.βʹ Ο αριθμός e.3 Γενικά κριτήρια 4.3αʹ Απόλυτη σύγκλιση σειράς 4.3βʹ Κριτήρια σύγκρισης 5.3γʹ Κριτήριο λόγου και κριτήριο ρίζας 7.3δʹ Το κριτήριο του Dirichlet 9.3εʹ *Δεκαδική παράσταση πραγματικών αριθμών 3.4 Δυναμοσειρές 35.5 Ασκήσεις 37 3 Ομοιόμορφη συνέχεια 43 3. Ομοιόμορφη συνέχεια 43 3. Χαρακτηρισμός της ομοιόμορφης συνέχειας μέσω ακολουθιών 46 3.3 Συνεχείς συναρτήσεις σε κλειστά διαστήματα 48 3.4 Συστολές θεώρημα σταθερού σημείου 5 3.5 Ασκήσεις 5 4 Ολοκλήρωμα Riemnn 55 4. Ο ορισμός του Drboux 55 4. Το κριτήριο ολοκληρωσιμότητας του Riemnn 58 4.3 Δύο κλάσεις Riemnn ολοκληρώσιμων συναρτήσεων 63 4.4 Ιδιότητες του ολοκληρώματος Riemnn 65 4.5 Ο ορισμός του Riemnn* 7 4.6 Ασκήσεις 75

iv Περιεχόμενα 5 Το θεμελιώδες θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού 8 5. Το θεώρημα μέσης του Ολοκληρωτικού Λογισμού 8 5. Τα θεμελιώδη θεωρήματα του Απειροστικού Λογισμού 8 5.3 Μέθοδοι ολοκλήρωσης 86 5.4 Γενικευμένα ολοκληρώματα 88 5.4αʹ Το κριτήριο του ολοκληρώματος 9 5.5 Ασκήσεις 9 6 Τεχνικές ολοκλήρωσης 95 6. Ολοκλήρωση με αντικατάσταση 95 6.αʹ Πίνακας στοιχειωδών ολοκληρωμάτων 95 6.βʹ Υπολογισμός του f(φ(x))φ (x) dx 95 6.γʹ Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα 96 6.δʹ Υπολογισμός του f(x) dx με την αντικατάσταση x = φ(t) 98 6. Ολοκλήρωση κατά μέρη 99 6.3 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων 6.4 Κάποιες χρήσιμες αντικαταστάσεις 4 6.4αʹ Ρητές συναρτήσεις των cos x και sin x 4 6.4βʹ Ολοκληρώματα αλγεβρικών συναρτήσεων ειδικής μορφής 5 6.5 Ασκήσεις 7 7 Θεώρημα Tylor 7. Θεώρημα Tylor 7. Δυναμοσειρές και αναπτύγματα Tylor 6 7.αʹ Η εκθετική συνάρτηση f(x) = e x 6 7.βʹ Η συνάρτηση f(x) = cos x 6 7.γʹ Η συνάρτηση f(x) = sin x 7 7.δʹ Η συνάρτηση f(x) = ln( + x), x (, ] 8 7.εʹ Η διωνυμική συνάρτηση f(x) = ( + x), x > 9 7.ϛʹ Η συνάρτηση f(x) = rctn x, x 7.3 Συναρτήσεις παραστάσιμες σε δυναμοσειρά 7.4 Ασκήσεις 5 8 Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις 7 8. Ορισμός 7 8. Κυρτές συναρτήσεις ορισμένες σε ανοικτό διάστημα 8 8.3 Παραγωγίσιμες κυρτές συναρτήσεις 3 8.4 Ανισότητα του Jensen 3 8.5 Ασκήσεις 34

Κεφάλαιο Υπακολουθίες και βασικές ακολουθίες. Υπακολουθίες Ορισμός... Εστω ( n ) μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Η ακολουθία (b n ) λέγεται υπακολουθία της ( n ) αν υπάρχει γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών k < k < < k n < k n+ < ώστε (..) b n = kn για κάθε n N. Με άλλα λόγια, οι όροι της (b n ) είναι οι k, k,..., kn,..., όπου k < k < < k n < k n+ <. Γενικά, μια ακολουθία έχει πολλές (συνήθως άπειρες το πλήθος) διαφορετικές υπακολουθίες. Παραδείγματα... Εστω ( n ) μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. (α) Η υπακολουθία ( n ) των «άρτιων όρων» της ( n ) έχει όρους τους Εδώ, k n = n., 4, 6,.... (β) Η υπακολουθία ( n ) των «περιττών όρων» της ( n ) έχει όρους τους Εδώ, k n = n., 3, 5,.... (γ) Η υπακολουθία ( n ) της ( n ) έχει όρους τους Εδώ, k n = n., 4, 9,.... (δ) Κάθε τελικό τμήμα ( m, m+, m+,...) της ( n ) είναι υπακολουθία της ( n ). Εδώ, k n = m + n. Παρατήρηση..3. Εστω (k n ) μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Τότε, k n n για κάθε n N.

Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες Απόδειξη. Με επαγωγή: αφού ο k είναι φυσικός αριθμός, είναι φανερό ότι k. Για το επαγωγικό βήμα υποθέτουμε ότι k m m. Αφού η (k n ) είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε k m+ > k m, άρα k m+ > m. Αφού οι k m+ και m είναι φυσικοί αριθμοί, έπεται ότι k m+ m + (θυμηθείτε ότι ανάμεσα στον m και στον m + δεν υπάρχει άλλος φυσικός). Η επόμενη Πρόταση δείχνει ότι αν μια ακολουθία συγκλίνει σε πραγματικό α- ριθμό τότε όλες οι υπακολουθίες της είναι συγκλίνουσες και συγκλίνουν στον ίδιο πραγματικό αριθμό. Πρόταση..4. Αν n τότε για κάθε υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ισχύει kn. Απόδειξη. Εστω ε >. Αφού n, υπάρχει n = n (ε) N με την εξής ιδιότητα: Για κάθε m n ισχύει m < ε. Από την Παρατήρηση..3 για κάθε n n έχουμε k n n n. Θέτοντας λοιπόν m = k n στην προηγούμενη σχέση, παίρνουμε: Για κάθε n n ισχύει kn < ε. Αυτό αποδεικνύει ότι kn : για το τυχόν ε > βρήκαμε n N ώστε όλοι οι όροι kn, kn +,... της ( kn ) να ανήκουν στο ( ε, + ε). Παρατήρηση..5. Η προηγούμενη Πρόταση είναι πολύ χρήσιμη αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια ακολουθία ( n ) δεν συγκλίνει σε κανέναν πραγματικό αριθμό. Αρκεί να βρούμε δύο υπακολουθίες της ( n ) οι οποίες να έχουν διαφορετικά όρια. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την ( n ) = ( ) n. Τότε, n = ( ) n = και n = ( ) n =. Ας υποθέσουμε ότι n. Οι ( n ) και ( n ) είναι υπακολουθίες της ( n ), πρέπει λοιπόν να ισχύει n και n. Από τη μοναδικότητα του ορίου της ( n ) παίρνουμε = και από τη μοναδικότητα του ορίου της ( n ) παίρνουμε =. Δηλαδή, =. Καταλήξαμε σε άτοπο, άρα η ( n ) δεν συγκλίνει.. Θεώρημα Bolzno Weierstrss Θεώρημα.. (Bolzno Weierstrss). Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει τουλάχιστον μία υπακολουθία που συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Θα δώσουμε δύο αποδείξεις αυτού του Θεωρήματος. Η πρώτη βασίζεται στο γεγονός ότι κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει. Για να βρούμε συγκλίνουσα υπακολουθία μιας φραγμένης ακολουθίας αρκεί να βρούμε μια μονότονη υπακολουθία της. Το τελευταίο ισχύει εντελώς γενικά, όπως δείχνει το επόμενο Θεώρημα: Θεώρημα... Κάθε ακολουθία έχει τουλάχιστον μία μονότονη υπακολουθία. Απόδειξη. Θα χρειαστούμε την έννοια του σημείου κορυφής μιας ακολουθίας. Ορισμός..3. Εστω ( n ) μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι ο m είναι σημείο κορυφής της ( n ) αν m n για κάθε n m. [Για να εξοικειωθείτε με τον ορισμό ελέγξτε τα εξής. Αν η ( n ) είναι φθίνουσα τότε κάθε όρος της είναι σημείο κορυφής της. Αν η ( n ) είναι γνησίως αύξουσα τότε δεν έχει κανένα σημείο κορυφής.]

. Θεωρημα Bolzno Weierstrss 3 Εστω ( n ) μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (α) Η ( n ) έχει άπειρα το πλήθος σημεία κορυφής. Τότε, υπάρχουν φυσικοί αριθμοί k < k < < k n < k n+ < ώστε όλοι οι όροι k,..., kn,... να είναι σημεία κορυφής της ( n ) (εξηγήστε γιατί). Αφού k n < k n+ για κάθε n N, η ( kn ) είναι υπακολουθία της ( n ). Από τον ορισμό του σημείου κορυφής βλέπουμε ότι για κάθε n N ισχύει kn kn+ (έχουμε k n+ > k n και ο kn είναι σημείο κορυφής της ( n )). Δηλαδή, (..) k k kn kn+. Άρα, η υπακολουθία ( kn ) είναι φθίνουσα. (β) Η ( n ) έχει πεπερασμένα το πλήθος σημεία κορυφής. Τότε, υπάρχει N N με την εξής ιδιότητα: αν m N τότε ο m δεν είναι σημείο κορυφής της ( n ) (πάρτε N = k + όπου k το τελευταίο σημείο κορυφής της ( n ) ή N = αν δεν υπάρχουν σημεία κορυφής). Με βάση τον ορισμό του σημείου κορυφής αυτό σημαίνει ότι: αν m N τότε υπάρχει n > m ώστε n > m. Εφαρμόζουμε διαδοχικά το παραπάνω. Θέτουμε k = N και βρίσκουμε k > k ώστε k > k. Κατόπιν βρίσκουμε k 3 > k ώστε k3 > k και ούτω καθεξής. Υπάρχουν δηλαδή k < k < < k n < k n+ < ώστε (..) k < k < < kn < kn+ <. Τότε, η ( kn ) είναι γνησίως αύξουσα υπακολουθία της ( n ). Μπορούμε τώρα να αποδείξουμε το Θεώρημα Bolzno Weierstrss. Απόδειξη του Θεωρήματος... Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία. Από το Θεώρημα.. η ( n ) έχει μονότονη υπακολουθία ( kn ). Η ( kn ) είναι μονότονη και φραγμένη, συνεπώς συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό..αʹ Απόδειξη με χρήση της αρχής του κιβωτισμού Η δεύτερη απόδειξη του Θεωρήματος Bolzno Weierstrss χρησιμοποιεί την αρχή των κιβωτισμένων διαστημάτων. Εστω ( n ) μια φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών. Τότε, υπάρχει κλειστό διάστημα [b, c ] στο οποίο ανήκουν όλοι οι όροι n. Χωρίζουμε το [b, c ] σε δύο διαδοχικά διαστήματα που έχουν το ίδιο μήκος c b τα [ ] [ b, b+c και b+c ], c. Κάποιο από αυτά τα δύο διαστήματα περιέχει άπειρους το πλήθος όρους της ( n ). Παίρνοντας σαν [b, c ] αυτό το υποδιάστημα του [b, c ] έχουμε δείξει το εξής. Υπάρχει κλειστό διάστημα [b, c ] [b, c ] το οποίο περιέχει άπειρους όρους της ( n ) και έχει μήκος (..3) c b = c b. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο: χωρίζουμε το [b, c ] σε δύο διαδοχικά διαστήματα μήκους c b : τα [ ] [ b, b+c και b+c ], c. Αφού το [b, c ] περιέχει άπειρους όρους της ( n ), κάποιο από αυτά τα δύο διαστήματα περιέχει άπειρους το πλήθος όρους της ( n ). Παίρνοντας σαν [b 3, c 3 ] αυτό το υποδιάστημα του [b, c ] έχουμε δείξει το εξής. :

4 Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες Υπάρχει κλειστό διάστημα [b 3, c 3 ] [b, c ] το οποίο περιέχει άπειρους όρους της ( n ) και έχει μήκος (..4) c 3 b 3 = c b = c b. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε ακολουθία ( [b m, c m ] ) κλειστών διαστημάτων που ικανοποιεί τα m N εξής: (i) Για κάθε m N ισχύει [b m+, c m+ ] [b m, c m ]. (ii) Για κάθε m N ισχύει c m b m = (c b )/ m. (iii) Για κάθε m N υπάρχουν άπειροι όροι της ( n ) στο [b m, c m ]. Χρησιμοποιώντας την τρίτη συνθήκη, μπορούμε να βρούμε υπακολουθία ( km ) της ( n ) με την ιδιότητα: για κάθε m N ισχύει km [b m, c m ]. Πράγματι, υπάρχει k N ώστε k [b, c ] για την ακρίβεια, όλοι οι όροι της ( n ) βρίσκονται στο [b, c ]. Τώρα, αφού το [b, c ] περιέχει άπειρους όρους της ( n ), κάποιος από αυτούς έχει δείκτη μεγαλύτερο από k. Δηλαδή, υπάρχει k > k ώστε k [b, c ]. Με τον ίδιο τρόπο, αν έχουν οριστεί k < < k m ώστε ks [b s, c s ] για κάθε s =,..., m, μπορούμε να βρούμε k m+ > k m ώστε km+ [b m+, c m+ ] (διότι, το [b m+, c m+ ] περιέχει άπειρους όρους της ( n )). Ετσι, ορίζεται μια υπακολουθία ( km ) της ( n ) που ικανοποιεί το ζητούμενο. Θα δείξουμε ότι η ( km ) συγκλίνει. Από την αρχή των κιβωτισμένων διαστημάτων (και λόγω της (ii)) υπάρχει μοναδικός R ο οποίος ανήκει σε όλα τα κλειστά διαστήματα [b m, c m ]. Θυμηθείτε ότι lim b m = = lim c m. m m Αφού b m km c m για κάθε m, το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών δείχνει ότι km..3 Ανώτερο και κατώτερο όριο ακολουθίας Σκοπός μας σε αυτήν την Παράγραφο είναι να μελετήσουμε πιο προσεκτικά τις υπακολουθίες μιας φραγμένης ακολουθίας. Θυμηθείτε ότι αν η ακολουθία ( n ) συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό τότε η κατάσταση είναι πολύ απλή. Αν ( kn ) είναι τυχούσα υπακολουθία της ( n ), τότε kn. Δηλαδή, όλες οι υπακολουθίες μιας συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνουν και μάλιστα στο όριο της ακολουθίας. Ορισμός.3.. Εστω ( n ) μια ακολουθία. Λέμε ότι ο x R είναι οριακό σημείο (ή υπακολουθιακό όριο) της ( n ) αν υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn x. Τα οριακά σημεία μιας ακολουθίας χαρακτηρίζονται από το επόμενο Λήμμα. Λήμμα.3.. Ο x είναι οριακό σημείο της ( n ) αν και μόνο αν για κάθε ε > και για κάθε m N υπάρχει n m ώστε n x < ε. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι ο x είναι οριακό σημείο της ( n ). Υπάρχει λοιπόν υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn x.

.3 Ανωτερο και κατωτερο οριο ακολουθιας 5 Εστω ε > και m N. Υπάρχει n N ώστε kn x < ε για κάθε n n. Θεωρούμε τον n = mx{m, n }. Τότε k n n m και n n, άρα kn x < ε. Αντίστροφα: Παίρνουμε ε = και m =. Από την υπόθεση υπάρχει k ώστε k x <. Στη συνέχεια παίρνουμε ε = και m = k +. Εφαρμόζοντας την υπόθεση βρίσκουμε k k + > k ώστε k x <. Επαγωγικά βρίσκουμε k < k < < k n < ώστε kn x < n (κάνετε μόνοι σας το επαγωγικό βήμα). Είναι φανερό ότι kn x. Εστω ( n ) μια φραγμένη ακολουθία. Δηλαδή, υπάρχει M > ώστε n M για κάθε n N. Θεωρούμε το σύνολο (.3.) K = {x R : x είναι οριακό σημείο της ( n )}.. Το K είναι μη κενό. Από το Θεώρημα Bolzno Weierstrss υπάρχει τουλάχιστον μία υπακολουθία ( kn ) της ( n ) που συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Το όριο της ( kn ) είναι εξ ορισμού στοιχείο του K.. Το K είναι φραγμένο. Αν x K, υπάρχει kn x και αφού M kn M για κάθε n, έπεται ότι M x M. Από το αξίωμα της πληρότητας προκύπτει ότι υπάρχουν τα sup K και inf K. επόμενο Λήμμα δείχνει ότι το K έχει μέγιστο και ελάχιστο στοιχείο. Λήμμα.3.3. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία και Τότε, sup K K και inf K K. K = {x R : x είναι οριακό σημείο της ( n )}. Απόδειξη. Εστω = sup K. Θέλουμε να δείξουμε ότι ο είναι οριακό σημείο της ( n ), και σύμφωνα με το Λήμμα.3. αρκεί να δούμε ότι για κάθε ε > και για κάθε m N υπάρχει n m ώστε n < ε. Εστω ε > και m N. Αφού = sup K, υπάρχει x K ώστε ε < x. Ο x είναι οριακό σημείο της ( n ), άρα υπάρχει n m ώστε n x < ε. Τότε, (.3.) n n x + x < ε + ε = ε. Το Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι inf K K. Ορισμός.3.4. Εστω ( n ) μια φραγμένη ακολουθία. Αν K = {x R : x είναι οριακό σημείο της ( n )}, ορίζουμε (i) lim sup n = sup K, το ανώτερο όριο της ( n ), (ii) lim inf n = inf K το κατώτερο όριο της ( n ). Σύμφωνα με το Λήμμα.3.3, το lim sup n είναι το μέγιστο στοιχείο και το lim inf n είναι το ελάχιστο στοιχείο του K αντίστοιχα:

6 Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες Θεώρημα.3.5. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία. Το lim sup n είναι ο μεγαλύτερος πραγματικός αριθμός x για τον οποίο υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) με kn x. Το lim inf n είναι ο μικρότερος πραγματικός αριθμός y για τον οποίο υπάρχει υπακολουθία ( ln ) της ( n ) με ln y. Το ανώτερο και το κατώτερο όριο μιας φραγμένης ακολουθίας περιγράφονται μέσω των περιοχών τους ως εξής: Θεώρημα.3.6. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία πραγματικών αριθμών και έστω x R. Τότε, () x lim sup n αν και μόνο αν: για κάθε ε > το σύνολο {n N : x ε < n } είναι άπειρο. () x lim sup n αν και μόνο αν: για κάθε ε > το σύνολο {n N : x + ε < n } είναι πεπερασμένο. (3) x lim inf n αν και μόνο αν: για κάθε ε > το σύνολο {n N : n < x + ε} είναι άπειρο. (4) x lim inf n αν και μόνο αν: για κάθε ε > το σύνολο {n N : n < x ε} είναι πεπερασμένο. (5) x = lim sup n αν και μόνο αν: για κάθε ε > το {n N : x ε < n } είναι άπειρο και το {n N : x + ε < n } είναι πεπερασμένο. (6) x = lim inf n αν και μόνο αν: για κάθε ε > το {n N : n < x + ε} είναι άπειρο και το {n N : n < x ε} είναι πεπερασμένο. Απόδειξη. (: ) Εστω ε >. Υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) με kn lim sup n, άρα υπάρχει n ώστε για κάθε n n (.3.3) kn > lim sup n ε x ε. Επεται ότι το {n : n > x ε} είναι άπειρο. (: ) Εστω ε >. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν k < k < < k n < με kn > x + ε. Τότε, η υπακολουθία ( kn ) της ( n ) έχει όλους τους όρους της μεγαλύτερους από x + ε. Μπορούμε να βρούμε συγκλίνουσα υπακολουθία ( ksn ) της ( kn ) (από το Θεώρημα Bolzno Weierstrss) και τότε ksn y x + ε. Ομως τότε, η ( ksn ) είναι υπακολουθία της ( n ) (εξηγήστε γιατί), οπότε (.3.4) lim sup n y x + ε lim sup n + ε. Αυτό είναι άτοπο. Άρα, το {n : n > x + ε} είναι πεπερασμένο. (: ) Εστω ότι x > lim sup n. Τότε υπάρχει ε > ώστε αν y = x ε να έχουμε x > y > lim sup n. Από την υπόθεσή μας, το {n N : y < n } είναι άπειρο. Ομως y > lim sup n οπότε από την (: ) το σύνολο {n N : y < n } είναι πεπερασμένο (γράψτε y = lim sup n + ε για κάποιο ε > ). Οι δύο ισχυρισμοί έρχονται σε αντίφαση. (: ) Ομοια, υποθέτουμε ότι x < lim sup n και βρίσκουμε y ώστε x < y < lim sup n. Αφού y > x, συμπεραίνουμε ότι το {n N : y < n } είναι πεπερασμένο (αυτή είναι η υπόθεσή μας) και αφού y < lim sup n συμπεραίνουμε ότι το {n N : y < n } είναι άπειρο (από την (: ).) Ετσι καταλήγουμε σε άτοπο. Η (5) είναι άμεση συνέπεια των () και (). Για τις (3), (4) και (6) εργαζόμαστε όμοια. Μια εναλλακτική περιγραφή των lim sup n και lim inf n δίνεται από το επόμενο θεώρημα:

.3 Ανωτερο και κατωτερο οριο ακολουθιας 7 Θεώρημα.3.7. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία. (α) Θέτουμε b n = sup{ k : k n}. Τότε, lim sup n = inf{b n : n N}. (β) Θέτουμε γ n = inf{ k : k n}. Τότε, lim inf n = sup{γ n : n N}. Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα ότι οι αριθμοί inf{b n : n N} και sup{γ n : n N} ορίζονται καλά: Για κάθε n N, ισχύει γ n n b n (εξηγήστε γιατί). Επίσης, η (b n ) είναι φθίνουσα, ενώ η ( n ) είναι αύξουσα (εξηγήστε γιατί). Αφού η ( n ) είναι φραγμένη, έπεται ότι η (b n ) είναι φθίνουσα και κάτω φραγμένη, ενώ η (γ n ) είναι αύξουσα και άνω φραγμένη. Από το θεώρημα σύγκλισης μονότονων ακολουθιών συμπεραίνουμε ότι b n inf{b n : n N} := b και γ n sup{γ n : n N} := γ. Θα δείξουμε ότι lim sup n = b. Από το Λήμμα.3.3 υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) με kn lim sup n. Ομως, kn b kn και b kn b (εξηγήστε γιατί). Άρα, (.3.5) lim sup n = lim kn lim b kn = b. Για την αντίστροφη ανισότητα δείχνουμε ότι ο b είναι οριακό σημείο της ( n ). Εστω ε > και έστω m N. Αφού b n b, υπάρχει n m ώστε b b n < ε. Αλλά, b n = sup{ k : k n}, άρα υπάρχει k n m ώστε b n k > b n ε δηλαδή b n k < ε. Επεται ότι (.3.6) b k b b n + b n k < ε + ε = ε. Από το Λήμμα.3. ο b είναι οριακό σημείο της ( n ), και συνεπώς, b lim sup n. Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι lim inf n = γ. Κλείνουμε με έναν χαρακτηρισμό της σύγκλισης για φραγμένες ακολουθίες. Θεώρημα.3.8. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία. Η ( n ) συγκλίνει αν και μόνο αν lim sup n = lim inf n. Απόδειξη. Αν n τότε για κάθε υπακολουθία ( kn ) της ( n ) έχουμε kn. Επομένως, ο είναι το μοναδικό οριακό σημείο της ( n ). Εχουμε K = {}, άρα lim sup n = lim inf n =. Αντίστροφα: έστω ε >. Από το Θεώρημα.3.6 ο αριθμός = lim sup n = lim inf n έχει την εξής ιδιότητα: Τα σύνολα {n N : n < ε} και {n N : n > + ε} είναι πεπερασμένα. Δηλαδή, το σύνολο (.3.7) {n N : n > ε} είναι πεπερασμένο. Ισοδύναμα, υπάρχει n N με την ιδιότητα: για κάθε n n, n ε. Αφού το ε > ήταν τυχόν, έπεται ότι n.

8 Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες Παρατήρηση.3.9. Ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία ( n ) δεν είναι φραγμένη. Αν η ( n ) δεν είναι άνω φραγμένη, τότε υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn + (άσκηση). Με άλλα λόγια, ο + είναι «οριακό σημείο» της ( n ). Σε αυτήν την περίπτωση είναι λογικό να ορίσουμε lim sup n = +. Εντελώς ανάλογα, αν η ( n ) δεν είναι κάτω φραγμένη, τότε υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn (άσκηση). Δηλαδή, ο είναι «οριακό σημείο» της ( n ). Τότε, ορίζουμε lim inf n =..4 Ακολουθίες Cuchy Ο ορισμός της ακολουθίας Cuchy έχει σαν αφετηρία την εξής παρατήρηση: ας υποθέσουμε ότι n. Τότε, οι όροι της ( n ) είναι τελικά «κοντά» στο, άρα είναι τελικά και «μεταξύ τους κοντά». Για να εκφράσουμε αυστηρά αυτή την παρατήρηση, ας θεωρήσουμε τυχόν ε >. Υπάρχει n = n (ε) N ώστε για κάθε n n να ισχύει n < ε. Τότε, για κάθε n, m n έχουμε (.4.) n m n + m < ε + ε = ε. Ορισμός.4.. Μια ακολουθία ( n ) λέγεται ακολουθία Cuchy (ή βασική ακολουθία) αν για κάθε ε > υπάρχει n = n (ε) N ώστε: (.4.) αν m, n n (ε), τότε n m < ε. Παρατήρηση.4.. Αν η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy, τότε για κάθε ε > υπάρχει n = n (ε) N ώστε (.4.3) αν n n (ε), τότε n n+ < ε. Το αντίστροφο δεν ισχύει: αν, από κάποιον δείκτη και πέρα, διαδοχικοί όροι είναι κοντά, δεν έπεται αναγκαστικά ότι η ακολουθία είναι Cuchy. Για παράδειγμα, θεωρήστε την (.4.4) n = + + + n. Τότε, (.4.5) n+ n = όταν n, όμως (.4.6) n n = n + + + n n = + n + n n όταν n, απ όπου βλέπουμε ότι η ( n ) δεν είναι ακολουθία Cuchy. Πράγματι, αν η ( n ) ήταν ακολουθία Cuchy, θα έπρεπε (εφαρμόζοντας τον ορισμό με ε = ) για μεγάλα n, m = n να ισχύει (.4.7) n n < δηλαδή n <, το οποίο οδηγεί σε άτοπο.

.4 Ακολουθιες Cuchy 9 Σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι συγκλίνουσα αν και μόνο αν είναι ακολουθία Cuchy. Η απόδειξη γίνεται σε τρία βήματα. Πρόταση.4.3. Κάθε ακολουθία Cuchy είναι φραγμένη. Απόδειξη. Εστω ( n ) ακολουθία Cuchy. Πάρτε ε = > στον ορισμό: υπάρχει n N ώστε n m < για κάθε n, m n. Ειδικότερα, n n < για κάθε n > n. Δηλαδή, (.4.8) n < + n για κάθε n > n. Θέτουμε M = mx{,..., n, + n } και εύκολα επαληθεύουμε ότι n M για κάθε n N. Πρόταση.4.4. Αν μια ακολουθία Cuchy ( n ) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία, τότε η ( n ) συγκλίνει. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy και ότι η υπακολουθία ( kn ) συγκλίνει στο R. Θα δείξουμε ότι n. Εστω ε >. Αφού kn, υπάρχει n N ώστε: για κάθε n n, (.4.9) kn < ε. Αφού η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy, υπάρχει n N ώστε: για κάθε n, m n (.4.) n m < ε. Θέτουμε n = mx{n, n }. Εστω n n. Τότε k n n n n, άρα (.4.) kn < ε. Επίσης k n, n n n, άρα (.4.) kn n < ε. Επεται ότι (.4.3) n n kn + kn < ε + ε = ε. Δηλαδή, n < ε για κάθε n n. Αυτό σημαίνει ότι n. Θεώρημα.4.5. Μια ακολουθία ( n ) συγκλίνει αν και μόνο αν είναι ακολουθία Cuchy. Απόδειξη. Η μία κατεύθυνση αποδείχτηκε στην εισαγωγή αυτής της παραγράφου: αν υποθέσουμε ότι n και αν θεωρήσουμε τυχόν ε >, υπάρχει n = n (ε) N ώστε για κάθε n n να ισχύει n < ε. Τότε, για κάθε n, m n έχουμε (.4.4) n m n + m < ε + ε = ε.

Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες Άρα, η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy. Για την αντίστροφη κατεύθυνση: έστω ( n ) ακολουθία Cuchy. Από την Πρόταση.4.3, η ( n ) είναι φραγμένη. Από το Θεώρημα Bolzno Weierstrss, η ( n ) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Τέλος, από την Πρόταση.4.4 έπεται ότι η ( n ) συγκλίνει. Αυτό το κριτήριο σύγκλισης είναι πολύ χρήσιμο. Πολλές φορές θέλουμε να εξασφαλίσουμε την ύπαρξη ορίου για μια ακολουθία χωρίς να μας ενδιαφέρει η τιμή του ορίου. Αρκεί να δείξουμε ότι η ακολουθία είναι Cuchy, δηλαδή ότι οι όροι της είναι «κοντά» για μεγάλους δείκτες, κάτι που δεν απαιτεί να μαντέψουμε εκ των προτέρων ποιό είναι το όριο. Αντίθετα, για να δουλέψουμε με τον ορισμό του ορίου, πρέπει ήδη να ξέρουμε ποιο είναι το υποψήφιο όριο (συγκρίνετε τους δύο ορισμούς: «n» και «( n ) ακολουθία Cuchy».).5 *Παράρτημα: συζήτηση για το αξίωμα της πληρότητας Ολη μας η δουλειά ξεκινάει με την «παραδοχή» ότι το R είναι ένα διατεταγμένο σώμα που ικανοποιεί το αξίωμα της πληρότητας: κάθε μη κενό, άνω φραγμένο υποσύνολό του έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Χρησιμοποιώντας την ύπαρξη supremum δείξαμε την Αρχιμήδεια ιδιότητα: ( ) Αν R και ε >, υπάρχει n N ώστε nε >. Χρησιμοποιώντας και πάλι το αξίωμα της πληρότητας, δείξαμε ότι κάθε μονότονη και φραγμένη ακολουθία συγκλίνει. Σαν συνέπεια πήραμε το Θεώρημα Bolzno Weierstrss: κάθε φραγμένη ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Αυτό με τη σειρά του μας επέτρεψε να δείξουμε την «ιδιότητα Cuchy» των πραγματικών αριθμών: ( ) Κάθε ακολουθία Cuchy πραγματικών αριθμών συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Σε αυτήν την παράγραφο θα δείξουμε ότι το αξίωμα της πληρότητας είναι λογική συνέπεια των ( ) και ( ). Αν δηλαδή δεχτούμε το R σαν ένα διατεταγμένο σώμα που έχει την Αρχιμήδεια ιδιότητα και την ιδιότητα Cuchy, τότε μπορούμε να αποδείξουμε το «αξίωμα της πληρότητας» σαν θεώρημα: Θεώρημα.5.. Εστω R ένα διατεταγμένο σώμα που περιέχει το Q και έχει, επιπλέον, τις ακόλουθες ιδιότητες:. Αν R και ε R, ε >, τότε υπάρχει n N ώστε nε >.. Κάθε ακολουθία Cuchy στοιχείων του R συγκλίνει σε στοιχείο του R. Τότε, κάθε μη κενό και άνω φραγμένο A R έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Απόδειξη. Εστω A μη κενό και άνω φραγμένο υποσύνολο του R. Ξεκινάμε με τυχόν στοιχείο A (υπάρχει αφού A ). Εστω b άνω φράγμα του A. Από την Συνθήκη, υπάρχει k N για τον οποίο + k > b. Δηλαδή, υπάρχει φυσικός k με την ιδιότητα (.5.) για κάθε A, < + k. Από την αρχή του ελαχίστου έπεται ότι υπάρχει ελάχιστος τέτοιος φυσικός. Ας τον πούμε k. Τότε,

.5 *Παραρτημα: συζητηση για το αξιωμα της πληροτητας Για κάθε A ισχύει < + k. Υπάρχει A ώστε + (k ). Επαγωγικά θα βρούμε... n... στο A και k n N που ικανοποιούν τα εξής: Για κάθε A ισχύει < n + n + kn n n. kn. n Απόδειξη του επαγωγικού βήματος: Εχουμε n A και από την Συνθήκη υπάρχει ελάχιστος φυσικός k n+ με την ιδιότητα: για κάθε A, (.5.) < n + k n+ n. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει n+ με (.5.3) n + k n+ n n+. Ισχυρισμός : Η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy. Πράγματι, έχουμε (.5.4) n + k n n n < n + k n n, άρα (.5.5) n n < n. Αν λοιπόν n, m N και n < m, τότε m n m m + m m + + n+ n < m + m + + n < n. Αν τα n, m είναι αρκετά μεγάλα, αυτό γίνεται όσο θέλουμε μικρό. Πιο συγκεκριμένα, αν μας δώσουν ε >, υπάρχει n N τ.ω / n < ε, οπότε για κάθε n, m n έχουμε m n < ε. Αφού το R έχει την ιδιότητα Cuchy, υπάρχει ο = lim n. Ισχυρισμός : Ο είναι το ελάχιστο άνω φράγμα του A. (α) Ο είναι άνω φράγμα του A: ας υποθέσουμε ότι υπάρχει A με >. Μπορούμε να βρούμε ε > ώστε > + ε. Ομως, (.5.6) < n + k n n n + n για κάθε n N. Άρα, + ε < n + ( n = + ε lim n + ) n = + ε,

Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες το οποίο είναι άτοπο. (β) Αν είναι άνω φράγμα του A, τότε : έχουμε n για κάθε n N, άρα (.5.7) lim n =. Από τα (α) και (β) είναι σαφές ότι = sup A..6 Ασκήσεις Ομάδα Α. Ερωτήσεις κατανόησης Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντηση σας).. n + αν και μόνο αν για κάθε M > υπάρχουν άπειροι όροι της ( n ) που είναι μεγαλύτεροι από M.. Η ( n ) δεν είναι άνω φραγμένη αν και μόνο αν υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn +. 3. Κάθε υπακολουθία μιας συγκλίνουσας ακολουθίας συγκλίνει. 4. Αν μια ακολουθία δεν έχει φθίνουσα υπακολουθία τότε έχει μια γνησίως αύξουσα υπακολουθία. 5. Αν η ( n ) είναι φραγμένη και n τότε υπάρχουν b και υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn b. 6. Υπάρχει φραγμένη ακολουθία που δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. 7. Αν η ( n ) δεν είναι φραγμένη, τότε δεν έχει φραγμένη υπακολουθία. 8. Εστω ( n ) αύξουσα ακολουθία. Κάθε υπακολουθία της ( n ) είναι αύξουσα. 9. Αν η ( n ) είναι αύξουσα και για κάποια υπακολουθία ( kn ) της ( n ) έχουμε kn, τότε n.. Αν n τότε υπάρχει υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε n kn. Ομάδα Β. Εστω ( n ) μια ακολουθία. Δείξτε ότι n αν και μόνο αν οι υπακολουθίες ( k ) και ( k ) συγκλίνουν στο.. Εστω ( n ) μια ακολουθία. Υποθέτουμε ότι οι υπακολουθίες ( k ), ( k ) και ( 3k ) συγκλίνουν. Δείξτε ότι: (α) lim k = lim k = lim k k (β) Η ( n ) συγκλίνει. k 3k. 3. Εστω ( n ) μια ακολουθία. Υποθέτουμε ότι n n+ n+ n για κάθε n N και ότι lim n ( n n ) =. Τότε η ( n ) συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό που ικανοποιεί την n n για κάθε n N.

.6 Ασκησεις 3 4. Εστω ( n ) μια ακολουθία και έστω (x k ) ακολουθία οριακών σημείων της ( n ). Υποθέτουμε οτι x k x. Δείξτε οτι ο x είναι οριακό σημείο της ( n ). 5. Δείξτε ότι η ακολουθία ( n ) δεν συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό, αν και μόνο αν υπάρχουν ε > και υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn ε για κάθε n N. 6. Εστω ( n ) ακολουθία πραγματικών αριθμών και έστω R. Δείξτε ότι n αν και μόνο αν κάθε υπακολουθία της ( n ) έχει υπακολουθία που συγκλίνει στο. 7. Ορίζουμε μια ακολουθία ( n ) με > και n+ = + + n. Δείξτε ότι οι υπακολουθίες ( k ) και ( k ) είναι μονότονες και φραγμένες. Βρείτε, αν υπάρχει, το lim n n. 8. Βρείτε το ανώτερο και το κατώτερο όριο των ακολουθιών ( n = ( ) n+ + ), n ( πn ) b n = cos + 3 n +, γ n = n (( ) n + ) + n +. n + 9. Εστω ( n ), (b n ) φραγμένες ακολουθίες. Δείξτε οτι lim inf n + lim inf b n lim inf( n + b n ). Εστω n >, n N. (α) Δείξτε οτι lim sup( n + b n ) lim sup n + lim sup b n. lim inf n+ n lim inf n n lim sup n n lim sup n+ n. (β) Αν lim n+ n = x, τότε n n x.. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία. Δείξτε οτι lim sup( n ) = lim inf n και lim inf( n ) = lim sup n.. Εστω ( n ) φραγμένη ακολουθία. Αν δείξτε ότι sup X = lim sup n. 3. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα X = {x R : x n για άπειρους n N}, n + + n + + + n,

4 Υπακολουθιες και βασικες ακολουθιες δείξτε ότι η ακολουθία n = + + + n δεν είναι ακολουθία Cuchy. Συμπεράνατε ότι n +. 4. Εστω < µ < και ακολουθία ( n ) για την οποία ισχύει n+ n µ n n, n. Δείξτε ότι η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy. 5. Ορίζουμε =, = b και n+ = n+n, n. Εξετάστε αν η ( n ) είναι ακολουθία Cuchy. Ομάδα Γ 6. Εστω m N. Βρείτε μια ακολουθία ( n ) η οποία να έχει ακριβώς m διαφορετικές υπακολουθίες. 7. Εστω ( n ) μια ακολουθία. Αν sup{ n : n N} = και n για κάθε n N, τότε υπάρχει γνησίως αύξουσα υπακολουθία ( kn ) της ( n ) ώστε kn. 8. Εστω ( n ) ακολουθία θετικών αριθμών. Θεωρούμε το σύνολο A = { n : n N}. Αν inf A =, δείξτε ότι η ( n ) έχει φθίνουσα υπακολουθία που συγκλίνει στο. 9. Ορίζουμε μια ακολουθία ως εξής: =, n+ = + n, n = n. Βρείτε όλα τα οριακά σημεία της ( n ). [Υπόδειξη: Γράψτε τους δέκα πρώτους όρους της ακολουθίας.] 3. Εστω (x n ) ακολουθία με την ιδιότητα x n+ x n. Αν < b είναι δύο οριακά σημεία της (x n ), δείξτε ότι κάθε y [, b] είναι οριακό σημείο της (x n ). [Υπόδειξη: Απαγωγή σε άτοπο.] 3. (α) Εστω A αριθμήσιμο υποσύνολο του R. Δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία ( n ) ώστε κάθε x A να είναι οριακό σημείο της ( n ). (β) Δείξτε ότι υπάρχει ακολουθία (x n ) ώστε κάθε x R να είναι οριακό σημείο της (x n ). 3. Εστω ( n ) μια ακολουθία. Ορίζουμε b n = sup{ n+k n : k N}. Δείξτε ότι η ( n ) συγκλίνει αν και μόνο αν b n. 33. Εστω, b >. Ορίζουμε ακολουθία ( n ) με =, = b και n+ = 4 n+ n, n =,,... 3 Εξετάστε αν η ( n ) συγκλίνει και αν ναι, βρείτε το όριό της.

Κεφάλαιο Σειρές πραγματικών αριθμών. Σύγκλιση σειράς Ορισμός... Εστω ( k ) μια ακολουθία πραγματικών αριθμών. Θεωρούμε την ακολουθία (..) s n = + + n. Δηλαδή, (..) s =, s = +, s 3 = + + 3,... Το σύμβολο k είναι η σειρά με k-οστό όρο τον k. Το άθροισμα s n = n k είναι το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς k και η (s n ) είναι η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς k. Αν η (s n ) συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό s, τότε γράφουμε (..3) s = + + + n + ή s = και λέμε ότι η σειρά συγκλίνει (στο s), το δε όριο s = lim s n είναι το άθροισμα της n σειράς. Αν s n + ή αν s n, τότε γράφουμε k = + ή k = και λέμε ότι η σειρά k αποκλίνει στο + ή στο αντίστοιχα. Αν η (s n ) δεν συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, τότε λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. k k Παρατηρήσεις... (α) Πολλές φορές εξετάζουμε τη σύγκλιση σειρών της μορφής k ή k=m k όπου m. Σε αυτήν την περίπτωση θέτουμε s n+ =

6 Σειρες πραγματικων αριθμων + + + n ή s n m+ = m + m+ + + n (για n m) αντίστοιχα, και εξετάζουμε τη σύγκλιση της ακολουθίας (s n ). (β) Από τους ορισμούς που δώσαμε είναι φανερό ότι για να εξετάσουμε τη σύγκλιση ή απόκλιση μιας σειράς, απλώς εξετάζουμε τη σύγκλιση ή απόκλιση μιας ακολουθίας (της ακολουθίας (s n ) των μερικών αθροισμάτων της σειράς). Ο n-οστός όμως όρος της ακολουθίας (s n ) είναι ένα «άθροισμα με ολοένα αυξανόμενο μήκος», το οποίο αδυνατούμε (συνήθως) να γράψουμε σε κλειστή μορφή. Συνεπώς, η εύρεση του ορίου s = lim s n (όταν αυτό υπάρχει) είναι πολύ συχνά ανέφικτη. Σκοπός μας είναι λοιπόν n να αναπτύξουμε κάποια κριτήρια τα οποία να μας επιτρέπουν (τουλάχιστον) να πούμε αν η (s n ) συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό ή όχι. Πριν προχωρήσουμε σε παραδείγματα, θα δούμε κάποιες απλές προτάσεις που θα χρησιμοποιούμε ελεύθερα στη συνέχεια. Αν έχουμε δύο σειρές k, b k, μπορούμε να σχηματίσουμε τον γραμμικό συνδυασμό τους (λ k + µb k ), όπου λ, µ R. Πρόταση..3. Αν (..4) Απόδειξη. Αν s n = k = s και b k = t, τότε (λ k + µb k ) = λs + µt = λ k + µ b k. n k, t n = n b k και u n = n (λ k + µb k ) είναι τα n-οστά μερικά αθροίσματα των σειρών, τότε u n = λs n + µt n. Αυτό προκύπτει εύκολα από τις ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, αφού έχουμε αθροίσματα με πεπερασμένους το πλήθος όρους. Ομως, s n s και t n t, άρα u n λs + µt. Από τον ορισμό του αθροίσματος σειράς έπεται η (..4). Πρόταση..4. (α) Αν απαλείψουμε πεπερασμένο πλήθος «αρχικών» όρων μιας σειράς, δεν επηρεάζεται η σύγκλιση ή απόκλισή της. (β) Αν αλλάξουμε πεπερασμένους το πλήθος όρους μιας σειράς, δεν επηρεάζεται η σύγκλιση ή απόκλιση της. Απόδειξη. (α) Θεωρούμε τη σειρά k. Με τη φράση «απαλείφουμε τους αρχικούς όρους,,..., m» εννοούμε ότι θεωρούμε την καινούργια σειρά συμβολίσουμε με s n και t n τα n-οστά μερικά αθροίσματα των δύο σειρών αντιστοίχως, τότε για κάθε n m έχουμε k=m (..5) s n = + + + m + m + + n = + + m + t n m+. Άρα η (s n ) συγκλίνει αν και μόνον αν η (t n m+ ) συγκλίνει, δηλαδή αν και μόνον αν η (t n ) συγκλίνει. Επίσης, αν s n s και t n t, τότε s = + + + m + t. Δηλαδή, k. Αν (..6) k = + + m + k. k=m

. Συγκλιση σειρας 7 (β) Θεωρούμε τη σειρά k. Αλλάζουμε πεπερασμένους το πλήθος όρους της ( k ). Θεωρούμε δηλαδή μια νέα σειρά b k που όμως έχει την εξής ιδιότητα: υπάρχει m N ώστε k = b k για κάθε k m. Αν απαλείψουμε τους πρώτους m όρους των δύο σειρών, προκύπτει η ίδια σειρά k=m Πρόταση..5. (α) Αν k = s, τότε n. k. Τώρα, εφαρμόζουμε το (α). (β) Αν η σειρά k συγκλίνει, τότε για κάθε ε > υπάρχει N = N(ε) N ώστε: για κάθε n N, (..7) Απόδειξη. (α) Αν s n = n k=n+ k < ε. k, τότε s n s και s n s. Άρα, (..8) n = s n s n s s =. Στην πραγματικότητα, αυτό που κάνουμε εδώ είναι να θεωρήσουμε μια δεύτερη ακολουθία (t n ) η οποία ορίζεται ως εξής: δίνουμε αυθαίρετη τιμή στον t για παράδειγμα, t = και για κάθε n θέτουμε t n = s n. Τότε, t n s (άσκηση) και για κάθε n έχουμε n = s n t n s s = (εξηγήστε την πρώτη ισότητα). Ενας άλλος τρόπος για να αποδείξουμε ότι n είναι με τον ορισμό. Εστω ε >. Αφού s n s, υπάρχει n N ώστε s n s < ε για κάθε n n. Θέτουμε n = n +. Τότε, για κάθε n n έχουμε n n και n n. Συνεπώς, s s n < ε και s s n < ε, απ όπου έπεται ότι n = s n s n s n s + s s n < ε + ε = ε για κάθε n n. Με βάση τον ορισμό, n. (β) Αν k = s, τότε από την (..6) έχουμε (..9) β n := k=n+ k = s s n καθώς το n. Από τον ορισμό του ορίου ακολουθίας, για κάθε ε > υπάρχει N = N(ε) N ώστε: για κάθε n N, β n < ε. Σημείωση. Το μέρος (α) της Πρότασης..5 χρησιμοποιείται σαν κριτήριο απόκλισης: Αν η ακολουθία ( k ) δεν συγκλίνει στο τότε η σειρά k αναγκαστικά αποκλίνει.

8 Σειρες πραγματικων αριθμων Παραδείγματα (α) Η γεωμετρική σειρά με λόγο x R είναι η σειρά (..) x k. Δηλαδή k = x k, k =,,,.... Αν x = τότε s n = n +, ενώ αν x έχουμε (..) s n = + x + x + + x n = xn+ x. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (i) Αν x τότε k = x k, δηλαδή k. Από την Πρόταση..5(α) βλέπουμε ότι η σειρά (..) αποκλίνει. (ii) Αν x < τότε x n+, οπότε η (..) δείχνει ότι s n x. Δηλαδή, (..) x k = x. (β) Τηλεσκοπικές σειρές. Υποθέτουμε ότι η ακολουθία ( k ) ικανοποιεί την (..3) k = b k b k+ για κάθε k N, όπου (b k ) μια άλλη ακολουθία. Τότε, η σειρά k συγκλίνει αν και μόνον αν η ακολουθία (b k ) συγκλίνει. Πράγματι, έχουμε (..4) s n = + + n = (b b ) + (b b 3 ) + + (b n b n+ ) = b b n+, οπότε b n b αν και μόνον αν s n b b. Σαν παράδειγμα θεωρούμε τη σειρά (..5) k = όπου b k = k. Άρα, k(k+). Τότε, k(k + ) = k k + = b k b k+, Δηλαδή, s n = + + ( n = ) + = n +. ( 3 ) ( + + n ) n + (..6) k(k + ) =.

. Σειρες με μη αρνητικους ορους 9 Θεώρημα..6 (κριτήριο Cuchy). Η σειρά k συγκλίνει αν και μόνο αν ισχύει το εξής: για κάθε ε > υπάρχει N = N(ɛ) N ώστε: αν N m < n τότε n (..7) k = m+ + + n < ε. k=m+ Απόδειξη. Αν s n = + + + n είναι το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς, η σειρά συγκλίνει αν και μόνον αν η (s n ) συγκλίνει. Δηλαδή, αν και μόνον αν η (s n ) είναι ακολουθία Cuchy. Αυτό όμως είναι (από τον ορισμό της ακολουθίας Cuchy) ισοδύναμο με το εξής: για κάθε ε > υπάρχει N = N(ɛ) N ώστε για κάθε N m < n, (..8) m+ + + n = ( + + n ) ( + + m ) = s n s m < ε. Παράδειγμα: Η αρμονική σειρά Εχουμε k = k k. για κάθε k N. Παρατηρούμε ότι: αν n > m τότε (..9) m+ + + n = m + + m + + + n n m n. Εφαρμόζουμε το κριτήριο του Cuchy. Αν η αρμονική σειρά συγκλίνει, τότε, για ε = 4, πρέπει να υπάρχει N N ώστε: αν N m < n τότε (..) m+ + + n < 4. Επιλέγουμε m = N και n = N. Τότε, συνδυάζοντας τις (..9) και (..) παίρνουμε (..) 4 > N+ + + N N N N =, που είναι άτοπο. Άρα, η αρμονική σειρά αποκλίνει. Σημείωση: Το παράδειγμα της αρμονικής σειράς δείχνει ότι το αντίστροφο της Πρότασης..5(α) δεν ισχύει. Αν k δεν είναι απαραίτητα σωστό ότι η σειρά k συγκλίνει.. Σειρές με μη αρνητικούς όρους Σε αυτή την παράγραφο συζητάμε τη σύγκλιση ή απόκλιση σειρών με μη αρνητικούς όρους. Η βασική παρατήρηση είναι ότι αν για την ακολουθία ( k ) έχουμε k για κάθε k N, τότε η ακολουθία (s n ) των μερικών αθροισμάτων είναι αύξουσα: πράγματι, για κάθε n N έχουμε (..) s n+ s n = ( + + n + n+ ) ( + + n ) = n+. Θεώρημα... Εστω ( k ) ακολουθία με k για κάθε k N. Η σειρά k συγκλίνει αν και μόνον αν η ακολουθία (s n ) των μερικών αθροισμάτων είναι άνω φραγμένη. Αν η (s n ) δεν είναι άνω φραγμένη, τότε k = +.

Σειρες πραγματικων αριθμων Απόδειξη. Η (s n ) είναι αύξουσα ακολουθία. Αν είναι άνω φραγμένη τότε συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, άρα η σειρά συγκλίνει. Αν η (s n ) δεν είναι άνω φραγμένη τότε, αφού είναι αύξουσα, έχουμε s n +. Σημείωση. Είδαμε ότι μια σειρά με μη αρνητικούς όρους συγκλίνει ή αποκλίνει στο +. Επιστρέφοντας στο παράδειγμα της αρμονικής σειράς k, βλέπουμε ότι, αφού δεν συγκλίνει, αποκλίνει στο + : (..) k = +. Θα δώσουμε μια απευθείας απόδειξη για το γεγονός ότι η ακολουθία s n = + + + n τείνει στο +. Πιο συγκεκριμένα, θα δείξουμε με επαγωγή ότι ( ) s n + n για κάθε n N. Για n = η ανισότητα ισχύει ως ισότητα: s = +. Υποθέτουμε ότι η ( ) ισχύει για κάποιον φυσικό n. Τότε, s n+ = s n + n + + n + + + n+. Παρατηρήστε ότι ο s n+ s n είναι ένα άθροισμα n το πλήθος αριθμών και ότι ο μικρότερος από αυτούς είναι ο. Συνεπώς, n+ s n+ s n + n n+ = s n + + n + = + n +. Άρα, η ( ) ισχύει για τον φυσικό n +. Επεται ότι s n +. Αφού η (s n ) είναι αύξουσα και έχει υπακολουθία που τείνει στο +, συμπεραίνουμε ότι s n +..αʹ Σειρές με φθίνοντες μη αρνητικούς όρους Πολλές φορές συναντάμε σειρές k των οποίων οι όροι k φθίνουν προς το : k+ k για κάθε k N και k. Ενα κριτήριο σύγκλισης που εφαρμόζεται συχνά σε τέτοιες περιπτώσεις είναι το κριτήριο συμπύκνωσης. Πρόταση.. (Κριτήριο συμπύκνωσης - Cuchy). Εστω ( k ) μια φθίνουσα α- κολουθία με k > και k. Η σειρά k συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά k k συγκλίνει. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι η k k συγκλίνει. Τότε, η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων (..3) t n = + + 4 4 + + n n είναι άνω φραγμένη. Εστω M ένα άνω φράγμα της (t n ). Θα δείξουμε ότι ο M είναι άνω φράγμα για τα μερικά αθροίσματα της k. Εστω s m = + + m. Ο

. Σειρες με μη αρνητικους ορους αριθμός m βρίσκεται ανάμεσα σε δύο διαδοχικές δυνάμεις του : υπάρχει n N ώστε n m < n+. Τότε, χρησιμοποιώντας την υπόθεση ότι η ( k ) είναι φθίνουσα, έχουμε s m = + ( + 3 ) + ( 4 + 5 + 6 + 7 ) + + ( n + + n ) +( n + + m ) + ( + 3 ) + ( 4 + 5 + 6 + 7 ) + + ( n + + n ) M. +( n + + m + + n+ ) + + 4 4 + + n n + n n Αφού η k έχει μη αρνητικούς όρους και η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της είναι άνω φραγμένη, το Θεώρημα.. δείχνει ότι η k συγκλίνει. Αντίστροφα: υποθέτουμε ότι η k συγκλίνει, δηλαδή ότι η (s m ) είναι άνω φραγμένη: υπάρχει M R ώστε s m M για κάθε m N. Τότε, για το τυχόν μερικό άθροισμα (t n ) της σειράς k k έχουμε t n = + + 4 4 + + n n + + ( 3 + 4 ) + + ( n + + + n) = s n M. Αφού η (t n ) είναι άνω φραγμένη, το Θεώρημα.. δείχνει ότι η k k συγκλίνει. Παραδείγματα (α) k, όπου p >. Εχουμε p k = k. Αφού p >, η ( p k ) φθίνει προς το. Θεωρούμε την (..4) k k = k ( k ) p = ( p )k. Η τελευταία σειρά είναι γεωμετρική σειρά με λόγο x p = Είδαμε ότι συγκλίνει αν p x p = <, δηλαδή αν p > και αποκλίνει αν x p p =, δηλαδή αν p. p Από το κριτήριο συμπύκνωσης, η σειρά συγκλίνει αν p > και αποκλίνει στο + αν < p. (β) k(log k), όπου p >. Εχουμε p k = k(log k). Αφού p >, η ( p k ) φθίνει προς k= το. Θεωρούμε την k p (..5) k k = k k (log( k )) p = (log ) p k p.

Σειρες πραγματικων αριθμων Από το προηγούμενο παράδειγμα, αυτή συγκλίνει αν p > και αποκλίνει αν p. Από το κριτήριο συμπύκνωσης, η σειρά συγκλίνει αν p > και αποκλίνει στο + αν < p..βʹ Ο αριθμός e k= k(log k) p Εχουμε ορίσει τον αριθμό e ως το όριο της γνησίως αύξουσας και άνω φραγμένης ακολουθίας α n := ( + n) n καθώς το n. Πρόταση..3. Ο αριθμός e ικανοποιεί την (..6) e = Απόδειξη. Θυμηθείτε ότι! =. Γράφουμε s n για το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς στο δεξιό μέλος: k!. (..7) s n = +! +! + + n!. Από το διωνυμικό ανάπτυγμα, έχουμε ( + n) n = + δηλαδή, ( ) n n + ( ) n n + + ( ) n n n n = + n n(n ) n(n ) (n k + ) + + +! n! n k! n k n(n ) + + n! n n = +! + ( ) + + [( ) ( n )]! n n! n n +! +! + + n!, (..8) α n s n. Εστω n N. Ο προηγούμενος υπολογισμός δείχνει ότι αν k > n τότε ( + ) k = + k! + ( ) + + [(! k n! k + + [( ) ( k )] k! k k +! + ( ) + + [(! k n! k Κρατώντας το n σταθερό και αφήνοντας το k, βλέπουμε ότι ( (..9) e = lim + ) k + k k! +! + + n! = s n. ) ( n )] k ) ( n )]. k

. Σειρες με μη αρνητικους ορους 3 Αφού η αύξουσα ακολουθία (s n ) είναι άνω φραγμένη από τον e, έπεται ότι η (s n ) συγκλίνει και lim s n e. Από την άλλη πλευρά, η (..8) δείχνει ότι e = lim α n n n lim s n. Άρα, n (..) e = lim n s n = όπως ισχυρίζεται η Πρόταση. Χρησιμοποιώντας αυτήν την αναπαράσταση του e, θα δείξουμε ότι είναι άρρητος αριθμός. Πρόταση..4. Ο e είναι άρρητος. k!, Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι ο e είναι ρητός. Τότε, υπάρχουν m, n N ώστε (..) e = m n = Δηλαδή, (..) ( m n = +! + + ) ( + n! k!. (n + )! + + (n + s)! + Πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της (..) με n!, μπορούμε να γράψουμε < A = [ ( m n! n +! + + )] n! = n + + (n + )(n + ) + + (n + ) (n + s) +. Παρατηρήστε ότι, από τον τρόπο ορισμού του, ο [ ( m (..3) A = n! n +! + + )] n! είναι φυσικός αριθμός. Ομως, για κάθε s N έχουμε n + + (n + )(n + ) + + (n + ) (n + s) Άρα, (..4) ). + 6 + 3 + + s < 3 + 8 k = 3 + 4 =. n + + (n + )(n + ) + + (n + ) (n + s) +. Επεται ότι ο φυσικός αριθμός A ικανοποιεί την (..5) < A και έχουμε καταλήξει σε άτοπο.

4 Σειρες πραγματικων αριθμων.3 Γενικά κριτήρια.3αʹ Απόλυτη σύγκλιση σειράς Ορισμός.3.. Λέμε ότι η σειρά k συγκλίνει απολύτως αν η σειρά k συγκλίνει. Λέμε ότι η σειρά k συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως. Η επόμενη πρόταση δείχνει ότι η απόλυτη σύγκλιση είναι ισχυρότερη από την (απλή) σύγκλιση. Πρόταση.3.. Αν η σειρά k συγκλίνει απολύτως, τότε η σειρά k συγκλίνει. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι ικανοποιείται το κριτήριο Cuchy (Θεώρημα..6). Εστω ε >. Αφού η σειρά k συγκλίνει, υπάρχει N N ώστε: για κάθε N m < n, (.3.) n k=m+ k < ε. Τότε, για κάθε N m < n έχουμε n n (.3.) k k < ε. k=m+ k=m+ Άρα η σειρά k ικανοποιεί το κριτήριο Cuchy. Από το Θεώρημα..6, συγκλίνει. Παραδείγματα (α) Η σειρά έχουμε (.3.3) ( ) k k συγκλίνει. Μπορούμε να ελέγξουμε ότι συγκλίνει απολύτως: ( ) k k = k και η τελευταία σειρά συγκλίνει (είναι της μορφής (β) Η σειρά (.3.4) ( ) k k δεν συγκλίνει απολύτως, αφού ( ) k k = k k p με p = > ).

.3 Γενικα κριτηρια 5 (αρμονική σειρά). Μπορούμε όμως να δείξουμε ότι η σειρά συγκλίνει υπό συνθήκη. Θεωρούμε πρώτα το μερικό άθροισμα Επεται ότι s m = m ( ) k (.3.5) s m+ = s m + k = + 3 4 + + m m = + 3 4 + 5 6 + + (m )m. (m + )(m + ) > s m, δηλαδή, η υπακολουθία (s m ) είναι γνησίως αύξουσα. Παρατηρούμε επίσης ότι η (s m ) είναι άνω φραγμένη, αφού (.3.6) s m < + 3 + 5 + + (m ), και το δεξιό μέλος της (.3.6) φράσσεται από το (m )-οστό μερικό άθροισμα της σειράς k η οποία συγκλίνει. Άρα η υπακολουθία (s m ) συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό s. Τότε, (.3.7) s m = s m + m s + = s. Αφού οι υπακολουθίες (s m ) και (s m ) των άρτιων και των περιττών όρων της (s m ) συγκλίνουν στον s, συμπεραίνουμε ότι s n s..3βʹ Κριτήρια σύγκρισης Θεώρημα.3.3 (κριτήριο σύγκρισης). Θεωρούμε τις σειρές k και b k, όπου b k > για κάθε k N. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M > ώστε (.3.8) k M b k για κάθε k N και ότι η σειρά απολύτως. Απόδειξη. Θέτουμε s n = n b k συγκλίνει. Τότε, η σειρά k συγκλίνει k και t n = n b k. Από την (.3.8) έπεται ότι (.3.9) s n M t n για κάθε n N. Αφού η σειρά b k συγκλίνει, η ακολουθία (t n ) είναι άνω φραγμένη. Από την (.3.9) συμπεραίνουμε ότι και η (s n ) είναι άνω φραγμένη. Άρα, η k συγκλίνει.

6 Σειρες πραγματικων αριθμων Θεώρημα.3.4 (οριακό κριτήριο σύγκρισης). Θεωρούμε τις σειρές b k, όπου b k > για κάθε k N. Υποθέτουμε ότι k και k (.3.) lim = l R k b k και ότι η σειρά b k συγκλίνει. Τότε, η σειρά k συγκλίνει απολύτως. ( ) Απόδειξη. Η ακολουθία k b k συγκλίνει, άρα είναι φραγμένη. Δηλαδή, υπάρχει M > ώστε (.3.) k M για κάθε k N. Θεώρημα.3.3. b k Τότε, ικανοποιείται η (.3.8) και μπορούμε να εφαρμόσουμε το Θεώρημα.3.5 (ισοδύναμη συμπεριφορά). Θεωρούμε τις σειρές k και b k, όπου k, b k > για κάθε k N. Υποθέτουμε ότι k (.3.) lim = l >. k b k Τότε, η σειρά b k συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά k συγκλίνει. Απόδειξη. Αν η b k συγκλίνει, τότε η k συγκλίνει από το Θεώρημα.3.4. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι η k συγκλίνει. Αφού k b k l >, έχουμε b k k l. Εναλλάσσοντας τους ρόλους των ( k) και (b k ), βλέπουμε ότι η b k συγκλίνει, χρησιμοποιώντας ξανά το Θεώρημα.3.4. Παραδείγματα (α) Εξετάζουμε τη σύγκλιση της σειράς (.3.) Αφού η sin(kx) k k sin(kx) k k. sin(kx) k, όπου x R. Παρατηρούμε ότι συγκλίνει, συμπεραίνουμε (από το κριτήριο σύγκρισης) ότι η σειρά συγκλίνει απολύτως. (β) Εξετάζουμε τη σύγκλιση της σειράς k+ k 4 +k +3 και b k = k, τότε 3 k+ k 4 +k +3. Παρατηρούμε ότι αν k = (.3.3) k b k = k4 + k 3 k 4 + k + 3.

.3 Γενικα κριτηρια 7 Αφού η k 3 k+ k 4 +k +3 συγκλίνει. συγκλίνει, συμπεραίνουμε (από το οριακό κριτήριο σύγκρισης) ότι η (γ) Τέλος, εξετάζουμε τη σύγκλιση της σειράς k+ k +. Οπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τις ακολουθίες b k = k+ k + και k = k, τότε (.3.4) Από το Θεώρημα.3.5 έπεται ότι η δηλαδή αποκλίνει..3γʹ k b k = k + k + k >. Κριτήριο λόγου και κριτήριο ρίζας k+ k + έχει την ίδια συμπεριφορά με την Θεώρημα.3.6 (Κριτήριο λόγου - D Alembert). Εστω k μια σειρά με μη μηδενικούς όρους. (α) Αν lim <, τότε η k συγκλίνει απολύτως. (β) Αν lim k+ k k k+ k k >, τότε η k αποκλίνει. Απόδειξη. (α) Υποθέτουμε ότι lim k+ k k = l <. Εστω x > με l < x <. Τότε, υπάρχει N N ώστε: k+ k x γιά κάθε k N. Δηλαδή, (.3.5) N+ x N, N+ x N+ x N κλπ. Επαγωγικά δείχνουμε ότι (.3.6) k x k N N = N x N γιά κάθε k N. Συγκρίνουμε τις σειρές k=n k και k=n (.3.7) k M x k για κάθε k N, όπου M = N x N. Η σειρά xk x k. Από την (.3.6) βλέπουμε ότι k=n k, x k συγκλίνει, διότι προέρχεται από την γεωμετρική σειρά x k (με απαλοιφή των πρώτων όρων της) και < x <. Άρα, η k συγκλίνει. Επεται ότι η k συγκλίνει κι αυτή. k=n (β) Αφού lim k+ k >, υπάρχει N N ώστε k+ για κάθε k N. Δηλαδή, k (.3.8) k k N > k

8 Σειρες πραγματικων αριθμων για κάθε k N. Τότε, k και, από την Πρόταση..5(α), η k αποκλίνει. Σημείωση. Αν lim k+ k k της k. Παρατηρήστε ότι η συγκλίνει και k+ k = k Παράδειγμα =, πρέπει να εξετάσουμε αλλιώς τη σύγκλιση ή απόκλιση (k+). Εξετάζουμε τη σύγκλιση της σειράς (.3.9) Άρα, η σειρά συγκλίνει. k αποκλίνει και k+ k = k k+, ενώ η k!. Εχουμε k+ k = k! (k + )! = k + <. Παρατήρηση. Η απόδειξη του Θεωρήματος.3.6, χωρίς ουσιαστική μετατροπή, δίνει το εξής ισχυρότερο αποτέλεσμα: Εστω k μια σειρά με μη μηδενικούς όρους. (α) Αν lim sup k+ k <, τότε η σειρά k συγκλίνει απολύτως. Πράγματι, αν k θεωρήσουμε x > με l < x <, τότε από τον χαρακτηρισμό του lim sup, υπάρχει N N ώστε x για κάθε k N. Συνεχίζουμε την απόδειξη όπως πριν. k+ k (β) Αν lim inf k+ k k >, τότε η σειρά k αποκλίνει. Πράγματι, αν θεωρήσουμε x > με l > x >, τότε από τον χαρακτηρισμό του lim inf, υπάρχει N N ώστε x > για κάθε k N. Συνεχίζουμε την απόδειξη όπως πριν. k+ k Θεώρημα.3.7 (κριτήριο ρίζας - Cuchy). Εστω k μια σειρά πραγματικών αριθμών. k (α) Αν lim k <, τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. k k (β) Αν lim k k >, τότε η σειρά αποκλίνει. k Απόδειξη (α) Επιλέγουμε x > με την ιδιότητα lim k N N ώστε k k x για κάθε k N. Ισοδύναμα, (.3.) k x k για κάθε k n. Συγκρίνουμε τις σειρές σειρά συγκλίνει. Άρα η k=n k=n k και k k < x <. Τότε, υπάρχει k=n x k. Αφού x <, η δεύτερη k συγκλίνει. Επεται ότι η k συγκλίνει απολύτως. k (β) Αφού lim k >, υπάρχει N N ώστε k k για κάθε k N. Δηλαδή, k k τελικά. Άρα k και η k αποκλίνει.

.3 Γενικα κριτηρια 9 k Σημείωση. Αν lim k =, πρέπει να εξετάσουμε αλλιώς τη σύγκλιση ή απόκλιση k της k. Για τις k, k έχουμε k k. Η πρώτη αποκλίνει ενώ η δεύτερη συγκλίνει. Παραδείγματα (α) Εξετάζουμε τη σύγκλιση της σειράς k, όπου x R. Εχουμε k k = x k k x. Αν x <, τότε lim k = x < και η σειρά συγκλίνει απολύτως. k k Αν x >, τότε k = x > και η σειρά αποκλίνει. Αν x =, το k lim k κριτήριο ρίζας δεν δίνει συμπέρασμα. Για x = παίρνουμε την αρμονική σειρά οποία αποκλίνει. Για x = παίρνουμε την «εναλλάσσουσα σειρά» συγκλίνει. Άρα, η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν x <. x k ( ) k k k η η οποία (β) Εξετάζουμε τη σύγκλιση της σειράς k, όπου x R. Εχουμε k k = x k x k. Άρα, lim k = x. Αν x > η σειρά αποκλίνει. Αν x < η k k σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν x = το κριτήριο ρίζας δεν δίνει συμπέρασμα. Στην περίπτωση x = ± η σειρά παίρνει τη μορφή k, δηλαδή συγκλίνει. Άρα, η σειρά συγκλίνει απολύτως όταν x. Παρατήρηση. Η απόδειξη του Θεωρήματος.3.7, χωρίς ουσιαστική μετατροπή, δίνει το εξής ισχυρότερο αποτέλεσμα: Εστω k μια σειρά με μη μηδενικούς όρους. k (α) Αν lim sup k <, τότε η σειρά k συγκλίνει απολύτως. Πράγματι, αν k θεωρήσουμε x > με l < x <, τότε από τον χαρακτηρισμό του lim sup, υπάρχει N N ώστε k x k για κάθε k N. Συνεχίζουμε την απόδειξη όπως πριν. k >, τότε η σειρά k (β) Αν lim sup k αποκλίνει. Πράγματι, αν θεωρήσουμε k x > με l > x >, τότε από τον χαρακτηρισμό του lim sup, υπάρχουν άπειροι δείκτες k < k < < k n < k n+ < ώστε kn x kn > για κάθε n N. Άρα, n και εφαρμόζεται το κριτήριο απόκλισης. x k.3δʹ Το κριτήριο του Dirichlet Το κριτήριο του Dirichlet εξασφαλίζει (μερικές φορές) τη σύγκλιση μιας σειράς η οποία δεν συγκλίνει απολύτως (συγκλίνει υπό συνθήκη). Λήμμα.3.8 (άθροιση κατά μέρη - Abel). Εστω ( k ) και (b k ) δύο ακολουθίες. Ορίζουμε s n = + + n, s =. Για κάθε m < n, ισχύει η ισότητα (.3.) n k b k = k=m n k=m s k (b k b k+ ) + s n b n s m b m.

3 Σειρες πραγματικων αριθμων Απόδειξη. Γράφουμε n k b k = k=m = = = n (s k s k )b k k=m n s k b k k=m n s k b k k=m n k=m n s k b k k=m n k=m s k b k+ s k (b k b k+ ) + s n b n s m b m, που είναι το ζητούμενο. Θεώρημα.3.9 (κριτήριο Dirichlet). Εστω ( k ) και (b k ) δύο ακολουθίες με τις εξής ιδιότητες: (α) Η (b k ) έχει θετικούς όρους και φθίνει προς το. (β) Η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων s n = + + n της ( k ) είναι φραγμένη: υπάρχει M > ώστε (.3.3) s n M για κάθε n N. Τότε, η σειρά k b k συγκλίνει. Απόδειξη. Θα χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο του Cuchy. Εστω ε >. Χρησιμοποιώντας την υπόθεση (α), βρίσκουμε N N ώστε (.3.4) Άν N m < n, τότε n k b k = k=m ε M > b N b N+ b N+ >. n s k (b k b k+ ) + s n b n s m b m k=m n k=m s k b k b k+ + s n b n + s m b m n M (b k b k+ ) + Mb n + Mb m k=m = Mb m < M ε M = ε. Από το κριτήριο του Cuchy, η σειρά k b k συγκλίνει.

.3 Γενικα κριτηρια 3 Παράδειγμα (κριτήριο Leibniz) Σειρές με εναλλασσόμενα πρόσημα ( ) k b k, όπου η {b k } φθίνει προς το. Τα μερικά αθροίσματα της (( ) k ) είναι φραγμένα, αφού s n = αν ο n είναι άρτιος και s n = αν ο n είναι περιττός. Άρα, κάθε τέτοια σειρά συγκλίνει. Παράδειγμα, η σειρά.3εʹ ( ) k k. *Δεκαδική παράσταση πραγματικών αριθμών Σκοπός μας σε αυτήν την παράγραφο είναι να δείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός έχει δεκαδική παράσταση: είναι δηλαδή άθροισμα σειράς της μορφής (.3.5) k k = + + +, όπου Z και k {,,..., 9} για κάθε k. Παρατηρήστε ότι κάθε σειρά αυτής της μορφής συγκλίνει και ορίζει έναν πραγματικό αριθμό x = k. Πράγματι, η γεωμετρική σειρά k k k 9 k για κάθε k, η σειρά σύγκρισης σειρών. k συγκλίνει και επειδή k k συγκλίνει σύμφωνα με το κριτήριο Λήμμα.3.. Αν N και k {,,..., 9} για κάθε k N, τότε (.3.6) k=n k k N. Η αριστερή ανισότητα ισχύει σαν ισότητα αν και μόνον αν k = για κάθε k N, ενώ η δεξιά ανισότητα ισχύει σαν ισότητα αν και μόνον αν k = 9 για κάθε k N. Απόδειξη. Εχουμε (.3.7) k=n k k k=n k =. Αν k = για κάθε k N, τότε m N, τότε k=n k=n k k =. Αντίστροφα, αν m για κάποιον k k = m m + = k=n k m m + k=n k m m >. k k k

3 Σειρες πραγματικων αριθμων Από την άλλη πλευρά, (.3.8) k=n k k k=n Αν k = 9 για κάθε k N, τότε 9 k = 9 ( N + + ) + = N. (.3.9) k=n k k = k=n 9 k = N. Αντίστροφα, αν m 8 για κάποιον m N, τότε k=n k k = m m + k=n k m 8 m + k=n k m = m + k=n k k = m + < N, 9 k = 9 m m + 9 k N κι αυτό συμπληρώνει την απόδειξη του Λήμματος. k=n k m 9 k Λήμμα.3.. Εστω n μη αρνητικός ακέραιος και έστω N. Τότε υπάρχουν ακέραιοι p, p,... p n ώστε: p k {,,..., 9} για k N, p N και (.3.3) n = N p N + N p N + + p + p. Απόδειξη. Διαιρώντας διαδοχικά με παίρνουμε n = q + p, όπου p 9 και q q = q + p, όπου p 9 και q q = q 3 + p, όπου p 9 και q 3.. q N = p N + p N, όπου p N 9 και q N. Επαγωγικά, έχουμε: n = q + p = q + p + p = 3 q 3 + p + p + p = = N q N + N p N + p + p. Θέτοντας p N = q N έχουμε το ζητούμενο. Χρησιμοποιώντας τα Λήμματα.3. και.3. θα δείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός έχει δεκαδική παράσταση.