b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:

Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor: c = AB = AC + CB = b a a + b + c = 0. Reciproc, fie a, b, c cu a + b + c =0 c = ( a + b). Construim un vector oarecare BC = a. Cu originea în C construim un vector CA = b. Atunci BA = BC + CA = = a + b AB = ( a + b)= c şi deci cu vectorii a, b, c putem construi ABC. Fie ABCDA B C D un cub. În raport cu reperul (A; AB, AD, AA ),găsiţi coordonatele vectorilor AC, MN, A N, OM, undem, N sunt mijloacele segmentelor [BC], respectiv [CD], iaro este centrul cubului. AC = AB + BC + CC = AB + AD + AA, deci AC (,, ). MN = MC + CN = BC + CD = deci MN = AD + BA = AB + AD, (, ), 0. A N = A D + D D + DN = AD AA + AB) deci ( ) A N,,. BM = AC +( AB + BM) = ( AB + AD + AA )+ +( AB + AD) = AB AA, deci ( ) OM, 0,. OM = OA + AB + În ABC se consideră medianele[aa ], [BB ] şi [CC ].Săsearatecă putem construi un triunghi cu vectorii AA, BB şi CC. AA + BB + CC = ( AB + AC) + ( BA + BC) + ( CA + CB) = ( AB + BC+ + CA)+ ( AC + CB + BA) = 0şi concluzia urmează folosind problema.

4 Fie O originea unui reper în spaţiu. Să searatecă patrulaterul ABCD este paralelogram dacă şi numai dacă r A + r C = r B + r D. Fie M şi N mijloacele diagonalelor [AC], respectiv [BD]. Atunci: ABCD paralelogram M = N r M = r N ( r A + r C )= ( r B + r D ) r A + r C = r B + r D. 5 Să searatecă mijloacele laturilor unui patrulater convex ABCD sunt vârfurile unui paralelogram. Raportăm planul la un reper de origine O şi fie M, N, P, Q mijloacele laturilor [AB], [BC], [CD] şi respectiv [DA]. Atunci r M + r P = ( r A + r B )+ ( r C + r D )= ( r A + r D )+ ( r B + r C )= r Q + r N de unde, conform problemei precedente, urmează că MNPQ este paralelogram. 6 Fie ABCDEF hexagon, iar M, N, P, Q, R, S mijloacele laturilor consecutive. Arătaţi că triunghiurile MPR şi NQS au acelaşi centru de greutate. Fie M mijlocul lui [AB], N mijlocul lui [BC] etc., G centrul de greutate al MPR, iar G centrul de greutate al NQS. Atunci, raportând planul la un reper cu originea în O, avem: deci G = G. r G = ( r M + r P + r R )= = 6 ( r A + r B + r C + r D + r E + r F ), r G = ( r N + r Q + r S )= = 6 ( r A + r B + r C + r D + r E + r F ), [ ( r A + r B )+ ( r C + r D )+ ] ( r E + r F ) = [ ( r B + r C )+ ( r D + r E )+ ( r F + r A ) 7 Fie ABCDA B C D un paralelipiped dreptunghic. Să se arate că AD D C+ + AB BC + A B B C =0. ] =

Deoarece AD (CDD )şi D C (CDD ), rezultă că AD D C. Analog se observă că AB BC, A B B C, deci fiecare dintre termenii sumei din enunţ estenul. 8 Fie a, b, c oarecare în V şi u = a( b c) b( c a). Săsearatecăvectorii u şi c sunt ortogonali. Avem: u c = [ a( b c) ] b( c a) c =( a c)( b c) ( b c)( c a) =0, ţinând seama de comutativitatea produsului scalar; deci u c. 9 Se dau vectorii AB = ı j + k, BC = ı +4 j k, CA = ı j + k.arătaţi că aceşti vectori pot forma un triunghi şi determinaţi măsura unghiului A. Observăm că AB + BC + CA = 0, deci vectorii daţi închid un triunghi ABC. Avem: cos A = adică m(â) =90. AB AC AB AC = +( ) + ( ) +( ) + + +( ) =0, 0 Fie a, b, c V astfel încât a + b + c = 0. Să se demonstreze că a b = b c = = c a. Au loc relaţiile a b b c = a b + c b =( a + c) b =( b) b = 0. Rezultă că a b = b c. Analog se demonstrează şi cealaltă egalitate. Calculaţi lungimea înălţimii [AD] atriunghiuluiabc de vârfuri A(,, ), B(,, 5), C(, 0, ).

4 Se ştie că S ABC = AB AC. În cazul nostru, AB AC = ı j k 4 =0 ı 0 j 0 k; S ABC = 0 =5 = BC AD AD = 0 BC Însă BC = 4 ı j k, deci BC = 6++9= 6, de unde AD = 0 6 = 0 78 6 = 5 78 Fiind daţi trei vectori a, b, c necoplanari, să se calculeze produsul mixt ( a+ + b, b + c, a + c) şi să se interpreteze geometric rezultatul. ( a + b, b + c, a + c) = ( a + b) (( b + c) ( a + c)) = =( a + b) ( b a + b c + c a + c c)) = =( a, b, a)+( a, b, c)+( a, c, a)+( a, c, c)+ +( b, b, a)+( b, b, c)+( b, c, a)+( b, c, c) =( a, b, c). Interpretare: Fie paralelipipedul ABCDA B C D cu AB = a, AC = b, AA = c; atunci a+ b, a+ c, b+ c reprezintă respectiv diagonalele AD, A B, A C. Rezultatul demonstrează că paralelipipedul construit pe AD, A B, A C are dublul volumului paralelipipedului iniţial. Dacă a, b, c V sunt necoplanari, iar α, β R cu α + β =0,arătaţi că (α a + β b, α b + β c, α c + β a) =0. Se observă că α a + β b + α b + β c + α c + β a =(α + β)( a + b + c) =0şi deci α a + β b, α b + β c, α c + β a sunt coplanari. De aici, (α a + β b, α b + β c, α c + β a) =0. 4 Demonstraţi că a ( b c)+ b ( c a)+ c ( a b)= 0 pentru orice a, b, c V (identitatea lui Jacobi).

a ( b c)+ b ( c a)+ c ( a b)=( a c) b ( a b) c+( b a) c ( b c) a+( c a) b ( c b) a = 0. 5 Fie OA = ı + j, OB = j + k, OC = ı + j + k.calculaţivolumul tetraedrului OABC, precum şi lungimea înălţimii din O. 5 V = 6 ( OA, OB, OC) = 6 0 0 = 6 Deoarece V = OH S ABC, atunci înălţimea este OH = V. S Însă ABC S ABC = AB ı j BC = k 0 = j =, 0 0 deci OH =. 6 Scrieţi ecuaţia vectorială, ecuaţiile parametrice şi ecuaţia generală pentru dreptele determinate prin: a) punctul A(, ), vectorul director v = ı + j; b) tăieturile pe axe A(, 0), B(0, ); c) punctele A(, ), B(, ); a) Ecuaţia vectorială: r = { r A + t v, t R, unde r A = ı + j. x =+t Ecuaţiile parametrice:, t R. y =+t Egalând t = x = y,obţinem ecuaţia generală: x y +=0. b) Ecuaţia prin tăieturi este x + y =, deci x y = 0 este ecuaţia generală a dreptei. Un vector director al dreptei AB este AB = ı j şi atunci ecuaţia vectorială este r = r A + t v, t R, unde r A = ı, v = { AB. x = t Ecuaţiile parametrice:, t R. y = t

6 c) Ecuaţia dreptei prin două puncte este dată de AB : x x A x B x A = y y A y B y A, deci x + y =0. În continuare, procedăm ca la punctul b). 7 Scrieţi ecuaţia dreptei (D) în fiecare dintre cazurile: a) conţine punctul A(, ) şi este paralelă cu dreapta (D ): x y +=0; b) conţine punctul A(, ) şi face cu axa Ox unghiul α = π 6 ; c) conţine punctul A(, ) şi este perpendiculară pe dreapta (D ): x + y =0; d) conţine punctul A(, ) şi este perpendiculară pe dreapta (D ): y +=0. a) Forma redusă a ecuaţiei lui (D )estey = x +, deci panta lui (D )estem =. Cum (D) (D ), rezultă căşi (D) estedepantă ; atunci (D) : y =(x ), i.e.(d) : x y +=0. b) Panta dreptei (D) estem =tgα =, deci: (D) : y = (x ), i.e.(d) : x y +( ) = 0. c) Forma redusă a ecuaţiei lui (D )estey = x +, deci m (D ) =. Din condiţia de perpendicularitate, m (D) = Avem: (D) : y = (x ), i.e.(d) : x y +=0. d) (D ) este o dreaptă orizontală. Nu putem folosi condiţia de perpendicularitate, însă este clar că (D) trebuie să fie o dreaptă verticală şi, cum trece prin punctul A, atunci (D) : x =. 8 Se dau dreptele (D) : x + αy + β =0;(D ): βx y +=0. sunt: a) paralele; b)confundate; c)perpendiculare? În ce condiţii dreptele { a) (D) (D ) β = α β } αβ = şi α + β 0 α R \ ± şi β = α

7 b) (D) = (D ) β = α = β αβ = şi α + β = 0 (α, β) {( ) (,,, )}. c) (D) (D ) m m = sau una din drepte este verticală, cealaltă orizontală α = β R sau α = β =0 α = β R. 9 Se dă triunghiulabc având vârfurile A(, ), B(4, ), C(, ). Scrieţi ecuaţiile mediatoarei, medianei şi înălţimii corespunzătoare laturii [BC]. Mijlocul lui [BC] estem(, 0), iar panta dreptei BC este m BC =. Mediatoarea (D) a segmentului [BC] arepantam (D) = şi trece prin punctul M, deci (D) : y = (x ), i.e.(d) : x + y =0. Mediana AM nu poate fi aflată cu formula dreptei prin două puncte decât folosind convenţia uzuală: un numitor care se anulează, anulează automat şi numărătorul fracţiei, deci avem de-a face cu o dreaptă orizontală sau verticală. În cazul nostru, AM : x 0 Înălţimea din A are panta m AD =, deci = y,i.e.am: x =0. AD : y = (x ), i.e.ad: x + y 6=0. 0 Scrieţi ecuaţia vectorială, ecuaţiile parametrice şi ecuaţiile canonice ale dreptelor determinate prin: a) punctul A(,, ), vectorul director v = ı j + k; b) punctul A(,, ) şi unghiurile de 0, 60, 45 formate cu axele de coordonate; c) punctul A(,, ) şi este paralelă cuox; d) punctele A(,, ), B(,, ). a) Ecuaţia vectorială: r = r A + t v, t R unde r A = ı + j + k. x =+t Ecuaţiile parametrice: y = t,t R. z =+t

8 x Ecuaţiile canonice: = y = z. b) Un versor director al dreptei este u = cos 0 ı + cos 60 j + cos 45 k = = ı + j + k şi procedăm ca la punctul a). c) Două drepte paralele au un acelaşi vector director, deci putem considera v = ı drept vector director al dreptei căutate. d) Vectorul director al dreptei este AB =(x B x A ) ı +(y B y A ) j +(z B z A ) k = = j k. Atunci ecuaţia vectorială este r = r A + t AB, t R etc. x Se dă dreapta (D) : 5 = y + = z 4 7 a) Determinaţi cosinusurile directoare ale dreptei; b) Aflaţi intersecţiile dreptei cu planele de coordonate. a) Vectorul director al dreptei este v = 5 ı +7 j k de normă v = 5 + 49 + 9 = = 8; atunci un versor director este u = 5 8 8 ı ± 7 8 8 j 8 8 k,aşadar cos α = = 5 8 8 8,cosβ = ±7,cosγ = 8 8 8 b) Intersecţia cu planul xoy se obţine considerând z = 0. Folosind ecuaţiile parametrice: x = 5t (D) y = +7t, t R, z =4 t din ultima ecuaţie obţinem t = 4 şi atunci x =, y = ;aşadar punctul căutat este ( A,, 4 ). C Analog se obţin intersecţia cu planul yoz, B ( ), 0,. 7 7 ( 0, 5, ) 5 şi cea cu planul xoz, Să se scrie ecuaţiile laturilor şi medianelor triunghiului cu vârfurile în punctele A(, 0, 4), B(6,, 0) şi C(4, 4, ). Ecuaţia canonică adrepteiab: x 4 Ecuaţia canonică adrepteiac: x 4 = y = z 4 4 = y 4 = z 4

Ecuaţia canonică adrepteibc: x 6 = y = z Mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] sunt punctele M(5,, ), N(,, ) respectiv P (4,, ). x Ecuaţia canonică adrepteiam: = y = z 4 Ecuaţia canonică adrepteibn: x 6 = y 0 = z Ecuaţia canonică adrepteicp: x 4 = y 4 0 = z 0 Un versor director al dreptei BC este v = ı + j + k Un versor director al dreptei AC este v = 6 ı + 6 j 6 k Un versor director al dreptei AB este v = ı + j k. 9 Studiaţi poziţia dreptei (D ): unde: x = y = z faţă de dreapta (D ): r = r B +t v, a) B(,, ), v = ı +6 j 4 k; b) B(, 4, ), v = ı +6 j 4 k; c) B(0,, ), v = ı + j + k; d) B(4,, ), v = ı + j k. Dacă (D ): r = r A + t u, (D ): r = r B + t v, t R, deosebim cazurile: (i) u, v, r B r A coliniari = (D ), (D ) confundate; (ii) u, v coliniari, dar necoliniari cu r B r A = (D ), (D ) paralele; (iii) u, v necoliniari, dar ( r B r A, u, v) =0= (D ), (D ) concurente; (iv) ( r B r A, u, v) 0= (D ), (D ) necoplanare. În cazul nostru, A(,, 0) şi u = ı + j k. a) v = u şi r B r A = j + k, deci (D ) (D ). b) v = u şi r B r A = ı + j k = u, deci (D ) (D ). c) Vectorii v şi u sunt necoliniari; verificăm condiţia de coplanaritate: ( r B r A, u, v) = =0,

0 deci (D ), (D ) sunt drepte concurente. Pentru aflarea punctului comun, este convenabil să scriem ecuaţia parametrică adreptei(d ): x =+t (D ): y =+t,t R z = t şi să căutăm un punct M(x 0,y 0,z 0 )caresă verifice şi ecuaţia lui (D ). Atunci t =, deci x 0 =0,y 0 =, z 0 =şi intersecţia lui (D )cu(d )estetocmaib. d) Avem: ( r B r A, u, v) = = 4 0, deci (D )şi (D ) sunt necoplanare. 4 Să se determine a R astfel încât dreptele (D ): (D ): x a = y + = z să fie concurente. x + = y = z + Dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı+ + j + k, iar dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = = a ı + j + k. Dreptele (D )şi (D ) sunt coplanare dacă şi numai dacă vectorii v, v şi A A sunt coplanari, ceea ce este echivalent cu ( v, v, A A ) = 0. Este necesar ca a = 0, deci a = 4 5 Arătaţi că dreptele(d ): x 4 (D ): 5 = y = z x = y = z 0, (D ): x sunt concurente şi aflaţi punctul lor comun. = y şi = z şi Încercăm să găsim un eventual punct de intersecţie a dreptelor (D )şi (D ). Avem: x =+t (D ): y = t,t R, z = şi înlocuind în ecuaţia lui (D )obţinem că t =. Rezultă că(d )şi (D )suntconcurente în M(4,, ). Se verifică uşor că M aparţine şi dreptei (D ).

6 Să se determine distanţa de la punctul A(,, ) la dreapta (D) : = y = z +. x + Dreapta (D) trece prin punctul B(,, ) şi are vectorul director v = ı + j k. Distanţa d între A şi (D) este egală cuînălţimea paralelogramului construit pe AB şi v în raport cu baza determinată de v. Seobţine AB v d = = v 7 Să se calculeze distanţa dintre dreptele x + (D ): = y = z + şi (D ): 4 0 4 x = y + = z 4 Dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı +4 j + k, iar dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı + j+ +4 k. Distanţa d dintre (D )şi (D ) este egală cuînălţimea paralelipipedului construit pe vectorii A A, v, v în raport cu baza determinată de v şi v.seobţine ( ) A A, v, v d = = v v 85 8 Determinaţi locul geometric al punctelor M(x, y, z) din spaţiu ale căror coordonate verifică relaţia (x ) (y ) (z ) = = 9 4 6 Relaţia dată devine ± x = ± y = ± z 4, cu 8 posibilităţi de alegere a semnelor. Urmează că locul geometric cerut este reuniunea a 8 drepte ce trec prin punctul A(,, ) şi care au vectorii directori (±, ±, ±4). 9 Scrieţi ecuaţiile planelor determinate prin: a) punctul A(, 0, ) şi vectorii directori u = ı + j + k, v = j k; b) punctele A(,, ), B(5,, 4), C(, 0, ); c) tăieturile pe axe A(, 0, 0), B(0,, 0), C(0, 0, ); d) punctul A(,, ) şinormalalaplan N = ı j + k. =

a) Ecuaţia vectorială a planului este (P ): r = r A + t u + s v, t, s R. Ecuaţia canonică seobţine din ( r r A, u, v) = 0, deci x y z (P ): =0,i.e.(P ): x y 4z +5=0. 0 x y z b) Ecuaţia planului (P )subformă de determinant este (P ): 5 4 =0şi 0 după dezvoltarea determinantului se obţine ecuaţia canonică (P ): x 5y +4z 4 = 0. c) Ecuaţia planului (P ) printăieturi este (P ): x + y + z =0, i.e. (P ): 6x +y z 6=0. d) Ecuaţia normală a planului este (P ): (x ) (y ) + (z ) = 0, i.e.(p ): x y + z =0. 0 Să se determine punctele de intersecţie ale planului (P ): x y + z = 0 cu axele de coordonate. Punctul de intersecţie cu axa Ox este A(4, 0, 0). Punctul de intersecţie cu axa Oy este B(0, 6, 0). Punctul de intersecţie cu axa Oz este C(0, 0, ). Să se determine ecuaţia planului (P ) paralel cu planul (P ):x y +z =0 şi care trece prin centrul de greutate al triunghiului cu vârfurile în punctele A (,, 5), A (,, ), A (,, ).

Centrul de greutate G al triunghiului A A A are coordonatele x G = x A + x A + x A =,y G = y A + y A + y A =,z G = z A + z A + z A Fiind paralele, cele două plane au aceeaşi normală, deci planul cerut are ecuaţia x y + z a =0,a R. Punând asupra lui G condiţia de apartenenţă la plan, deducem că a =0. Să se determine ecuaţia planului (P ) ştiind că perpendiculara din origine pe acest plan îl intersectează în punctul A(,, 4). În aceste condiţii, OA = ı + j +4 k este vectorul director al normalei la planul (P ). Ecuaţia planului (P ) este atunci x +y +4z + a =0,a R. Punând condiţia ca A să aparţină planului (P )seobţine a = 9. Să se determine ecuaţia planului mediator al segmentului [AB] determinat de punctele A(,, ) şi B(, 5, 4). Ecuaţia dreptei suport (D) asegmentului[ab] este x (D) : = y 4 iar mijlocul M al segmentului are coordonatele = z =. x M = x A + x B =,y M = y A + y B =,z M = z A + z B Planul căutat (P ) va fi perpendicular pe (D) şi va trece prin M. canonică (P ): x +4y +z 4 = 0. =. Se obţine ecuaţia 4 Să se determine ecuaţia unui plan (P ) care conţine punctul A(,, ) şi dreapta x +9 (D) : = y + = z 7 4 Dreapta (D) conţine punctul B( 9,, 0) şi are vectorul director v =7 ı +4 j k. Vectorul director al normalei la plan va fi N = AB v = 4 ı +4 j k = 4( ı j + k). Se obţine ecuaţia (P ): x y +z +8=0. Altfel, putem considera încă un punct C (D), apoi scriem ecuaţia planului ce conţine punctele A, B, C.

4 5 Să segăsească ecuaţia planului (P ) determinat de dreptele paralele: (D ): x = y + = z +, (D ): x + = y + = z Dreapta (D ) trece prin punctul A (,, ) şi are vectorul director v = ı + j + k, iar dreapta (D ) trece prin A (,, ) şi are acelaşi vector director. Normala la planul (P )căutat are vectorul director N = A A v = 9 ı +9 j k. Ecuaţia planului (P ) va fi atunci 9x +9y z + a = 0. Punând asupra lui A condiţia de apartenenţă la (P )obţinem a =. Ecuaţia lui (P ) este deci 9x +9y z + = 0 sau, echivalent, (P ): x y + z 7=0. 6 Să se determine ecuaţia planului care trece prin punctul M(,, ) şi este perpendicular pe planele (P ): x y +z =0şi respectiv (P ): x +y z +=0. Vectorul director al normalei la (P )esten = ı j + k, iar vectorul director al normalei la (P )esten = ı + j k. Fiind perpendicular pe (P )şi (P ), planul cerut este perpendicular pe dreapta de intersecţie a acestora, deci vectorul director N al normalei la plan coincide cu vectorul director al dreptei de intersecţie a celor două plane. Deci N = N N = ı j + k şi, în concluzie, ecuaţia generală alui(p )este x y +z =0. 7 Să se determine ecuaţia dreptei ce trece prin A(,, ) şi este perpendiculară pe dreapta (D x ): = y = z. Planul (P ) care trece prin A şi este perpendicular pe dreapta (D ) are ecuaţia (P ): x + y +z + a =0,a R. Impunând condiţia ca( A să aparţină lui(p ) deducem că a = 7. Intersecţia dreptei (D ) cu planul (P )esteb 7, 9 7, 6 ).Ecuaţiadreptei(D) va fi atunci 7 (D) : x 4 = y 5 = z.

5 8 Aflaţi proiecţia punctului M(,, ) pe planul (P ): x y +z =0. Să observăm întâi că M nu aparţine planului. Normala la plan N(,, ) este vector director pentru perpendiculara din M pe plan, care are deci ecuaţiile sub formă parametrică (D) : x =+t, y = t, z =+t, t R. Proiecţia M 0 aluim pe plan se află intersectând (D) cu(p ), deci ( 5 adică M 0 9, 9 9, 4 ). 9 ( + t) ( t)+(+t) =0 t = 9, 9 Să se afle simetricul punctului M(,, ) faţă deplanul (P ): x +y z +=0. Vectorul director al normalei la planul (P )esten = ı + j k, deci dreapta perpendiculară peplanul(p ) care trece prin M are ecuaţia: x = y = z +. Punctul de intersecţie S al acestei drepte cu planul (P ) are coordonatele S(,, ). Fie Q simetricul punctului M faţă de planul (P ). Deoarece S este mijlocul segmentului [MQ] vom obţine x S = x M + x Q, deci x Q = x S x M = 5. Analog y Q =y S y M =, z Q =z S z M =0. 40 Se consideră dreptele (D ): { x + y z 4=0 x y + z =0 ; (D ): { x + y 4z =0 ax + y + z 6=0. Să se determine a astfel încât (D ) şi (D ) să fie coplanare. Determinantul sistemului x +y z 4 = 0 x y + z =0 x +y 4z = 0

6 este D = 5 0, deci dreapta (D )şi planul (P ): x + y 4z = 0 au un unic punct comun M. Princalculseaflă coordonatele acestui punct x M =,y M =,z M =. Punând condiţia ca M să aparţină planului (P ): ax + y + z 6=0seobţine că a =. 4 Să se determine care dintre următoarele perechi de plane sunt alcătuite din plane paralele: a) (P ): x y +z +5=0 şi (P ): x +y z +=0; b) (P ): x +y + z =0şi (P ): x +6y +z +=0; c) (P ): x +4y + z =0şi (P ): x +y +6z +5=0. a) N = ı j + k, N = ı + j k; N N 0, deci (P )şi (P ) nu sunt paralele. b) N = ı + j + k, N = ı +6 j + k; N N = 0, deci (P )şi (P )suntparalele. c) N = ı +4 j + k, N = ı + j +6 k; N N 0, deci (P )şi (P ) nu sunt paralele. 4 Să se determine valorile parametrilor reali a şi b pentru care următoarele perechi de plane sunt alcătuite din plane paralele: a) (P ): x ay + bz =0şi (P ): x y +z +4=0; b) (P ): ax +y + bz +=0 şi (P ): x + ay +z +=0; c) (P ): x ay bz +=0 şi (P ): ax + by + z =0. a) N = ı a j + b k, N = ı j + k; N este paralel cu N dacă şi numai dacă a =4 şi b =6. b) N = a ı + j + b k, N = ı + a j + k; N este paralel cu N dacă şi numai dacă a = şi b = sau a = şi b = c) N = ı a j b k, N = a ı + b j + k; N este paralel cu N dacă şi numai dacă a = 9şi b =. 4 Să se determine care dintre următoarele perechi de plane sunt alcătuite din plane perpendiculare: a) (P ): x y + z 5=0şi (P ): x + y +z 4=0; b) (P ): x + y +z =0şi (P ): x + y z +=0; c) (P ): x y + z =0şi (P ): x + y z +=0.

7 a) N = ı j+ k, N = ı+ j+ k; N N 0, deci (P )şi (P ) nu sunt perpendiculare. b) N = ı + j + k, N = ı + j k; N N = 0, deci (P )şi (P ) sunt perpendiculare. c) N = ı j + k, N = ı + j k. N N 0, deci (P )şi (P ) sunt perpendiculare. 44 Să se determine ecuaţia planului (P ) paralel cu planul (P ): x y + z =0şi aflat la distanţa d =de acesta. Fiind paralel cu planul (P ), (P ) are ecuaţia x y + z + a =0. (P )conţine punctul A(0, 0, ) şi distanţa de la A la (P ) este egală cudistanţa dintre plane. Se obţine +a + + =, deci a = ±. Există două plane cu proprietăţile cerute, anume (P ): x y + z + = 0; (P ): x y + z = 0. 45 Să se determine distanţa d dintre planele (P ): x y +z +=0; (P ): x y +z +6=0. Fie N = ı j + k, N = ı j +k vectorii directori ai normalelor la planele (P ) şi respectiv (P ). N şi N sunt paraleli, deci planele (P )şi (P ) sunt paralele. Pentru a calcula distanţa între plane este deci suficient să calculăm distanţa de la un punct A al primului plan la cel de-al doilea. Se consideră A(0,, 0) aparţinând lui (P )şi se obţine d = 0 + 0+6 +( ) + =. 46 Să se calculeze unghiurile formate de următoarele perechi de plane: a) (P ): x y +z =0şi (P ): x + y +z =0; b) (P ): x +y +5z =0şi (P ): x y z +=0; c) (P ): x +y + z =0şi (P ): x +4y +z =0.

8 a) Vectorii directori ai normalelor la planele (P ), respectiv (P ) sunt N = ı j + k, N = ı + j + k. Unghiul θ dintre plane este egal cu unghiul vectorilor N şi N, deci N cos θ = N N N = 4 ; θ = arccos 4. b) N = ı + j +5 k, N = ı j k;( N N ) = 0, deci N, N sunt perpendiculari şi planele (P ), (P ) sunt, de asemenea, perpendiculare. Atunci θ = π c) N = ı + j + k, N = ı +4 j + k; N, N sunt paraleli, deci şi planele (P ), (P ) sunt paralele. Prin urmare, θ =0. 47 Să sescrieecuaţia cercului (C) determinat prin: a) Centrul C(, ) şi un punct al său A(, ); b) Extremităţile unui diametru A(, ), B(0, ); c) Punctele A(, ), B(, 0), C(0, ); d) Centrul C(, ), tangenta la cerc (D) : x + y +=0. a) Raza cercului este CA =, deci (C) : (x +) +(y ) =. b) Centrul cercului este mijlocul segmentului AB, adică C(, ). Raza cercului este AB = = şi atunci (C) : (x +) +(y ) =. c) Ecuaţia cercului determinat de trei puncte (x i,y i ), i =, estedatăde (C) : x + y x y x + y x y x + y x =0 y x + y x y Prin înlocuire şi dezvoltarea determinantului obţinut, găsim ecuaţia cercului prin punctele A, B, C: (C) : x +y x y 4=0.

9 d) Raza cercului este egală cudistanţa de la centrul său la tangenta (D): d(c, (D)) = ++ + = 4 =. Ecuaţia cercului căutat este (C) : (x ) +(y ) =8. 48 Să sescrieecuaţia cercului (C) de centru C(4, ), tangent cercului (C ): x + y x +y =0. Cercul (C) are centrul C (, ) şi raza R =. Distanţa centrelor va fi CC =5şi cum C Ext (C ), cele două cercuri vor fi tangente obligatoriu exterior. Atunci raza cercului (C) ester = CC R =, deci ecuaţia lui (C) vafi (C) : (x 4) +(y ) =9. 49 Se dă cercul (C) : x + y +x y =0.Săsescrieecuaţiile tangentelor la cerc care: a) trec prin punctul A(0, + ); b) trec prin punctul B(, 5); c) sunt paralele cu dreapta (D) : x y +=0. a) Verificăm poziţia punctului A faţă de(c): 0 +(+ ) + 0 ( + ) =0, deci A (C). În acest caz, ecuaţia tangentei în A la cerc se obţine prin dedublare: x x A + y y A + x + x A y + y A =0,i.e.x+ y =0. b) Verificăm poziţia punctului B faţă de(c): +5 + 5 > 0,

0 deci B Ext (C). Rezultă cădinb putem duce două tangente la cercul (C). Determinăm punctul de tangenţă M(x 0,y 0 ). Ecuaţia tangentei în acest punct la (C) seobţine prin dedublare, sub forma xx 0 + yy 0 +(x + x 0 ) (y + y 0 ) =0. Cum B(, 5) aparţine tangentei, obţinem că 4x 0 +4y 0 4 = 0. deoarece M(x 0,y 0 ) aparţine { cercului (C), urmează că x 0 + y 0 +x 0 y 0 = 0. Se obţine că (x 0,y 0 ) ( 7, + 7 ), ( + 7, } 7 ), de unde se deduc ecuaţiile tangentelor căutate. c) Ecuaţia tangentei respective este x y + a = 0. Din condiţia de tangenţă, 4+a =, deci a =4± 0. 0 50 Se dau cercurile (C ): x + y +x +y =0, (C ): x + y 6x 4y +4=0. Să searatecă cercurile sunt tangente şi să sescrieecuaţia tangentei comune interioare. Centrele celor două cercuri sunt C (, ), respectiv C (, ), iar razele lor sunt R =, R =. Distanţa centrelor este C C =5şi deoarece C C = R + R, cercurile sunt tangente exterior. Tangenta comună interioară este perpendiculară pe linia centrelor în punctul de contact a cercurilor. Pentru a afla acest punct, fie intersectăm cele două cercuri, fie aflăm punctul de pe segmentul [C C ] aflat la distanţa de C. Mai direct, tangenta comună interioară a două cercuri tangente este tocmai axa radicală a acestora, adică (D) : 4x +y =0. 5 Să se determine centrul şi raza pentru următoarele sfere: ) (S ): (x +) +(y +4) +(z ) =9; ) (S ): x +(y 6) +(z +) =; ) (S ): x + y + z x 4y +4=0; 4) (S 4 ): x + y + z x +y 6z 4 = 0. ) Centrul sferei (S )estec(, 4, ), iar raza ei este.

) Centrul sferei (S )estec(0, 6, ), iar raza ei este. ) Ecuaţia sferei (S ) se mai poate scrie sub forma (S ): (x 6) +(y ) + z = 6, deci centrul sferei (S )estec(6,, 0), iar raza ei este 6. 4) Ecuaţia sferei (S 4 ) se mai poate scrie sub forma (S 4 ): (x ) +(y +) +(z ) = = 5, deci centrul sferei (S 4 )estec(,, ), iar raza ei este 5. 5 Să se determine ecuaţia sferei (S) ştiind că segmentul determinat de punctele A(,, ) şi B(5,, 6) este un diametru al ei. Centrul C al sferei este mijlocul segmentului [AB], deci x C =,y C =,z C =4. În plus, cum AB este diametru, avem că R = AB =. Ecuaţia sferei este (S) : (x ) + (y ) +(z 4) =9. 5 Să se scrie ecuaţia sferei care trece prin punctele A(, 0, 0), B(0,, 0), C(0,, ) şi D(,, ). Ecuaţia sferei căutate este datădeformula x + y + z x y z x A + y A + z A x A y A z A (S) : x B + y B + z B x B y B z B =0. x C + y C + z C x C y C z C x D + y D + z D x D y D z D 54 a) Să se determine ecuaţia sferei cu centrul în C(,, ), tangentă laplanul(p ): x + y +z =0. b) Să se determine ecuaţia sferei de rază R =, tangentă planului (P ): x + y+ +z +=0în punctul A(,, 0). a) Distanţa de la punctul C la planul (P )este d = + + + + =. Fiind tangentă la(p )şi având centrul în O, sferacăutată are raza egală cud. Ecuaţia sa va fi atunci (S) : (x ) +(y ) +(z ) =.

b) Centrul sferei se află pe dreapta normală la(p ) care trece prin A. Normala la plan este N = ı + j + k, deci dreapta prin A de direcţie N este (D) : x = y + = z. Fie C centrul sferei dorite; cum C (D), obţinem x C = z C +,y C = z C. Atunci CA = (x C x A ) +(y C y A ) +(z C z A ) = z C. Dar CA = R, deci z C = ± În fiecare caz, găsim uşor centrul sferei, apoi ecuaţia acesteia. Problema are două soluţii 55 Să se determine ecuaţia sferei (S) cu centrul C(,, ) astfel încât ) (S) tangentă interior la sfera (S ): x + y + z 6x +8y +0z +4=0; ) (S) tangentă exterior la sfera (S ): x + y + z x 4y 6z = 0. ) Sfera (S ) are centrul O (, 4, 5) şi raza R =. Condiţia ca (S) şi (S )săfie tangente interior este ca R = R +O C (nu putem avea R = R+O C deoarece O C =6> R ). Se deduce de aici că R = 9, deci ecuaţia sferei (S)este(x+) +(y+) +(z+) =8. ) Sfera (S ) are centrul O (,, ) şi raza R = 5. Condiţia ca (S) şi (S )săfie tangente exterior este ca R + R = O C. Dar O C = 6, deci R =şi ecuaţia sferei (S) este (x +) +(y +) +(z +) =. 56 Să se determine poziţiile următoarelor plane faţă de sfera (S) : (x ) + +(y ) +(z ) =9: ) (P ): 4x +y +4z +6=0; ) (P ): 8x +4y + z +=0; ) (P ): x + y + z +4=0; 4) (P 4 ): z =5. Centrul sferei (S) estec(,, ), iar raza ei este R =. Planul(P ) este tangent sferei dacă d(c, (P )) = R, este secant dacă d(c, (P )) <Rşi este exterior dacă d(c, (P )) >R. ) d(c, (P )) = 4 + +4 +6 4 + +4 ==R, deci (P ) este tangent la sferă.

) d(c, (P )) = 8 +4 ++ 8 +4 + = 9 9 <, deci (P ) este secant sferei (S). ) d(c, (P )) = + + +4 + + = 8 >, deci (P )esteexteriorsferei(s). 4) d(c, (P 4 )) = 5 =4>, deci (P 4 )esteexteriorsferei(s). 57 Să se determine ecuaţia planului (P ) tangent la sfera (S) : (x ) +(y ) +(z ) =în punctul M(, 5, 5). Observăm întâi că M este un punct al sferei date. Atunci ecuaţia planului (P )seobţine prin dedublare şi este (P ): (x )( ) + (y )(5 ) + (z )(5 ) = 0, adică (P ): x +4y +z = 0. 58 Scrieţi ecuaţia unei elipse raportată la axele sale de simetrie ştiind că: ) Focarele sunt F (4, 0), F ( 4, 0), iar semiaxa mare este a =5; ) Conţine punctele M(, 4), N(6, ). x ) Fie (E) : a + y b = ecuaţia elipsei. Focarele sunt F (c, 0), F ( c, 0), cu c = a b. x În cazul nostru a =5,c = 4, deci b =şi (E) : 5 + y 9 =. x ) Fie (E) : a + y = ecuaţia elipsei. Înlocuind x şi y cu coordonatele punctelor b M şi N obţinem sistemul 9 a + 6 b = 9u +6v = u = 45 6 a + 4 b = 6u +4v = v = 0, unde u = a,v= b. Prin urmare, (E) : x 45 + y 0 =. ( ) 59 Fie (E) : x +4y =4oelipsăşi fie punctele M,, N(, ). a) Verificaţi că M (E); scrieţi ecuaţiatangenteilaelipsăprinm. b) Scrieţi ecuaţiile tangentelor la elipsă duseprinn.

4 a) Deoarece +4 se obţine prin dedublare: ( ) = 4, urmează că M (E). Ecuaţia tangentei în M la (E) (D) : xx M +4yy M =4,i.e.(D) : x + y 4=0. b) Deoarece +4 > 4, urmează că N este un punct exterior elipsei. Determinăm punctul de tangenţă T (x 0,y 0 ). Ecuaţia tangentei în acest punct la (E) estexx 0 +yy 0 =4. Cum N(, ) aparţine tangentei, obţinem că x 0 +8y 0 = 4. Deoarece T aparţine elipsei (E), urmează că x 0 +4y 0 =4. Obţinem că (x 0,y 0 ) {(, 0), ( 0, 45 } ), de unde se obţin tangentele (D) :x y +0=0,(D) : x =. 60 Să sescrieecuaţia parabolei raportată la axele sale de simetrie, fixată prin: ) focarul F (, 0); ) directoarea (D) : x = ; ) trece prin punctul A(, 4). Ecuaţia ( unei parabole raportată la axele sale de simetrie este y =px, având focarul p ) F, 0 şi directoarea de ecuaţie (D) : x = p. În aceste condiţii, avem: ) p = p =6 (P ): y =x; ) p = p =4 (P ): y =8x; ) 4 =p p =4 (P ): y =8x.