Metodat e Analizes se Qarqeve
Der tani kemi shqyrtuar metoda për analizën e qarqeve të thjeshta, të cilat mund të përshkruhen tërësisht me anën e një ekuacioni të vetëm. Analiza e qarqeve më të përgjithshëm çon në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh. Shumica e qarqeve në përgjithësi përfshijnë më shumë se një ekuacion, por ekuacionet ishin të një tipi që mund të zgjidheshin lehtë.
Metoda të përgjithshme te analizes Do të shqyrtojmë rrugët sistematike të formulimit dhe të zgjidhjes së ekuacioneve që merren gjatë analizës së qarqeve më të ndërlikuar. Do te analizojme dy metoda: Metoda e bazuar në ligjin e Kirkofit per rrymat, e cila në përgjithësi çon në ekuacione ku si të panjohura janë tensionet. Metoda e bazuar në ligjin e Kirkofit per tensionet qe çon në ekuacione ku si të panjohura janë rrymat.
METODA E POTENCIALEVE TË NYJEVE Metoda e potencialeve te nyjeve eshte nje metode e pergjithshme per analizen e qarqeve qe perdor si variabla te qarkut potencialet e nyjeve, ne vend te tensioneve te elementeve, duke reduktuar numrin e ekuacioneve. Meqenëse tensioni përcaktohet si një madhësi që ekziston ndërmjet dy nyjeve është e përshtatshme të zgjidhet në qark një nyje që konsiderohet nyje referimi ose nyje bazë dhe pastaj të shoqërojmë një tension ose potencial me çdo nyje tjetër.
Tensioni i çdo nyjeje të ndryshme nga ajo e referimit në lidhje me nyjen e referimit përcaktohet si potencial i nyjes. Në praktikën e zakonshme zgjedhja e polariteteve është e tillë që potencialet e nyjeve janë pozitive në lidhje me nyjen e referimit. Për një qark që përmban N nyje do të jenë N-1 potenciale nyjesh, disa prej të cilëve natyrisht që mund të jenë të njohura në qoftë se janë të pranishëm burimet e tensionit.
Per te thjeshtuar problemin, fillimisht do te trajtojme qarqe qe nuk permbajne burime tensioni. Qarqet qe permbajne burime tensioni do t I analizojme me pas. Ne metoden e potencialeve te nyjeve jemi te interesuar te gjejme tensionet e nyjeve. Ne nje qark te dhene me n nyje pa burime tensioni, metoda e potencialeve te nyjeve zhvillohet ne tri hapat e meposhtem:
Zgjidhet nje nyje si nyje referuese. Shpesh si nyje referimi zgjidhet nyja në të cilën ështe lidhur numri më i madh i degëve.caktojme tensionet v1,v2,...,vn-1 ne n -1 nyjet qe mbeten.tensionet i referohen Nyjes referuese. Zbatojme LKR ne secilen prej n-1 nyjet jo referuese. Perdorim ligjin e Ohmit per te shprehur rrymat e degeve ne terma te potencialeve te nyjeve. Zgjidhim ekuacionet per te marre potencialet e panjohura te nyjeve. Le te shpjegojme dhe zbatojme keto tre hapa.
HAPI I PARE eshte te percaktojme nyjen e referimit, e cila zakonisht quhet toke meqenese ajo konsiderohet te kete potencial zero. Nyja reference tregohet nga tre simbolet: Tipi i tokes ne figuren (b) quhet toke- shasi dhe përdoret në pajisjet ku shasia vepron si një pikë referimi për të gjitha qarqet. Shumë qarqe praktike ndërtohen mbi një bazë metalike ose shasi dhe zakonisht ka një numër elementësh të lidhur me shasinë e cila është një zgjidhje logjike si nyje referimi.
Tipi i tokes si ne figuren në (a) ose (c) quhet tokë- tokë dhe perdoret kur potenciali i tokes përdoret si referencë. Në shumë raste, si në sistemet elektrike të fuqisë, si shasi shërben vetë toka. Ne do te perdorim gjithmone simbolin ne (b).
Pasi kemi zgjedhur nje nyje referimi, percaktojme emertimet e tensionit ne nyjet joreference. Marrim ne shqyrtim qarkun ne Fig. 3.2(a). Nyja 0 eshte nyja referuese (v=0), ndersa nyjeve 1 dhe 2 i jane caktuar tensionet v1 dhe v2,respektivisht.
Mbani mend se tensionet e nyjeve janë të përcaktuara në lidhje me nyjen e referencës. Siç ilustrohet ne Fig. (a), secili tension nyje është rritja tensionit nga nyja referuese tek nyja joreferuese korresponduese ose thjesht tensioni i kesaj nyje ne lidhje me nyjen referuese.
HAPI DYTE Zbatojme LKR ne secilen nyje joreferuese. Për të shmangur vënien e shumë informacioni në te njejtin qark, qarku rivizatohet si në Fig.(b), ku ne tani kemi shtuar i1, i2, dhe i3, si rryma qe kalojne respektivisht nëpërmjet resistoreve R1, R2, dhe R3. Ne nyjen 1, zbatimi LKR jep: (1) Ne nyjen 2 : (2)
Zbatojme ligjin e Ohm-it per te shprehur rrymat e panjohura i1, i2, dhe i3 ne terma te tensioneve te nyjeve. Ideja kryesore që duhet të mbajmë mend është se, pasi rezistenca është një element pasiv, nga konvencioni i shenjave pasive, rryma duhet gjithmonë të rrjedhe nga një potencial me i lartë tek një potencial më i ulët. Rryma rrjedh nga nje potencial me i larte tek nje potencial me i ulet ne nje rezistor. Ne mund te shprehim kete parim si :
Duke u bazuar mbi kete parim, i cili perputhet me menyren si kemi percaktuar rezistencen me pare, marrim : (3) (1) (2)
Duke zevendesuar (3) tek (1) dhe (2) kemi: (4) (5) Ne terma te percjellshmerise ekuacionet (4) dhe (5) behen : 4.1 5.1
HAPI I TRETË në analizen me metoden e potencialeve te nyjeve është të gjejme potencialet e nyjeve. Nëse aplikojmë LKR tek n-1 nyjet joreference, ne marrim njekohesisht n-1 ekuacione, si ekuacionet (4) dhe (5) ose (4.1) dhe (5.1). Zgjidhim ekuacionet (4) dhe (5) ose (4.1) dhe (5.1) për të marrë tensionet e nyjeve v1 dhe v2, duke përdorur ndonjë metodë standarde, të tilla si metoda e zëvendësimit, metoda eliminimit, rregullin Cramer, ose matricat inverse. Për të përdorur metoden e fundit, duhet të shprehim ekuacionet në formë matricore.
Për shembull, ekuacionet (4.1) dhe (5.1) mund të shprehen në formë matricore dhe te zgjidhen per te marre v1 dhe v2: Zgjidhja e ekuacioneve mund te behet duke perdorur Software si Matlab,Mathcad, etj.
SHEMBULL 1 Llogaritni potencialet e nyjeve ne qarkun e dhene. Pergatisim qarkun per metoden e potencialeve te nyjeve. Zgjedhim nyjen reference dhe rrymat për zbatimin e LKR.
Me përjashtim të degëve me burime rryme, etiketimi i rrymave është arbitrar, por konsistent. (Me konsistent do të kuptojme qe nëse, p.sh supozojmë se i2 hyn ne rezistorin 4 Ω nga ana e majtë, i2 duhet të lërë rezistorin nga ana e djathtë). Duhen percaktuar potencialet e nyjeve v1 dhe v2.
Ne nyjen 1 duke zbatuar LKR dhe ligjin e Ohmit marrim : Duke shumezuar çdo term me 4 kemi : Bejme te njejten gje per nyjen 2: Duke shumezuar çdo term me 12 kemi :
Tani duhet te zgjidhim ekuacionet e meposhtme me ndonje nga metodat e permendura, per te mnarre vlerat e v1 dhe v2 : METODA ELEMINIMIT Duke perdorur metoden e eleminimit, mbledhim dy ekeuacionet dhe kemi : Duke zevendesuar v2 marrim :
RREGULLI CRAMER Per te perdorur rregullin Cramer, nevojitet te vendosim ekuacionet ne forme matricore: Determinanti i matrices eshte :
Tani marrim v1 dhe v2 : Rrymat mund te llogariten lehtesisht nga vlerat e potencialeve te nyjeve. Fakti qe i2 eshte negative tregon se rryma rrjedh ne drejtim te kundert me ate te supozuar.
SHEMBULL 2 Percaktoni potencialet e nyjeve. Zgjidhje : Qarku ka tre nyje joreferuese. Caktojme potencialet e tre nyjeve dhe etiketojme rrymat.
Ne niyen 1: Ne nyjen 2:
Ne nyjen 3 : Duhet te zgjidhim tre ekuacione per te marre potencialet e nyjeve v1, v2, and v3. Do te zgjidhim ekuacionet ne dy menyra.
METODA E ELEMINIMIT Perdorim tekniken e eleminimit. Mbledhim ekuacionet (1) dhe (3) : (1) (2) Marrim: (3) (4)
Duke mbedhur (2) dhe (3), marrim : (5) Zevendesojme (5) tek (4) marrim : Nga ekuacioni (3) marrim : Pra :
RREGULLI CRAMER Per te perdorur rregullin Cramer shkruajme ekuacionet ne formen matricore: Prej ketej marrim :
Ku jane percaktoret qe do te llogarisim me poshte: Per te llogaritur determinantet e nje matrice 3x3, perserisim dy rreshtat e pare
Pastaj gjejme :
Metoda e potencialeve te nyjeve me burime tensioni Ne tani do te trajtojme si burimet e tensionit ndikojnë ne analizën e potrencialeve te nyjeve. Perdorim qarkun ne figure për ilustrim.
Trajtojme dy mundësitë e meposhtme: RASTI 1. Nëse një burim tensioni lidhet ndermjet nyjes referuese dhe nje nyje joreferuese, vendosim potencialin ne nyjen joreferuese te barabarte me tensionin e burimit te tensionit, për shembull, Prandaj analiza jone thjeshtohet nga njohja e tensionit ne kete nyje. Rasti 2 Nese burimi I tensionit lidhet ndermjet dy nyjeve joreferuese, dy nyjet joreferuese formojne nje nyje te pergjithesuar ose nje supernyje; zbatojme LKR dhe LKT per te percaktuar potencialin e nyjes.
Nje supernyje formohet nga nje burim tensioni lidhur ndermjet dy nyjeve joreferuese dhe çdo element i lidhur ne paralel me te.
Nyjet 2 dhe 3 formojne nje supernyje (mund te kemi me shume se 2 nyje qe formojne nje supernyje te vetme). Nje qark me supernyje e analizojme duke perdorur te njejtat hapa te përmendura me pare, përveç se supernyja trajtohet ndryshe. Pse? Sepse një komponent thelbësor i analizes se potencialeve te nyjeve zbaton LKR, e cili kërkon njohjen e rrymes përmes çdo elementi. Nuk ka asnjë mënyrë për të njohur paraprakisht rrymen permes një burimi tensioni. Megjithatë, LKR zbatohet ne nje supernyje si ne çdo nyje tjetër.
Prandaj, në supernyjen në qarkun e dhene kemi : Per te zbatuar LKT ne supernyje rivizatojme qarkun. Duke shkuar rreth konturit ne sensin antiorar marrim: Konstatojme qe :
Karakteristikat e nje supernyje jane si me poshte : Burimi tensionit brenda supernyjes ofron një ekuacion i nevojshem per të zgjidhur potencialet e nyjeve. Një supernyje nuk ka tension te tij. Një supernyje kërkon aplikimin e te dy ligjeve ; LKR dhe LKT.
SHEMBULL Per qarkun e dhene te gjendet tensionet e nyjeve. Zgjidhje Supernyja permban burimin e tensionit 2-V, nyjet 1 dhe 2 dhe rezistorin 10Ω.
Duke zbatuar LKR tek supernyja kemi : Duke shprehur i1 dhe i2 ne terma te tensioneve te nyjeve, kemi: (1)
Per te marre lidhjen ndermjet v1 dhe v2, zbatojme LKR ne qarkun ne Fig.(b). Duke shkuar rreth konturit marrim: Nga ekuacionet (1) dhe (2) shkruajme: (2) dhe Rezistori nuk bën asnjë dallim për shkak se ajo është e lidhur nëpër supernyje.