CAPITOLUL 3. FILTRE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 69 CAPITOLUL 3. FILTRE CU RĂSPUNS INFINIT LA IMPULS 3.. Să se proieceze un FTJ numeric, care lucrează la frecvenţa de eşanionare FS khz, pornind de la filrul analogic cu funcţia de ransfer: () H Ha s (3.) s+ω şi uilizând ransformarea biliniară. Se cer: a) H asfel încâ filrul să aibă un câşig de db la frecvenţe joase. b) Ω asfel încâ frecvenţa de ăiere normaă a filrului digial să fie f.. c) Funcţia de ransfer H ( z ) a filrului numeric. d) Calculaţi câşigul filrului digial la frecvenţele F Hz, F khz şi F khz. 3 5 Rezolvare a) H a() H Ω (3.) b) În cazul ransformării biliniare: ω π. 4 Ω g Fsg.35 65 rad/ s (3.3) Ts c) Funcţia de ransfer a filrului digial se obţine făcând schimbarea de variabilă: z s Fs (3.4) + z H Ω H( z) ( + z ) z F ( ) ( s z +Ω + z F ) s +Ω + z (3.5) Fs g(.π )( + z ).35( + z ).45( + z ) F (. ) ( (. ) ).35.675z.59z s + g π + g π z

7 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme d) Se poae calcula direc în expresia obţinuă penru H ( z ) sau se poae folosi relaţia: jω ( ) a ( ) Fs g H e H jω (3.6) ω Ω Penru F Hz: j.45 H H( e ) sau H a ( ) (3.7).59 Ω Penru F khz, ω π..π. j.π.45, ( + e j π ) H( e ) (3.8) j.π.59e sau se observă ca F khz ese chiar frecvenţa de ăiere nenormaă a filrului digial ( f.) căreia îi corespunde în domeniul analogic Ω. jω Ω H( e ) Ha( jω ).77 (3.9) jω+ω Se observă ca F3 5 khz F s /, ω3 π. j.45 H( e π ) (3.).59( ) π sau calculând câşigul filrului analogic la Ω 3 g : H a Ω jω+ω T s ( jω ) Ω Ω (3.) 3.. Converiţi filrul analogic da de s+. Ha() s (3.) ( s +. ) + 6 înr-un filru digial RII folosind ransformarea biliniară. Se şie că T.5. Rezolvare: Avem deci z s 4 + z (3.3) Hz. 8+. 6z -. z () 6 + 975 (3.4)

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 7 3.3. Fie filrul analogic defini de s+ a Ha() s (3.5) ( s + a) + b Deerminaţi prin calcul analiic filrul numeric corespunzăor, folosind meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar, penru o perioadă de eşanionare T. Rezolvare.5.5 H () a s + s + a+ jb s+ a jb (3.6).5.5 H( z) + a jbt a jbt e z e z (3.7) at e cos( bt) z H( z) at at e cos bt z + e z (3.8) deci ( ) ( ) ( ) 3.4. Reluaţi problema anerioară penru funcţia de ransfer 5 Ha() s (3.9) 3 4 5 + 5s + 45s + s + s în siuaţiile: a) frecvenţa de eşanionare ese 8 rad/s. b) frecvenţa de eşanionare ese 6 rad/s. c) Reprezenaţi grafic caracerisicile ampliudine-frecvenţă în cele două siuaţii şi comparaţi-le cu caracerisica filrului analogic. Ce observaţi? Ce concluzie pueţi rage în legăura cu frecvenţa de eşanionare? Indicaţie Polii funcţiei de ransfer sun: * p, p.89 + j.86, * p, p. + j.65 (3.) a) b).64z+.6z.83z.6z T Hd ( z) +..5z+ z.3 +.8z+ z.3z+.3z.37z.3z T Hd ( z) +..6z+ z.9.44z (3.) (3.)

7 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme c) Frecvenţa de eşanionare mai mare conduce la o caracerisică mai apropiaă de aceea a filrului analogic penru că erorile provenind din fenomenul de aliere sun mai puţin pronunţae. 3.5. Deerminaţi ordinul şi polii unui FTJ analogic Buerworh ce are banda la 3 db de 5 Hz şi aenuarea de 4 db la Hz. Rezolvare: Aenuarea de 4dB înseamnă δ.. Deci log ( δ ) N 6.64 (3.3) log Se alege N 7. Polii normaţi sun daţi de relaţia: j π /+( k+ ) π /4 j( k+ ) π /4 sk e je, k,,...,6 (3.4) Pulsaţia analogică de ăiere la 3dB ese: Ω π 5 rad / s (3.5) Polii nenormaţi sun daţi de relaţia: s j( k+ ) π /4 π je, k,,...,6 (3.6) k 3.6. Să se proieceze folosind meoda invarianţei răspunsului la impuls, pornind de la un filru analogic Buerworh, un filru digial rece-jos, care îndeplineşe condiţiile: - la frecvenţa F khz, aenuarea filrului ese mai mică de db; - la frecvenţa F 4kHz, aenuarea filrului ese de cel puţin db; - perioada de eşanionare ese Ts,5ms. - câşigul la frecvenţe joase egal cu unu. Rezolvare Răspunsul în frecvenţă al unui filru analogic prooip de ip Buerworh de ordin N ese: H H a( jω ) (3.7) N + Ω ( )

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 73 Funcţia de ransfer H ( s ) se deermină din formula: a H ( ) ( ) ( ) a a a N Ω s N H s H s H jω (3.8) + ( ) Polii se deermină din ecuaţia: N s Rezulă: π k+ j + π N ( + ) j N π ( s ) e (3.9) sk e, k,...,n (3.3) Polii sun localizaţi în planul s pe un cerc de rază unu. Penru ca filrul să fie sabil rebuie ca oţi polii lui H a( s ) să fie în semiplanul sâng. Eviden, ceilalţi poli corespund funcţiei H a( s). Rezulă: π k+ j + π N sk e, k,..., N (3.3) Funcţia de ransfer se obţine imedia: H Ha ( s) (3.3) N s s k ( ) Penru ca filrul analogic să aibă câşig uniar la frecvenţe joase se impune H. Ordinul filrului se obţine din formulele: lg ka Ω δ e b δ N, k f, ka (3.33) lg k f Ω b δ + δ δ k ( ) ( ) Dacă se dau aenuările în db: am db şi am db, formula penru ka devine: am - -.589 k a.696 (3.34) am 9 - - Penru meoda invarianţei răspunsului la impuls pulsaţia analogică corespunzăoare frecvenţei nenormae penru filrul digial se calculează direc: Ω ωfs π( F/ Fs) Fs πf (3.35) Rezulă: Ωe π F k f,5 (3.36) Ωb π F lg ka Rezulă N.5597. Se alege N 3. lg k f b

74 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme Pulsaţia analogică de ăiere la 3 db se calculează cu formula: Ωb π 4 Ω 4 45rad/s (3.37) am N 9 Funcţia de ransfer a filrului analogic Buerworh de ordinul rei ese: Ha ( s) ( s s)( s s)( s s) (3.38) Penru obţinerea funcţiei de ransfer a filrului digial prin meoda invarianţei răspunsului la impuls rebuie să descompunem H a ( s ) în fracţii simple: N Ak Ha ( s) k s sk (3.39) unde A k sun reziduurile în polii s k. Polii filrului de ordin 3 sun: k + k + sk sin π + jcos π, N N k,,. (3.4) π π 3 s sin + jcos + j 6 6 3π 3π s sin + jcos 6 6 (3.4) 5π 5π 3 s sin + jcos j 6 6 Reziduurile în aceşi poli sun: Ak lim s sk Ha s lim s sk s s k s sk s s s s s s (3.4) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( + j ) ( s s)( s s).5 ( j 3)( + j 3) 3 j A s s s s.5 3 j 3 3+ j 3 3 A (3.43) A 3+ s s s s.5 3 3 3 j 3 3 ( )( ) ( j )( j) j

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 75 Rezulă urmăoarea descompunere a lui H ( s) în fracţii simple: 3 j 3+ j Ha ( s) + + (3.44) s + 3 s.5( + j 3) 3 s.5( j 3) Penru obţinerea unui FTJ analogic denormarea în frecvenţă se face cu s formula s. Ω Ω Ω 3 j Ω 3+ j Ha ( s) + + (3.45) s +Ω 3 s.5ω ( 3) 3 + j s.5ω( j 3) Am obţinu funcţia de ransfer denormaă, descompusă în fracţii simple: N Ak Ha ( s) (3.46) k s sk unde sk skω şi Ak AkΩ. Funcţia de ransfer a filrului digial proieca prin invarianţa răspunsului la impuls ese daă de: N Ak H( z) Ts (3.47) st k s k e z Se obţine: TA s TA s TA s 3 H( z) + + (3.48) ΩTs 3 3 e z + j Ts j Ts Ω Ω e z e z După efecuarea calculelor rezulă:.75.75+.9z Hz () + (3.49).484z.69z +.484z a 3.7. Proiecaţi un filru digial rece jos pornind de la un filru analogic Buerworh de ordinul, folosind ransformarea biliniară. Se impun: - frecvenţa de ăiere a filrului digial la 3 db, F3 db khz. - frecvenţa de eşanionare, Fs khz. - amplificare uniară la frecvenţe joase. Penru filrul digial obţinu calculaţi câşigul la frecvenţele khz şi 5kHz.

76 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme Rezolvare Funcţia de ransfer a unui filru prooip, Buerworh de ordin, analogic ese daă de: Hn ( s) (3.5) s s k ( ) Polii normaţi sun daţi de relaţia: k + k + sk sin π + jcos π, N N k,. (3.5) π π s sin + jcos + j 4 4 3π 3π s sin + jcos j 4 4 (3.5) Funcţia de ransfer normaă devine: Hn ( s) ( s s)( s s) s ( s + s) s+ ss s + s + (3.53) Penru obţinerea unui FTJ analogic denormarea în frecvenţă se face cu formula: s s Ω (3.54) unde Ω ese frecvenţa de ăiere la 3 db. Funcţia de ransfer denormaă ese: Ω H Ha ( s) (3.55) s + Ω s+ω unde H ese câşigul la frecvenţă joasă. Pulsaţia de ăiere normaă a filrului digial ese: F3dB ω3db π,π (3.56) Fs Penru proiecarea filrului digial prin ransformarea bilinară, frecvenţa de ăiere a filrului analogic se calculează cu: ω g 3dB Ω Fs g (, π ) 65rad/s (3.57) T Câşigul filrului analogic la frecvenţe joase se deermină din: Ω H Ha ( s) H. (3.58) s Ω k

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 77 Funcţia de ransfer H ( z ) a filrului digial se obţine aplicând ransformarea biliniară: z s, unde T T s z s. (3.59) + Fs şi rezulă: Ω ( + z ) ( ) 4Fs ( z ) + ΩFs( z )( + z ) +Ω ( + z ) 4Fs g (.π )( + z ) ( ) + ( π)( )( + ) + ( π)( + ) H z 4F z 4F g, z z 4F g, z s s s În cazul numeric,,56( + z + z ) H( z) z + z +,4596( z ) +,56( + z + z ) (3.6),675 +,35z +,675z,49z +,48z Câşigul filrului digial la frecvenţa F khz F3dB corespunde câşigului filrului analogic la frecvenţa: π F Ω Fs g Fsg(,π ) Ω (3.6) Fs Înlocuind în expresia lui H a( jω ): Ω Ha( jω ),77 (3.63) Ω + j Ω + Ω Câşigul filrului digial la frecvenţa F 5 khz F s / corespunde câşigului filrului analogic la frecvenţa: π F π Ω Fsg Fsg (3.64) Fs Înlocuind în expresia lui H a( jω ): H j (3.65) a ( ) (3.6)

78 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme 3.8. Proiecaţi un filru digial rece sus pornind de la un filru analogic Buerworh de ordinul. Se impun: frecvenţa de ăiere la 3dB, F3 db 6kHz, frecvenţa de eşanionare ese de khz şi amplificare uniară la frecvenţa khz. a) Proiecaţi filrul numeric prin meoda ransformaei biliniare. b) Puem proieca filrul numeric corespunzăor folosind meoda răspunsului la impuls? Dacă da, proiecaţi filrul. Dacă nu, jusificaţi. Rezolvare a) Denormarea în frecvenţă în cazul unui FTS analogic se face cu formula: Ω s (3.66) s unde Ωese frecvenţa de ăiere la 3 db care se calculează penru ransformarea bilinară: ω g 3dB Ω Fs g (,3 π ) 5555rad/s (3.67) T Funcţia de ransfer denormaă ese în aces caz: s Ha ( s) (3.68) s + Ω s+ω Funcţia de ransfer H ( z ) a filrului digial se obţine aplicând ransformarea biliniară: ( ) H z ( z ) ( z ) + g(,3π)( z ) + g (,3π)( + z ) (3.69) b) În principiu, sun două moive penru care nu se poae folosi meoda invarianţei răspunsului la impuls penru a obţine un FTS digial dinr-un FTS analogic: - eşanionarea funcţiei pondere a filrelor rece-sus produce fenomenul de aliere, din cauza fapului că un asfel de filru, neavând banda limiaă, nu îndeplineşe condiţia Nyquis cu privire la eşanionarea corecă a unui semnal (penru o nedisorsionare a caracerisicii şi penru o refacere ideală eoreică a semnalului analogic din eşanioanele sale, în plus frecvenţa de eşanionare rebuie să fie mai mare decâ dublul frecvenţei maxime din specrul semnalului). - Nici un filru fizic realizabil (chiar FTJ) nu are banda perfec limiaă. Din aces moiv, după eşanionarea răspunsului la impuls (din cadrul meodei invarianţei răspunsului la impuls), va apărea oricum fenomenul

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 79 de aliere înr-o măsură redusă, ceea ce nu va garana în nici un caz conservarea unei anumie valori a amplificării a filrului analogic, la o anumiţă frecvenţă, aşa cum se cere în problemă (amplificare uniară la o anumiă frecvenţă). Ignorând cea de-a doua problemă, vom alege o cale modificaă de proiecare a FTS-ului. Penru aceasa reaminim eapele din proiecarea unui filru digial IIR, indicae în figura 3.. Figura 3.. Eapele de proiecare a unui filru digial IIR Din figură, rezulă că proiecarea unui FTS digial poae fi realizaă şi pe calea b, unde filrul analogic denorma ese un FTJ. Filrele de ip rece-sus analogice nu au în mod eviden banda limiaă, moiv penru care nu se poae aplica meoda invarianţei răspunsului la impuls direc asupra caracerisicii în s denormae. Vom pleca de la filrul rece-jos prooip pe care îl vom rece în planul Z, după care vom aplica o denormare în planul Z. Penru filrul rece-jos norma de ordinul, avem H a ( jω ) (3.7) N +Ω Polii acesui filru sun 3π ± j 4 s, e ± j

8 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme Sau H a ( s) s j s + j Prin descompunere în fracţii simple, rezulă j j ( s ) (3.7) H a (3.7) s j s + j Denormând în planul s s Ha ( s) H a Ω (3.73) şi ΩTs ΩTs e ( j) sin z j HFTJ ( z) ΩT s ΩTs ΩTs ΩTs e cos z + e z (3.74) În final ω ω e sin z HFTJ ( z) ω ω ω ω e cos z + e z (3.75) ese funcţia de ransfer a unui filru digial rece-jos având frecvenţa de ăiere normaă ω Ω Ts. Dacă H FTJ ( z ) ese un filru rece-jos având frecvenţa unghiulară de ăiere la ω, aunci obţinerea unui filru rece-sus H FTS ( z ) cu frecvenţa unghiulară de ăiere ω ' se face cu ransformarea de frecvenţă în planul Z: zfts β zftj β zfts (3.76) unde ' ω + ω cos β ' ω ω cos (3.77)

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 8 Penru filrul rece-sus pe care dorim să-l proiecăm se calculează: ' F 3π ω π. (3.78) Fs 5 Pracic, puem alege orice frecvenţă unghiulară de ăiere la ω a filrului rece jos. ' 3π Dacă alegem ω ω avem: 5 cos ( ω ) 3π β cos (3.79) cos ( ) 5 ' π Puem însă să alegem ω π ω şi avem: 5 cos ( π ) β (3.8) cos ( π ω ' ) caz în care schimbarea de variabilă în planul Z devine o expresie simplă: zftj zfts (3.8) şi funcţia de ransfer a filrului digial ese uşor de calcula: ω ω e sin z HFTS ( z) ω (3.8) ω ω ω + e cos z + e z O valoare câ mai mică a frecvenţei de ăiere impusă asupra filrului analogic rece-jos duce la o aliere mai puţin pronunţaă. Touşi, dacă aceasă frecvenţă ese aleasă prea mică, puem avea un β foare apropia de, care în precizie finiă ar puea fi reprezena cu erori mari. π De exemplu penru ω aenuarea la frecvenţa normaă a FTJ şi la frecvenţa normaă.5 a FTS ese de.7db. Nu se respecă prin urmare cerinţa de asigurare a unui câşig uniar la frecvenţe înale, ceea ce era de anicipa prin folosirea acesei meode. Siuaţia se poae îmbunăăţi dacă se scade frecvenţa de ăiere a filrului π analogic rece-jos, de exemplu ω. Se obţine un câşig la khz de.79db. Îmbunăăţirea se obţine penru că efecul alierii ese mai redus.

8 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme 3.9. Să se arae că se poae proieca un filru rece-sus digial, cu frecvenţa de ăiere F, la frecvenţa de eşanionare F s şi câşig de 6dB la F s /, folosind meoda invarianţei răspunsului la impuls plecând de la un filru analogic de ip rece-bandă, având frecvenţele de ăiere F Fs + F, respeciv F F F şi câşig uniar (db) în cenrul benzii de recere. s Rezolvare Vom considera penru exemplificare cazul unui FTS ideal, cu F s 8F. Conform ipoezei, filrul rece-bandă analogic de la care se pleacă va avea şi el o caracerisică ideală şi are frecvenţele de ăiere F 9F şi F 5F. Meoda invarianţei răspunsului la impuls obţine funcţia pondere a filrului digial în urma eşanionării cu T s a răspunsului la impuls al filrului analogic. Prin urmare hn ( ) Th s a( nts) (3.83) Aceasă eşanionare va avea ca efec periodizarea specrului lui h a () cu F s. Aşa cum se şie, dacă ese respecaă condiţia Nyquis de eşanionare ( Fs Fmax ), nu apare fenomenul de aliere şi caracerisica filrului digial va fi în concordanţă cu cea a filrului analogic. În cazul prezena, aceasă condiţie nu ese respecaă deoarece F > Fs, ceea ce va conduce la apariţia fenomenului de aliere şi deci filrul digial rezula nu va mai fi un FTB cu caracerisica doriă. Rămâne să demonsrăm că apariţia fenomenului de aliere are ca efec obţinerea unui FTS cu cerinţele din ipoeză. F, F F, F Penru aceasa ţinem con că benzile de frecvenţă [ ][ ] se periodizează cu F s. De exemplu banda [ F, F] va apărea la[ F + kfs, F+ kfs], iar banda [ F, F ] la [ F+ kfs, F + kfs], cu k înreg. Înre [ Fs, Fs ], vom avea benzi de frecvenţă la [ Fs + F, F] provenind din [ F + kfs, F+ kfs], k şi din [ F+ kfs, F + kfs], k, precum şi la [ F, Fs F], provenind de la [ F + kfs, F+ kfs], k şi din [ F + kf, F + kf ], k. Specrul norma rezula ese prezena în figura s s 3.. Se poae uşor remarca fapul că în banda de recere câşigul ese (6dB), deoarece se adună conribuţiile din două părţi.

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 83 Figura 3.. Penru verificare, facem apel la Malab. Vom proieca filrul analogic rece-bandă de ordin 3, cu frecvenţele de ăiere khz, 3kHz şi vom folosi meoda invarianţei răspunsului la impuls cu F s 8kHz. [b,a]buer(3,[*pi*e3,*pi*3e3],'s'); %FTB analogic [bz,az]impinvar(b,a,8e3); %invariana la impuls %caracerisica de ampliudine a FTB analogic [Ha,wa]freqs(b,a); figure,plo(wa//pi,*log(abs(ha))),grid % caracerisica de ampliudine a FTS digial [Hd,wd]freqz(bz,az); figure,plo(wd//pi,*log(abs(hd))),grid Figura 3.3. a)ftb analogic b)fts digial

84 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme 3.. Să se sineizeze un filru digial rece-jos, având o caracerisică MLA (maxim de liniariae a ampliudinii). Se precizează că: - la frecvenţa F khz, aenuarea filrului ese mai mică de db; - la frecvenţa F 4kHz, aenuarea filrului ese mai mică de db; - frecvenţa de eşanionare ese Fs khz. Se va uiliza meoda ransformării biliniare. Câ ese lărgimea benzii de recere la 3 db? Rezolvare Caracerisica ampliudine-frecvenţă obţinuă prin ransformarea biliniară aplicaă caracerisicii unui filru analogic Buerworh ese: jω H H ( e ) (3.84) N ω g + g ω Penru a avea câşig uniar la frecvenţe joase se impune H. Penru calculul paramerilor N şi ω se pun condiţiile j lg H ( e ω ) (3.85) j lg H ( e ω ) (3.86) de unde rezulă N.. Alegem N 3 şi se calculează ω.46π. Acese valori saisfac condiţiile de proiecare. Lărgimea benzii de recere la 3 db ese: F.46kHz πt ω (3.87) Filrul analogic Buerworh, de ordinul rei, are funcţia de ransfer 3 () HΩ Ha s (3.88) ( s+ Ω )( s + sω +Ω) Mărimea Ω ese frecvenţa limiă superioară, la 3 db, a filrului analogic daă de ω Ω g 6.3 krad / s (3.89) T Se obţine: 3.35( + z ) H( z) (3.9) (.4 z )(.6z +.48 z )

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 85 3.. Să se proieceze un filru digial rece jos, cu T, pornind de la un filru analogic Buerworh şi folosind a) Meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar penru care log H (j. π ) (3.9) a log H a(j.3 π ) 5 (3.9) b) Transformarea biliniară, cu. π log H a jg (3.93) 3. π log H a jg 5 (3.94) c) Reprezenaţi, folosind mediul MATLAB, caracerisicile ampliudinefrecvenţă şi fază-frecvenţă penru cele două siuaţii. d) Deerminaţi valorile câşigului (în db) penru frecvenţele.π şi.3π. e) Reluaţi puncul a) folosind procedura impinvar din mediul MATLAB. Verificaţi îndeplinirea condiţiilor impuse. f) Reluaţi puncul b) folosind procedura bilinear din mediul MATLAB. Verificaţi îndeplinirea condiţiilor impuse. Rezolvare a) Avem deci Ha jω Ω + Ω N ( ) N (3.95),π,,3π,5 + şi + (3.96) Ω Ω Din aces sisem rezulă N 5.88 şi Ω.747. Alegem N 6 şi Ω. Avem rei perechi de poli, deci funcţia de ransfer ese obţinem.73 N Ha şi () s.93 s s s s s s (3.97) ( +.364 +.4945)( +.9945 +.4945)( +.3585 +.4945)

86 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme.87.4466z H( z) +.97z +.6949z (3.98).48 +.454z.8558.634z + +.69z +.3699z.997z +.57z b) Avem N N g(. π ). g(.5 π ).5 + şi + (3.99) Ω Ωc Din aces sisem cu două necunoscue avem N 5.3. Alegem N 6. Obţinem imedia Ω c.766. Avem rei perechi de poli, deci funcţia de ransfer ese. 38 Ha() s (3.) ( s +. 396 s+. 587)( s +. 83 s+. 587)( s +. 48 s+. 587) şi aplicând ransformarea biliniară se obţine 6.7378( + z ) H( z) (.68z +.75 z )(.z +.358 z )(.94z +.5 z ) (3.) 3.. Să se sineizeze un filru rece-jos digial, cu o caracerisică de ampliudine de ip Cebâşev în banda de recere, având: - o ondulaţie de db. - lărgimea de bandă în sens Cebâşev, normaă, ω p.π. - o aenuare de cel puţin 5 db, la frecvenţa ωs.3π. Se va uiliza ransformaa biliniară. Rezolvare Valoarea lui ε se va deermina impunând aenuarea maximă în banda de recere de db. amax lg( + ε ) db (3.) Rezulă ε.588. Frecvenţele limiă penru filrul analogic sun: ω p s p g. 35, s g ω Ω Ω. 59 (3.3) T T T T

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 87 Având în vedere că aenuarea unui filru Cebâşev ese daă de a( Ω ) lg( + ε ch ( NargchΩ )) (3.4) rezulă că ordinul filrului se poae calcula cu,a / min N argch Ω.amax argch s Ω p (3.5) 5. / N argch 3. 7. 59. argch 35. Se alege deci N 4, cu polii s, (.395 ± j.9834) Ω p (3.6) s3,4 (.3369 ± j.473) Ω p Funcţia de ransfer a filrului analogic ese daă de Ha() s (3.7) 4 3 ε ( s s ) Rezulă i 4 ΩP p p p Ha() s (3.8) 4. 7( s +. 79Ω s+. 9865 Ω )( s +. 6738Ω s+. 794) După efecuarea ransformaei biliniare, se obţine 4. 836( +z ) Hz () (3.9) (. 4996z +. 848 z )(. 5548z +. 6493 z ) i 3.3. Dorim proiecarea unui filru digial, cu T, pornind de la un filru analogic Cebâşev de ipul şi folosind a) Meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar în condiţiile lg H a(j. π ) (3.) lg H a(j.3 π ) 5 (3.) b) Transformarea biliniară, în condiţiile ( j.π H e ) j.3π H( e ) lg (3.) lg 5 (3.3) c) Reprezenaţi, folosind mediul MATLAB caracerisicile ampliudinefrecvenţă şi fază-frecvenţă penru cele două siuaţii. Deerminaţi valorile câşigului (în db) penru frecvenţele.π şi.3π.

88 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme Rezolvare a) Şim că Ha( jω ) (3.4) N Ω + ε CN Ωc Impunând valoarea în.π se obţin Ω c.7474rad/s şi ε.5885. Penru N 3 lg Ha( j.3 π ) 3.489 (3.5) şi penru N 4 Alegem N 4. Obţinem funcţia de ransfer lg Ha( j.3 π ).5834 (3.6).3886 Ha() s ( s +.433s+.3)( s +.753s+.3894) (3.7) şi.837 +.39z.837 +.46z H( z).5658z +.6549z.4934z +.839z (3.8) b) Ω c g(. π /), ε.5885, N 4. (3.9).438 Ha() s ( s +.84s+.466)( s +.4378s+.89) (3.) 4. 836( +z ) H( z ) (. 4996z +. 848 z )(. 5548z +. 6493 z ) (3.) 3.4. Dorim proiecarea unei filru digial, caraceriza prin: ( j.π) ( ) ( j.3π) ( ) lg H e (3.) lg H e 5 (3.3) pornind de la un filru analogic elipic, şi uilizând ransformarea biliniară, cu T. a) Deerminaţi funcţiile de ransfer penru filrul analogic şi penru cel numeric. b) Deerminaţi şi reprezenaţi caracerisicile ampliudine-frecvenţă şi fazăfrecvenţă. c) Deerminaţi valorile corespunzăoare penru frecvenţele,π şi,3π. Se va uiliza mediul Malab.

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 89 Rezolvare a) Se deduce N 3, pornind de la 3. π lg H a jg 5 (3.4).π lg H a jg (3.5) Funcţiile de ransfer sun. 46( s +. 34) Ha() s (3.6) (. 6498 s+. 448)( s +. 5 s+. 433) şi. 5634( +z )( -. 66 z +z ) H( z ) (3.7) (. 683 z )(. 446z +. 7957 z ) 3.5. Fie filrul numeric cu funcţia de ransfer 45(. +z ) Hz () (3.8) - 59. z a) Arăaţi că ese un FTJ cu frecvenţa de ăiere la 3 db, ωc.π. b) Transformaţi-l înr-un FTB cu frecvenţa de ăiere superioară de ωu 3 π /5 şi inferioară de ω π / 5. Rezolvare l unde a) Se verifică simplu că () b) Transformarea doriă ese z π H şi H ( e ) + a + a z z az + az +. j. u- l c K cg ω ω g ω ωu + ωl cos α K K α, a, a ωu ωl cos K + K + (3.9) (3.3) (3.3)

9 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme Subsiuind deci K,.45( a)( z ) H( z) (3.3) +.59a.59 a z + ( a +.59) z a, a şi.45( z ) H( z) (3.33) +.59z 3.6. Fie secvenţa x( n ) cu primele 6 valori dae de x [,. 5,. 75,. 375,. 875,. 938] T (3.34) Modelaţi aceasă secvenţă ca răspuns la impulsul uniae al unui filru RII, folosind aproximaţia Pade. Se impun ordinele numărăorului şi numiorului, M şi N. a) M, N (doi poli); b) M, N (două zerouri); c) M, N ( un pol şi un zero). Rezolvare a) Avem de rezolva sisemul de ecuaţii x () b() x () x () a () (3.35) x () x () x() a () unde b() x(). Soluţia ese a().5, a().5, deci Hz () (3.36) 5. z + 5. z Funcţia pondere ese daă de h [,5,75,.. -. 5, -. 8, -. 53,...] T (3.37) Se obţin în mod exac numai primele 3 valori. Mai depare, apar diferenţe mari, modelul fiind de fap insabil. b) In aces caz numiorul ese egal cu uniaea. Sisemul de ecuaţii ese imedia da de b() a () b() (3.38) a() b() H () z + 5. z + 75. z (3.39)

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 9 Funcţia pondere ese daă de h [,.5,.75,,...] T (3.4) Aproximaţia nu ese suficien de bună decâ penru primele 3 valori. c) Modelul ese de forma b () +b() Hz () z (3.4) +a() z Avem de rezolva sisemul de ecuaţii x () b() x () x () b() a() (3.4) x () x() Deci +z Hz () (3.43). 5z Calculând funcţia de pondere, se consaă ca se obţin în mod exac primele 6 valori. 3.7. Deerminaţi paramerii filrului cu funcţia de ransfer b+bz Hz () (3.44) +az folosind aproximaţia Pade, dacă valoarea doriă a răspunsului sisemului la impuls ese: n hd ( n) u( n) (3.45) Realizaţi o implemenare a acesei meode în MATLAB. Comparaţi rezulaele eoreice cu cele obţinue în urma aplicării procedurii. Rezolvare Observăm că puem obţine direc, fără nici o aproximaţie, b, b, a.5. Dacă folosim aproximaţia Pade cu δ ( n) drep inrare a lui H ( z ), avem: Penru n > sau echivalen hn ( ) ahn ( ) + bδ ( n) + bδ ( n ) (3.46) hn ( ) ahn ( ) (3.47)

9 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme hd( n) ah d( n ) (3.48) Folosind h d din ex obţinem a.5. Penru a obţine b şi b folosim, din eorie, cu hn ( ) hd ( n) relaţiile hn ( ).5 hn ( ) + bn, n, (3.49) Penru n rezulă b, penru n obţinem b. Deci H ( z) H ( z). d 3.8. Fie secvenţa x( n ) cu primele 5 valori dae de x [, 4,,, 3] T (3.5) Folosind aproximaţia Pade să se deermine un filru RII a cărui funcţie pondere să aproximeze secvenţa x, penru N M. Rezolvare a) Avem de rezolva sisemul de ecuaţii b() 4 b() 4 a () b() (3.5) 4 a () 3 Din ulimele două ecuaţii avem 4 a() a() 3 (3.5) Aces sisem ese incompaibil, adică nu exisă o pereche a (), a () care să saisfacă sisemul de mai sus. In concluzie presupunerea a () ese incorecă. Presupunem a () şi avem 4 a() a() (3.53) Soluţiile sun a (), a (). Revenind în prima ecuaţie a rezolvării, penru a deermina coeficienţii bk ( ), k,, avem b() b() 4 (3.54) b () 4 7

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 93 Obţinem z + 7z Hz () z z (3.55) Observăm că am obţinu un model în care N M în loc de N M. Calculând ransformaa inversă a lui H ( z ) avem Primele 5 valori sun 3 n hn ( ) δ ( n) + un ( ) (3.56) Aproximaţia nu ese bună decâ penru primele 4 valori. x [,4,,,5]. T (3.57) 3.9. Fiind daă parea reală a ransformaei Fourier în imp discre penru o secvenţă cauzală x( n) jω acosω XR( e ), a < (3.58) acosω + a deerminaţi X( z ), x( n ) şi părţile pară şi impară ale lui x( n ), x ( n ) şi x ( n ). p i Rezolvare a e jω ( e jω + ) jω XR( e ) jω jω ( ae )( ae ) (3.59) a ( v v + ) XR() v ( av)( av ) (3.6) a z+ v v v ( v ) z+ v v R (3.6) d + d X( z) X ( v) π z v v π av v a z v v C C ( )( ) {, } C v v (3.6) După cum ese cunoscu, inegrala se rezolvă prin meoda reziduurilor. Penru z în domeniul de convergenţă, z > (3.63) în ineriorul conurului de inegrare C se află numai polii v şi v a.

94 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme a a/ z a ( a + )( z+ a) z+ a z X( z) + + a z ( + a )( z a) z a z a Penru deerminarea lui x( n ) avem unde un ( ) ese reapa uniae. Deci z x n Z a u n z a n ( ) ( ) (3.64) (3.65) n n xp( n) ( x( n) + x( n) ) ( a u( n) + a u( n) ) (3.66) n n xi ( n) ( x( n) x( n) ) ( a u( n) a u( n) ) (3.67) 3.. Penru o secvenţă cauzală x( n ), se cunoaşe parea imaginară a ransformaei Fourier jω X ( e ) asinω, a <, x() (3.68) Deerminaţi X( z ) şi x( n ). I + a acos ω Rezolvare a jω jω a j ( e e ) j ( v v ) jω X ( ) I e (3.69) jω jω ( ae )( ae ) ( av)( av ) z+ v dv X( z) XI ( v) x() π + z v v C (3.7) a ( v ) z+ v dv a z+ a x() π + + + ( av)( v a) z v v C ( a) z a a

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 95 Probleme propuse 3.. Fie filrul analogic defini de Ha() s (3.7) ( s+ )( s + s+ ) Sineizaţi analiic filrele numerice corespunzăoare penru o frecvenţa de eşanionare de rad/s, uilizând: a) meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar. b) ransformarea biliniară. c) Reluaţi a) şi b) folosind mediul Malab. d) Comparaţi câşigurile acesor filre la frecvenţele şi.5f s. e) Comparaţi frecvenţa de ăiere la 3 db a filrului analogic cu aceea a filrului obţinu la puncul b (analiic). f) Comparaţi frecvenţa de ăiere a filrului analogic cu aceea a filrului obţinu la puncul a (uilizând mediul Malab). 3.. Fie filrul analogic defini de Ha() s (3.7) s s + Sineizaţi filrele numerice corespunzăoare penru o frecvenţă de eşanionare de rad/s, uilizând: a) Meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar. Comparaţi frecvenţa de ăiere a filrului analogic cu aceea a filrului obţinu (uilizând mediul MATLAB). b) Transformaa biliniară. Comparaţi frecvenţa de ăiere a filrului analogic cu aceea a filrului obţinu (analiic). c) Reluaţi a) şi b) folosind mediul MATLAB. d) Comparaţi câşigurile acesor filre la frecvenţele şi.5f s. 3.3. Se doreşe proiecarea unui filru numeric, cu frecvenţa de eşanionare de khz, pornind de la filrul analogic cu funcţia de ransfer s -3s+ 3 Ha() s (3.73) s + 3 s+ 3 a) Puem proieca filrul numeric corespunzăor folosind meoda invarianţei răspunsului la impuls? Dacă da, proiecaţi filrul. Dacă nu, jusificaţi. b) Proiecaţi filrul numeric prin meoda ransformării biliniare. Verificaţi că filrul obţinu ese de acelaşi ip (din puncul de vedere al caracerisicii ampliudine - frecvenţă), cu filrul iniţial.

96 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme Indicaţie: Filrul ese de ip rece o; de aceea rezulaele dae de aplicarea meodei răspunsului la impuls sun nesaisfăcăoare. 3.4. Proiecaţi un filru rece jos pornind de la un filru analogic Buerworh de ordinul. Se impun: frecvenţa de ăiere la 3dB, F3 db khz, frecvenţa de eşanionare ese de khz şi amplificare uniară la frecvenţe joase. a) Puem proieca filrul numeric corespunzăor folosind meoda invarianţei răspunsului la impuls? Dacă da, proiecaţi filrul. Dacă nu, jusificaţi. b) Proiecaţi filrul numeric prin meoda ransformaei biliniare. Penru filrele obţinue calculaţi câşigul la frecvenţele khz şi khz. 3.5. Proiecaţi un filru digial rece jos pornind de la un filru analogic Buerworh de ordinul folosind meoda invarianţei la impuls uniar. Se impun: - frecvenţa de ăiere la 3dB, F3 db 4kHz. - frecvenţa de eşanionare ese de khz. Penru filrul obţinu calculaţi câşigul la frecvenţele 4kHz şi khz. 3.6. Să se sineizeze un filru rece-jos digial, cu o caracerisică de ampliudine de ip Cebâşev în banda de recere, având: - o ondulaţie de db în banda de recere. - lărgimea de bandă în sens Cebâşev, normaă, ω p,4π. - o aenuare de cel puţin db, la frecvenţa ωs,36π. - perioada de eşanionare T. Se va uiliza ransformaa biliniară. 3.7. Proiecaţi un FTJ cu urmăoarele specificaţii: aenuarea în banda de recere cel mul db, frecvenţa limiă superioară a benzii de recere 4 khz, aenuarea în banda de oprire mai mare de 4 db, frecvenţa limiă inferioară a benzii de recere 6 khz, raa de eşanionare 4 khz. Se va uiliza ransformaa biliniară pornind de la un filru de ip Buerworh, Cebâşev şi elipic.

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 97 3.8. Fie un sisem coninuu descris prin ecuaţia N k M k d y ( ) d x ( ) ck k dk (3.74) k k d k d Se aproximează aces sisem analogic, cu un sisem discre în imp, penru care x( n) xa( nt) şi yn ( ) ya( nt), înlocuind derivaele cu diferenţele finie definie mai jos () yn ( + ) yn ( ) D { y( n) } (3.75) T ( k+ ) ( ) () ( k D y n D D ) y( n) (3.76) Noăm : a) Deerminaţi: asfel încâ H a { } { } { } () D { yn ( )} yn ( ) Ya () s () s X () s şi b) Reprezenaţi în planul z funcţia φ ( z). a (3.77) Y( z) H( z). (3.78) X( z) s φ () z (3.79) ( φ ) H ( z) H ( z) (3.8) a 3.9. Fie H ( s ) de forma a r Ak H a() s +Ga() s k k ( s s) (3.8) unde s ese un pol de ordinul r şi Ga ( s ) are doar poli de ordinul. a) Deerminaţi o formulă penru a calcula A k din H a( s ). b) Deerminaţi o expresie penru ha ( ) în funcţie de s şi ga( ), ransformaa Laplace inversă a lui Ga ( s ). c) Definim hn ( ) ha ( nt) răspunsul la impuls al filrului digial. Folosind puncul b deerminaţi H ( z ). 3.3. Fie un filru analogic sabil cu funcţia de pondere k h () Ae s u() (3.8) a k

98 Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme unde u ( ) ese funcţia reapă uniae şi hn ( ) funcţia de pondere a filrului numeric, proieca pornind de la filrul analogic prin ransformaa biliniară cu o frecvenţa de eşanionare Fs / T. Demonsraţi că dacă F >> max s (3.83) aunci s k k hn ( ) Th( nt), penru n (3.84) a 3.3. Se poae formula o meodă a invarianţei răspunsului la impuls reapă penru recerea de la filrul analogic la cel digial. Fie filrul analogic având funcţia de ransfer N Ak Ha() s (3.85) k s sk Se noează cu ya( ) răspunsul la impuls reapă uniae al filrului. Sineizaţi un filru numeric al cărui răspuns la reapă, yn, ( ) ese yn ( ) ya( nt) (3.86) unde T ese perioada de eşanionare. a) Deduceţi expresia funcţiei de ransfer H ( z ). b) Demonsraţi că j H(e ) H a () (3.87) (invarianţa câşigului la frecvenţe joase). Comparaţi din aces punc de vedere aceasă meodă cu meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar. c) Demonsraţi că dacă skt <<, k,..., N, înre funcţiile pondere exisă relaţia hn ( ) Th( nt) (3.88) a 3.3. Fie filrul analogic având () α H, a s α > (3.89) s + α Pornind de la acesa consruiţi două filre numerice, uilizând meoda invarianţei la impuls uniar şi meoda invarianţei la impuls reapă uniae (vezi problema anerioară). Reprezenaţi caracerisicile ampliudine-frecvenţă. Comparaţi câşigurile celor două filre cu cel al filrului analogic la frecvenţele,,5f s,,5f s.

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 99 3.33. Fie un filru analogic sabil cu funcţia de ransfer H a( s ). Demonsraţi că dacă oţi polii saisfac condiţiile: skt <<, k,..., N (3.9) iar diferenţa dinre gradul numiorului şi al numărăorului ese de cel puţin, aunci filrul digial H ( z ) obţinu prin meoda invarianţei răspunsului la impuls uniar îndeplineşe relaţiile: j H(e ) H a () (3.9) jπ H(e ) H a (j ) (3.9) 3.34. Reformulaţi problema anerioară penru cazul când filrul digial ese sineiza uilizând meoda invarianţei răspunsului la impuls reapă uniae (vezi şi problema 8). 3.35. Ce fel de filru ese H ( z ) dacă: z+ H( z ) H (3.93) z unde H ( ) z ese un FTJ digial ideal? Deerminaţi elemenele ce caracerizează noul filru (frecvenţă de ăiere ec.) 3.36. Fie un FTJ Buerworh cu un singur pol da de funcţia de ransfer: 5(. + z ) H( z ) (3.94) 5. z Deerminaţi frecvenţa de ăiere. Transformaţi aces filru înr-un FTB cu frecvenţa de ăiere superioară de ω 3 π /5 şi inferioară de ω π / 5. u l 3.37. Deerminaţi ordinele filrelor digiale rece jos de ip Buerworh, Cebâşev, Cebâşev şi elipic ce îndeplinesc condiţiile: - o aenuare de cel mul.5 db până la frecvenţa de. khz; - o aenuare mai mare de 4 db penru frecvenţe mai mari de khz; - frecvenţa de eşanionare ese khz. Se po uiliza procedurile buord, chebord, chebord şi ellipord din MATLAB. Comparaţi rezulaele. Reluaţi problema penru o frecvenţă de eşanionare de 5 khz. Ce concluzie se poae rage?

Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme 3.38. Proiecaţi, folosind procedura buer, un FTJ RII de ordinul 5 cu frecvenţa de eşanionare khz şi o aenuare de 3 db la frecvenţa de.6 khz. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica faza-frecvenţă folosind procedura freqz. Reprezenaţi poziţia polilor şi zerourilor uilizând funcţia zplane. Folosind procedura filer reprezenaţi parea semnificaivă a răspunsului la impuls (circa de eşanioane). 3.39. Proiecaţi, folosind procedura cheby din mediul MATLAB, un FTJ RII de ordinul cu frecvenţa de eşanionare de khz, cu o aenuare de 3 db la frecvenţa de.6 khz şi riplul de.5 db. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica fază-frecvenţă folosind procedura freqz. Reprezenaţi poziţia polilor şi zerourilor uilizând procedura zplane. 3.4. Sineizaţi un filru numeric rece-jos, de ip Cebâşev, de ordinul 6, având frecvenţa normaă de ăiere,5 şi un riplu de,. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi deerminaţi lărgimea benzii de ranziţie, definiă la o aenuare de 3 db penru banda de recere şi în sens Cebâşev penru banda de oprire. Reprezenaţi poziţia polilor şi a zerourilor în planul z şi explicaţi efecul lor asupra caracerisicii de frecvenţă. Reluaţi problema penru ordinul 8. 3.4. Proiecaţi un filru digial rece sus cu urmăoarele specificaţii: aenuarea minimă în banda de oprire 4dB, aenuarea maximă în banda de recere,8 db, frecvenţa limia superioară a benzii de oprire.5 rad/s, frecvenţa limiă inferioară a benzii de recere.5 rad/s. Frecvenţa de eşanionare ese rad/s. Folosiţi aproximările: Buerworh, Cebâşev, Cebâşev, elipică şi ransformarea biliniară. 3.4. Proiecaţi un filru elipic rece bandă cu urmăoarele specificaţii: riplul în banda de oprire., riplul în banda de recere., banda de ranziţie inferioară de la 8rad/s la 9rad/s şi banda de ranziţie superioară de la rad/s la rad/s. Frecvenţa de eşanionare ese 6 rad/s.

Capiolul 3 Filre cu răspuns fini la impuls 3.43. Proiecaţi un filru Cebâşev de ipul, opreşe bandă, cu urmăoarele specificaţii: aenuarea minimă în banda de oprire db, aenuarea maximă în banda de recere db, banda de ranziţie inferioară de la 8rad/s la 9rad/s şi banda de ranziţie superioară de la rad/s la rad/s. Frecvenţa de eşanionare ese 8 rad/s. Reluaţi uilizând o aproximare Cebâşev. Se vor folosi procedurile corespunzăoare din mediul Malab. 3.44. Proiecaţi, folosind procedura ellip din mediul MATLAB, un FTJ elipic de ordinul 5 cu frecvenţa de eşanionare de khz, cu o aenuare de 3 db la frecvenţa de.6 khz şi riplurile de db în banda de recere şi 4dB în banda de oprire. Reluaţi apoi penru ordinul 6. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica fazafrecvenţă. Reprezenaţi poziţia polilor şi zerourilor şi explicaţi pe baza aceseia comporarea caracerisicii ampliudine-frecvenţă. Deerminaţi lărgimea benzii de ranziţie. 3.45. Proiecaţi, folosind procedurile buord şi buer, un FTB RII cu aenuarea minimă în banda de oprire 4dB, aenuarea maximă în banda de recere db, banda de ranziţie inferioară de la 5rad/s la 6rad/s şi banda de ranziţie superioară de la rad/s la rad/s. Frecvenţa de eşanionare ese 6 rad/s. Deerminaţi ordinul filrului şi frecvenţele de ăiere la 3 db. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica faza-frecvenţă şi verificaţi condiţiile de proiecare. 3.46. Proiecaţi, folosind procedurile chebord şi cheby din mediul MATLAB, un FTS cu aenuarea minimă în banda de oprire 4dB, aenuarea maximă în banda de recere db şi banda de ranziţie de la 8Hz la 9Hz. Frecvenţa de eşanionare ese 3kHz. Deerminaţi ordinul filrului şi frecvenţa de ăiere la 3 db. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica fază-frecvenţă folosind procedura freqz. Reprezenaţi poziţia polilor şi zerourilor. 3.47. Proiecaţi, folosind procedurile chebord şi cheby din mediul MATLAB, un FTJ cu aenuarea maximă în banda de recere.5db, aenuarea

Prelucrarea numerică a semnalelor Probleme minimă în banda de oprire 4dB şi banda de ranziţie de la 9Hz la khz. Frecvenţa de eşanionare ese 4kHz. Deerminaţi ordinul filrului şi frecvenţa de ăiere la 3 db. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica fază-frecvenţă folosind procedura freqz. Reprezenaţi poziţia polilor şi zerourilor. 3.48. Proiecaţi, folosind procedurile ellipord şi ellip din mediul MATLAB, un FTS elipic cu aenuarea maximă în banda de recere db, aenuarea minimă în banda de oprire 3dB şi banda de ranziţie de la 3Hz la 35Hz. cu frecvenţa de eşanionare de khz. Deerminaţi ordinul filrului şi frecvenţa de ăiere la 3 db. Reprezenaţi caracerisica ampliudine-frecvenţă şi caracerisica faza-frecvenţă. Reprezenaţi poziţia polilor şi zerourilor şi explicaţi pe baza aceseia comporarea caracerisicii ampliudine-frecvenţă. 3.49. Fie un FTJ cu caracerisica daă de -j5ω jω e, ω < π / H d ( e ) (3.95) in, res Deerminaţi răspunsul la impuls. Proiecaţi un filru RII, având gradele numărăorului şi numiorului M respeciv N, care să aproximeze filrul de mai sus, folosind aproximaţia Pade, în cazurile: a) N, M. b) NM5. Reprezenaţi caracerisicile ampliudine-frecvenţă şi comparaţi-le cu ale filrului iniţial. 3.5. Reluaţi problema anerioară folosind meoda Prony. 3.5. Sineizaţi prin meoda Prony un filru RII cu N M care să aproximeze funcţia pondere, n,,..., N hd ( n ) (3.96), n N Evaluaţi eroarea (funcţia cos) minimizaă. Caz paricular N ; penru aceasă valoare a lui N reprezenaţi funcţia de pondere obţinuă.