3.3 POISSONOVA ENAČBA

3.3 POISSONOVA ENAČBA 3.3. SPLOŠNO * Gaussov zakon o lktričn prtoku: intgralna oblika: difrncialna oblika: DdS dv D (3.3.),, x y z Zvza d E in : E (3.3.) Iz načb (3.3.), (3.3.) in D E sldi: E D oziroa:,, (3.3.3) kjr so upoštvali: x y z (3.3.4) Enačbo (3.3.3) inujo Poissonova načba. 3.3. -D PRIMER dx D S S x x dx x 58

DdS d V, Dx dx S Dx S S dx, Gaussov zakon dd dx, dd, dx de. dx (3.3.5) V načbo (3.3.5) vstavio zvzo: d E (3.3.6) d x in dobio Poissonovo načbo v ni dinziji: d d dx dx, (3.3.7) oziroa: d dx x. (3.3.8) 3.3.3 PRIMER: Ršvanj Poissonov načb v obočju s konstantno volusko gostoto naboja konst. Ršujo načbo (3.3.8) v obočju od x = do x = l, kjr : d dx, kjr so upoštvali konst. Enačbo (3.3.8) intgrirao in dobio: (3.3.9) d E x x B (3.3.a) dx 59

Intgracija načb (3.3.a) pa da: x x Bx, (3.3.b) kjr sta B in konstanti. o Kakšna j vrdnost konstant B? Zaradi sitrij j sila na točkasti naboj pri l l x naka nič, torj j Ex : l l E x B B l. (3.3.) Torj: x x l x, (3.3.) x l Ex. (3.3.3) o aksiu funkcij x j pri prdpostavili (načba (3.3.)). d l E, to j pri x dx kot so ž prj o č izbro : x Ex x x = x = l o č bi hotli poznati x in E x š za x < in x > l, bi orali ršiti Poissonovo načbo š v th dvh obočjih, kjr j. Pri t bi orali upoštvati š ustrzn robn pogoj za E in pri x = in x = l. 6

3.4 ELEKTRIČNA DVOJNA PLAST V ravnini x = si zaislio nskončno razsžno ravno ploščo, ki j na površini nakorno nabita. Površinska gostota naboja plošč j ngativna. Ta plošča j v stiku z lktrolitsko raztopino, v katri so pozitivni in ngativni ioni. V okviru odla prdpostavio, da so ioni točkasti nosilci naboja. Kr j površina plošč ngativno nabita, privlači pozitivn ion in odbija ngativn. Zato j v bližini plošč vč pozitivnih ionov kot ngativnih. Prostorninska gostota naboja v raztopini s sprinja v sri, ki j pravokotna na ravnino x =. i x n x (3.4.) i i, kjr j i valnca ionov i-t vrst, osnovni naboj in n i (x) štvilska gostota ionov i-t vrst. V naš priru iao v raztopini sao dv vrsti novalntnih ionov (i =,-), za katr vlja:,. _ x (3.4.) ravnina x = Slika 3.4.. Elktrična dvojna plast (lktrolitska raztopina v stiku z ngativno nabito ploščo). Prdpostavio, da j clotni naboj v raztopini na noto površin nak nič: x dx. (3.4.3) Prbitk pozitivnga naboja v raztopini (t.j. prbitk pozitivnih ionov) uravnovsi ngativni naboj na površini plošč. Na lgo ionov v raztopini vpliva lktrostatično polj, katrga potncial označio s x. Dalč od plošč n dluj na posazn ion v raztopini v povprčju nobna sila, torj j ta lktrični potncial konstantn. Dogovorio s, da j x. (3.4.4) 6

Prdpostavio, da j sist v trodinask ravnovsju, tako da za ion v raztopini vlja Boltzannova porazdlitv: x n x n kt x n x n xp, kt xp, (3.4.5) (3.4.6) kjr j k Boltzannova konstanta in T absolutna tpratura. Prdpostavio, da j dalč stran od ngativno nabit plošč lktrolitska raztopina lktrično nvtralna. V naš priru ora biti zaradi (3.4.) in (3.4.4) zato izpolnjno. n n n (3.4.7) Da določio krajvno odvisnost lktričnga potnciala V naš priru iao ravno gotrijo, zato vlja: x zapišo Poissonovo načbo.. d x dx (3.4.8) kjr j dilktričnost raztopin, pa influnčna konstanta. Ko upoštvao (3.4.8), (3.4.), (3.4.5) in (3.4.6) dobio d n sh. dx kt (3.4.9) Č j potncialna nrgija x vliko anjša od tričn kt, lahko dsno stran načb (3.4.9) razvijo v vrsto. Pri t upoštvao sao prvi čln v razvoju. Enačba (3.4.9) prid v d dx, (3.4.) kjr j n. Ršitv načb (3.4.), ki ustrza robnu pogoju (3.4.4) j: kt x xp, x kjr j vrdnost lktričnga potnciala v ravnini x =. 6

Elktrično dvojno plast sstavljata torj ngativni naboj v ravnini x = in pozitivna plast naboja ionov, ki s razširja v raztopino. Na razdalji, ki ji pravio fktivna dblina lktričn dvojn plasti, pad lktrični potncial za faktor. n(x) n n Slika 3.4.. Štvilska gostota ionov v odvisnosti od x. x Tabla: Odvisnost od n pri T = 98 K. n N A ol * l.5 4.3. 6.8. 9.6.5 3.6..5. 3.4.5 43.. 68.. 96. * N A j Avogadrovo štvilo Robni pogoj: Gaussov zakon o lktričn prtoku E za x d dx x 63

3.5 ENERGIJA ELEKTRIČNEGA POLJA * Vsota dvodlčnih nrgij za sist nabojv : W i j j i i j r ij i j r 4 4 ij i j i lktrični potncial na stu naboja i j 4 rij d Č vpljo volusko gostoto naboja: lahko zapišo dv nrgijo lktričnga polja v obliki: W i r r dv (3.5.) Ob upoštvanju Poissonov načb: i iz načb (3.5.) sldi: W dv (3.5.) Ob upoštvanju Grnovga tora:, oziroa (3.5.3) iz načb (3.5.) sldi: W dv dv (3.5.4) Pogljo si sdaj prvi čln v načbi (3.5.4), ki ga ob upoštvanju Gauss-ovga tora zapišo v obliki: dv n da (3.5.5) V A kjr j da n da. Dsno stran načb (3.5.5) lahko zapišo tudi kot 64

A n n da da, A torj W A da n V dv (3.5.6) Č j naboj lokaliziran j. r Č izbro poljubno površino za intgracijo v prv člnu v načbi (3.5.6) pri zlo vlikih r, kjr j, vlja d A n A r, (3.5.7) Torj prid načba (3.5.6) v: W dv D E dv. (3.5.8) V 65

3.6 SILA NA DIELEKTRIK a l d kondnzator x = dilktrična konstanta o Ko vstavio dilktrik d plošči izoliranga kondnzatorja (do globin x) s naboj na ploščah n sprni, torj vlja: S C U U konstanta za vs x, d S kjr C kapacitta pri x = in U naptost d ploščaa pri x =. d o Pri x sist obravnavao kot dva vzpordno vzana kondnzatorja W W x C x W x C U ax al x d d o Sila na dilktrik sila d naboj na ploščah in dipoli v dilktriku F al U dw x dx d x l 66

3.7 SILA NA TOČKASTI NABOJ V BLIŽINI MEJE DVEH DIELEKTRIKOV r q d q = točkast naboj d cos r MODEL: Prdpostaviš, da tudi na dsni strani, razliko v ih naboj dsnga področja ( ) p q r E d p E pa upoštvaš s površinski Vrdnosti polja na stični ploskvi: E q d (v srdstvu ) (3.7.) p 4 r r 67

E q d (v srdstvu ) (3.7.) p 4 r r Robni pogoj (sldi iz Gaussov-ga zakona o lktričn prtoku): d A E A E da (3.7.3) d Iz načb (3.7.3) sldi: E E (3.7.4) V načbo (3.7.4) vstavio vrdnosti E in E iz načb (3.7.) in (3.7.), tr iz nastal načb izračunao vlikost p. Pot pa izračunao š E p : E p p qd 4 r r. (3.7.5) Enačbo (3.7.5) lahko zapišo v obliki: E p kjr j q' d, 4 r (3.7.6) r q' q. (3.7.7) Prispvk k lktričnu polju na lvi strani j zaradi izglda torj kot lktrično polj točkastga naboja q' na dsni strani j: 68

69 Tako lahko zapišo silo d naboj q na lvi strani v diju in naboj q q ' na dsni strani v diju na razdalji d v obliki:. 4 4 4 ' d q d q q F (3.7.8) Zaključk: sila na točkasti naboj q v diju j:. 4 4 d q F. č F (odbojna sila stran od jn ploskv). č F (privlačna sila proti jni ploskv)

3.8 INFLUENCA PRVOTNO ELEKTRIČNO POLJE ELEKTRIČNO POLJE NABOJA NA POVRŠINI PREVODNIKA CELOTNO POLJE JE VSOTA OBEH POLJ - - - - - - - - - - kovinska krogla Opoba: površina prvodnika postan kvipotncialna ploskv o Nposrdna ritv gostot lktričnga polja Izrio influnciran naboj () na ploščah, ki jih razakno: Naboja in pravio influncirana (ali inducirana) naboja. Pot izračunao gostoto lktričnga polja D. S 7

4. Snov v agntn polju 4. NAVOR NA TOKOVNO ZANKO 4.. ZANKA V OBLIKI PRAVOKOTNIKA Tloris: B o Navor M r F, F I l B Stranski pogld: B gostota agntnga polja F I b B F I b B 7

M F a sin F a a sin a F F sin I b Bsin I ab sin B ab S (površina tokovn zank) č M I S Bsin I S ( p agntni dipolni ont tokovn zank) p M p B 4.. POLJUBNA OBLIKA ZANKE (posplošitv): Po pikčastih črtah gr tok nkrat gor, drugič dol, tako, da j vsota nič. Zato vlja: M I S Bsin p Bsin v splošn za poljubno obliko zank. o Vč zank druga na drugi: N I S, N štvilo zank (na prir v ploščati tuljavi) p 4..3 PODOBNOST d agntni polj paličastga pranntnga agnta in agntni polj tokovn zank pranntni agnt tokovna zanka p I p sliki: Srway, 99 7

o sr p : p sr agntnga onta tokovna zanka sr lktričnga toka slika: Srway, 99 4..4 NIHANJE MAGNETNICE V ZEMELJSKEM MAGNETNEM POLJU južni agntni pol svrni gografski pol gografski kvator južni gografski pol svrni agntni pol Silnic zljskga agntnga polja (Srway, 99) 73

B p N S Enačba vrtnja: M J (4..) J = vztrajnostni ont M p Bsin navor d kotni pospšk dt torj: d p Bsin J. dt Č so odiki ajhni : sin : p d B J, oziroa dt p B d. (4..) J dt Ršitv načb (4..) j: d sin t, sin. t d t t t t (4..3) Izraza (4..3) vstavio v načbo (4..) in dobio: 74

t p J B, (4..4) torj: J t nihajni čas agntn igl (4..5) p B 4..5 ENERGIJA MAGNETNICE V ZUNANJEM MAGNETNEM POLJU A kjr W p Bcos W, M d p sin Bd pbcos p Bcos p B : W p B (nrgijski iniu) : p B : W p B (nrgijski axiu): p B p B W labilni zasuk p B stabilni zasuk agntn igl 75

4. KLASIČNI MODEL DIAMAGNETIZMA 4.. MODEL o snov dao v agntno polj gostot B o na»inducirano«gibanj lktrona v atou (v skladu z Lnzovi pravilo) gldao kot na ajhno tokovno zanko o A r (površina zank) o vrtilna količina: r v o v naš priru: r v o asa lktrona o v hitrost lktrona o osnovni naboj I, t obhodni čas lktrona t I t p v v r r v I A r r I B r v p o Vktorja p in kažta v nasprotno sr (gljt sliko): p o Krožnj lktrona v agntn polju v Nwtonov zakon: ar v B ; a r radialni pospšk r v r B r v r B 76

torj: p r B H o Magntizacija n r M n p H, N kjr j n štvilo atoov na noto voluna. V o Č ia n ato Z lktronov in j r povprčna vrdnost kvadratov polrov tirov vsh lktronov, vlja: r M n r Z H. Od tod pa sldi izraz za suscptibilnost : r n Z, torj. o Prir: č j: n = 9-3 Z = r sldi: 5 o Zaključk: Inducirani agntni ont atoa agntno polj B. p kaž v nasprotni sri kot zunanj DIAMAGNETIZEM j lastnost vsh snovi, vndar so inducirani agntni onti p opazni sao v snovh, ki iajo»trajni«agntni dipolni ont nak nič, t.j. v snovh, ki niso paraagntn ali froagntn. 4... DODATEK: Izpljava zvz B n p, kjr j M M n p, za posbni prir -D kristala: l dolžina -D kristala S površina tokovn zank v n atou N štvilo atoov (štvilo tokovnih zank) v -D kristalu 77

S I p tokovna zanka v atou l Iz Aprovga zakona ds N I izračunao agntno polj v kristalu B Torj: N I N N B l l S V kjr so dfinirali agntizacijo M kot: S I p n p M, N I B. l M n p agntni ont atoa p I S, V S l volun kristala N n (voluska gostota atoov) V Zaključk: B n p M 78

4.3 KLASIČNI MODEL PARAMAGNETIZMA * Č dao paraagntno snov v zunanj agntno polj gostot B, s zaradi orintacij ag. dipolnih ontov atoov (olkul) v sri zunanjga agntnga polja clotno agntno polj (B) povča: B = B B, (4.3.) kjr j B prispvk snovi. Vzrok: nrgija atoa z agntni onto agntnga polja B : p, ki j zasukan za kot gld na sr W cos p B p B (4.3.) j najanjša, č j ag. ont p usrjn v sri agntnga polja. Takrat j narč kot, nrgija W pa j zato najanjša ožna. Zaradi tričn nrgij atoov (olkul) svda pri končnih tpraturah povprčna vrdnost kota ni nič. B p, z p cos p Magntno polj B j sorazrno povprčni vrdnosti koponnt agntnga onta nga atoa (olkul) v sri zunanjga agntnga polja: B n p, (4.3.3), z kjr j n = N/V štvilo atoov na noto voluna snovi. Dfinirajo agntizacijo M kot: M n p z,. (4.3.4) Enačba (4.3.3) tako prid v: B M. (4.3.5) Za paraagntn snovi j agntizacija M sorazrna jakosti agntnga polja, kar boo v nadaljvanju tudi dokazali. Sorazrnostni koficint χ uvdo kot suscptibilnost (M = χh). Upoštvao š B = µ H in dobio (gljt načbo ( 4.3.)): 79

B = µ H µ χ H = µ µ H, (4.3.6) kjr so dfinirali µ = χ kot prabilnost in upoštvali B = µ χ H. V nadaljvanju poiščo izraz za suscptibilnost χ paraagntn snovi. Najprj upoštvao, da j p, p cos (gljt š sliko), kjr j kot d vktorj p in koponnto vktorja z p v sri agntnga polja (p,z ) (t.j. kot d vktorj B in vktorj p ). Enačbo (4.3.4) lahko tako zapišo v obliki: M n p cos. (4.3.7) Sdaj poiščo povprčno vrdnost kosinusa kota cos, ki ni nak na zaradi tričnih fluktuacij. Pri t upoštvao, da j nrgija atoa z agntni onto p, ki j zasukan za kot gld na sr agntnga polja B naka: W cos p B p B (4.3.8) Izračunajo povprčno vrdnost kosinusa kota, to j cos : cos cos W W d d, (4.3.9) kjr j faktor W vrjtnost (Boltzannov faktor), da j ato (olkula) v stanju z zasuko (gljt š sliko). Pon ostalih sibolov in konstant pa j nasldnji; β = /kt, k j Boltzannova konstanta, T pa absolutna tpratura. Izraz ddsr sindd označuj infinitzialni lnt prostorskga kota v sfričnih koordinatah: cos W cos sin dd W sin dd, (4.3.) Kr nrgija W ni odvisna od kota lahko v zgornji načbi izvdo intgral po -ju. Tako dobio: cos W cos sin d W sin d. (4.3.) V nadaljvanju uvdo novo sprnljivko s cos tr oznako xp B : kt p B 8

xs s ds cos coth x L x, xs x ds (4.3.) kjr j L(x) Langvinova funkcija. Funkcijo cothx razvijo v vrsto x in zadržio sao prva dva člna: 3 x x coth x..., (4.3.3) x 3 45 torj cos x x p B x x 3 x 3 3kT coth x (4.3.4) in n p B n p M n p cos H H. (4.3.5) 3kT 3kT Končno so tako dobili aproksiativni izraz za suscptibilnost paraagntn snovi v obliki: np. (4.3.6) 3kT Vidio, da j v naš približku suscptibilnost χ obratno sorazrna z absolutno tpraturo T. 8

4.4 FEROMAGNETIZEM Spontana agntizacija znotraj don (tudi brz zunanjga agntnga polja) M T C T T C Curijva tpratura Curi-jva tpratura za nkaj froagntnih snovi snov T C K žlzo 43 kobalt 394 niklj 63 gadolinij 37 F O 893 3 Č j Za T TC froagntn snovi izgubijo spontano agntizacijo in postanjo paraagnti. T za froagnt vlja Curi Wissov zakon: TC C T T C suscptibilnost FEROMAGNETNE LASTNOSTI PARAMAGNETNE LASTNOSTI C T T C T C T povprčna suscptibilnost froagnta 8

9 DOMENA atoov B Nagntno stanj snovi Don so usrjn naključno Urditv don v zunanj agntn polju B, ni konstanta. B povprčna prabilnost Isingov odl froagntiza sliki: Srway, 99 Isingov odl, ki s uporablja prdvs za opis froagntiza, s inuj po fiziku Ernstu Isingu, ki s j rodil v Nčiji lta 9 in url v ZDA lta 998. Isingov odl j osnova nkatrih statistično-hanskih tortičnih odlov, ki s uporabljajo za opis froagntiza. Md froagnt uvrščao žlzo, kobalt, niklj, agntit (F 3 O 4 ) in drug. Na kratko ponovio kar so s naučili v prjšnj poglavju. K clotnu agntnu polju v snovi B tot prispva zunanj agntno polj (B) in agntno polj atoov (olkul) v snovi (B ): B tot = B B. Magntno polj v snovi B j sorazrno agntizaciji: B M, ki j dfinirana kot M n p, kjr j p povprčna vrdnost koponntn agntnga dipolnga onta olkul v sri agntnga polja, n = N/V štvilo olkul na noto voluna in μ indukcijska konstanta. Magntizacija j sorazrna jakosti agntnga polja H: M H, kjr j suscptibilnost: B B B B H H H H H, (4.4.) tot kjr j prabilnost. V nadaljvanju obravnavao -dinzionalni Isingov odl froagntiza v okviru ržnga odla, ki j shatsko prikazan na sliki. Prosto nrgijo F odlnga sista, ki j prikazan na sliki, zapišo v obliki: F = E T S, (4.4.) kjr j E notranja nrgija nrgija sista, ki zaja povprčno nrgijo lastnih in dsbojnih intrakcijskih nrgij vsh olkul v sistu, S j ntropija sista, T pa 83

absolutna tpratura rjna v stopinjah Klvina. Najprj boo izračunali ntropijo sista (S), ki nastopa v načbi (4.4.). V naš priru -dinzionalnga Isingovga odla froagntiza obravnavao N olkul v -dinzionalni rži z N sti. Posazna olkula j lahko v dvh stanjih gld na usritv njnga agntnga dipolnga onta, ki lahko kaž sao gor () (v sri agntnga polja) ali dol ( ) (gljt š sliko ). Izračunajo konfiguracijsko ntropijo sista. Štvilo ožnih prostorskih razporditv za prvo olkulo, ki jo postavio v prazno -dinzionalno ržo z N sti j N, za drugo olkulo (N ), za trtjo olkulo (N ) in tako naprj. Vsh ožnih razporditv j tako N(N )(N ).. 3 = N!. Pri t so upoštvali, da so vs olkul d sboj razločljiv. V rsnici pa olkul, ki iajo agntni dipolni ont obrnjn navzgor (označio njihovo štvilo z N ) d sboj n oro razločvati. Prav tako n oro razločvati d olkulai, ki iajo agntn dipoln ont. Slika : Prikaz agntnih dipolnih ontov olkul v Isingov odlu, ki so razporjni v kvadratno -dinzionalno ržo in iajo lahko sao dv orintaciji ( in ). Obrnjn navzdol (označio njihovo štvilo z N ). Tako, da clotno štvilo ožnih razporditv N olkul na N ržnih st ni N! pač pa W: N! W. (4.4.3) N! N! Za sist, ki j v tričn ravnovsju zapišo konfguracijsko ntropijo v -dinzionaln Isingov ržn odlu kot (gljt š učbnik Mhanika in trodinaika ) : N! S k lnw k ln k ln N! ln N! ln N!, (4.4.4) N! N! kjr prdpostavio sao dv ožni orintaciji agntnih dipolnih ontov ( in ) posazn olkul v sistu. Pri računanju konfiguracijsk ntropij (S) privzao, da j vrjtnost za orintacijo posaznga spina nodvisna od orintacij sosdnjih spinov. Za vlik N-j uporabio Stirling-ovo aproksiacijo: lnn! N lnn N, tr tako iz načb (4.4.4) dobio sldč: 84

ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln, S k N N N N N N k N N N N N N N k N N N N N N N N (4.4.5) oziroa: N N N N N N S k N ln N ln kn ln ln kn c ln c c ln c N N N N N N, (4.4.6) N kjr j c vrjtnost, da j agntni dipolni ont olkul obrnjn navzgor, N N c pa vrjtnost, da j obrnjn navzdol. Od tod sldi: N c c, (4.4.7) kjr so upoštvali N N N. V nadaljvanju izpljo izraz za nrgijo sista, ki jo sstavlja vsota lastnih nrgij agntnih dipolnih ontov olkul (. čln) tr njihov dsbojn intrakcijsk nrgij (. čln) : E J p B, (4.4.8) i, k ik i k i i kjr j p vlikost agntnga dipolnga onta n olkul, B gostota agtnga polja, J ik oč intrakcijsk nrgij (t.j. oč sklopitv) d i-ti in k-ti sosdnji agntni dipolo (pri čr upoštvao sao najbližj sosd), sprnljivka določa orintacijo posaznga agntnga dipola ( poni usritv v sri agntnga polja ( ), pa usritv v nasprotni sri ( )). Poljubno orintacijo agntnih dipolnih ontov atoov (olkul) so torj tako kot ž prj pri izpljavi ntropij sista nadostili z dva orintacijaa ( in, gljt sliko ). Pravio, da obravnavao orintacijo agntnga dipolnga onta olkul v okviru -stanjskga odla. V prv člnu v načbi (4.4.8), to j v izrazu za intrakcijsko nrgijo agntnih dipolnih ontov olkul v sistu upoštvao l intrakcijsk nrgij najbližjih sosdov, kjr upoštvao J ik = J. Tako lahko prvi čln v načbi (4.4.8) zapišo v obliki: i J. (4.4.9) ik, i k Enrgijo sklopitv agntnih dipolnih ontov J zapišo v dvh korakih. Najprj izračunao povprčno nrgijo agntnih dipolov, ki so usrjni navzgor ( ): ik, i k 85

sosd J N c z, (4.4.) kjr j Nc povprčno štvilo agntnih dipolov v sistu, ki so usrjni navzgor ( ), N štvilo vsh agntnih dipolov v sistu, sosd pa povprčna vrdnost najbližjih sosdov, ki jih j z: sosd c c. (4.4.) Kobinacija načb (4.4.) in (4.4.) na da: J N csosdz J N c c c z, (4.4.) kjr so upoštvali. Podobno izračunao š povprčno nrgijo agntnih dipolov v sistu, ki so usrjni navzdol ( ):, (4.4.3) J N csosdz J N c c c z J N c c c z kjr so upoštvali. Povprčno intrakcijsko nrgijo vsh agntnih dipolov v sistu dobio tako, da sštjo načbi (4.4.) in (4.4.3) ( in ): J i k z N J c c c c c c, (4.4.4) ik, kjr j faktor / dodan zato, kr so vs intrakcij štli dvakrat (pri in ). Štvilo najbližnjih sosdov (z) okoli izbranga atoa j v naš priru -dinzionaln rž nako 4 (gljt sliko ), v -dinzionaln odlu j z =, v 3-dinzionaln ržn odlu pa j z = 6. Drugi čln iz načb (4.4.8), to j pb i, ki opisuj nrgijo agntnih dipolov v povprčn agntn polju B izrazio kot:. (4.4.5) p B p B N c c i i Clotno povprčno nrgijo sista E (gljt načb (4.4.8), (4.4.4) in (4.4.5)) lahko tako zapišo v obliki: E z N J c c cc p BN c c. (4.4.6) Vpljo novo sprnljivko x = c c in upoštvao načbo (4.4.7), od kodr sldi: c x, (4.4.7) c x. (4.4.8) i 86

Ob upoštvanju izrazov (4.4.7) in (4.4.8) lahko zapišo izraz za nrgijo E (n.(4.4.6)) v obliki: E N z Jx pbx, (4.4.9) izraz za ntropijo sista S (n.(4.4.6)) pa kot: S kn xln x xln xln. (4.4.) Prosto nrgijo sista F = E TS ia sdaj obliko: kt kt ln ln, (4.4.) F N z J x pbx x x x x kjr so izpustili čln ktn ln, ki ni odvisn od x. V nadaljvanju poiščo iniu prost nrgij sista F tako, da odvajao načbo (4.4.) po sprnljivki x : F kt x kt x z Jx p B ln x ln x N x x x kt x z Jx p B ln. x Uvdo oznako: (4.4.) x x ln x, (4.4.3) x od kodr sldi: x tanh. (4.4.4) Izraz za iz načb (4.4.3) vstavio v načbo (4.4.), upoštvao ln ( ), in dobio: pb z J x. (4.4.5) kt Izraz za / iz načb (4.4.5) nato vstavio v dsno stran načb (4.4.4) in končno dobio : 87

p B z J x x tanh. (4.4.6) kt V okviru obravnavanga -dinzionalnga Isingovga odla lahko agntizacijo sista M zapišo v obliki: M n p p n c c p n x, (4.4.7) kjr j n = N/V voluska gostota olkul. V nadaljvanju s lotio ršvanja načb (4.4.6) za vč posbnih prirov.. V sistu ni zunanjga agntnga polja (B = ). Enačba (4.4.6) s v t priru transforira v obliko: x tanh z Jx kt Vpljo novo sprnljivko zj y x in načbo (4.4.8) zapišo v obliki: kt (4.4.8) kt y tanh ( y ). (4.4.9) zj Slika : K ršvanju načb (4.4.9). Ršitv načb (4.4.9) j pri vrdnosti y, kjr s funkciji kt y zj ora iti naklonski koficint kt sliko ). Prica kt y zj kt in tanh (y) skata. Mjna vrdnost c, ustrza tpraturi zj zj in tanh (y) skata (gljt š anjši od, da s funkciji kt y zj zj Tc, (4.4.3) k ki ji pravio kritična tpratura. 88

Pri tpraturah pod T c obstaja v sistu spontana agntizacija M p n x, ki ustrza nničlni ršitvi načb (4.4.8) (t.j. x ). Nad kritično tpraturo s spontana agntizacija poruši, načba (4.4.8) takrat nia ršitv za x. Slika 3 shatsko prikazuj spontano agntizacijo kot funkcijo tpratur T. M T Slika 3: Tpraturna odvisnost spontan agntizacij M za B =. Tabla za načbo (4.4.37) pa navaja kot prir vrdnosti kritičn tpratur T C (Curijv tpratur) za nkatr froagntn atrial.. Vrnio s k splošni načbi (4.4.6) za prir B in vprašajo s, kaj s dogaja z agntizacijo pri visokih tpraturah, ki so nad kritično tpraturo T C. Pri visokih tpraturah (T > T C ) j argunt v načbi (4.4.6) ajhn. Tako uporabio sao prvi čln razvoja funkcij tanh(x) x v vrsto in načbo (4.4.6) zapišo v obliki: T C p B z J x zj p B x x kt kt kt. (4.4.3) zj V načbi (4.4.3) upoštvao š zvzo TC in jo prpišo v obliko: k pb TC pb x x kt. (4.4.3) T kt Tc T N V načbo za agntizacijo (4.4.7) : M px vstavio načbo (4.4.3) in dobio: V pb Np B N N Vk M px p kt. (4.4.33) V V Tc T Tc T Ob upoštvanju zvz B H iz načb (4.4.33) sldi : 89

N p M V k TT c H, (4.4.34) oziroa: M H, (4.4.35) kjr j agntna suscptibilnost: C T T, (4.4.36) c konstanta C pa j naka: N p C. (4.4.37) V k Tabla : Kritičn tpratur T c nkatrih froagntnih atrialov : snov T c /[K] Co 4 F 43 Ni 63 9

9 4.5 ENERGIJA MAGNETNEGA POLJA (prir dolg tuljav z gosti navitj) Dolga tuljava: Aprov zakon N I l H, l dolžina tuljav, I tok skozi tuljavo, N štvilo ovojv. H B l N I H B Md naraščanj lktričnga toka skozi tuljavo, ora gnrator opravljati dlo: d d d d d zač kon I I I I L I L I L I L I L I t I t I L t I U A kon zač kon zač Prjto dlo ni odvisno od tga kako narašča tok po tuljavi, apak sao od začtnga in končnga toka. Zato dfinirao agntno nrgijo tuljav: V HB V H l N I S l I l l l S N I l S N I L W, kjr j V = S l Torj j gostota nrgij agntnga polja w (prdpostavili so, da j agntno polj sao znotraj tuljav): B HB H w