EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL. Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a) (arc ta ), b) (arc n ) n. Calcula a derivada de: a) y ( 5), b) y, c) y n ( ), d) y. Dada a elip de ecuación + y + 8y + 0, pescuda o valor de y no punto (, ). d 5. Pescuda ndo: a) φ cos( + π), πt + t, b) φ, t. dt 6. Dada a función f() función derivada. n ln 0 0, estuda a súa derivabilidade e escribe a 7. Estuda a derivabilidade da función f() 7. 8. Pescuda os valores dos parámetros a e b para que a función ae 0 f() b a continua e derivable en todo R. 0 9. Comproba a validez do teorema de Rolle coa función f() 9 no intervalo [, 5]. Atopa o punto de verificación. 0. Demostra que a ecuación e ten soamente a solución real 0.. Dada a función f() a : a) Calcula o valor de a de eito que a función a continua. b) Para e valor de a, é aplicable á función o teorema do valor medio do cálculo diferencial no intervalo [0, ]? En caso afirmativo busca o punto de verificación do teorema.
. Calcula os guintes límites: n a) lím e, b) lím, c) lím ( ) ta, d) lím 0 ln. Calcula os valores de a, b e c de eito que a función f() a + b + c teña un etremo en, e a tanente no punto (, 7) a paralela á recta y + 6 0.. Dada a función f() + 5, calcula: a) Ecuación da recta tanente en. b) Máimos e mínimos relativos. c) Puntos de infleión. 5. Atopa o punto da parábola y que está máis próimo do punto (, ). 6. Estuda e reprenta a función f() :
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL (SOLUCIONARIO). Deriva: a) y 7 6 + 5, b) y e, c) y e) y 7 ( 5 ), f) y ln, d) y ( 5 5 + 7) 8 n e ln, g) y, h) y n n a) y + 5 b) y e + e ( + ) e ln c) y ln d) y 8( 5 5 + 7) 7 (5 0) 8(5 0) ( 5 5 + 7) 7 e) y ( 5 ) 7 y ( 5 ) 7 ( 5 ) 7 ( 5 7( 5 ) ) 7 7 ( 5 7 ( 5 ) ) cos ( n) cos ( n) f) y ( n) cos ( n) e ln e e ln g) y 6 e ln e 6 e ln e ( ln h) y ln ) n cos cos n. Usando a derivada da función inversa, demostra que: a) (arc ta ), b) (arc n ) f() ta a) (f ) () f () arc ta f(f ()) ta (arc ta ) (ta(arc ta ))
b) f() (f ) () f () arc n Aquí hai que usar a fórmula cos f(f ()) cos(arc n) n para poder operar. n (arc n). Calcula a derivada de: a) y ( 5), b) y, c) y n ( ), d) y a) ln y y ln( 5) ln( 5) + y y ln( 5) ( 5) 5 5 b) y ( ) ln y y y y ln( ) ln( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ln( ) c) ln y n ln( y ) cos ln( ) + n y n n y cos ln( ) ( ) y d) ln y ln y y ln ( ) ( ) ln ln ( ). Dada a elip de ecuación + y + 8y + 0, pescuda o valor de y no punto (, ). + 8yy + 8y 0 + yy + y 0 y (y ) y y ( ) 0 ( ) ( y)
d 5. Pescuda ndo: a) φ cos( + π), πt + t, b) φ, t. dt d d d a) n( + π) (π + t) (π + t)n t dt d dt Obten o mesmo derivando φ(t) cos t t. t d d d b) dt d dt t Obten o mesmo derivando φ(t) t. t t t ( t) 6. Dada a función f() función derivada. n ln 0 0, estuda a súa derivabilidade e escribe a Estudo en 0: Para que f() a derivable en 0, ten que r continua en 0. Se f() é continua en 0, debe r lím f() f(0): 0 lím f() lím n 0 0 0 lím f() lím 0 f() é continua en 0 0 0 f(0) 0 Compróba f() rá derivable en 0: nh f(0 h) f(0) f(h) lím h0 f (0) lím lím h h0 h h0 h lím h0 derivable en 0 Estudo en : Para que f() a derivable en, ten que r continua en. Se f() é continua en, debe r lím f() f(): f (0 ) f (0 + ) f() é lím f() lím lím f() lím ln 0 f() non é continua en f() non é derivable en 0 f() 0 cos 0 Función derivada: f () 0. 5
7. Estuda a derivabilidade da función f() 7. Dom f [7, + ) f() é continua no u dominio: lím 7 0 f(7), lím 7 f () 7 7 7 Denominador() 0 7 f (7) 0 f (7) f() é derivable en (7, + ) 8. Pescuda os valores dos parámetros a e b para que a función ae 0 f() b a continua e derivable en todo R. 0 Para que f() a derivable en 0, ten que r continua en 0. Se f() é continua en 0, debe r lím f() f(0): 0 lím f() lím (ae ) a 0 0 b b b lím f() lím a + 0 0 f() a b Se a +, f() rá derivable en 0 f (0 ) f (0 + ): ae 0 f(0 ) a f () b b 0 b a ( ) f(0 ) b a Polo tanto: a, b b a 9. Comproba a validez do teorema de Rolle coa función f() 9 no intervalo [, 5]. Atopa o punto de verificación. Compróba que a función satisfai as hipótes do teorema de Rolle.. Continuidade en [, 5]: A función é continua en todo R por r polinómica.. Derivable en (, 5): É derivable en todo R por r polinómica. f( ) ( ) ( ) 9 ( ) 5. f( ) f(5) (coincide nos etremos do f(5) 5 5 9 5 5 intervalo) Segundo o teorema de Rolle, eiste polo menos un c (, 5) no que f (c) 0. Comprobar que verifica o teorema equivale a atopar o c: f (c) c 6c 9 f (c) 0 c 6c 9 0 c c 0 c, c 6
O c do que fala o teorema é, a que non rve por non pertencer ao intervalo aberto. 0. Demostra que a ecuación e ten soamente a solución real 0. Primeiro compróba que 0 é unha solución: e 0 0. Supóña que hai outra solución e intentara chegar a un absurdo. Se a ecuación ten dúas solucións, a función f() e vale 0 nos dous valores solucións da ecuación, que chamaran a e b (un deles, a ou b, rá o 0) e, polo tanto, f() cumpre as hipótes do teorema de Rolle no intervalo [a, b]:. f() é continua no intervalo [a, b] e é derivable no intervalo (a, b) (f() é unha función elemental definida en todo R e, polo tanto, continua e derivable en todo R).. f() toma valores iguais nos etremos do intervalo: f(a) f(b) 0. En concuencia, polo teorema de Rolle, hai un punto no intervalo (a, b) no que a derivada de f() é 0. Compróba iso é certo: f () e e 0 e Pero esa última ecuación non ten solución en R (e é positivo calquera que a o valor de ) e polo tanto chéga a un absurdo porque a derivada de f() non é 0 en ningún punto. Logo non hai ningunha outra solución. a. Dada a función f() : a) Calcula o valor de a de eito que a función a continua. b) Para e valor de a, é aplicable á función o teorema do valor medio do cálculo diferencial no intervalo [0, ]? En caso afirmativo busca o punto de verificación do teorema. a) O único punto que pode prentar problemas de continuidade é, onde cambia de treito. Se f() é continua en, debe r lím f() f(): lím f() lím ( a) 8 a lím f() lím 8 + a a f() b) As hipótes do teorema son que f() debe r continua en [0, ] e derivable en (0, ): Continuidade: Para a a función é continua en todos os puntos. Derivabilidade: Sábe que a función é derivable en todos os puntos anteriores e posteriores a, porque cada unha desas partes é elemental. Ve que pasa en : f( ) f () f () 0 f() é derivable en f( ) Polo tanto cumpre as hipótes do teorema. f() f(0) En concuencia, eiste un c (0, ) que cumpre que f (c). Comprobar que 0 verifica o teorema equivale a atopar o valor de c: 7
f (c) f() f(0) 0 6 ( ) 0 5 f () [0,] c [0,] [,] c 5 c 5. Calcula os guintes límites: n a) lím e, b) lím, c) lím ( ) ta, d) lím 0 ln n a) lím 0 cos 0 (ind) lím 0 0 cos L Hôpital lím 0 6 6 0 n (ind) lím 0 0 6 L Hôpital 0 0 (ind) L Hôpital e b) lím c) lím ( ) ta lím n (ind) lím e 0 (ind) ( ) cos n (ind) lím ( ) n lím cos e + 0 0 (ind) ln ln 0 d) lím (ind) lím (ind) lím ln ( )ln 0 ln L Hôpital 0 (ind) lím 0 L Hôpital L Hôpital L Hôpital L Hôpital. Calcula os valores de a, b e c de eito que a función f() a + b + c teña un etremo en, e a tanente no punto (, 7) a paralela á recta y + 6 0. As condicións anteriores tradúcen en:. Que no punto a derivada é 0.. Que a gráfica pasa por (, 7) e neste punto a derivada coincide coa pendente da recta. Estúda a pendente da recta: y + 6 0 y + 6 m f () a + b + c f () 0 a + b + c 0 f( ) 7 a + b c 7 f ( ) a b + c 8
Polo tanto: a b c 0 a b c 7 a b c a, b, c. Dada a función f() + 5, calcula: a) Ecuación da recta tanente en. b) Máimos e mínimos relativos. c) Puntos de infleión. a) A ecuación da recta tanente é: y f() f () ( ) f() + 5 f () 6 + 5 f () 6 + 5 Recta tanente: y ( ) y + 0 b) Sábe que nos etremos relativos a derivada é 0: f () 0 6 + 5 0, 5 Estes son posibles etremos. Para comprobar efectivamente o son, estúda a curvatura nes puntos: f () 6 f () 6 < 0 En hai un máimo relativo f (5) 5 6 > 0 En 5 hai un mínimo relativo c) Sábe que nos puntos de infleión a derivada gunda é 0: f () 0 6 0 Para comprobar é un punto de infleión estúda ne punto cambia a curvatura: f () 6 < 0 En a gráfica de f() é cóncava f () 6 > 0 En a gráfica de f() é convea Hai un cambio de curvatura, a función pasa de cóncava a convea, polo tanto en hai un punto de infleión. 5. Atopa o punto da parábola y que está máis próimo do punto (, ). A distancia dun punto (, y) ao punto (, ) vén dada pola función: d[(, y), (, )] ( ) (y ) Se é un punto da parábola a distancia rá: d() ( ) Calcúlan os posibles etremos relativos derivando e igualando a 0: ( ). d () ( ) ( ) ( ) 9
0 d () 0 0 8 d () ) (. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d () ) ( ) ( ) ( 0 6 > 0 En hai un mínimo relativo O punto buscado é o (, ). 6. Estuda e reprenta a función f() :. Dominio: Denominador() 0 0, Dom f R {, }.. Simetría: f( ) ) ( ) ( ) ( f() f() Non é simétrica. Puntos de corte cos eies: f OX y 0 + 0 (, 0) f OY f(0) (0, ). Signo: O numerador anúla en e o denominador en e. Hai que descompoñer a recta real en catro anacos.
5. Asíntotas: Asíntotas verticais: Denominador() 0 0,. As ecuacións das asíntotas verticais son,. A función aproíma a cada asíntota: lím + ; lím 0 0 lím lím + ; 0 0 Asíntotas horizontais: lím lím lím signo 0 signo Non ten asíntota oblicua por ter asíntota horizontal. 0 y H 0 6. Monotonía e puntos críticos: f () ( ) Calcúlan os puntos críticos: f () 0 0 ( + ) 0 0, O denominador é maior que cero, salvo en e, onde anula. Estúda o crecemento e decrecemento nos intervalos determinados por estes puntos. Entón, a partir do esquema, conclúe que hai un mínimo no punto máimo no punto (0, )., e un 9 7. Curvatura e puntos de infleión: 8 f () Calcúlan os puntos de infleión: O numerador é maior que cero e o denominador anúla en e (tripla). Polo tanto, non ten puntos de infleión. Estúda a concavidade e conveidade nos guintes intervalos.
A gráfica de f() é: