ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 215
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Mã số: 6.46.1.2 TOÁN GIẢI TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 215
Mục lục Mở đầu 1 1 Tính chất của toán tử khả nghịch phải 2 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính................. 2 1.1.1 Toán tử tuyến tính................... 2 1.1.2 Toán tử đại số...................... 3 1.1.3 Toán tử Volterra..................... 3 1.2 Toán tử khả nghịch phải.................... 3 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải................ 3 1.2.2 Toán tử ban đầu..................... 4 1.2.3 Công thức Taylor.................... 8 1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra..... 9 1.4 Đặc trưng của đa thức của toán tử khả nghịch phải...... 1 2 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng 12 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải........... 12 2.2 Bài toán Cauchy......................... 15 2.3 Ví dụ áp dụng.......................... 19 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 i
Mở đầu Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vật lý, kinh tế và một số ngành khác. Có nhiều phương pháp để giải một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu và một trong số các phương pháp đó là sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải. Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giá trị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor- Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài "Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng". Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Tính chất của toán tử khả nghịch phải. Chương 2: Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các lớp toán tử tuyến tính và tính chất của toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor. Chương 2 nội dung chính của Luận văn, trình bày về phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng công thức Taylor vào việc giải các bài toán cụ thể. 1
Chương 1 Tính chất của toán tử khả nghịch phải 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính 1.1.1 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường vô hướng F. Một ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A của X vào Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y dom A, A(tx) = tax với mọi x dom A, t F. Tập dom A được gọi là miền xác định của toán tử A. Giả sử G dom A. Đặt AG = {Ax : x G}. Theo định nghĩa, AG Y. Tập AG được gọi là ảnh của tập G. Tập Adom A được gọi là miền giá trị của toán tử A (tập giá trị của A) và là không gian con của Y. Tập tất cả các toán tử tuyến tính với miền xác định chứa trong không gian X và miền giá trị chứa trong không gian Y ký hiệu bởi L(X Y ). Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Nếu toán tử A L(X Y ) là tương ứng 1-1 thì toán tử nghịch đảo A 1 được định nghĩa theo cách: Với mỗi y Adom A A 1 y = x, trong đó x dom A và y = Ax. Nếu toán tử A L(X Y ) có toán tử nghịch đảo thì ta nói A khả nghịch. 2
1.1.2 Toán tử đại số Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường đóng đại số F và A L (X). Vô hướng λ F được gọi là giá trị chính quy của A nếu toán tử A λi khả nghịch. Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Giả sử F = C. Ta nói toán tử A L (X) là toán tử đại số nếu tồn tại đa thức P (t) = p + p 1 t + + p N t N C sao cho P (A) = trên X. 1.1.3 Toán tử Volterra Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Toán tử A L (X) được gọi là toán tử Volterra nếu toán tử I λa khả nghịch với mọi vô hướng λ. Tập hợp các toán tử Volterra thuộc L (X) ký hiệu là V (X). 1.2 Toán tử khả nghịch phải 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải Cho X là một không gian tuyến tính trên trường vô hướng F. Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Toán tử D L(X) được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại một toán tử R L (X) sao cho RX dom D và DR = I. Toán tử R được gọi là nghịch đảo phải của D. Tập hợp tất cả các toán tử khả nghịch phải được kí hiệu là R(X), còn tập hợp tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D R(X) là R D. Ta cũng viết R D = {R γ } γ Γ Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Giả sử x là một phần tử tùy ý cho trước của không gian X. Cho D R(X), tập hợp R D x = R γ x γ Γ được gọi là tích phân bất định của x. Mỗi phần tử R γ với γ Γ được gọi là một nguyên hàm của x. Theo định nghĩa, nếu y là một nguyên hàm của x thì Dy = x. Thật vậy, nếu y là một nguyên hàm của x thì tồn tại một chỉ số γ Γ sao cho y = R γ x. Từ đó suy ra Dy = DR γ x = x do DR γ = I. Định nghĩa 1.7 ([1]-[2]). Giả sử D R(X). Khi đó, nhân của toán tử D được gọi là không gian các hằng số trên D và được kí hiệu là Ker D. Mỗi 3
phần tử z Ker D được gọi là một hằng số. Để ý rằng, theo định nghĩa, một phần tử z X là một hằng số của D nếu và chỉ nếu Dz =. Các tính chất của toán tử khả nghịch phải 1. Nếu D R(X), R R D thì D k R k = I với k = 1, 2,.... 2. Giả sử rằng D R(X), R 1, R 2 R D và y 1 = R 1 x, y 2 = R 2 x trong đó x X là phần tử tùy ý. Khi đó y 1 y 2 Ker D. Bằng lời: Hiệu của hai nguyên hàm của một phần tử x X cho trước là một hằng. từ đó suy ra một tích phân bất định được xác định tốt nếu ta biết ít nhất một nghịch đảo phải. 3. Nếu D R(X), R R D thì tích phân bất định của một phần tử x X có dạng: R D x = {Rx + z : z Ker D} = Rx + Ker D. Bằng lời: Tích phân bất định của một phần tử x X là tổng của một nguyên hàm và một hằng số tùy ý. 4. Nếu D R(X) thì với mỗi R R D ta có: dom D = RX Ker D. (1.1) 5. Giả sử D R(X) và R 1 R D. Khi đó mỗi nghịch đảo phải của D có dạng: R = A + R 1 (I DA) = R 1 + (I R 1 D)A, (1.2) trong đó A L (X), AX dom D, tức là R R D = R 1 + (I R 1 D)A : A L (X), AX dom D. Nhận thấy rằng nếu D R(X) và R R D x X thì từ Rx = suy ra x =. Thật vậy, x = DRx =. 1.2.2 Toán tử ban đầu Định nghĩa 1.8 ([1]-[2]). Toán tử F L(X) được gọi là toán tử ban đầu của toán tử D R(X) ứng với nghịch đảo phải R của D nếu (i.) F là một phép chiếu lên không gian các hằng số, nghĩa là (ii.) F R =. Từ định nghĩa ta suy rằng F 2 = F, F X = Ker D F z = z, với mỗi z Ker D. (1.3) 4
Hơn nữa, ta có DF = trên X, Ker F = RX và Ker D Ker F = {}. Định lý 1.1. Cho D R(X). Điều kiện cần và đủ để toán tử F L(X) là toán tử ban đầu của D ứng với R R D là F = I RD trên dom D. (1.4) Định lý 1.2. Họ R D = {R γ } γ Γ tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D R(X) cảm sinh duy nhất họ F D = {F γ } γ Γ các toán tử ban đầu của D được xác định bởi đẳng thức F γ = I R γ D trên dom D với mỗi γ Γ. Các tính chất của toán tử ban đầu. 1. Với mọi α, β Γ, ta có F α F β = F β, (1.5) F β R α = R α R β. (1.6) 2. Với α, β, γ Γ toán tử F β R γ F α R γ không phụ thuộc vào cách chọn toán tử R γ R D. Tính chất này chỉ ra rằng toán tử F β R γ F α R γ chỉ phụ thuộc vào các chỉ số α, β. Điều này cho phép ta đặt I β α = F β R γ F α R γ, α, β, γ Γ. (1.7) Ta nói I β α là toán tử tích phân xác định. Với mỗi x X phần tử Iβ αx được gọi là tích phân xác định của x. Các chỉ số α và β được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân. Do F β R γ F α R γ = R γ R β (R γ R α ) = R α R β = F β R α nên I β α = F β R α, với α, β Γ. (1.8) 3. Với bất kỳ x X, α, β Γ ta có I β αx = z Ker D. Bằng lời: Tích phân xác định của một phần tử tùy ý là một hằng. 4. Với bất kỳ α, β Γ ta có I β α = I α β. (1.9) Bằng lời: Sự thay đổi vị trí cận trên và cận dưới của tích phân sẽ làm thay đổi dấu của toán tử tích phân xác định và dẫn đến sự thay đổi dấu của tích 5
phân xác định của một phần tử tùy ý. 5. Với bất kỳ α, β, δ Γ ta có 6. Với bất kỳ α, β Γ ta có I δ α + I β δ = Iβ α. (1.1) I β αd = F β F α, (1.11) tức là, I β αdx = F β x F α x với x dom D. (1.12) Phần tử F x bất kỳ, trong đó x X và F là một toán tử ban đầu, được gọi là giá trị ban đầu của phần tử x. Vì x dom D là một nguyên hàm của y = Dx nên ta có thể phát biểu lại tính chất 6 như sau: Nếu x X, α, β Γ tùy ý và y X là một nguyên hàm bất kỳ của x thì I β αx = F β y F α y. (1.13) Bằng lời: Tích phân xác định bằng hiệu các giá trị ban đầu của một nguyên hàm tùy ý ứng với cận trên và cận dưới của tích phân. 7. Giả sử D R(X), dim Ker D, F và F 1 F là các toán tử ban đầu của D, và F tương ứng với nghịch đảo phải R R D. Khi đó với mỗi z Ker D tồn tại một x X sao cho F 1 x = z. Bằng lời: Với mỗi hằng số tồn tại một phần tử sao cho tích phân xác định của phần tử này bằng hằng số đã cho. Định lý 1.3. Giả sử D R(X), F L (X) là phép chiếu lên không gian các hằng số. Khi đó F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R = R 1 F R 1 với mọi R 1 R D và R được xác định một cách duy nhất, không phụ thuộc vào việc chọn R 1 R D. 8. Nếu D R(X) và R, R 1 R D giao hoán thì R 1 = R. 9. Nếu D R(X) và F, F 1 là các toán tử ban đầu của D giao hoán thì F 1 = F. 1. Giả sử D R(X) và F 1, F 2 là các toán tử ban đầu của D lần lượt tương ứng với nghịch đảo phải R 1, R 2. Nếu R 1 = R 2 thì F 1 = F 2. Đảo lại, nếu F 1 = F 2 thì R 1 = R 2. Định lý 1.4. Nếu D R(X) và F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R của D thì tập hợp R D tất cả các nghịch đảo phải của D có dạng R D = {R + F A : A L (X)}. (1.14) 6
và tập hợp F D tất cả các toán tử ban đầu của D có dạng F D = {F (I AD) : A L (X)}. (1.15) Định lý 1.5. Giả sử F, F 1,..., F m là các toán tử ban đầu của D R(X) ứng với các nghịch đảo phải R, R 1,..., R m tương ứng. Đặt F = M a k F k trong đó a, a 1,..., a m là các vô hướng không đồng thời bằng. Khi đó F là toán tử ban đầu của D nếu và chỉ nếu m a k = 1. Nếu điều kiện này được thỏa mãn thì toán tử ban đầu F ứng với nghịch đảo phải R = m a k R k. k= Ví dụ 1.1. Giả sử X = C[a, b], D = d t và (Rx)(t) = (s)ds. Ta chứng dt a minh được rằng R là toán tử Volterra, tức là toán tử I λr khả nghịch với mọi vô hướng và [(I λr) 1 x](t) = x(t) + λ k= k= e λ(t s) x(s)ds với x C[a, b]. (1.16) Thật vậy, giả sử B là một toán tử được định nghĩa bằng hàm mũ (Bx)(t) = e λ(t s) x(s)ds với x C[a, b] (1.17) trong đó [a, b] cố định tùy ý. Ta cần chứng minh (I + λb)(i λr) = (I λr)(i λd) = I với mọi λ R. (1.18) Không mất tổng quát ta giả sử λ. Do đó, sử dụng tích phân từng phần với x C[a, b] [(I + λb)(i λr)x](t) = [(I + λb λr λ 2 BR)x](t) = [x + λ(b R)x λ 2 BRx](t) [ = x(t) + λ e λ(t s) x(s)ds ] x(s)ds λ 2 [ s ] e λ(t s) x(u)du ds 7
= x(t) + λ [ ] e λ(t s) 1 x(s)ds λ 2 e λt [ s ] e λs x(u)du ds = x(t) + λ [e λ(t s) 1]x(s)ds λ 2 e λt{[ 1 λ e λs = x(t) + λ ] t x(u)du [e λ(t s) 1]x(s)ds 1 } λ e λs x(s)ds + λ x(u)du λ e λ(t s) x(s)ds = x(t) + λ [e λ(t s) 1 + 1 e λ(t s) ]x(s)ds = x(t). Do đó, (I + λb)(i λr) = I. Chứng minh tương tự ta được, (I λr)(i + λb) = I. Vì vậy, từ (??) suy ra toán tử R khả nghịch với mọi vô hướng λ và (I λr) 1 = I + λb, hay [(I λr) 1 x](t) = x(t) + λ e λ(t s) x(s)ds với x C[a, b]. 1.2.3 Công thức Taylor Định lý 1.6 (Công thức Taylor-Gontcharov). Giả sử rằng D R(X) và F D = {F γ } γ Γ là họ các toán tử ban đầu cảm sinh bởi R D = {R γ } γ Γ. Cho {γ n } Γ là dãy tùy ý các chỉ số. Khi đó, với mỗi số nguyên dương N ta có đẳng thức sau I = F γ + N 1 k=1 R γ... R γk 1 F γk D k + R γ... R γn 1 D N trên dom D N. (1.19) 8
Nếu cho R γn = R và F γn = F với n =, 1, 2... ta có ngay hệ quả sau Hệ quả 1.1. (Công thức Taylor). Nếu D R(X) và F là một toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R R D thì I = N 1 k= R k F D k + R N D N trên dom D N (N = 1, 2,... ). (1.2) Hệ quả 1.2. Giả sử tất cả các giả thiết của Định lý 1.6 được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi số nguyên dương N ta có Ker D N = {z = z + N 1 k=1 R γ... R γk 1 z k : z,..., z N 1 Ker D}. 1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra Định lý 1.7. Cho D R(X), R 1, R 2 R D. Khi đó R 1 R 2 là một toán tử Volterra nếu và chỉ nếu R 2 R 1 là toán tử Volterra. Định lý 1.8. Cho D R(X) và R 1, R 2 là các nghịch đảo phải Volterra của D. Khi đó, điều kiện cần và đủ để R 1 R 2 là toán tử Volterra là F 2 (I tr 2 1) 1 z, t C, z Ker D (1.21) trong đó F j F D tương ứng với R j (j = 1, 2,... ) là các toán tử ban đầu tương ứng của D j. Hệ quả 1.3. Nếu D R(X), R 1, R 2 R D V (X) và F 1 và F 1, F 2 là các toán tử ban đầu của D ứng với R 1, R 2 tương ứng thì điều kiện cần và đủ để R 1 R 2 là toán tử Volterra là F 1 (I tr 2 1) 1, t C, z Ker D. (1.22) Định lý 1.9. Cho D R(X) và R 1 R 2 R D V (X). Khi đó điều kiện cần và đủ để R 1 + R 2 là toán tử Volterra là (I tr 1 ) 1 z + (I tr 2 ) 1 z, t C, z Ker D\{}. (1.23) 9
Ví dụ 1.2. Cho X := C([, 1], F), F = R hoặc F = C. D := d dt, R 1 := x, R 2 := x, x 1 x 2, x 1, x 2 [, 1]. x 1 x 2 Dễ dàng kiểm tra được Do đó (I tr j ) 1 c = ce t(x x j) với c F (j = 1, 2). u(x) = (I tr 1 ) 1 c = (I tr 2 ) 1 c + ce tx (e tx 1 + e tx 2 ), t R. Từ Định lý 1.9, R 1 + R 2 là một toán tử Volterra trong X := C([, 1], R). 1.4 Đặc trưng của đa thức của toán tử khả nghịch phải Định lý 1.1 (Przeworka-Rolewicz). Cho N Q(t, s) := q k t k s N k, (1.24) k= Q(t) := Q(t, 1), P (t) := t M Q(t), (1.25) với q,..., q N 1 C, q N = 1, M là một số nguyên không âm. Nếu tồn tại R R D V (X)(R là một nghịch đảo phải Volterra của D) thì P (D) R(X) và toán tử là một nghịch đảo phải Volterra của P (D). R := R M+N [Q(I, R)] 1 (1.26) Định lý 1.11 (von Trotha). Nếu R có dạng (1.26) là toán tử Volterra thì R là toán tử Volterra. Cho D R(X), R R D.A,..., A N là các toán tử đại số giao hoán, A N = I. Giả sử, DA j = A j D trên D, RA j = A j R (j =,..., N). (1.27) Đặt Q(t, s) := N A j t j s N j, Q(t) := Q(t, 1), P (t) := t M Q(t). (1.28) k= 1
Định lý 1.12. Nếu R V (X) thì Q(I, R) khả nghịch và R := R M+N [Q(I, R)] 1 R P (D) V (X). (1.29) Định lý 1.13. Giả sử R R D V (X) với D R(X). Nếu A là một toán tử đại số sao cho AR = RA thì AR là một toán tử Volterra. Định lý 1.14. Giả sử rằng D R(X), R R D và A,..., A N là các toán tử đại số thỏa mãn (1.27), Q(t, s), Q(t) và P (t) định nghĩa bởi (1.28). Nếu Q(t, s) khả nghịch thì R := R N+M [Q(I, R)] 1 R P (D). (1.3) Hơn nữa, nếu R V (X) thì R V (X). Hệ quả 1.4. Giả sử D R(X), R R D V (X) và A là một toán tử đại số giao hoán với R. Hơn nữa, A có đa thức đặc trưng dạng P A (t) = n (t t j )(t i t j vớii j). j=1 Khi đó, mọi nghiệm của phương trình (D A)x = y, y X (1.31) có dạng x = với z Ker D tùy ý và n P j = k=1,k j n (I t j R) 1 P j (Ry + z), j=1 (t j t k )(A t k I)(j = 1,..., n). 11
Chương 2 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải Bổ đề 2.1. Giả sử D R(X), dim Ker D và R R D. Khi đó với bất kỳ số nguyên dương N ta có Ker D N = {z X : z = Xét phương trình N 1 k= R k z k, z,..., z N 1 Ker D}, dom D N = R N X Ker D N. D N x = y, y X, N N (2.1) Định lý 2.1. Giả sử D R(X), dim Ker D và R R D. Khi đó nếu y ImD N thì tất cả các nghiệm của phương trình (2.1) cho bởi x = R N y + N 1 k= R k z k, (2.2) trong đó z,..., z N 1 Ker D tùy ý. Chứng minh. Thật vậy, nếu y Im D N thì tồn tại y 1 dom D N sao cho y = D N y 1. Do đó, (2.1) có thể viết dưới dạng D N x = D N y 1. Do D N = D N R N D N nên phương trình cuối cùng tương đương với D N (x R N D N y 1 ) = 12
. Từ đó theo Bổ đề 2.1 ta có công thức (2.2). Bây giờ ta xét phương trình tổng quát Q[D]x = M m= n= N D m A mn D n x = y, y ImQ[D], (2.3) trong đó D R(X), R R D, M, N N, A mn L (X), A MN = I, A mn X M+N n X m (n =, 1,..., N; m =, 1,..., M; m+n < M +N); X j = dom D j, j = 1,..., M + N. Mệnh đề 2.1. Giả sử D R(X) và R R D. B j L (X) (j =, 1,..., N) và k N sao cho X N j dom B j, B j X N j X k (j =, 1,..., N). Đặt Q(D) = N B j D j, Q(I, R) = j= N B j R N j. (2.4) j= Khi đó, X N dom Q(D), Q(D)X N X k, [I+R N Q(D)]X N+k X N+k, Q(I, R)X X k, [I + Q(I, R)]X k X k. Định nghĩa 2.1 ([1]-[2]). Toán tử A L(X) được gọi là khả nghịch phải, khả nghịch trái, khả nghịch trên X k với k N cho trước, nếu X k dom A, AX k X k và tồn tại R A R A (tương ứng L A L A, M A R A L A ) sao cho R A X k X k (tương ứng L A X k X k, M A X k X k ), tức là R A L (X k ) (tương ứng L A L (X k ), M A L (X k )). Hệ quả 2.1. Giả sử D R(X) và R R D, B j L(X), X N j dom B j (j =, 1,..., N). Hơn nữa, giả sử Q(D) và Q(I, R) được cho bởi (2.4). Khi đó, toán tử I + Q(I, R) khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) khi và chỉ khi I + R N Q(D) khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) trên X N. Hệ quả 2.2. Giả sử ta có tất cả các giả thiết của Hệ quả 2.2. Khi đó, nếu toán tử I + Q(I, R) khả nghịch thì nghiệm duy nhất của phương trình thuộc X N. [I + R N Q(D)]x = y, y X N Hệ quả 2.3. Nếu T L (X) và Im T X M với M N nào đó thì I + T khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch) trên X M khi và chỉ khi nó khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch). 13
Định lý 2.2. Giả sử D R(X), R R D và F F D là toán tử ban đầu của D ứng với R và Q[D] cho bởi (2.3). Đặt M N Q(A) = R M m  mn D n (2.5) Q(A) = M m= n= m= n= N R M m A mn R N n M R M m  mn F (2.6) m= nếu m = M, n = N,  mn := A mn nếu m + n < M + N. (2.7) Nếu Q(A) khả nghịch thì tất cả các nghiệm của phương trinh (2.3) cho bởi x = [I R N Q 1 (A)Q(A)](R M+N y + trong đó z, z 1,..., z M+N 1 Ker D tùy ý. M+N 1 j= R j z j ). (2.8) Hệ quả 2.4. Giả sử D R(X) và R R D. Đặt Q(D) = N A n D n, P (D) = D M Q(D), Q 1 = N A n R N n, Q 1 = N A n D n. Khi đó, nếu toán tử Q 1 khả n= nghịch thì nghiệm của phương trình n= n= P (D)x = y, y Im P (D) (2.9) cho bởi x = [I R N Q 1 1 Q 1](R M+N y + M+N 1 R j y j ). Ví dụ 2.1. Cho X là không gian tuyến tính, D R(X), dim Ker D, R R D và A, B L (X), AX dom D. Xét phương trình j= (DAD + B)x = y, y Im (DAD + B) (2.1) Phương trình (2.1) có thể viết dưới dạng D 2 [I + R(AD RD 2 )]x = y Bx tương đương với [I + R(AD RD 2 + RB)]x = R 2 y + Rz 1 + z, trong đó z 1, z Ker D tùy ý. Đặt Q(A, B) = I + (AD RD 2 + RB)R = I + A RD + RBR = A + RBR + F, trong đó F là toán tử ban đầu của D ứng với R. Nếu toán tử Q(A, B) khả nghịch thì tất cả các nghiệm của phương trình cho bởi x = [I RQ(A, B) 1 (AD RD 2 + RB)](R 2 y + Rz 1 + z ). 14
2.2 Bài toán Cauchy Giả sử D R(X) và F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R. Bài toán Cauchy - Bài toán giá trị ban đầu của toán tử Q[D]: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình Q[D]x := thỏa mãn điều kiện ban đầu M m= n= N D m A mn D n x = y, y X, (2.11) F D j x = y j, y j Ker D (j =,..., M + N 1). (2.12) Định nghĩa 2.2 ([1]-[2]). (cf.przeworska-rolewicz). (i.) Bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) được gọi là thiết lập đúng đắn nếu nó có nghiệm duy nhất với mọi y X, y,..., y M+N 1 Ker D. (ii.) Bài toán (2.11)-(2.12) được gọi là thiết lập không đúng đắn nếu tồn tại y X, y,..., y M+N 1 Ker D sao cho bài toán này vô nghiệm, hoặc bài toán thuần nhất cho bởi dạng (2.11)-(2.12) (nói cách khác, y = y = = y M+N 1 = ) có nghiệm tầm thường. Định nghĩa 2.3 ([1]-[2]). Giả sử rằng Q[D] có dạng (2.11). Đặt Q := M m= n= N R M m B mn R N n, (2.13) trong đó  n nếu m = B mn :=  mn M F D µ m  mun các trường hợp khác µ=m nếu m = M, n = N  mn := các trường hợp khác A mn (2.14) (2.15) (m =,..., M; n =,..., N). Khi đó I + Q là toán tử giải của bài toán (2.11)-(2.12). Bổ đề 2.2. Đặt M N Q := R M+N m B mn D n. (2.16) m= n= 15
Khi đó trong đó Q được định nghĩa bởi (2.13), và QR N = R N Q, (2.17) D M+N (I + Q) = Q[D], (2.18) F D j (I + Q) = F D j (j =,..., M + N 1). (2.19) Bổ đề 2.3. Cho Q xác định bởi (2.16). Khi đó, bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) thiết lập đúng đắn khi và chỉ khi I + Q là khả nghịch trên X M+N. Định lý 2.3. Bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) thiết lập đúng đắn nếu và chỉ nếu toán tử giải của nó khả nghịch. Định lý 2.4. Cho D R(X), R R D và F F D là một toán tử ban đầu tương ứng với R. Giả sử rằng Q và Q lần lượt được xác định bởi (2.13) và (2.14). (i.) Nếu toán tử giải I + Q khả nghịch thì bài toán (2.11)-(2.12) thiết lập đúng đắn và nghiệm duy nhất của nó là trong đó x = M Q (R M+N y + M+N 1 j= R j y j ), (2.2) M Q := I R N (I + Q) 1 H, M N H := R M m B mn D n = D N Q, (2.21) m= n= và B mn (m =,..., M; n =,..., N) được định nghĩa bởi (2.13)-(2.14). (ii.) Nếu I + Q khả nghịch phải và dim Ker (I + Q) thì bài toán (2.11)- (2.12) thiết lập không đúng đắn. Tuy nhiên, bài toán này có một nghiệm có dạng trong đó x = R Q (R M+N y + M+N 1 j= R Q = I R N R QH, z Ker (I + Q) tùy ý và R Q R I+Q. 16 R j y j ) + z, (2.22)
(iii.) Nếu I + Q khả nghịch trái nhưng không khả nghịch thì bài toán (2.11)- (2.12) thiết lập không đúng đắn và có một nghiệm với điều kiện cần và đủ là R M+N + M+N 1 j= R j y j (I + Q)X M+N. Nếu điều kiện này được thỏa mãn thì nghiệm duy nhất là trong đó x = L Q (R M+N y + L Q L I+Q, B mn được cho bởi (2.13). M+N 1 j= L Q = I R N L Q H, R j y j ), (2.23) Định nghĩa 2.4 ([1]-[2]). Một toán tử V L(X) được gọi là khả nghịch hầu suy rộng trên một không gian con E X nếu E dom V, V E E và tồn tại một W V W V sao cho W V E E. Bổ đề 2.4. Giả sử D R(X), R R D. Đặt N Q(D) := A j D j, Q := Q(I, R) = j= N A j R N j, j= A j L(X), A j X N j X k (j =,..., N). Khi đó, toán tử I + Q khả nghịch hầu suy rộng trên X k với k N nếu và chỉ nếu I + R N Q(D) là khả nghịch hầu suy rộng trên X N+k. Định lý 2.5. Giả sử rằng D R(X), R R D và F F D tương ứng với R. Hơn nữa, giả sử Q, Q lần lượt được cho bởi (2.13) và (2.14). Nếu toán tử giải I + Q là khả nghịch hầu suy rộng nhưng không khả nghịch một phía, thì bài toán giá trị ban đầu (2.11)-(2.12) là thiết lập không đúng đắn và có các nghiệm với điều kiện cần và đủ là R M+N y + M+N 1 j= Nếu điều kiện này thỏa mãn thì mọi nghiệm có dạng x = W Q (R M+N y + R j y j (I + Q)X M+N. (2.24) M+N 1 j= R j y j ) + z, (2.25) trong đó W Q := I R N W Q H, W Q W I+Q, z Ker (I + Q) tùy ý. 17
Ví dụ 2.2. Lấy X := C([, 1]), C), D := d/dt, R := t, (F x)(t) := x(). R là toán tử Volterra, tức là, I + βr khả nghịch với mọi β C. Xét phương trình (I + βr k+1 D k )x = y, y X k. (2.26) Vì I + βr(= I + βd k R k+1 ) khả nghịch, áp dụng Bổ đề 2.2, ta được I + βr k+1 D k khả nghịch trên X k. Do đó, (2.26) có nghiệm duy nhất x = (I βr k (I + βr k ) 1 D k )y X k. Vì thế, bài toán giá trị ban đầu (D + βr k D k )x = y, y X k, F x = y 1, y 1 Ker D (2.27) có nghiệm duy nhất có dạng x = [I βr(i βr) 1 D k ](Ry + y 1 ). (2.28) Thật vây, bài toán (2.27) tương đương với phương trình (I + βr k+1 D k )x = Ry + y 1, tức là, nó có dạng (2.26). 18
2.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 2.3. Giải phương trình vi phân x + λx = sin t với t [, T ](T > ), x() = x, x () = x 1 và x, x 1 R. Đây là bài toán giá trị ban đầu của toán tử D = d/dt trong không gian C(, T ) với toán tử ban đầu (F x)(t) = x() ứng với nghịch đảo phải (Rx)(t) = t x(s)ds và Q(D) = D 2 + λd = D 2 (I + λr). Vì toán tử R khả nghịch với mọi λ R nên bài toán đã cho có nghiệm duy nhất x = [I R 2 (I + λr) 1 λd](r 2 y + Rx 1 + x ) = R 2 + Rx 1 + x λr 2 (I + λr) 1 (Ry + x 1 ). Ta có R 1 x = t (R 2 y)(t) = x 1 ds = x 1 t, (Ry)(t) = t s sin udu = sin sds = cos t + 1 và ( cos s + 1)ds = sin t + t. Từ đây và công thức (1.16) ta suy ra với mọi λ thì (I + λr) 1 (Ry + x 1 ) = (I + λr) 1 ( cos t + 1 + x 1 ) = cos t + 1 + x 1 λ e λ(t s) ( cos s + 1 + x 1 )ds. = 1 λ 2 cos t ( 1 + 2λ 2 λ 2 + x 1 ) e λt + 1 + λ2 λ 3 sin t. λr 2 (I + λr) 1 (Ry + x 1 ) = 1 1 + λ2 cos t sin t λ(1 + 2λ 2 + λ 2 x λ λ 2 1 )e λt (2λ 2 + λ 2 x 1 1 ) t + λ(1 + 2λ 2 + λ 2 x λ 2 1 + 1 λ 2). Do đó, x(t) = 1 λ 2 sin t + 1 λ cos t + λ(1 + 2λ2 + λ 2 x 1 )e λt + (1 + 2λ 2 + λ 2 x 1 + x 1 1 λ 2)t λ(1 + 2λ2 + λ 2 x 1 + 1 λ 2) + x. 19
Ví dụ 2.4. Giải phương trình vi phân x (t) 5x( t) = 6t 2 1, t R, x() = 1. Đây là bài toán giá trị ban đầu của toán tử D = d/dt, (F x)(t) = x() và (Rx)(t) = t x(s)ds, (Ax)(t) = x( t). Dx 5Ax = y, y(t) = 6t 2 1, (F x)(t) = 1 trong không gian X = C(R). Để ý rằng A là toán tử đại số A 2 = I và A giao hoán với toán tử D, tức là AD = DA. Phương trình đã cho có thể viết được dưới dạng D(I 5RA)x = y tương đương với (I 5RA)x = Ry + z, trong đó z Ker D Áp dụng F vào hai vế ta suy ra z = 1 Khi đó, phương trình trở thành (I 5RA)x = Ry + 1, hay (I 5RA)(x) = (6s 2 1)ds + 1 = 2t 3 t + 1. Đặt I = P + Q, A = P Q, suy ra P = 1 2 (I + A), Q = 1 (I A). 2 Dễ dàng kiểm tra được P 2 = P, Q 2 = Q và P Q =. Phương trình trở thành [(P + Q) 5(P Q)R]x = 2t 3 t + 1 hay [(I 5R)P + (I + 5R)Q]x = 2t 3 t + 1. Ta có Suy ra (I 5R)P x = P (2t 3 t + 1) = 1 2 (I + A)(2t3 t + 1) = 1. (P x)(t) = (I 5R) 1 = 1 + 5 2 e 5(t s) ds = e 5t.
Tương tự, (I + 5R)Qx = 2t 3 t, suy ra (Qx)(t) = 1 5 (3t2 28 5 t 1 25 + 1 25 e 5t ). Ta có I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x nên x = P x + Qx. Do đó, x = 1 5 ( 3t 2 28 5 t 1 25 ) + Ví dụ 2.5. Giải phương trình vi phân ( 1 125 e 5t + e 5t ) x (t) 2x(t + 1) = sin πt, t R, x() = 1 trong lớp các hàm tuần hoàn chu kỳ 2, tức là x(t + 2) = x(t), t R. Đây là bài toán giá trị ban đầu của toán tử D = d/dt, (F x)(t) = x() và (Rx)(t) = t x(s)ds, (Bx)(t) = x(t + 1). Dx 2Bx = y, y(t) = sin πt, (F x)(t) = 1 trong không gian các hàm liên tục và tuần hoàn chu kỳ 2 trên R. Để ý rằng B là toán tử đại số B 2 = I và B giao hoán với toán tử D và R, tức là BD = DB, BR = RB. Phương trình đã cho có thể viết được dưới dạng D(I 2RB)x = y tương đương với (I 2RB)x = Ry + z, trong đó z Ker D Áp dụng F vào hai vế ta suy ra z = 1 Khi đó, phương trình trở thành (I 2RB)x = Ry + 1, hay (I 2RB)(x) = (sin πs)ds + 1 = 1 cos πt + 1. π Đặt I = P + Q, A = P Q, suy ra P = 1 2 (I + A), Q = 1 (I A). 2 Dễ dàng kiểm tra được P 2 = P, Q 2 = Q và P Q =. Phương trình trở thành [(P + Q) 2(P Q)R]x = 1 cos πt + 1 π 21
hay [(I 5R)P + (I + 5R)Q]x = 1 cos πt + 1. π Ta có (I 2R)P x = P ( 1 π cos πt + 1) Suy ra = 1 2 (I + B)( 1 cos πt + 1) π = 1 1 cos π(t + 1) cos(π)t + 1. 2π 2π (P x)(t) = (I 2R) 1 ( 1 1 cos π(t + 1) cos(π)t + 1) 2π 2π = 1 1 cos π(t + 1) 2π 2π cos(πt) + 1 1 [ ] cos π(s + 1) cos(πs) 1 e 2(t s) ds π = 1 [ π cos π(t + 1) + π cos πt + sin π(t + 1) + sin(πt) 4 + π 2 2 2 + π2 e 2t] + 1 2 2. Tương tự, (I + 2R)Qx = 1 1 cos π(t + 1) cos(πt), suy ra 2π 2π (Qx)(t) = 1 [ π cos π(t + 1) + 8 π2 cos πt + sin π(t + 1) sin(πt). 4 + π 2 2π Ta có I = P + Q hay x = Ix = (P + Q)x nên x = P x + Qx. Do đó, x = 1 π cos(πt) 2 2 + π2 sin(πt) e 2t + 1 4 + π2 2 2. 22
Kết luận Luận văn "Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng" đã giải quyết được những vấn đề sau: 1. Luận văn đã trình bày chi tiết khái niệm, tính chất toán tử tuyến tính, toán tử đại số, toán tử Volterra, toán tử khả nghịch phải, toán tử ban đầu. 2. Tiếp theo, trong luận văn trình bày công thức Taylor-Grontcharov, với trường hợp riêng là công thức Taylor với toán tử khả nghịch phải. 3. Cuối cùng, một số lớp bài toán về phương trình với toán tử khả nghịch phải và giải các ví dụ áp dụng. 23
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1. Nguyễn Văn Mậu (26), Lý thuyết toán tử và phương trình tích phân kỳ dị, NXB ĐHQGHN. Tiếng Anh 2. D.Przeworska-Rolewicz (1988), Algebraic Analysis, Amsterdam-Warsaw. 3. D. Przeworska-Rolewicz and S. Rolewicz (1968), Equations in linear spaces, Warsaw Pub. 4. D. Przeworska-Rolewicz and S. Rolewicz (1973), Equations with transformed argument An algebraic approach, Warsaw Pub. 5. Nguyễn Văn Mậu (25), Algebraic elements and boundary value problems in linear spaces, VNU Pub. House. 24