Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που περιέχεται τα νέου τύπου τιγάρα, μπορεί να υπολογίει ένα διάτημα εμπιτούνης και να πάρει έτι μια εκτίμηη για την άγνωτη μέη ποότητα νικοτίνης. Στην περίπτωη όμως, που ενδιαφέρεται να γνωρίζει μόνο αν τα νέου τύπου τιγάρα η μέη ποότητα νικοτίνης δεν υπερβαίνει ένα μέγιτο επιτρεπτό όριο, τότε πρέπει να κάνει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο υποθέεων ώτε να μπορεί να αποφαίει μεταξύ των υποθέεων: Η μέη ποότητα νικοτίνης δεν υπερβαίνει το μέγιτο επιτρεπτό όριο. Η μέη ποότητα νικοτίνης υπερβαίνει το μέγιτο επιτρεπτό όριο. Ο τατιτικός έλεγχος υποθέεων (hypothe tetg) είναι μια υμπεραματική διαδικαία/μέθοδος που προφέρει η Στατιτική Συμπεραματολογία και βρίκει εφαρμογή ε τοχατικά προβλήματα απόφαης μεταξύ δύο εναλλακτικών υποθέεων. Η μία υπόθεη έχει επικρατήει να υμβολίζεται με H και ονομάζεται μηδενική υπόθεη (ull hypothe), και η άλλη με H και ονομάζεται εναλλακτική υπόθεη (alteratve hypothe). Αναγκαία προϋπόθεη για τη ωτή εφαρμογή των τατιτικών ελέγχων και κυρίως για τη ωτή ερμηνεία των αποτελεμάτων τους, είναι η κατανόηη της λογικής και του νοήματός τους. Στη υνέχεια, αυτό θα προπαθήουμε. Να αναδείξουμε τη λογική, το νόημα και τα όρια εφαρμογής τους.. Βαικές Έννοιες Η γενική ιδέα της διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεων είναι η εξής: θέτουμε ως μηδενική υπόθεη ( H ) αυτή για την οποία αμφιβάλουμε, αυτή που αμφιβητείται, και εξετάζουμε αν ένα τυχαίο δείγμα που παίρνουμε από τον πληθυμό υνηγορεί-δίνει αποδείξεις υπέρ της απόρριψής της, έναντι της εναλλακτικής ( H ). Δηλαδή, η H, απορρίπτεται ή δεν απορρίπτεται με βάη το τι παρατηρείται το τυχαίο δείγμα που πήραμε από τον πληθυμό. Πιο υγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η H είναι αληθής, αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα είναι ακραίο, δηλαδή, αν έχει πολύ μικρή πιθανότητα να υμβεί, τότε απορρίπτουμε την H. Σε αντίθετη περίπτωη, δηλαδή, αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα δεν είναι ακραίο-πάνιο (όταν είναι αληθής η H ) τότε το δείγμα που πήραμε δε μας δίνει αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της H και «αποτυγχάνουμε να την απορρίψουμε». Βέβαια, με αυτή τη τρατηγική παίρνουμε «ρίκο», γιατί και τα ακραία, έτω και με πολύ μικρή πιθανότητα, μπορεί να υμβούν. Πιο υγκεκριμένα, με την υπόθεη ότι η H είναι αληθής, αν κρίνουμε ότι αυτό που παρατηρείται το τυχαίο δείγμα είναι ακραίο και την απορρίψουμε, τότε ακριβώς ένα από τα παρακάτω μπορεί να υνέβη: (α) είτε η H πράγματι δεν είναι αληθής, όποτε αποφαίαμε ωτά, (β) είτε η H είναι αληθής και το ακραίο οφείλεται την τύχη, δηλαδή, υνέβη κάτι πάνιο (εμφανίθηκε ένα δείγμα που πάνια εμφανίζεται). Στην περίπτωη αυτή, Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 5
απορρίψαμε λανθαμένα την H. Αυτό το φάλμα ονομάζεται φάλμα τύπου Ι (type I error). Εφόον, υπό την H, το ακραίο υπάρχει πιθανότητα, έτω πολύ μικρή π.χ.., να υμβεί, τότε, απορρίπτουμε λανθαμένα την H με πιθανότητα.. Ανάλογα, είναι δυνατόν, λανθαμένα να μην απορρίψουμε την H. Δηλαδή, να αποτύχουμε να απορρίψουμε την H, ενώ είναι αληθής η H. Αυτό το φάλμα ονομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ (type II error). Το «ρίκο», επομένως, είναι διπλό, με πιθανότητα, λανθαμένης απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου Ι) P(απόρριψη της H αληθής η H ) και λανθαμένης μη απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ). Είναι φανερό, ότι για να προχωρήουμε πρέπει να αποαφηνιτεί, α) τι εννοούμε επακριβώς όταν λέμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα»; Πώς εκφράζεται; Μπορεί να μετρηθεί-ποοτικοποιηθεί; β) Πώς κρίνουμε ότι «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» είναι ή όχι «ακραίο»; Δηλαδή, με ποιον αφή κανόνα θεωρείται το παρατηρούμενο το δείγμα «ακραίο»; Επίης, πρέπει να απαντήουμε τα εύλογα ερωτήματα: Πώς υπολογίζονται οι πιθανότητες φάλματος τύπου Ι και φάλματος τύπου ΙΙ; Μπορούν να ελαχιτοποιηθούν; Σχετίζονται με κάποιο τρόπο; Μπορούμε να τις θέουμε υπό τον έλεγχό μας; Για να απαντήουμε τα ερωτήματα αυτά, ας χρηιμοποιήουμε ένα υγκεκριμένο παράδειγμα. Θα μας βοηθήει την κατανόηη. Παράδειγμα: Το όριο αντοχής ενός τύπου καλωδίων είναι τυχαία μεταβλητή Χ, με μέη τιμή μ 5 Kgr και τυπική απόκλιη 75 Kgr. Το εργοτάιο που κατακευάζει αυτόν τον τύπο καλωδίων ιχυρίζεται ότι βελτίωε τα υλικά που χρηιμοποιεί και πλέον το όριο αντοχής των καλωδίων έχει αυξηθεί. Για να ελεγχθεί ο ιχυριμός του εργοταίου, ως μηδενική υπόθεη θέτουμε την H : μ 5 Kgr, δηλαδή, αυτήν η οποία αμφιβητείται από τον ιχυριμό που ελέγχουμε. Γενικά, η H δηλώνει ότι τον πληθυμό η κατάταη παραμένει αμετάβλητη, δεν υπάρχει αλλαγή/διαφορά ή αλλιώς, ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν έχει επίδραη την εξαρτημένη μεταβλητή για τον πληθυμό (το παράδειγμά μας, ότι η βελτίωη των υλικών δεν έχει επίδραη το όριο αντοχής των καλωδίων). Ένας δεύτερος κανόνας για τον καθοριμό της H, που έχει επίης καθιερωθεί τη διεθνή επιτημονική πρακτική, είναι ο εξής: Ως μηδενική υπόθεη θέτουμε την υπόθεη της οποίας η λανθαμένη απόρριψη εγκυμονεί τους περιότερους κινδύνους. Δηλαδή, αυτή που απαιτεί μεγαλύτερη προταία από φάλμα τύπου Ι. Για αυτό έχει επικρατήει να λέγεται μηδενική υπόθεη (υποθέτουμε μηδενική αλλαγή/διαφορά την τιμή της ελεγχόμενης παραμέτρου). Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 5
Ως εναλλακτική θέτουμε την H : μ > 5 Kgr, δηλαδή, η H δηλώνει ότι η βελτίωη των υλικών επηρεάζει, και ειδικότερα αυξάνει, το όριο αντοχής των καλωδίων. Γενικά, η H δηλώνει ότι τον πληθυμό υπάρχει αλλαγή/διαφορά ή αλλιώς, ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή έχει επίδραη την εξαρτημένη μεταβλητή για τον πληθυμό. Ο έλεγχος που μόλις διατυπώαμε, είναι ένας μονόπλευρος και ειδικότερα H : μ μ H : μ μ δεξιόπλευρος έλεγχος. Γενικότερα, οι έλεγχοι, ονομάζονται H : μ > μ H : μ < μ μονόπλευροι (oe-taled) έλεγχοι (δεξιόπλευρος και αριτερόπλευρος αντίτοιχα) H : μ μ και ο έλεγχος,, ονομάζεται αμφίπλευρος (two-taled). Σημειώνουμε, H : μ μ επίης, ότι τα δύο ύνολα τιμών της παραμέτρου που ελέγχουμε (το παράδειγμά μας, της μ ) που ορίζουν οι δύο υποθέεις, πρέπει προφανώς να είναι ξένα μεταξύ τους (ή το ένα άρνηη του άλλου). Τέλος, υπογραμμίζουμε ότι και οι δύο υποθέεις αναφέρονται τον πληθυμό γι αυτό δηλώνονται με όρους παραμέτρων του πληθυμού. Όπως ήδη έχουμε αναφέρει και την Ειαγωγή, τη τατιτική προέγγιη προβλημάτων ελέγχεται η υμφωνία θεωρίας και εμπειρίας. Έτι, το παράδειγμά μας, αφού διατυπώαμε την υπόθεη ότι η άγνωτη μέη τιμή του πληθυμού των ορίων αντοχής των καλωδίων μετά τη βελτίωη των υλικών είναι 5Kgr ( H : μ 5 Kgr), παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα καλωδίων από το ύνολο της παραγωγής του εργοταίου και μετράμε το όριο αντοχής κάθε καλωδίου του δείγματος. Για τις ανάγκες του παραδείγματος, έτω ότι ένα τυχαίο δείγμα,,... μεγέθους 5, μας έδωε τις μετρήεις x, x,..., x5 με x 55 Kgr. Η «εμπειρία», δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, υμφωνεί άραγε με την υπόθεη H : μ 5 Kgr, δηλαδή, με ό,τι αυτή υνεπάγεται για το δείγμα (με βάη τη θεωρία πιθανοτήτων) ή μήπως δίνει αποδείξεις εναντίον της H και υπέρ της H. Για να απαντήουμε ε αυτό το ερώτημα, πρέπει, πρώτα απ όλα, να κατακευάουμε/επιλέξουμε μια κατάλληλη τατιτική υνάρτηη (tattc) T T (,,..., ), δηλαδή, μια υνάρτηη του δείγματος-δειγματουνάρτηη, ώτε να ποοτικοποιήουμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» και η οποία, υπό την H, δηλαδή όταν ιχύει η H, να ακολουθεί γνωτή κατανομή (χωρίς άγνωτες παραμέτρους) ώτε να μπορούμε να υπολογίουμε τις απαιτούμενες για τον έλεγχο πιθανότητες. Στο παράδειγμά μας, που αφορά τον έλεγχο της μέης τιμής, μ, του πληθυμού, είναι λογικό να επιλέξουμε ως τατιτική υνάρτηη Τ, τη δειγματική μέη τιμή + +... + της οποίας η κατανομή, υπό την H : μ 5 Kgr, είναι Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 5
γνωτή, αφού το μέγεθος του δείγματος που πήραμε είναι αρκετά μεγάλο και επομένως από το Κ.Ο.Θ. έχουμε 75 ~ N(5, ) ή ~ N(5, 4.75 ). 5 Εναλλακτικά, ως τατιτική υνάρτηη Τ, μπορούμε να επιλέξουμε την 5 ( 5) 5 Z ~ N(,). 75 75 5 Έτι, «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», το παράδειγμά μας εκφράζεται από τη τατιτική υνάρτηη με τιμή, το υγκεκριμένο δείγμα που πήραμε, x 55 Kgr ή, ιοδύναμα, από την ( 5) 5 Z, 75 με τιμή (55 5) 5 z.. 75 Ας δούμε τώρα πώς με ποιον κανόνα ορίζουμε το «ακραίο». ος τρόπος: Επιλέγουμε-(προ)καθορίζουμε το ανεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι Αν η H : μ 5 Kgr είναι αληθής, είναι λογικό να αναμένουμε ότι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης το δείγμα που πήραμε (δηλαδή, η μέη τιμή του δείγματος) θα είναι κοντά την τιμή 5Kgr. Αντιθέτως, αν η H : μ 5 Kgr δεν είναι αληθής, αναμένουμε η μέη τιμή του δείγματος να είναι μακριά (προς την κατεύθυνη της H, δηλαδή δεξιότερα) του 5. Ένας λογικός, επομένως, έλεγχος είναι ο εξής: ορίζουμε μια τιμή c με βάη την οποία θα κρίνεται αν η δειγματική μέη τιμή βρίκεται μακριά από την μ 5 Kgr, δηλαδή θα θεωρείται ακραία. Έτι, αν το παράδειγμά μας επιλέξουμε c 53 Kgr τότε επειδή x 55 > 53, αυτό που παρατηρείται το δείγμα κρίνεται ακραίο και η H απορρίπτεται. Το κριτήριο αυτό είναι φυικά λογικό, όμως, πόο λογική-εύλογη είναι η αυθαίρετη τιμή c 53 Kgr με την οποία οριοθετήαμε τις ακραίες από της μη ακραίες δειγματικές μέες τιμές. Αν, για παράδειγμα, επιλέξουμε c 57 Kgr, τότε x 55 < 57 δηλαδή τώρα το Κατά προέγγιη Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 53
παρατηρούμενο το δείγμα δεν κρίνεται ακραίο και το δείγμα δεν υποτηρίζει απόρριψη της H. Τίθεται, επομένως, το ερώτημα: πώς επιλέγουμε την τιμή της ταθεράς c; Πριν απαντήουμε ε αυτό το εύλογο ερώτημα, ας υπολογίουμε την πιθανότητα να κάνουμε φάλμα τύπου Ι την περίπτωη που επιλέξουμε c 53 Kgr και αντίτοιχα την περίπτωη που επιλέξουμε c 57 Kgr. Για c 53 Kgr, έχουμε: P(φάλμα τύπου Ι)P(απόρριψη της H αληθής η H ) P ( 53 μ 5) 5 53 5 P( ) P( Z.) Φ(.).3 75 75 5 5 Ομοίως, για c 57 Kgr, έχουμε: 5 57 5 P( 57 μ 5) P( ) P( Z.83) Φ(.83).3 75 75 5 5 Και για οποιοδήποτε c, έχουμε: 5 c 5 ( c 5) P( c μ 5) P( ) P( Z 75 75 75 5 5 5 ( c 5) ) Φ 75 5 Από τα παραπάνω, είναι φανερό ότι η τιμή της ταθεράς c επηρεάζει (ακριβέτερα, καθορίζει) την πιθανότητα φάλματος τύπου Ι που κάνουμε. Έτι, με κριτήριο τον έλεγχο του μεγέθους του φάλματος τύπου Ι (θυμηθείτε και πώς ορίζουμε την H ), μπορούμε να επιλέξουμε την τιμή της c ως εξής: Ορίζουμε ένα μέγιτο ανεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι και με βάη αυτό υπολογίζουμε την τιμή της c. Με αυτό τον τρόπο, καθορίζουμε έναν απολύτως αφή κανόνα για να κρίνουμε αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα, δηλαδή η τιμή της τατιτικής υνάρτηης Τ (το παράδειγμά μας, της ή της ( 5) Z 75 5 ), είναι Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 54
«ακραία» ή όχι, και πλέον, αποφαίζουμε για την απόρριψη ή τη μη απόρριψη της H, με κριτήριο ένα προκαθοριμένο μέγεθος φάλματος τύπου Ι. Το ανεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι που προκαθορίζουμε, υμβολίζεται με α και ονομάζεται επίπεδο ημαντικότητας (level of gfcace) του ελέγχου (γιατί από αυτό προκύπτει η τιμή της c που ορίζει αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα είναι ημαντικό-ημαντική απόδειξη για να υποτηρίξει την απόρριψη της H ). Συνήθως το επίπεδο ημαντικότητας,α, ορίζεται ίο με. ή.5. Ας ολοκληρώουμε τον έλεγχο, το παράδειγμά μας, θέτοντας επίπεδο ημαντικότητας α. 5. Πρέπει να επιλέξουμε τιμή c τέτοια ώτε: 5 c 5 P( c μ 5).5 P.5 75 75 5 5 ( c 5) P Z 75 5 ( c 5).5 Φ 75 5.5 ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ.95.5.645 75 z 75 75 c 5 +.645 54.8 5 Έτι, επιλέγοντας c 54. 8 έχουμε x 55 > 54. 8 και επομένως απορρίπτουμε την H με πιθανότητα εφαλμένης απόρριψης το πολύ 5%. Ιοδύναμα, αν ως τατιτική υνάρτηη επιλέξουμε την ( 5) Z 75 5, έχουμε: P( Z c). 5 c z.5. 645, δηλαδή, ως τιμή της c επιλέγουμε το α. 5 άνω ποοτιαίο ημείο της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, z. 5, και επειδή η (55 5) 5 τιμή της τατιτικής υνάρτηης το δείγμα, z., είναι 75 μεγαλύτερη από την c z.5. 645, δηλαδή z. > z. 5. 645, απορρίπτουμε την H με πιθανότητα εφαλμένης απόρριψης το πολύ 5%. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 55
Αν η φύη του προβλήματος που εξετάζουμε επιβάλλει μεγαλύτερη «προταία» από φάλμα τύπου Ι, δηλαδή από εφαλμένη απόρριψη της H, τότε πρέπει να είματε πιο «υντηρητικοί» την απόρριψη της H και αυτό το επιτυγχάνουμε καθορίζοντας μικρότερο ανεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας. Έτι, το παράδειγμά μας, αν επιβάλλεται πιο αυτηρός έλεγχος του ιχυριμού του εργοταίου, κάνουμε τον έλεγχο ε μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας, δηλαδή, κάνουμε τον έλεγχο με μικρότερη ανοχή ε εφαλμένη απόρριψη της H, π.χ. με α.. Στην περίπτωη αυτή έχουμε: P( 5 c 5 c μ 5). P. 75 75 5 5 ( c 5) P Z 75 5 ( c 5). Φ 75 5. ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ.99..33 557.7 75 z c 75 Έτι, για α. είναι c 557. 7 και επειδή η x 55 δεν είναι μεγαλύτερη από αυτή, ε επίπεδο ημαντικότητας α. δεν απορρίπτουμε την H. ( 5) 5 Ιοδύναμα, αν ως τατιτική υνάρτηη επιλέξουμε την Z, έχουμε: 75 P( Z c). c z.. 33 και επειδή η τιμή της τατιτικής υνάρτηης το δείγμα, z., δεν είναι μεγαλύτερη από την c z.. 33, ε επίπεδο ημαντικότητας α. δεν απορρίπτουμε την H. Η ταθερά c ονομάζεται κρίιμη τιμή ή όριο απόρριψης (crtcal value, rejecto lmt) γιατί με βάη αυτή κρίνεται αν μια τιμή της τατιτικής υνάρτηης, Τ, είναι ακραία ή όχι. Ανάλογα, η τατιτική υνάρτηη Τ, ονομάζεται τατιτική Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 56
υνάρτηη ελέγχου (tet tattc) και οι τιμές της για τις οποίες απορρίπτεται η H ορίζουν την κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης (crtcal rego, rejecto rego). Όταν απορρίπτεται η H, το δείγμα χαρακτηρίζεται τατιτικά ημαντικό (tattcally gfcat) και έχει την έννοια ότι διαφέρει ημαντικά από αυτό που αναμενόταν από την H. Στο παράδειγμά μας, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η κρίιμη τιμή είναι c 54.8 ή, ιοδύναμα, c z.5. 645. Η κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης 75 είναι C { x : x 5 + z. 5 54.8} [54.8, + ) ή, ιοδύναμα, 5 ( x 5) 5 C { z : z z. 5.645} [.645, + ) και τα ευρήματα το 75 δείγμα ( x 55kgr ή, ιοδύναμα, z. ), ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, είναι τατιτικά ημαντικά. Σχόλιο. Επιημαίνουμε ότι, θέτοντας μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας, απαιτούμε πιο «ημαντικές αποδείξεις» για την απόρριψη της H και τον χαρακτηριμό των ευρημάτων μας το δείγμα ως τατιτικά ημαντικών. Έτι, μπορεί, ε κάποιο επίπεδο ημαντικότητας α, π.χ. α. 5, να απορρίπτουμε την H και ε κάποιο μικρότερο, π.χ. α., να μην την απορρίπτουμε γιατί απαιτούμε ημαντικότερες αποδείξεις. Όο πιο μικρό είναι το επίπεδο ημαντικότητας το οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την H, τόο πιο ημαντική είναι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που παρατηρείται το δείγμα, με την έννοια ότι δίνει πιο ιχυρές αποδείξεις εναντίον της H. Άρα, όο πιο μικρό είναι το επίπεδο ημαντικότητας το οποίο μπορούμε να απορρίψουμε την H, τόο πιο ημαντικό, τατιτικά, είναι το αποτέλεμα του ελέγχου. Τέλος, είναι προφανές, ότι αν η H απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ημαντικότητας α, τότε επίης απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μεγαλύτερο, ενώ αν δεν απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ημαντικότητας α, τότε επίης δεν απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μικρότερο. Σημείωη: Ας δούμε, και με μια άλλη διατύπωη, τι ημαίνει «κάνω φάλμα τύπου Ι». Έτω ότι κάνω τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α και ότι η μηδενική υπόθεη είναι αληθής. Τότε, από όλα τα δείγματα μεγέθους που μπορώ να πάρω από τον πληθυμό, ποοτό το πολύ α από αυτά θα δώουν τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που απορρίπτει τη μηδενική υπόθεη (εν προκειμένω εφαλμένα). Συνοψίζοντας, ο έλεγχος του παραδείγματός μας, με τη διαδικαία που περιγράψαμε, έγινε ε έξι βήματα: ο Βήμα Ορίαμε τις δύο υποθέεις (ύμφωνα με όα αναφέρθηκαν): H : μ 5 Kgr, H : μ > 5 Kgr ο Βήμα Ορίαμε το επίπεδο ημαντικότητας α του ελέγχου: α. 5 3 ο Βήμα Ορίαμε τη τατιτική υνάρτηη ελέγχου: την ή, ιοδύναμα, Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 57
( 5) 5 την Z. 75 4 ο Βήμα Επιλέξαμε από τον πληθυμό ένα τυχαίο δείγμα και υπολογίαμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου: x 55 Kgr ή, ιοδύναμα, z. (μέγεθος δείγματος, 5 ). 5 ο Βήμα Ορίαμε την κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου: 75 75 C { x : x 5 + z. 5} { x : x 5 +.645} [54.8, + ), 5 5 ή, ιοδύναμα, x 5 C { z : z z. 5.645} [.645, + ). 75 5 6 ο Βήμα Εξετάαμε αν η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου βρίκεται ή όχι την κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου και αποφαίαμε με πιθανότητα φάλματος τύπου Ι, α. 5, για την απόρριψη ή όχι της μηδενικής υπόθεης: επειδή x 55 [54.8, + ) ή, ιοδύναμα, επειδή z. [.645, + ), ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, απορρίψαμε την H : μ 5 Kgr. Προοχή: Στη διατύπωη του αποτελέματος πρέπει οπωδήποτε να αναφέρεται το επίπεδο ημαντικότητας του ελέγχου γιατί με βάη αυτό κρίνεται αν αυτό που παρατηρείται το δείγμα είναι τατιτικά ημαντικό ή όχι και κατά υνέπεια αν η μηδενική υπόθεη απορρίπτεται ή δεν απορρίπτεται. Στη διατύπωη του αποτελέματος θα αναφερθούμε και τη υνέχεια. Σημείωη: Διευκρινίζουμε ότι όταν λέμε «περιοχή απόρριψης», πάντοτε εννοούμε «περιοχή απόρριψης της H». Όπως, ήδη, έχουμε αναφέρει, με αυτόν τον τρόπο που εργαθήκαμε, πετύχαμε να θέουμε υπό τον έλεγχό μας το φάλμα τύπου Ι, δηλαδή, να αποφαίουμε με γνωτή-προκαθοριμένη πιθανότητα εφαλμένης απόρριψης της H. Ένας παρεμφερής τρόπος χειριμού του φάλματος τύπου Ι είναι ο ακόλουθος. ος τρόπος: Υπολογίζουμε την P-Τιμή (P-Value) του δείγματος Με δεδομένο ότι η H : μ 5 είναι αληθής, υπολογίζουμε την πιθανότητα να εμφανιθεί η τιμή x 55 Kgr που εμφανίθηκε το δείγμα ή κάποια μεγαλύτερή της (δηλαδή, κάποια τιμή προς την κατεύθυνη της H ). Ζητάμε την πιθανότητα P( 55 / H ) ή P ( 55 / μ 5) και επειδή γνωρίζουμε την κατανομή της έχουμε, 5 55 5 P( 55 μ 5) P( ) P( Z.) Φ(.).7 75 75 5 5 Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται P-Τιμή (P-Value) του δείγματος και είναι η πιθανότητα να εμφανιθεί η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που εμφανίθηκε (το παράδειγμά μας, x 55 Kgr ή z. ) ή κάποια πιο μακριά (πιο ακραία), προς την κατεύθυνη της H, δεδομένου ότι η Η ο είναι αληθής. Έτι, Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 58
υπολογίζοντας την P-τιμή του δείγματος, γνωρίζουμε πόο πιθανή ήταν η εμφάνιη του δείγματος που πήραμε με την υπόθεη ότι η H είναι αληθής. Επομένως, όο πιο μικρή είναι η P-Τιμή τόο ιχυρότερες ενδείξεις εναντίον της H προκύπτουν από το υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα ή αλλιώς τόο πιο ημαντική είναι η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που δίνει το δείγμα. Στο παράδειγμά μας, υπολογίαμε ότι η P-Τιμή του δείγματος που πήραμε, είναι ίη με.7 ή.7%. Eπομένως, αν κάνουμε τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α. %, δηλαδή, αν θέλουμε πιο «ημαντικές αποδείξεις» εναντίον της H από αυτές που παρατηρούνται το δείγμα, τότε δεν την απορρίπτουμε, ενώ αν κάνουμε τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α.5 5% τότε την απορρίπτουμε (γιατί την περίπτωη αυτή, απαιτούμε λιγότερο «ημαντικές αποδείξεις» εναντίον της H ) 3. Στο επόμενο χήμα έχουμε μεγεθύνει τη δεξιά ουρά της κατανομής της Z και φαίνονται ευκρινώς οι περιοχές που αντιτοιχούν το α. 5, την P τιμ ή.7 και το α. Έτι, υπολογίζοντας την P-Τιμή, μπορούμε άμεα να την υγκρίνουμε με όποιο α και αν επιλέξουμε και να αποφαίουμε για την απόρριψη ή όχι της H. Ειδικότερα, αν P-Τιμή α, τότε, ε επίπεδο ημαντικότητας α, η H απορρίπτεται. αν P-Τιμή > α, τότε, ε επίπεδο ημαντικότηταςα, η H δεν απορρίπτεται. Συνοψίζοντας, από τα παραπάνω, είναι προφανές, ότι. H P-τιμή μπορεί να οριθεί και ως εξής: P-Τιμή είναι η ελάχιτη τιμή του επιπέδου ημαντικότητας για την οποία απορρίπτεται η Η ο.. H P-τιμή είναι ένα μέτρο το οποίο εκφράζει πόο ιχυρές είναι οι αποδείξεις που προκύπτουν από το δείγμα, εναντίον της Η ο. Σημείωη: Στη βιβλιογραφία, για την P-Τιμή, χρηιμοποιείται και ο όρος, παρατηρούμενο επίπεδο ημαντικότητας (oberved gfcace level). Τον αναφέρουμε, όμως, δεν τον υνιτούμε. 3 Θυμηθείτε ότι μικρότερο α ημαίνει ότι απαιτούνται πιο ημαντικές αποδείξεις εναντίον της H. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 59
Σε αυτή την ενότητα, προπαθήαμε, με ένα παράδειγμα, να περιγράψουμε, να εφαρμόουμε και κυρίως να αναδείξουμε το νόημα και τη λογική της γενικής διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεων. Βέβαια, το παράδειγμα που χρηιμοποιήαμε, ο έλεγχος είναι ένας μονόπλευρος, δεξιόπλευρος έλεγχος για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού του οποίου γνωρίζουμε τη διαπορά,, και το τυχαίο δείγμα που χρηιμοποιήαμε είναι αρκετά μεγάλο ώτε η προέγγιη που παίρνουμε από το Κ.Ο.Θ. για την κατανομή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου να είναι ικανοποιητική. Δηλαδή, είναι μια ειδική-υγκεκριμένη περίπτωη ελέγχου για τη μέη τιμή ενός πληθυμού. Όμως, η μέθοδος που αναλύαμε είναι γενική. Δεν αλλάζει αν, αντί μονόπλευρος, ο έλεγχος είναι αμφίπλευρος ή αντί τη μέη τιμή, μ, αφορά τη διαπορά,, ενός πληθυμού, ή αν το δείγμα είναι αρκετά μεγάλο ή όχι, ή αντί τη μέη τιμή ενός πληθυμού αφορά τη διαφορά μ μ των μέων τιμών μ, μ δύο πληθυμών, κ.ο.κ. Οι διάφορες περιπτώεις τατιτικών ελέγχων διαφοροποιούνται, ή την επιλογή τατιτικής υνάρτηης ελέγχου ή/και τη μορφή της περιοχής απόρριψης ([ c, + ) ή (-, c] ή, c ] [ c, + ), αντίτοιχα). ( Στην επόμενη ενότητα, δίνουμε τη τατιτική υνάρτηη ελέγχου και την περιοχή απόρριψης για διάφορες περιπτώεις που μπορεί να εμφανιθούν τον τατιτικό έλεγχο της μέης τιμής, μ, ενός πληθυμού.. Στατιτικοί έλεγχοι υποθέεων για τη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού Θα αναφερθούμε τον έλεγχο της υπόθεης, H : μ μ, δηλαδή, της υπόθεης ότι η άγνωτη μέη τιμή, μ, ενός πληθυμού έχει τιμή μ. Ειδικότερα, θα δώουμε τη τατιτική υνάρτηη ελέγχου τις ακόλουθες περιπτώεις (α), (β) και (γ) όπου ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή ακολουθεί αντίτοιχα, κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά οποιαδήποτε κατανομή με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος δείγματος είναι μεγάλο. (α) Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά. Έτω τυχαίο δείγμα,,... από ένα πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωτή διαπορά και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμενη), δηλαδή, ~ N( μ, ),,,...,. Από τη θεωρία πιθανοτήτων γνωρίζουμε ότι την + +... + περίπτωη αυτή, η κατανομή της τυχαίας μεταβλητής, ανεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, είναι κανονική κατανομή με ( μ ) ~ N( μ, ) και επομένως Z ~ N(, ). ( μ ) Επειδή η διαπορά,, του πληθυμού είναι γνωτή, την Z δεν υπάρχουν άγνωτοι παράμετροι και επομένως η τιμή της, z, μπορεί να υπολογιθεί από το δείγμα. Έτι, εργαζόμενοι όπως το παράδειγμά μας, αν x η τιμή της το δείγμα, έχουμε: Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 6
Σε επίπεδο ημαντικότητας α, απορρίπτουμε την H : μ μ, έναντι της H : μ > μ, όταν, x μ + zα, ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ z ) z α έναντι της H : μ < μ, όταν, x μ zα, ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ ) z z α έναντι της H : μ μ, όταν, x μ zα ή x μ + z ή, ιοδύναμα, όταν, α ( x μ ) z z α Σημείωη: Στην περίπτωη που η διαπορά,, του πληθυμού είναι γνωτή και το μέγεθος του δείγματος,, είναι μεγάλο (θεωρητικά +, την πράξη 3 ), οι παραπάνω περιοχές απόρριψης ιχύουν για οποιονδήποτε πληθυμό, όχι κατ ανάγκη κανονικό (βλ. Κ.Ο.Θ.). Όμως, την περίπτωη αυτή, οι αντίτοιχοι έλεγχοι είναι κατά προέγγιη επιπέδου ημαντικότητας α, γιατί η κατανομή της τατιτικής υνάρτηης ( μ ) ελέγχου ή, ιοδύναμα, της Z δεν είναι, την περίπτωη αυτή, κανονική αλλά προεγγίζεται από την κανονική. Φυικά, όο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόο καλύτερη είναι η προέγγιη. Η υπόθεη που κάναμε ότι η διαπορά,, του πληθυμού είναι γνωτή, δεν είναι μια ρεαλιτική υπόθεη. Στην πράξη, η διαπορά του πληθυμού υνήθως είναι άγνωτη. Oι δύο περιπτώεις που ακολουθούν, αναφέρονται το πώς εργαζόματε όταν η διαπορά του πληθυμού είναι άγνωτη. (β) Ο πληθυμός ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά. Έτω τυχαίο δείγμα,,... από ένα πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωτη διαπορά και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμενη), δηλαδή, ~ N( μ, ),,,...,. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 6
Επειδή η διαπορά του πληθυμού,, είναι άγνωτη, δε μπορούμε ως τατιτική ( μ υνάρτηη ελέγχου να χρηιμοποιήουμε την Z ) γιατί δε μπορούμε να υπολογίουμε την τιμή της, z, από το δείγμα. Γι αυτό, εκτιμάμε την άγνωτη διαπορά,, από την (αμερόληπτη) δειγματική διαπορά S ( ) ( μ ) και ως τατιτική υνάρτηη ελέγχου, χρηιμοποιούμε την T, η οποία, S είναι γνωτό ότι όταν ~ N( μ, ),,,...,, και ανεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, ακολουθεί την κατανομή t (την κατανομή Studet με - βαθμούς ελευθερίας). Δηλαδή, ( μ ) T ~ t. S Είναι επομένως λογικό, την περίπτωη που εξετάζουμε, οι περιοχές απόρριψης να ορίζονται με βάη το άνω α ή το άνω α ποοτιαίο ημείο της κατανομής t ( t ; α και t ; α, αντίτοιχα). Έτι, έχουμε: Σε επίπεδο ημαντικότητας α, απορρίπτουμε την H : μ μ, έναντι της H : μ > μ, όταν, x μ + t ;α ή, ιοδύναμα, όταν, t x ( μ ) t ; α έναντι της H : μ < μ, όταν, x μ t ;α ή, ιοδύναμα, όταν, t x ( μ ) t ; α έναντι της H : μ μ, όταν, x μ t ; α ή x μ + ή, ιοδύναμα, όταν, t ; α t x ( μ ) t ; α Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 6
Στο ημείο αυτό, αξίζει να αναφέρουμε λίγα τοιχεία για την προέλευη της κατανομής Studet. Η κατανομή t ή κατανομή Studet, προτάθηκε το 98 από τον Wllam Goet. Στη χετική εργαία που δημοίευε ("The probable error of a mea", Bometrka, 6, -5, 98), για λόγους εμπορικού απορρήτου, χρηιμοποίηε το ψευδώνυμο Studet. O Goet είχε πουδάει Χημεία και Μαθηματικά και εργαζόταν το Δουβλίνο για τη γνωτή ζυθοποιία Gue ε θέματα τατιτικής υμπεραματολογίας. Τα προβλήματα τατιτικής υμπεραματολογίας που μελετούε, αφορούαν πειράματα το κτήμα της ζυθοποιίας για τη βελτίωη ποικιλιών κριθαριού!!! Αφετηρία της ιδέας του Goet ήταν μια απλή παρατήρηη. Επειδή ήταν αναγκαμένος να εργάζεται με ( μ μικρού μεγέθους δείγματα, παρατήρηε ότι η κατανομή της T ) για μικρά S δείγματα, έχει μεν κωδωνοειδή μορφή και είναι υμμετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα το όπως η Z ~ N(, ), όμως έχει πιο «παχιές» ουρές. Παρατήρηε, δηλαδή, ότι για μικρά δείγματα, η Z ~ N(, ), για πολύ μικρές και πολύ μεγάλες τιμές της ( μ ) T προβλέπει μικρότερες πιθανότητες από αυτές με τις οποίες S υμβαίνουν. Δείτε το χήμα που ακολουθεί, όπου φαίνεται η Z ~ N(, ) και το ( μ ) ιτόγραμμα 5 τιμών της T που υπολογίθηκαν από 5 δείγματα S μεγέθους 4 το καθένα από μια κανονική κατανομή. Η παρατήρηη του Goet είναι προφανής. Παρατηρείτε, επίης, το παρακάτω χήμα, την Z ~ N(, ) και την t για και. Η t είναι πιο πεπλατυμένη (πιο χαμηλή κορυφή και πληιάζει τον οριζόντιο άξονα πιο αργά). Επίης, παρατηρείτε ότι η μορφή της επηρεάζεται από το μέγεθος του δείγματος. Η t παρουιάζει αυτή τη μεταβλητότητα ως προς το, γιατί η διαπορά της, V ( t ), >, εξαρτάται από το. Γι αυτό, όο το αυξάνεται, η μεταβλητότητά της ελαττώνεται και πληιάζει την Z ~ N(, ( ) ) 4. 4 Σκεφθείτε επίης ότι η t επηρεάζεται από δύο τυχαίες ποότητες ( και S ) ενώ η μόνο από την. Όο το αυξάνεται η εκτίμηη χρηιμοποιείται περιότερη πληροφορία! ( μ ) Z της από την S γίνεται καλύτερη γιατί Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 63
Η αξία και η χρηιμότητα της κατανομής t τον έλεγχο τατιτικών υποθέεων αναγνωρίθηκε και αναδείχθηκε, πολλά χρόνια αργότερα, από τον διακεκριμένο τατιτικό και γενετιτή R.. Fher ("pplcato of "Studet'" dtrbuto", Metro 5: 9 4, 95). Έκτοτε, η κατανομή t είναι γνωτή και ως κατανομή Studet (Studet dtrbuto) και οι χετικοί έλεγχοι τατιτικών υποθέεων ως t-tet. Σημείωη: Σημειώνουμε, τέλος, ότι παρότι το t-tet προϋποθέτει να είναι κανονικός ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή και από τον οποίο παίρνουμε το δείγμα, εντούτοις, την πράξη αποδεικνύεται «ανθεκτικό» ε αυτή την υπόθεη. Δηλαδή, το επίπεδο ημαντικότητας του ελέγχου είναι κοντά το α ακόμη και αν η υπόθεη της κανονικότητας του πληθυμού δεν ικανοποιείται. Φυικά, αυτό δε υμβαίνει αν η κατανομή του πληθυμού απέχει δραματικά από την κανονική κατανομή (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη κ.τλ.) και το μέγεθος του δείγματος είναι πολύ μικρό. (γ) Ο πληθυμός ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο. Έτω τυχαίο δείγμα,,... από ένα πληθυμό με κατανομή F (οποιαδήποτε), με άγνωτη διαπορά και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμενη). Με την υπόθεη ότι το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (θεωρητικά +, την πράξη 3 ) μπορεί να αποδειχθεί 5 ότι η τατιτική υνάρτηη ( μ T ) προεγγίζεται ικανοποιητικά από την Z ~ N(, ). Δηλαδή, S ( μ ) T Z ~ N(,). S Επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α, απορρίπτουμε την H : μ μ, έναντι της H : μ > μ, όταν, x μ + z α, ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ z ) zα. έναντι της H : μ < μ, όταν, x μ z α, 5 Η απόδειξη παραλείπεται. Σημειώνουμε μόνο ότι για την απόδειξη χρηιμοποιείται το Κ.Ο.Θ. και όχι μόνο! Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 64
ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ ) z zα. έναντι της H : μ μ, όταν, x μ zα ή x μ + zα ή, ιοδύναμα, όταν, ( x μ ) z zα. ( μ Σχόλιο: Επειδή, την περίπτωη αυτή, η κατανομή της T ) δεν είναι S κανονική N (, ), αλλά προεγγίζεται από την N (, ), οι έλεγχοι είναι επιπέδου ημαντικότητας α, κατά προέγγιη. Φυικά, όο μεγαλύτερο είναι το δείγμα, τόο καλύτερη είναι η προέγγιη. Ερώτηη: Αν ο πληθυμός είναι κανονικός, με άγνωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, τότε προφανώς εφαρμόζεται ο έλεγχος της περίπτωης (β) αλλά και της περίπτωης (γ). Τι λέτε, τίθεται ουιατικό δίλημμα επιλογής ελέγχου 6 ; Ας δούμε τώρα μερικές ακήεις και εφαρμογές. Θα μας βοηθήουν να εξοικειωθούμε τη διάκριη των παραπάνω περιπτώεων, που ίως φαντάζουν λαβύρινθος. Όμως, δεν είναι! Εφαρμογή-: Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος μιας υγκεκριμένης φυλής αγελάδων είναι 4Kgr (ανά αγελάδα). Ένας ερευνητής θέλει να ελέγξει αν τις κτηνοτροφικές μονάδες της Μακεδονίας και της Θράκης οι αγελάδες της υγκεκριμένης φυλής έχουν τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Για το κοπό αυτό και με βάη ένα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, επέλεξε ένα δείγμα 4 αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής από μονάδες της Μακεδονίας και της Θράκης και κατέγραφε κάθε μέρα, επί ένα έτος, την παραγωγή γάλακτος κάθε μιας αγελάδας του δείγματος. Η μέη ετήια παραγωγή των 4 αγελάδων, βρέθηκε 39Kgr με τυπική απόκλιη 5Kgr. Θα κάνουμε κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για να ελέγξουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, αν αυτό που παρατηρήθηκε το δείγμα υποτηρίζει ότι η μέη ετήια απόδοη των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Ο πληθυμός του οποίου θα ελέγξουμε τη μέη τιμή είναι οι ετήιες αποδόεις γάλακτος όλων των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής που εκτρέφονται τη Μακεδονία και τη Θράκη. Ας υμβολίουμε με Χ την ετήια παραγωγή γάλακτος ε Kgr, μιας οποιαδήποτε αγελάδας της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη και με,,... 4 τις ετήιες αποδόεις τυχαίου δείγματος 4 αγελάδων από τον πληθυμό. Στο υγκεκριμένο δείγμα που πήρε ο ερευνητής, οι τιμές του δείγματος, x, x,... x4, έδωαν x 39kgr με 5kgr. 6 Θυμηθείτε ότι για μεγάλα ιχύει: t α zα ; Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 65
Ως μηδενική υπόθεη θέτουμε αυτή που αμφιβητείται από τον ερευνητή (γι αυτό την ελέγχει) δηλαδή την: H : μ 4 Kgr. Ως εναλλακτική θέτουμε την H : μ 4 Kgr, γιατί ο ερευνητής θέλει να ελέγξει πιθανή διαφοροποίηη της μέης απόδοης και όχι διαφοροποίηή της προς κάποια κατεύθυνη (αύξηη ή μείωη). Ως τατιτική υνάρτηη ελέγχου θα χρηιμοποιήουμε την ( μ ) Z ~ N(,) γιατί η διαπορά του πληθυμού είναι άγνωτη και το S μέγεθος του δείγματος είναι 4 > 3 (περίπτωη (γ)). Επειδή ο έλεγχος είναι αμφίπλευρος, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είναι: z z.5 ή z z. 5 ή z.96 z.96 ή z. 96. Υπολογίζουμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου το δείγμα. Έχουμε: ( x μ ) (39 4) 4 z.8. 5 Ελέγχουμε αν η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που βρήκαμε, βρίκεται την περιοχή απόρριψης. Πράγματι, επειδή z.8. 96, η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου βρίκεται την περιοχή απόρριψης και επομένως ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη. Συμπέραμα: Σε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, το δείγμα δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Αλλιώς: Το δείγμα δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που αναφέρεται τη βιβλιογραφία. Η πιθανότητα το υμπέραμα αυτό να είναι λάθος είναι το πολύ 5%. Παρατήρηη-: Αν ο ερευνητής έχει υπόνοιες ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος των αγελάδων της υγκεκριμένης φυλής τη Μακεδονία και τη Θράκη, είναι μικρότερη από την αναφερόμενη τη βιβλιογραφία, τότε πρόκειται για άλλο πρόβλημα, για άλλο ερευνητικό ερώτημα. Στην περίπτωη αυτή πρέπει να γίνει ο έλεγχος της H : μ 4 Kgr έναντι της H : μ < 4 Kgr. Ερώτηη: Τι λέτε, είναι απαραίτητο να κάνουμε τον έλεγχο ή μήπως μπορούμε να υμπεράνουμε το αποτέλεμά του από το αποτέλεμα του αμφίπλευρου ελέγχου που ήδη κάναμε; Παρατήρηη-: Αν κάνουμε τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α., η περιοχή απόρριψης είναι: z z. ή z z. 5 ή z.58 z.58 ή z. 58. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 66
Η τιμή, z. 8, της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου, φυικά, δεν αλλάζει και επειδή τώρα δε βρίκεται την περιοχή απόρριψης, η μηδενική υπόθεη ε επίπεδο ημαντικότητας α. δεν απορρίπτεται. Δηλαδή, η διαφορά των 9Kgr (μεταξύ δειγματικού μέου, x 39kgr, και μηδενικής υπόθεης, μ 4 Kgr) τώρα δεν κρίνεται ως τατιτικά ημαντική. Αυτό, φυικά, δεν είναι παράδοξο αφού θέτοντας α. απαιτούμε πλέον πιο ιχυρές αποδείξεις εναντίον της μηδενικής υπόθεης. Ερώτηη: Σε επίπεδο ημαντικότητας α. ή α. 3 είναι άραγε τατιτικά ημαντική αυτή η παρατηρούμενη διαφορά; Για να απαντήουμε, μπορούμε φυικά να υγκρίνουμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου με την αντίτοιχη, για κάθε περίπτωη, κρίιμη τιμή. Μπορούμε όμως να κάνουμε κάτι καλύτερο και να δώουμε μια πληρέτερη απάντηη. Να υπολογίουμε την P-τιμή του δείγματος, δηλαδή, το ελάχιτο επίπεδο ημαντικότητας για το οποίο απορρίπτεται η μηδενική υπόθεη ή αλλιώς, να υπολογίουμε πόο ημαντική (... επιτέλους) είναι αυτή η τιμή που εμφανίθηκε το υγκεκριμένο τυχαίο δείγμα. Έχουμε: P τιμή P( Z.8) P( Z.8) + P( Z.8) [ Φ(.8)] + [ Φ(.8)].6. Έτι, ε επίπεδο ημαντικότητας α. και α. δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη ενώ ε επίπεδο ημαντικότητας α. 3 την απορρίπτουμε. Άκηη-: Από έναν πληθυμό που ακολουθεί κανονική κατανομή, πήραμε ένα δείγμα μεγέθους 9, με x 6 μονάδες και μονάδες. Ας κάνουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεης H : μ 65 έναντι της εναλλακτικής H : μ 65. Προφανώς, κατάλληλο είναι το t-tet (κανονικός πληθυμός με άγνωτη διαπορά, περίπτωη (β)). Ο έλεγχος είναι αμφίπλευρος και επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είναι: t t8;.5 t.36 t.36 ή t.36. (6 65) 9 Επειδή t. 5, η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου δεν βρίκεται την περιοχή απόρριψης και επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α.5, δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη. Ερώτηη: Μη απορρίπτοντας την H : μ 65, αποδείξαμε άραγε ότι είναι αληθής; Δηλαδή, αποδεχόματε ότι η μέη τιμή, μ, του πληθυμού είναι ίη με 65 και είματε βέβαιοι γι αυτό; Απάντηη: Όχι! Δεν αποδείξαμε ότι μ 65. Απλώς αποτύχαμε να απορρίψουμε την H : μ 65. Γι αυτό, το υμπέραμα δε γράψαμε ότι αποδεχόματε τη μηδενική Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 67
υπόθεη αλλά ότι δεν την απορρίπτουμε. Για να γίνει αυτό κατανοητό, ας κάνουμε, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, τον έλεγχο της H : μ 55 έναντι της H : μ 55. (6 55) 9 Η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου είναι t. 5. Η περιοχή απόρριψης είναι όπως και προηγουμένως, t.36 ή t. 36, και επομένως η μηδενική υπόθεη H : μ 55, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, επίης δεν απορρίπτεται. Δηλαδή, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, τόο η H : μ 65 όο και η H : μ 55 δεν απορρίπτονται. Επομένως, αν γράψουμε ότι αποδεχόματε τη μηδενική, τι αποδεχόματε; Ότι η μέη τιμή είναι 65 ή ότι είναι 55; Η απάντηη είναι η εξής: όπως έχουμε αναφέρει, όταν ε ένα τατιτικό έλεγχο απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη όπως και όταν δεν την απορρίπτουμε, δεν είματε βέβαιοι για το υμπέραμά μας. Είναι πιθανόν να κάνουμε φάλμα τύπου Ι ή φάλμα τύπου ΙΙ, αντίτοιχα. Την πιθανότητα φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, την πιθανότητα να κάνουμε φάλμα όταν απορρίπτουμε τη μηδενική τη γνωρίζουμε. Είναι το πολύ α και τη δηλώνουμε. Όταν δεν απορρίπτουμε τη μηδενική δεν είναι ωτό το υμπέραμά μας να γράψουμε ότι «αποδεχόματε τη μηδενική υπόθεη» χωρίς να έχουμε υπολογίει και να δηλώνουμε την πιθανότητα αυτό το υμπέραμα να είναι λάθος, δηλαδή, χωρίς να έχουμε υπολογίει την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ. Και αυτό γιατί αποδοχή ημαίνει απόδειξη-βεβαιότητα κάτι το οποίο δε υμβαίνει αφού υπάρχει πιθανότητα το υμπέραμά μας αυτό να είναι λάθος. Επειδή, όπως θα δούμε την επόμενη ενότητα, ο υπολογιμός της πιθανότητας φάλματος τύπου ΙΙ, υνήθως, δεν είναι εφικτός (γιατί είναι υνάρτηη της πραγματικής τιμής της παραμέτρου που ελέγχουμε), όταν η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α, δεν απορρίπτεται, το υμπέραμα πρέπει να γράφουμε «η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α, δεν απορρίπτεται» ή ακριβέτερα, «ε επίπεδο ημαντικότητας α, αποτύχαμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεη» και να αποφεύγουμε να γράφουμε «ε επίπεδο ημαντικότητας α αποδεχόματε τη μηδενική υπόθεη». Συμπληρωματικά με το αποτέλεμα του ελέγχου, και προκειμένου να έχουμε μια εκτίμηη της άγνωτης μέης τιμής που ελέγχουμε, μπορούμε να υπολογίουμε ένα ( α ) % διάτημα εμπιτούνης. Στην περίπτωη που εξετάζουμε, ένα 95% διάτημα εμπιτούνης για την άγνωτη μέη τιμή, μ, του πληθυμού είναι: x ± t ; ή 6 ± t α 8;. 5 ή 6 ± 9. 4 ή [5.776, 69.4]. 9 Δηλαδή, με βάη αυτό που παρατηρείται το δείγμα, η μηδενική υπόθεη H : μ 65 (ή η μηδενική υπόθεη H : μ 55) ε επίπεδο ημαντικότητας 5% δεν απορρίπτεται και το διάτημα [5.776, 69.4], με πιθανότητα 95%, περιέχει η άγνωτη μέη τιμή, μ, του πληθυμού. Παρατηρείτε ότι τόο η τιμή 55 όο και η τιμή 65 βρίκονται εντός του 95% διατήματος εμπιτούνης. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 68
Ερώτηη: Τι λέτε, χετίζεται το διάτημα εμπιτούνης με την περιοχή μη απόρριψης της μηδενικής υπόθεης; Σχόλιο για το νόημα της μη απόρριψης της μηδενικής υπόθεης: Κάτι ανάλογο με τη διαδικαία ελέγχου τατιτικών υποθέεων που περιγράψαμε, υμβαίνει και τη διαδικαία λήψης δικατικών αποφάεων. Όταν ένας πολίτης οδηγείται ε δίκη, αυτό υμβαίνει γιατί αμφιβητείται η αθωότητά του. Οι δικατές θέτουν ως μηδενική υπόθεη ότι ο κατηγορούμενος πολίτης είναι αθώος 7 (δηλαδή, αυτή που αμφιβητείται) και ως εναλλακτική ότι είναι ένοχος. Η δικατική διαδικαία κοπό έχει να διαπιτώει αν υπάρχουν ημαντικά αποδεικτικά τοιχεία εναντίον της αθωότητας του κατηγορουμένου, δηλαδή, εναντίον της μηδενικής υπόθεης. Αν δεν προκύψουν τέτοια τοιχεία η μηδενική υπόθεη δεν απορρίπτεται και ο κατηγορούμενος απαλλάεται των κατηγοριών. Αυτό δε ημαίνει ότι, κατ ανάγκη, αποδείχθηκε η αθωότητά του. Σημαίνει ότι δεν βρέθηκαν ημαντικά τοιχεία εναντίον της αθωότητάς του. Άκηη-: Από έναν πληθυμό με άγνωτη κατανομή και άγνωτη διαπορά, πήραμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους 36. Από παλαιότερες έρευνες είναι γνωτό ότι η μέη τιμή του πληθυμού είναι μ 83, όμως υπάρχουν υπόνοιες ότι έχει αλλάξει. Το δείγμα που πήραμε έδωε, x 86. και. α) Να γίνει, ε επίπεδο ημαντικότητας α.5, κατάλληλος τατιτικός έλεγχος για τη μέη τιμή του πληθυμού. β) Αν αλλαγή της μέης τιμής ημαίνει μόνο αύξηη, αλλάζει κάτι τον έλεγχο που πρέπει να κάνουμε; Στο υμπέραμα; α) Με βάη όα έχουμε αναφέρει για τον καθοριμό των δύο υποθέεων, πρέπει να κάνουμε τον έλεγχο της H : μ 83 έναντι της H : μ 83. Παρότι δε γνωρίζουμε αν είναι κανονική η κατανομή του πληθυμού ούτε και τη διαπορά του, επειδή το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή ( x μ ) απόρριψης του ελέγχου είναι z z. 5 (περίπτωη (γ)), δηλαδή, z z.5 ή z z.5 z.96 ή z.96. (86. 83) 36 Η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου είναι z. 9 και επειδή, προφανώς, δεν ανήκει την περιοχή απόρριψης, ε επίπεδο ημαντικότητας α.5, η μηδενική υπόθεη δεν απορρίπτεται. Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, δε δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι έχει αλλάξει η μέη τιμή. β) Είναι προφανές, ότι την περίπτωη αυτή, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, πρέπει να κάνουμε τον έλεγχο της ίδιας μηδενικής υπόθεης H : μ 83, έναντι όμως της εναλλακτικής H : μ > 83. Επειδή τώρα πρόκειται για μονόπλευρο-δεξιόπλευρο έλεγχο, η περιοχή απόρριψης είναι, z z.5 ή z. 645 και επειδή για την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου έχουμε z.9. 645, η μηδενική υπόθεη, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, απορρίπτεται. Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη τιμή έχει αυξηθεί! 7 Έτι προβλέπεται από το δικαιακό μας ύτημα ( ακόμη.): «ο κατηγορούμενος είναι αθώος μέχρι αποδείξεως του εναντίου». Ας ελπίουμε ότι δε θα επιτρέψουμε ε μεθόδους ιεράς εξέταης όπου ο κατηγορούμενος έπρεπε να αποδείξει την αθωότητά του... Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 69
Ερώτηη: Εξηγείτε, με βάη τη λογική της διαδικαίας ελέγχου, γιατί τα αποτελέματα των δύο ελέγχων που κάναμε τα (α) και (β) δεν είναι αντιφατικά 8. Εφαρμογή-: Τα βιομηχανικά απόβλητα που ρίχνονται τα ποτάμια, απορροφούν το διαλυμένο το νερό οξυγόνο, με υνέπεια αυτό να μειώνεται και όταν η μέη τιμή του δεν υπερβαίνει τα 5ppm, να δημιουργείται οβαρό πρόβλημα επιβίωης των υδρόβιων οργανιμών. Tο πρόβλημα αυτό είχε διαπιτωθεί, πριν από αρκετά χρόνια, και τον ποταμό Καλαμά. Για την αντιμετώπιή του εφαρμόθηκε ειδικό πρόγραμμα αποκατάταης και προταίας του ποταμού. Ένας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας που είχε κοπό να διερευνήει αν απέδωαν τα μέτρα προταίας, έπρεπε, μεταξύ άλλων δεικτών, να μελετήει την ποότητα διαλυμένου οξυγόνου τα νερά του ποταμού. Για το κοπό αυτό, πήρε, με βάη κατάλληλο χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, μετρήεις από ημεία της κοίτης του ποταμού. Οι μετρήεις έδωαν τις εξής τιμές διαλυμένου οξυγόνου(ε ppm): 5, 5., 5., 5., 4.9, 5.3, 5, 5., 5., 5.. Με βάη αυτές τις τιμές, μπορεί ο φοιτητής να υμπεράνει ότι τον ποταμό Καλαμά η μέη ποότητα διαλυμένου οξυγόνου είναι πλέον μεγαλύτερη από 5ppm; Ο φοιτητής μελετάει την ποότητα, Χ, διαλυμένου οξυγόνου τα νερά του ποταμού Καλαμά με βάη ένα τυχαίο δείγμα,,..., μετρήεων. Αν μ είναι η άγνωτη μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, πρέπει να κάνει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για να ελέγξει αν οι τιμές x, x,... x που έδωε το υγκεκριμένο δείγμα που πήρε, υποτηρίζουν την απόρριψη της μηδενικής υπόθεης H : μ 5ppm ή, πιο ωτά, της H : μ 5ppm, υπέρ της εναλλακτικής 9. H : μ > 5 ppm Η κατανομή του πληθυμού δεν είναι γνωτή. Επίης, η διαπορά του δεν είναι γνωτή και το μέγεθος του δείγματος είναι μικρό ( < 3 ). Αυτή η περίπτωη δεν εντάεται τις περιπτώεις (α), (β) ή (γ) που μελετήαμε προηγουμένως. Αν το μέγεθος του δείγματος ήταν μεγάλο, ως περιοχή απόρριψης θα μπορούαμε να πάρουμε την αντίτοιχη, για τον έλεγχο που κάνουμε, της περίπτωης (γ). Όμως δεν είναι. Επίης, αν γνωρίζαμε ότι η κατανομή του πληθυμού είναι κανονική, θα εφαρμόζαμε το t-tet (περίπτωη (β)). Τι κάνουμε επομένως; Με βάη όα μέχρι τώρα γνωρίζουμε, ένα δρόμο έχουμε. Να ανατρέξουμε τη βιβλιογραφία και να αναζητήουμε, από ανάλογες έρευνες, πληροφορίες για την κατανομή της ποότητας διαλυμένου οξυγόνου τα νερά ποταμών με υνθήκες ανάλογες του Καλαμά. Τέτοιες έρευνες πράγματι βρέθηκαν και από αυτές προκύπτει ότι η κατανομή διαλυμένου οξυγόνου προομοιάζει με την κανονική και ε κάθε 8 Σκεφθείτε ότι, παρότι τόο ο αμφίπλευρος όο και ο δεξιόπλευρος έλεγχος έγιναν το ίδιο επίπεδο ημαντικότητας, εντούτοις τον δεξιόπλευρο είματε πιο ανεκτικοί ε φάλμα λανθαμένης απόρριψης της μηδενικής. 9 Σημειώτε ότι η περιοχή απόρριψης της μηδενικής δεν αλλάζει αν αντί της H : 5 ppm μ θεωρήουμε την H : μ 5ppm. Ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή είναι οι τιμές διαλυμένου οξυγόνου την κοίτη του ποταμού. Η Στατιτική προφέρει και άλλο δρόμο. Με κατάλληλους τατιτικούς ελέγχους αλλά και με κατάλληλες γραφικές μεθόδους και εργαλεία μπορούμε να ελέγξουμε αν το δείγμα μας προέρχεται από κανονικό πληθυμό και αν αυτό δε υμβαίνει μπορούμε να εφαρμόουμε μη παραμετρικούς ελέγχους. Σε όλα αυτά θα αναφερθούμε ε άλλη ενότητα. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 7
περίπτωη δεν παρουιάζει οβαρές αυμμετρίες. Με βάη αυτή την πληροφορία και δεδομένου ότι το μέγεθος του δείγματος δεν είναι πολύ μικρό, μπορούμε να εφαρμόουμε το t-tet (περίπτωη (β)) αφού όπως έχουμε αναφέρει η εμπειρία έχει δείξει ότι αυτό είναι «ανθεκτικό» την υπόθεη της κανονικότητας του πληθυμού. Η υνέχεια είναι πλέον γνωτή. Ορίζουμε το επίπεδο ημαντικότητας του ελέγχου, έτω α. 5, και υπολογίζουμε την τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου ( μ ) T αφού προηγουμένως υπολογίουμε την τιμή x της και την τιμή S της S το δείγμα που πήραμε. (5. 5) Έτι έχουμε, x 5. ppm και. 5ppm και επομένως, t. 75..5 Ελέγχουμε αν η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται την περιοχή απόρριψης. Ο έλεγχος είναι δεξιόπλευρος και επομένως, ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, η περιοχή απόρριψης είναι: t t 9;. 5 ή t. 833 και επειδή t.75.833, η τιμή της τατιτικής υνάρτηης ελέγχου βρίκεται την περιοχή απόρριψης και επομένως ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5 απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεη. Συμπέραμα: Σε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, το δείγμα δίνει τατιτικά ημαντικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα διαλυμένου οξυγόνου τον ποταμό Καλαμά είναι πλέον μεγαλύτερη από 5ppm. Ερώτηη: Ο φοιτητής με τον έλεγχο που έκανε, απέρριψε τη μηδενική υπόθεη ότι η μέη ποότητα διαλυμένου οξυγόνου είναι μικρότερη ή το πολύ ίη με 5ppm υπέρ της εναλλακτικής ότι είναι μεγαλύτερη από 5ppm με πιθανότητα αυτό το υμπέραμα να είναι λάθος το πολύ 5%. Όμως, για τον επιβλέποντα καθηγητή, αυτό το υμπέραμα δεν είναι αρκετό και του ζήτηε μια εκτίμηη της μέης ποότητας διαλυμένου οξυγόνου. Τι πρέπει να κάνει ο φοιτητής; Άκηη-3 (κατανόηης): Ένας ερευνητής έκανε ένα μονόπλευρο τατιτικό έλεγχο, ε επίπεδο ημαντικότητας α., και το αποτέλεμα του ελέγχου ήταν ότι η μηδενική υπόθεη απορρίπτεται. Ένας άλλος ερευνητής, χρηιμοποιώντας το ίδιο δείγμα έκανε έναν αμφίπλευρο έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α. 5, και το αποτέλεμα του ελέγχου ήταν ότι η μηδενική υπόθεη δεν απορρίπτεται. Είναι δυνατόν να είναι ωτά και τα δύο αποτελέματα; Απάντηη: Όχι. Σκεφθείτε γιατί. Ερώτηη: Αν, ε επίπεδο ημαντικότητας α, η μηδενική υπόθεη H : μ μ απορρίπτεται υπέρ της εναλλακτικής H : μ > μ τότε, το ίδιο επίπεδο ημαντικότητας, πρέπει απαραιτήτως να απορρίπτεται και υπέρ της H : μ μ ; Απάντηη: Όχι! Σκεφθείτε γιατί. Το δείγμα που χρηιμοποιήαμε είναι δυτυχώς υποθετικό. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 7
3. Η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ και η ιχύς ενός τατιτικού ελέγχου Στη διαδικαία τατιτικού ελέγχου υποθέεων που περιγράψαμε τα προηγούμενα, δεν αναφερθήκαμε καθόλου το τι υμβαίνει με την πιθανότητα λανθαμένης μη απόρριψης της H, δηλαδή, την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ. Η πιθανότητα αυτή υμβολίζεται με β. Έτι, ενώ αν απορρίψουμε την H, γνωρίζουμε με ποια πιθανότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί να είναι λάθος (είναι το πολύ α ), αντίθετα, αν δεν απορρίψουμε την H, με όα μέχρι τώρα αναφέραμε, δεν γνωρίζουμε με ποια πιθανότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί να είναι λάθος, αφού δεν υπολογίαμε την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ). Φροντίαμε, δηλαδή, για την «προταία» από φάλμα τύπου Ι και δεν αχοληθήκαμε με το φάλμα τύπου ΙΙ, δηλαδή, με το φάλμα που κάνουμε όταν, ενώ είναι αληθής η H, αποτυγχάνουμε να απορρίψουμε την H. Κατά υνέπεια, δε γνωρίζουμε και την πιθανότητα, β P(απόρριψη της H αληθής η H ), δηλαδή, την ικανότητα του ελέγχου να «διακρίνει-αναγνωρίζει» υπαρκτές ημαντικές διαφορές του δείγματος από την H και έτι να μην αποτυγχάνει να την απορρίψει. Η πιθανότητα, β, ονομάζεται ιχύς (power) του ελέγχου ή, ακριβέτερα (θα δούμε τη υνέχεια γιατί), υνάρτηη ιχύος (power fucto) του ελέγχου. Μεγαλύτερη ιχύς ημαίνει μεγαλύτερη πιθανότητα να μην αποτύχουμε να απορρίψουμε την H όταν είναι αληθής η H (και επομένως πιο καλός έλεγχος). Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πώς μπορούμε να υπολογίουμε την πιθανότητα λανθαμένης μη απόρριψης της H, β, και, κατά υνέπεια, την ιχύ, β, του ελέγχου. Στο παράδειγμά μας με τη μέη αντοχή των καλωδίων, τον έλεγχο της H : μ 5 Kgr, έναντι της H : μ 5 Kgr, ε επίπεδο ημαντικότητας > α., δεν απορρίψαμε την H. Ας υπολογίουμε την πιθανότητα, η απόφαή μας αυτή να είναι λανθαμένη, δηλαδή, την πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β. Αν μεταξύ των δύο υποθέεων, αληθής είναι η H : μ > 5 Kgr, δηλαδή, αν η πραγματική-αληθής μέη τιμή, μ, της αντοχής των καλωδίων μετά τη βελτίωη των υλικών είναι ένας αριθμός μ μεγαλύτερος των 5Kgr, τότε ζητάμε την πιθανότητα β, να μην απορρίψουμε την H : μ 5 Kgr (ενώ θα έπρεπε, αφού αληθής είναι η H ). Έχουμε: β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H : μ μ > 5 ) μ 557.7 P ( < 557.7 μ μ) ( μ < 557.7 μ P ) ( 557.7 μ P Z < ) Φ( ). 75 75 4.75 4.75 5 5 557.7 μ Δηλαδή, β Φ( ), μ > 5. 4.75 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 7
Παρατηρούμε, ότι η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, εξαρτάται από την πραγματική τιμή μ της άγνωτης παραμέτρου μ. Έτι, κάνοντας τον έλεγχο ε επίπεδο ημαντικότητας α., αν η πραγματική τιμή είναι μ 58, η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ είναι: 557.7 58 β Φ( ) Φ(.9) Φ(.9).84, 4.75 ενώ αν 557.7 6 μ 6 είναι, β Φ( ) Φ (.7) Φ (.7). 436. 4.75 Δηλαδή, το παράδειγμά μας, όο πιο μακριά από την H : μ 5 Kgr (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου μ, τόο η πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ ελαττώνεται 3. Αντίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου, 557.7 μ β Φ( ), μ > 5, 4.75 εξαρτάται και αυτή από την πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου, μ, και μάλιτα, το παράδειγμά μας, είναι μια αύξουα υνάρτηη γιατί η τιμή της αυξάνεται όταν η πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου μ, αυξάνεται. Έτι, όο πιο μακριά από την H : μ 5 Kgr (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγνωτης παραμέτρου μ, τόο αυξάνεται η ικανότητα του ελέγχου να «αναγνωρίζει» ημαντικές διαφορές του δείγματος από την H και να μην αποτυγχάνει να την απορρίψει ωτά 4. Η γραφική παράταη της υνάρτηης ιχύος ονομάζεται καμπύλη ιχύος (power curve) του ελέγχου. Στο χήμα που ακολουθεί φαίνεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου του παραδείγματός μας για α.. 3 Είναι λογικό; 4 Είναι λογικό; Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 73
Από την καμπύλη ιχύος φαίνεται ότι, όο αυξάνεται η πραγματική τιμή της μ, η ιχύς του ελέγχου τείνει προς το. Επίης, όταν η πραγματική τιμή της παραμέτρου μ, τείνει προς την τιμή 5, η ιχύς του ελέγχου μειώνεται και τείνει προς το. α!! Σχόλιο για τη χρηιμότητα της καμπύλης ιχύος: Με χρήη κατάλληλου λογιμικού, είναι πολύ εύκολο να πάρουμε την καμπύλη ιχύος ενός τατιτικού ελέγχου. Έτι, έχουμε τη διάθεή μας μια γραφική αναπαράταη της «αποδοτικότητας» του ελέγχου, δηλαδή, της ικανότητάς του να απορρίπτει ωτά τη μηδενική υπόθεη. Αν, για παράδειγμα, το εργοτάιο ιχυριθεί ότι η μέη αντοχή των καλωδίων με τα νέα υλικά αυξήθηκε και μάλιτα τώρα πλέον είναι ίη με 59Kgr, και πράγματι είναι έτι, τότε, από την καμπύλη ιχύος του ελέγχου και χωρίς άλλους υπολογιμούς εύκολα διαπιτώνουμε ότι η πιθανότητα να διακρίνει ωτά ο έλεγχος τις δύο υποθέεις και να απορριφθεί ωτά η H : μ 5 Kgr υπέρ της H : μ μ 59 Kgr είναι περίπου 9%. Επίης, από την καμπύλη ιχύος, μπορούμε να δούμε πόο γρήγορα αυξάνει η ιχύς του ελέγχου και να υγκρίνουμε γραφικά την ιχύ του με την ιχύ κάποιου άλλου ελέγχου για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H. Αναφέρουμε, τέλος, χωρίς απόδειξη, ότι ο έλεγχος που εφαρμόαμε το παράδειγμά μας, είναι ο πλέον ιχυρός από οποιονδήποτε άλλο, δηλαδή, οδηγεί τη μικρότερη δυνατή πιθανότητα φάλματος τύπου ΙΙ για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H. Από τον οριμό της πιθανότητας φάλματος τύπου ΙΙ, β, είναι προφανές ότι αυτή επηρεάζεται από το επίπεδο ημαντικότητας, α, του ελέγχου (αφού η κρίιμη τιμή του ελέγχου προκύπτει από το α ). Όμως, πώς επηρεάζεται; Ας κάνουμε τον έλεγχο του παραδείγματός μας ε μικρότερο επίπεδο ημαντικότητας, α.. Στην περίπτωη αυτή, φυικά, η H : μ 5Kgr δεν απορρίπτεται 5. 75 Η κρίιμη τιμή τώρα είναι c 5 + z. 576. 5 ή, ιοδύναμα, 5 576.5 μ c z. 3.9 και επομένως, β Φ( ), μ > 5. Έτι, αν για 4.75 παράδειγμα, μ 58, τότε 576.5 58 β Φ( ) Φ(.4). 4443. 4.75 5 Αφού, όπως είδαμε, δεν απορρίπτεται ε α.. Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulo) 74