ΤΝΟΠΣΙΚΗ ΜΔΘΟΓΟΛΟΓΙΑ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Γηα λα βξνύκε ηε δύλακε i (θ αθέξαηνο) δηαηξνύκε ην θ κε ην 4 θαη ζύκθσλα κε ηελ ηαπηόηεηα ηεο δηαίξεζεο ηζρύεη θ = 4ξ + π, π = 0,,,3, νπόηε i 4 i 4 i i i. Γηα λα δείμνπκε όηη έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο z είλαη: πξαγκαηηθόο, αξθεί λα δείμνπκε όηη: θαληαζηηθόο, αξθεί λα δείμνπκε όηη: α. Im(z) 0 α. Re(z) 0 β. z z β. z z γ. z z γ. z z 3. Όηαλ έρνπκε λα απνδείμνπκε κία ηζόηεηα (ή αληζόηεηα) κε κέηξα κηγαδηθώλ αξηζκώλ, πνιύ ρξήζηκεο είλαη νη παξαθάησ ζρέζεηο: α. z z z β. z w z w z w γ. z z z 4. Αλ z yi ηόηε z + z = = Re(z) και z z = yi = Im(z) i Ιδιαίηεπα σπήζιμη είναι η ιζόηηηα zw zw zw zw Re(zw) zw + zw = Re(zw), πος αποδεικνύεηαι ωρ εξήρ: 5. Γηα λα βξνύκε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ εηθόλσλ ελόο κηγαδηθνύ αξηζκνύ z, ζέηνπκε z yi θαη θαηαιήγνπκε ζε κία εμίζσζε επζείαο, θύθινπ, έιιεηςεο, θιπ. Γηα ην κέγηζην ή ειάρηζην κέηξν ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ z ελόο γεσκεηξηθνύ ηόπνπ εξγαδόκαζηε σο εμήο: Αλ ν γεσκεηξηθόο ηόπνο είλαη θύθινο, θέξλνπκε ηε δηάκεηξν ΑΒ πνπ δηέξρεηαη από ην Ο(0,0). Αλ Α είλαη ην πιεζηέζηεξν ζεκείν ζην Ο ηόηε ην κήθνο ηνπ ΟΑ είλαη ην ειάρηζην κέηξν θαη ην κήθνο ηνπ ΟΒ ην κέγηζην. Αλ ν γεσκεηξηθόο ηόπνο είλαη επζεία, ηόηε κπνξνύκε λα έρνπκε κόλν ειάρηζην κέηξν θαη είλαη ε απόζηαζε ηνπ Ο(0,0) από ηελ επζεία.( Δλαιιαθηηθά, ζεσξνύκε ζπλάξηεζε f() z θαη βξίζθνπκε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο ζπλάξηεζεο). 6. Αλ ζέινπκε λα απνδείμνπκε όηη ηα ζεκεία A(z ), B(z ), (z 3) είλαη θνξπθέο ηζνπιεύξνπ ηξηγώλνπ, αξθεί λα δείμνπκε όηη: z z z z3 z3 z
Α. πλαξηήζεηο ΑΝΑΛΤΗ. Γηα λα απνδείμνπκε όηη κηα ζπλάξηεζε είλαη «-», αξθεί λα δείμνπκε όηη: α. f ( ) f ( ) ή f ( ) f ( ) β. Η f είλαη γλεζίσο κνλόηνλε (ζπλήζσο κε παξάγσγν). α) Γηα κηα αληηζηξέςηκε ζπλάξηεζε f ηζρύεη ε ηζνδπλακία f () y f (y) Γηα παξάδεηγκα κπνξεί λα δίλεηαη f (0) θαη λα καο δεηνύλ λα βξνύκε ηηο ξίδεο ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο. Τόηε, απ ηνλ νξηζκό f ( ) 0 θη επεηδή ε f είλαη ε κνλαδηθή ηεο ξίδα ζα είλαη ην α. β) Όηαλ δεηείηαη ν ηύπνο ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο, ιύλνπκε ηελ εμίζσζε f () y σο πξνο (αθνύ έρνπκε πξώηα απνδείμεη όηη ε f είλαη ). Να ζπκάζηε όηη πξέπεη λα βξείηε θαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f, πνπ είλαη ην ζύλνιν ηηκώλ f (A) ηεο f (όπσο επίζεο ην πεδίν νξηζκνύ Α ηεο f είλαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f ). γ) Να ζπκάζηε αθόκα όηη ζε πεξίπησζε πνπ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο δύν αληίζηξνθσλ ζπλαξηήζεσλ ηέκλνληαη, ηόηε ην θνηλό ηνπο ζεκείν βξίζθεηαη πάλσ ζηελ επζεία y. 3. α) Γηα λα νξίζνπκε ηηο ζπλαξηήζεηο f g, g f ρξεηαδόκαζηε ππνρξεσηηθά θαη ηα πεδία νξηζκνύ ηνπο. Γεληθά, f g g f β) Ιδηαίηεξα ρξήζηκεο είλαη νη ζρέζεηο f (f ()) και f(f ()) ΠΡΟΔΞΣΔ ΣΗ ΛΔΠΣΟΜΔΡΔΙΑ!!! Σηελ πξώηε πεξίπησζε A, ελώ ζηε δεύηεξε f(a). Έηζη είλαη ιάζνο λα πνύκε όηη f (f ()) f (f ()), επεηδή θαηά θαλόλα ηα πεδία νξηζκνύ είλαη δηαθνξεηηθά κεηαμύ ηνπο. Β. Όξηα ζπλέρεηα ζπλαξηήζεωλ. α) Γηα ηα όξηα απξνζδηόξηζησλ κνξθώλ ρξεζηκνπνηνύκε ηνπο θαλόλεο De L Hospital κόλν αλ είλαη ηεο κνξθήο 0 0 ή ή κπνξνύκε λα ηα κεηαηξέςνπκε ζε απηέο ηηο κνξθέο, θαη νη ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγωγίζηκεο. 0 ( ) ln 0 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ: i) lim( ln ) lim lim lim( ) 0 0 0 0 0 ln ln ii) lim lim 0 iii) lim Δδώ ε κνξθή είλαη ( /0) νπόηε δελ 0 εθαξκόδνληαη νη θαλόλεο De L Hospital θαη ην όξην ππνινγίδεηαη σο εμήο: lim lim ln ( ) ( ) 0 0
Αλ ην όξην είλαη απξνζδηόξηζηεο κνξθήο 0/0 ή / αιιά δελ γλσξίδνπκε αλ νη ζπλαξηήζεηο είλαη παξαγσγίζηκεο, ηόηε f () f ( o) f '() o αληί γηα ηνλ ηύπν lim, ρξεζηκνπνηνύκε ην lim g '() g() g( ) o 0 o β) Πξνζνρή ζηε δηαθνξά!!! lim θαη lim 0 lim, ελώ γηα ηε δεύηεξε πεξίπησζε ρξεζηκνπνηνύκε ην θξηηήξην παξεκβνιήο. 0 θη επεηδή lim lim 0, ζα είλαη θαη lim 0 γ) Γηα ηα όξηα ζπλαξηήζεσλ ηεο κνξθήο f () ( ), ζην ή ζην δελ εθαξκόδνληαη νη θαλόλεο De L Hospital. Σε απηέο ηηο πεξηπηώζεηο παίξλνπκε ζπδπγή παξάζηαζε κόλν αλ θαηαιήμνπκε ζηελ απξνζδηόξηζηε κνξθή 0 ( ). Σε θάζε άιιε πεξίπησζε ην όξην ζα βγεη ή ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ: lim ( 3) lim 3 lim 3 ( ) ( ) Να ζπκάζηε όηη:, 0, όηαν +, ελώ, όηαλ. Έζησ δύν ζπλαξηήζεηο f,g.αλ ζέινπκε λα απνδείμνπκε όηη νη γξαθηθέο ηνπο παξαζηάζεηο έρνπλ ηνπιάρηζηνλ έλα θνηλό ζεκείν ζην [α, β], αξθεί λα δείμνπκε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα o (, ) ηέηνην ώζηε f ( o) g( o). Τόηε ρξεζηκνπνηνύκε ην ζεώξεκα ηνπ Bolzano. Γειαδή, ζεσξνύκε ζπλάξηεζε h() f () g() θαη απνδεηθλύνπκε όηη: ε h είλαη ζπλερήο ζην [α, β] h( ) h( ) 0 o Γ. Παξάγωγνη ζπλαξηήζεωλ. Σν πξόβιεκα ηεο εθαπηνκέλεο Α. Η επζεία ε: y=λ + β είλαη εθαπηνκέλε ζηε γξαθηθή παξάζηαζε κηαο ζπλάξηεζεο f ζην ζεκείν M( o, y o), όηαλ y o = f( o ) και f ( o ) = λ Αλ ' f '( ) 0 o
Αλ : y f '( o) Αλ : y f '( o) Β. Όηαλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο δύν ζπλαξηήζεσλ f,g έρνπλ θνηλή εθαπηνκέλε ζην θνηλό ηνπο ζεκείν M( o, y o), ηόηε: f( o) = g( o) = yo και f ( o ) = g ( o ). Σν πξόβιεκα ηεο ύπαξμεο ξίδαο Αλ ζέινπκε λα απνδείμνπκε όηη κία εμίζσζε f () 0 έρεη ηνπιάρηζηνλ κία πξαγκαηηθή ξίδα, ηόηε απηό κπνξεί λα γίλεη κε ηνπο παξαθάησ ηξόπνπο: α) Απνδεηθλύνπκε όηη ηζρύεη ην ζεώξεκα ηνπ Bolzano γηα έλα θαηάιιειν δηάζηεκα [α, β], νπόηε ε f έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην (α, β) β) Βξίζθνπκε ην ζύλνιν ηηκώλ f (A) ηεο ζπλάξηεζεο f. Αλ 0 f (A), ηόηε ε f έρεη ηνπιάρηζηνλ κία πξαγκαηηθή ξίδα. γ) Δληνπίδνπκε ηε ξίδα αλ είλαη πξνθαλήο, πρ f () e. Δύθνια δηαπηζηώλνπκε όηη f (0) 0 δ) Δθαξκόδνπκε ην ζεώξεκα ηνπ Rolle γηα κηα αξρηθή ζπλάξηεζε (παξάγνπζα) ηεο f πρ Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε 4( 3 ) 3 0 έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ζην (0, ). 3 4 3 Έζησ f () 4( ) 3. Μία παξάγνπζα ηεο f είλαη ε F() ( ) πνπ είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην [0,]. Δμάιινπ, F(0) F() 0. Οπόηε ζύκθσλα κε ην ζεώξεκα ηνπ Rolle, ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα (0,) ώζηε F'( ) 0 f( ) = 0 3. Σν πξόβιεκα ηεο κνλαδηθόηεηαο ηεο ξίδαο Απηό αληηκεησπίδεηαη κε δύν κεζόδνπο: Α. Η κέζνδνο ηεο απαγωγήο ζε άηνπν, ζε ζπλδπαζκό κε ην ζεώξεκα ηνπ Rolle Υπνζέηνπκε όηη ε εμίζσζε f () 0 έρεη δύν δηαθνξεηηθέο πξαγκαηηθέο ξίδεο, νπόηε ζα είλαη f ( ) f ( ) 0 Δθαξκόδνπκε ην ζεώξεκα ηνπ Rolle ζην [ξ, ξ ], νπόηε γηα θάπνην (, ) ζα είλαη f '(ξ) = 0 Απνδεηθλύνπκε όηη ε εμίζσζε f '() 0 είλαη αδύλαηε ζην (, ) θαη έηζη θαηαιήγνπκε ζε άηνπν. Β. Η κέζνδνο ηεο κνλνηνλίαο Δπεηδή «θάζε γλεζίωο κνλόηνλε ζπλάξηεζε είλαη», αλ απνδείμνπκε όηη ε εμίζσζε f () 0 έρεη ηνπιάρηζηνλ κία πξαγκαηηθή ξίδα θαη ζηε ζπλέρεηα όηη f '() 0 ή f '() 0, ηόηε ε ξίδα απηή ζα είλαη κνλαδηθή. 4. Η απόδεημε αληζνηηθώλ ζρέζεωλ Α. Αλ ζέινπκε λα απνδείμνπκε όηη f () 0 ή ( f () 0 ) ηόηε ρξεζηκνπνηνύκε κνλνηνλία ή αθξόηαηα. Πην ζπγθεθξηκέλα: Μεηαηξέπνπκε ηελ αληζνηηθή ζρέζε ζηε κνξθή f () f ( o) ή f() f( o) θαη ζηε ζπλέρεηα απνδεηθλύνπκε όηη παξνπζηάδεη ζην o κέγηζην ή ειάρηζην αληίζηνηρα.
Αλ ε ζπλάξηεζε δελ έρεη αθξόηαηα θαη είλαη γλεζίσο κνλόηνλε, ηόηε αλ γηα παξάδεηγκα είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην [α, β], ζα ηζρύεη f ( ) f () f ( ). Αλάινγα εξγαδόκαζηε αλ ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ: Να απνδεηρζεί όηη γηα θάζε 0 Έζησ f (), 0 f '() 0. Άξα ε ζπλάξηεζε είλαη γλεζίσο θζίλνπζα, νπόηε ζα έρνπκε: 0 f () f (0) 0 ημ < Ιδηαίηεξν ελδηαθέξνλ παξνπζηάδεη ε πεξίπησζε πνπ δίλεηαη όηη f () f ( o) (ή f () f ( o) ) γηα θάζε, θαη δεηείηαη λα βξνύκε ηελ ηηκή κηαο παξακέηξνπ. Τόηε αλ ε ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζην o, από ην ζεώξεκα ηνπ Fermat ζα ηζρύεη: f '( o ) = 0. Από ηε ιύζε απηήο ηεο εμίζσζεο θαηαιήγνπκε ζην δεηνύκελν. Β. Σηελ πεξίπησζε πνπ έρνπκε λα απνδείμνπκε κία δηπιή αληζόηεηα ζε έλα δηάζηεκα (α, β), ρξεζηκνπνηνύκε ζπλήζσο ην ΘΜΣ ηνπ δηαθνξηθνύ ινγηζκνύ. Πην ζπγθεθξηκέλα: Απνδεηθλύνπκε όηη ε ζπλάξηεζε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ ζην [α, β] θαη f(β) - f(α) θαηαιήγνπκε ζην δεηνύκελν κε ηε βνήζεηα ησλ ζρέζεσλ α < ξ < β και f '(ξ) = β - α 5. Αθξόηαηα εκεία θακπήο Α. Να ζπκάζηε όηη αλαδεηνύκε ηηο πηζαλέο ζέζεηο ησλ ηνπηθώλ αθξόηαησλ αλάκεζα ζηα ζεκεία όπνπ κεδελίδεηαη ε πξώηε παξάγσγνο ζηα ζεκεία όπνπ δελ ππάξρεη ε πξώηε παξάγσγνο ζηα άθξα α, β ελόο θιεηζηνύ δηαζηήκαηνο [α, β]. Γηα λα έρνπκε αθξόηαην ζε έλα ζεκείν ζα πξέπεη λα αιιάδεη ε κνλνηνλία ηεο ζπλάξηεζεο εθαηέξωζελ ηνπ o Β. Αλαδεηνύκε ηηο πηζαλέο ζέζεηο ησλ ζεκείσλ θακπήο αλάκεζα ζηα ζεκεία όπνπ κεδελίδεηαη ε δεύηεξε παξάγσγνο ζηα ζεκεία όπνπ δελ ππάξρεη ε δεύηεξε παξάγσγνο Γηα λα έρνπκε ζέζε ζεκείνπ θακπήο ζε έλα ζεκείν πξώηεο παξαγώγνπ εθαηέξωζελ ηνπ o εθαπηνκέλε ζην ζεκείν κε ηεηκεκέλε o o πξέπεη λα αιιάδεη ε κνλνηνλία ηεο θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο λα δέρεηαη o. (Σηελ πεξίπησζε πνπ δελ έρνπκε θαηαθόξπθε εθαπηνκέλε, ε ηειεπηαία απηή παξαηήξεζε πξαθηηθά ζεκαίλεη, όηη ε ζπλάξηεζε πξέπεη λα είλαη παξαγσγίζηκε ζην o ). 6. Σν πξόβιεκα ηνπ «ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα» Αλ ζε κία άζθεζε δεηείηαη λα απνδεηρζεί όηη «ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ην κπαιό καο πάεη απηόκαηα ζε ηξία βαζηθά ζεσξήκαηα: Θεώξεκα Bolzano Θεώξεκα Rolle Θεώξεκα Μέζεο Σηκήο ηνπ Γηαθνξηθνύ Λνγηζκνύ (, ) ώζηε...», ηόηε
Γ. Οινθιεξώκαηα. Δύξεζε ηύπνπ ζπλάξηεζεο Ιδηαίηεξα ρξήζηκεο είλαη νη παξαθάησ πξνηάζεηο: Αλ f '() 0 γηα θάζε, ηόηε ε ζπλάξηεζε f είλαη ζηαζεξή ζε όιν ην δηάζηεκα Γ Αλ f '() g'() γηα θάζε, ηόηε f() = g() +c, c ζε όιν ην Γ. Ιζρύεη ε ηζνδπλακία f '() f () f () c e, c Τν δεηνύκελν είλαη λα θαηαιήμνπκε ζε κία ζρέζε ηεο κνξθήο f '() g'() απ' όπος f()=g()+c θαη ζηε ζπλέρεηα λα πξνζδηνξίζνπκε ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό c. Παξαθάησ αλαθέξνπκε θάπνηα ηερλάζκαηα γηα λα βξίζθνπκε ηνλ ηύπν κηαο ζπλάξηεζεο: f '() α) Αλ δίλεηαη κία ζρέζε ηεο κνξθήο f() f '() =... ή... ηόηε ππελζπκίδνπκε όηη: f() f '() f () f '() [f ()] και [ln f () ] f () β) Αλ δίλεηαη κία ζρέζε ηεο κνξθήο f() +f '() =... ηόηε πνιιαπιαζηάδνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο ηζόηεηαο κε e, έηζη ώζηε ην πξώην κέινο λα γίλεη: e [f () f '()] (e )' f () e f '() [ e f()]' γ) Αλ δίλεηαη κία ζρέζε ηεο κνξθήο f '() f() =... ηόηε δηαηξνύκε θαη ηα δύν κέιε ηεο ηζόηεηαο κε e, έηζη ώζηε ην πξώην κέινο λα γίλεη: f '() f () e [f '() f ()] e f '() (e )' f () e e e δ) Αλ δίλεηαη κία ζρέζε ηεο κνξθήο f( + y) =..., ηόηε παξαγωγίδνπκε θαη ηα δύν κέιε ηεο f( + h) f() ηζόηεηαο ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν f '() lim h 0 h f() e. πλάξηεζε νξηζκέλε από νινθιήξωκα α) Αλ ε ζπλάξηεζε είλαη νξηζκέλε από νινθιήξσκα ηόηε γηα λα βξνύκε ηνλ ηύπν ηεο ζπλάξηεζεο παξαγσγίδνπκε θαη ηα δύν κέιε ζηεξηδόκελνη ζηε ζρέζε ( f (t)dt)' f () : ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ: Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλάξηεζεο f πνπ δίλεηαη από ηε ζρέζε f () ln f (t)dt, 0 Έρνπκε f () ln f (t)dt f () ln f (t)dt [f () ln ]' ( f (t)dt)' f () f '() ln f ()
Δίλαη όκσο f '() ln f '() ln, απ όπνπ έρνπκε f () (ln )d... ln c (Να απνδεηρηεί) Δπνκέλσο, f() = ln β) Υπελζπκίδνπκε όηη: f () ln f (t)dt f () 0. Άξα 0 c c + g() ( f (t)dt)' f (g()) g '() Απηόο ν γεληθόο ηύπνο καο βνεζάεη λα βξνύκε ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα κηαο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από νινθιήξσκα. γ) ΠΡΟΟΥΗ!!! Γηα λα ππάξρεη ην νξηζκέλν νινθιήξσκα f ()d, πξέπεη ε ζπλάξηεζε f λα είλαη ζπλερήο ζην [α, β]. Γηα παξάδεηγκα δελ κπνξνύκε λα γξάςνπκε ζπλάξηεζε f () δελ νξίδεηαη ζην 0 [-, ] d αθνύ ε δ) ΠΡΟΟΥΗ!!! Τν νινθιήξσκα πνπ νξίδεηαη σο f ()dt είλαη ζπλάξηεζε θαη όρη αξηζκόο, όπσο ην f (t)dt. Δπνκέλσο, εμαξηάηαη από ηε κεηαβιεηή dt. Οπνηαδήπνηε άιιε κεηαβιεηή κέζα ζην νινθιήξσκα ζεσξείηαη ζηαζεξόο αξηζκόο θαη κπνξεί λα βγεη έμσ από ην νινθιήξσκα. ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ : t t F() e dt e dt 0 0 Αλ όκσο ηώξα παξαγσγίζνπκε, ην ζα ζπκπεξηθεξζεί σο κεηαβιεηή. Γειαδή: t t t F'() ( )' e dt ( e dt)' e dt e 0 0 0 ΠΑΡΑΓΔΙΓΜΑ : Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο ζπλερνύο ζην ζρέζε 0 t e f ( t)dt ζπλάξηεζεο f πνπ δίλεηαη από ηε Θέηνπκε t u dt du (παξαηεξήζηε όηη ν είλαη ζηαζεξόο, νπόηε ' 0) Οπόηε, t u θαη γηα t 0 u, t u 0. Άξα έρνπκε Δίλαη ηώξα t 0 u u u e f ( t)dt e f (u)( du) e e f (u)du e e f (u)du 0 0 0 u u e e f (u)du e f (u)du e θαη παξαγσγίδνληαο 0 0 e f () e e ( ) f (), απ όπνπ f() = ημ ημ,