MEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004

MEHANIKA: sinopsis predavanj v šolskem letu 2003/2004 NTF, Visokošolski strokovni program KINEMATIKA 18. 2. 2004 Osnovne kinematične količine.: položaj r, hitrost, brzina, pospešek. Definicija vektorja hitrosti v, brzine v = v, vektorja pospeška a. Zapis s kartezičnimi koordinatami x, y, z: r = x i + y j + z k, v = v = ẋ i + ẏ j + ż k, r = a = ẍ i + ÿ j + z k, v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 Tir, geometrijski pomen vektorja hitrosti. Osnovna naloga kinematike: določitev vektorja hitrosti, pospeška; analiza gibanja : določitev maksimalne in minimalne brzine, pospeška... Primer: kroženje r = R 0 (cos ϕ(t) i + sin ϕ(t) j) a) izračun vektorja hitrosti v = R 0 ϕ( sin ϕ(t) i + cos ϕ(t) j) = R 0 ϕ e ϕ ; b) izračun vektorja pospeška a = R 0 ( ϕ e ϕ ϕ 2 e r ); c) enakomerno kroženje: vektor pospeška kaže proti središču krožnice. Kotna hitrost, kotni pospešek, enotski obodni vektor e ϕ, enotski radialni vektor e r. Klasifikacija gibanja: prostorsko, ravninsko, premočrtno. Premočrtno gibanje Premočrtno gibanje dano z zapisom f(x, ẋ, ẍ) = 0. a) f(x, t) = 0. Primer : obravnavaj gibanje presečišča premice vzporedne osi y, ki se giblje s konstantno brzino v smeri osi x in elipse s polosema v smeri koordinatnih osi x in y. S posrednim odvajanjem določi hitrosti in pospeške na temenih elipse. b) f(x, ẋ) = 0, ẋ = g(x). Reševanje navadne difrencialne enačbe z ločljivima spremenljivkama. Primer: g(x) = kx + v 0, k > 0, v 0 > 0. Pri začetnih pogojih x(t = 0) = 0 določi kraj in čas zaustavitve. 25. 2. 2004 c) f(ẋ, t) = 0, ẋ = { g(t). t v0 Primer: g(t) = t 0 0 t t 0, Določi x = x(t). v 0 t 0 t. Primer: navijanje niti na vreteno; model za tanko in debelo nit. d) f(ẍ, t) = 0. Rešitev dobimo z dvema integracijama. Primer: prosti pad. e) f(ẋ, ẍ) = 0, prevod na primer b) z uvedbo nove spremenljivke u = ẋ. f) f(x, ẍ) = 0, ẍ = g(x). Prevod naloge na energijsko enačbo 1 2ẋ2 + V (x) = E, V (x) = x x 0 g(z) dz. Harmonično gibanje. Fizikalni model harmoničnega oscilatorja, sila vzmeti, Hookov zakon. Rešitev enačbe gibanja, splošna rešitev x = A cos(ωt + δ) Analiza harmoničnega gibanja: amplituda, frekvenca, perioda, trenutne točke mirovanja, intervali pospeševanja in zaviranja. 1

Projekcija enakomernega kroženja na premico skozi središče kroženja. Gibanje po krivulji Ločna dolžina, aproksimacija z dolžino poligonske črt, dolžina loka na krivulji r = r(τ) od točke A = r(τ a ) do točke B = r(τ b ) je a) dolžina krožnega loka; b) cikloida, enačba cikloide. s(a, B) = τb τ a ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dτ = τb τ a d r dτ dτ. 3. 3. 2004 b) Dolžina loka cikloide. Vijačnica x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = R tan α ϕ. Dolžina loka vijačnice, navijanje na vijačnico, polžni mehanizem. Diferencialna geometrija krivulje Trditev Vektor t = d r ds je enotski vektor v smeri tangente na tir. Vektor hitrosti je tangentni vektor na tir gibanja in velja v = ṡ t. Posledica Brzina je absolutna vrednost odvoda poti po času; v = ṡ. Ukrivljenost, d t ds = κ n; krivinski polmer 1/R = κ. Dekompozicija vektorja pospeška na tangencialni in normalni pospešek a = s t + κṡ 2 n. Določi ukrivljenost za: a) premico; b) krožnico; c) vijačnico κ = cosα R. Pritisnjena ravnina. Binormala, torzijska ukrivljenost d e b ds = τ e n. Krivulja je ravninska natanko tedaj, ko je njena torzijska ukrivljenost enaka nič. Trditev Za ravninsko krivuljo velja κ = dθ ds. Formula ukrivljenosti za ravninsko krivuljo: κ = ÿẋ ẏẍ (ẋ 2 + ẏ 2 ). 3/2 Krivočrtni koordinatni sistemi Polarni koordinatni sistem (r, ϕ), polarna bazna vektorja e r, e ϕ, zveza e r ϕ = e ϕ, e ϕ ϕ = e r. Kinematika v polarnem koordinatnem sistemu: radialna, obodna hitrost; radialni, obodni pospešek. 2

10. 3. 2004 Cilindrični koordinatni sistem, polarni v ravnini x, y in premočrtni v smeri osi z; koordinate r, ϕ, z. Kinematika v cilindričnem koordinatnem sistemu. Primer: gibanje po spirali. Krogelni koordinatni sistem, koordinate r, ϕ, θ; rdaialna oddaljenost, geogrfska dolžina, geografska širina. Rotacije Pisava : R(P 0, e, ϕ) rotacija okoli P 0 okrog osi e za kot ϕ; e = 1. R( e, ϕ) je rotacija okoli koordinatnega izhodišča. R(P 0, e, ϕ) je kompozitum transalcije za vektor OP 0, rotacije R(O, e, ϕ) in translacije za vektor OP 0. Rotacijska formula: R( e, ϕ) r = cos ϕ r + e( e r)(1 cos ϕ) + ( e r) sin ϕ. Primer uporabe rotacijske formule. Vektor kotne hitrosti: vektor ω je vektor kotne hitrosti rotacije R = R(t) = R( e(t), ϕ(t)), če za poljubni časovno neodvisen vektor r velja ( ) dr dt r = ω R r. Pisava : r poljubni vektor, potem r = R r. Vektor kotne hitrosti rotacije okrog stalne osi e je ω = ϕ e. Vektor kotne hitrosti rotacije okrog spremenljive osi je ω = ϕ e + sin ϕ e + (1 cos ϕ) e e. Relativno gibanje Absolutni koordinatni sistem(aks), relativni koordinatni sistem (RKS). Pisava: e i bazni vektorji v AKS, e i bazni vektorji RKS, zapisani v AKS. Pisava: r krajevni vektor od izhodišča AKS do točke P zapisan v AKS, ζ krajevni vektor od izhodišča RKS do točke P zapisan v AKS, ζ krajevni vektor od izhodišča RKS do točke P zapisan v RKS. Velja r = r 0 + ζ = r 0 +Rζ, kjer je r 0 krajevni vektor od izhodišča AKS do izhodišča RKS in R rotacija RKS glede na AKS. Pisava: v absolutna hitrost, v 0 hitrost izhodišča RKS za opazovalca v AKS, v rel relativna hitrost zapisana v AKS. Velja v = v 0 + ω ξ + v rel. Translacijska, rotacijska in relativna hitrost. Pisava: a absolutni pospešek, a 0 pospešek izhodišča RKS za opazovalca v AKS, a rel relativni pospešek zapisan v AKS. Velja a = a 0 + ω ξ + ω ( ω ξ ) + 2 ω v rel + a rel. Translacijski, inercijski rotacijski, centrifugalni, Coriloisov, relativni pospešek. Primer: opis kroženja v RKS, ki hkrati kroži s točko. 17. 3. 2004 Primer: točka se giblje premočrtno harmonično s frekvenco α okoli O, smer gibanja pa se enakomerno s kotno hitrostjo ω vrti okoli O okrog pravokotnice na smer gibanja. a) Zapis trajektorije v AKS in skica tirov za α = ω, α = 2ω, α = 1 2 ω. b) Analitična obravnava primera α = ω. c) Obravnava gibanja v RKS in izračun v na dva načina. d) Določitev maksimalne brzine. Dinamika točke Inercialen koordinatni sistem, Newtonovi zakoni, Newtonova enačba. Primer: poševni met a) določitev trajektorije; b) določitev tira; c) metna daljina, metna višina. Začetni pogoji r(t = t 0 ) = r 0, r(t = t 0 ) = v 0. 3

Pregled sil: a) sila teže F = m g; b) sila upora F = γ v v ; sila trenja, Coulombov zakon trenja, koeficient trenja, koeficient lepenja; sila upora zraka; linearni zakon, kvadratni zakon. c) sila vzmeti F = γ( r l) r r d) gravitacijski zakon. Premočrtno gibanje F = f i; f = f(t, x, ẋ). Konzervativna sila f = f(x): ; Hookov zakon, območje elastičnosti, plastičnosti. Kinetična energija T = 1 2 mẋ2, potencialna energija V (x) = x x 0 f(z) dz + V (x 0 ); Izrek o energiji: če je sila konzervativna, je vsota kinetične in potencialne energije konstanta gibanja; 1 2 mẋ2 + V (x) = E 0. 31. 3. 2004 Formalna rešitev v obliki kvadrature. Kvalitativna obravnava gibanja: graf potencialne funkcije; omejeno gibanje, neomejeno gibanje; ravnoveni položaji, stabilni, nestabilni. a) sila teže; b) harmonični oscilator; Nekonzervativne sile, f = f(x, ẋ). Trenje f = k ẋ ẋ, k > 0. Primer: gibanje s trenjem po strmini s konstantnim naklonom za začetne pogoje x(t 0 ) = x 0 in a) ẋ(t 0 ) = 0, b) ẋ(t 0 ) > 0 in c) ẋ(t 0 ) < 0. Gibanje z uporom. Linearen upor : g = kẋ, k > 0. Kvadratni zakon upora g = k sgn ẋ ẋ 2 7. 4. 2004 Dušeno nihanje, enačba dušenega nihanja : mẍ = kx bẋ, k > 0, b > 0. Reševanje homogene navadne diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti Primeri veliko dušenje : β > ω, graf trajektorije x(0) = 1, ẋ(0) = 0. kritično dušenje : β = ω. malo dušenje : β < ω, graf trajektorije x(0) = 1, ẋ(0) = 0. Vsiljeno nihanje mẍ = kx bẋ + f sin αt, k > 0, b > 0. Reševanje nehomogene navadne diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti Resonanca, analiza amplitude vsiljenega nihanja v odvisnosti od razmerja lastne in vsiljene frekvence. Resonančni pogoj, resonančna frekvenca. Kinetična energija. Potencialna, konzervativna sila, parcialni odvodi. Energijski izrek Če se točka giblje pod vplivom konzeravtivne sile, je vsota kinetične in potencialne energije konstanta gibanja. Energijska enačba, integracija gibanja. Pojem dela. Izrek o delu. Delo, ki ga opravi sila od P 1 do P 2 je enako razliki kinetične energije. Posebni primer: premočrtno gibanje. Primerjava izreka o energiji in o delu. 4

14. 4. 2004 Dinamika točke v RKS Newtonova enačba v RKS, centrifugalna sila, Coriolisova sila. Primer: gibanje masne točke vzdolž votle vrteče se cevi. Sistem N-materialnih točk Pisava r i, v i, a i. Masno središče. Razdelitev sil; zunanje, notranje; pisava F ji sila j-te točke na i-to točko. Tretji Newtonov zakon, zakon akcije in reakcije F ji = F ij. Enačba gibanja masnega središča. Zaprti sistem; zakon o ohranitvi gibalne količine, zakon o ohranitvi kinetične energije. Trki, elastični, neelastični. Primer: a) elastični trk dveh mas; b) neelastični trk. Vrtilna količina L = N i=1 l i, l i = r i m i v i. Odvisnost vrtilne količine od pola, L = L(O). Navor notranjih sil, navor zunanjih sil. dl Izrek o vrtilni količini: dt = N + N n, N = N i=1 r i F i, N n = i j r i F ji. Pojem centralne notranje sile. Izrek o vrtilni količini: če so notranje sile centralne, je navor notranjih sil enak nič. d L dt = N. 5