TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 2009/2010

Transcript

1 TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 009/010 BF : Viskokošolski strokovni študij KINEMATIKA IN DINAMIKA TOČKE Kinematika Osnovne kinematične količine: položaj P, vektor hitrosti v = r = P, brzina v = v, vektor pospeška a = v = r = P Kartezični zapis r = x i + y j + z k, v = ẋ i + ẏ j + ż k, a = ẍ i + ÿ j + z k, v = ẋ + ẏ + ż Geometrijski pomen vektorja hitrosti: vektor hitrosti je tangentni vektor na tir gibanja Geometrijski pomen vektorja pospeška: smer zavijanja Pojem zaviranja, pospeševanja Primer: premočrtno gibanje Primer: kroženje, enakomerno, neenakomerno, kotna hitrost Newtonovi zakoni in Newtonova enačba m a = F Osnovna naloga dinamike Pogoj mirovanja TOGO TELO IN SISTEM MATERIALNIH TOČK Definicija togega gibanja in togega telesa Razcep togega gibanja na translatorno in rotacijsko gibanje Dinamika sistema materialnih točk Razdelitev sil; zunanje, notranje; pisava F ji sila j-te točke na i-to točko Tretji Newtonov zakon, zakon akcije in reakcije F ji = F ij Masno središče Primer: masno središče sistema dveh točk Zapis masnega središča sistema kot masno središče dveh masnih središč njunih podsistemov r = 1 m N m i r i = Primer: masno središče sistema treh točk, težišče trikotnika Enačba gibanja masnega središča m a = F i=1 1 ˆm 1 + ˆm ( ˆm 1 r 1 + ˆm r ) STATIKA Navor sile F i s prijemališčem v P i glede na polo: Ni (O) = OP i F i Navor zunanjih, navor notranjih sil sil Pojem centralne sile Če so notranje sile centralne, je navor notranjih sil enak nič Vrtilna količina točke L i (O) = OP i m i ri, vrtilna količina sistema točk L(O) = N i=1 L i (O) Izrek o vrtilni količini Enačbe gibanja togega telesa Dinamika togega telesa je natanko določena z začetnimi pogoji ter rezultanto sil in navorov Togo telo se ne giblje natanko tedaj, ko 1

2 a) miruje v začetnem trenutku; b) rezultanta vseh zunanjih sil je enaka nič; c) rezultanta navorov zunanjih sil je enaka nič; Nezadostnost posameznih pogojev Sistem sil F = {(P 1, F 1 ),, (P n, F n )}, rezultanta sil sistema sil R(F) = n i=1 F i, moment sistema sil N(F, O) = n i=1 OP i F i Dinamika togega telesa pod vplivom sistema sil F je natanko določena z R(F) in N(F 1, O) Odvisnost momenta od pola Velja N(F, O 1 ) = O 1 O R(F) + N(F, O ) Definicija Sistema sil F 1 in F sta ekvipolentna, če R(F 1 ) = R(F ) in N(F 1, O) = N(F, O) Če sta sistema sil F 1 in F ekvipolentna, je N(F 1, Ô) = N(F, Ô) za vsak pol Ô Če za dva sistema sil F 1 in F velja N(F 1, Ô) = N(F, Ô) za vsak Ô, sta sistema sil ekvipolentna Operacije nad razredom ekvipolentnih sistemov sil: a) princip o aditivnosti sil s skupnim prijemališčem; b) princip o polznosti sile; c) princip o uravnoteženemu paru sil Redukcija ravninskega sistema {(P 1, F 1 ), (P, F )} dveh sil na skupno prijemališče: a) F 1 F ; b) F 1 F in F 1 F > 0; c) F 1 F, F 1 F < 0 in F 1 F ; Dvojica sil Dvojica sil kot prosti vektor {(P 1, F ), (P, F )} {(P 1 + a, F ), (P + a, F )} za poljubni a Poljubni ravninski sistem dveh sil {(P 1, F 1 ), (P, F )}, ki ni dvojica, moremo reducirati na sistem z eno samo silo {(P 0, F 1 + F )}, kje je P 0 skupno prijemališče Definicija Sistem sil je dvojica, če je R(F) = 0 in N(F, O) 0 Moment dvojice je neodvisen od pola; N(F, O 1 ) = N(F, O ) za poljubna pola O 1 in O Konstrukcija dvojice sil za dani moment Unija dveh dvojic je dvojica Redukcija prostorskega sistema sil na poljubno izbrano redukcijsko točko; prestavitveni moment Izbira redukcijske točke tako, da sta rezultanta in moment glede na redukcijsko točko vzporedna; os sistema Invarianta sistema sil I(F) = R(F) N(F, O) Trditev Invarianta sistema sil je neodvisna od pola O Redukcija sistema sil 1) I(F) = 0 1a) R(F) = 0 in N(F, O) = 0; ravnovesni sistem sil; 1b) R(F) 0 in N(F, O) = 0; sistem sil s skupnim prijemališčem v O; 1c) R(F) = 0 in N(F, O) 0; dvojica sil ) I(F) 0; redukcija sistema sil na os sistema Primer: sistem sil z vzporednimi silami F = m if0 Če je m = N i=1 m i 0 je ta sistem sil ekvipolenten rezultanti mf 0, ki ima prijemališče v masnem središču Poljubni ravninski sistem sil lahko reduciramo na dve sili, ki imata prijemališči v poljubnih dveh točkah Poljubni prostorski sistem sil lahko reduciramo na tri sile, ki imajo prijemališča v poljubnih treh točkah Primeri: a) ravnovesje dveh klad na gladki dvostranski strmini; b) ravnovesje lestve naslonjene na gladko steno; c) enostavno podprt togi nosilec Statično določene, statično nedoločene naloge

3 Primer: enakomerno vrtenje vitla Določitev sil v ležajih in sile navijanja Paličje; sile v palicah, natezne, tlačne v število spojev, p število palic; Formula za ravninsko paličje : v 3 = p, za prostorsko 3v 6 = p Primer: paličje dveh enakokrakih pravokotnih trikotnikov, določitev sil v podporah in palicah Primer: škripčevje Sistem togih teles, spoji med telesi, sile in navori v spojih členkasti, Ravnotežne enačbe sistema sestavljenega iz togih podsistemov Primer: A lestev Trenje Dotikalno(oprijemalno), drsno trenje Coulombov zakon trenja Klasifikacija, vrtljiv, pomičini, tečaj, Sila podlage je rezultanta ploskovne porazdelitve sil v normalni smeri, sila trenja pa v smeri ravnine stika teles Kotalni moment, vrtilni moment; kotalno in vrtilno trenje Tabela koeficientov oprijemalnega(koeficient lepenja) in drsnega trenja Torni kot Spuščanje, dvigovanje klade po strmini Radialni ležaj, določitev obratovalnega momenta, torni radij Primeri: a) Dvigovanje/spuščanje bremena ob steni z zagozdo; pogoj samozapornosti b) Zabijanje zagozde v deblo c) Kotalno trenje Trenje vrvi na kolutu, formula S = S 1 e kα TRDNOST Klasifikacija sil, linijske, površinske, volumenske; gostota linijske, površinske in volumenske sile Gostoti površinske sile pravimo vektor napetosti Primer: linijska obremenitev nosilca; določitev ekvipolentne točkovne sile a) enakomerna obremenitev; b) linearna obremenitev; Notranje sile na preseku telesa Normalna napetost, strižna napetost Primer: enoosna obremenitev palice Nosilci: redukcija površinske sile na središče preseka T rezultanta površinske sile, M rezulturajoči moment Projekciji rezulturajočega momenta na normalo preseka pravimo torzijski moment M je vsota torzijskega in upogibnega momenta Ravni nosilci: os nosilca je ravna, obremenitev je pravokotna na os nosilca in enakomerna po širini nosilca Primer: določitev poteka strižne sile in upogibnega momenta za enostavno podprt nosilec s točkovno obremenitvijo Določitev točke obremenitve, ki daje maksimalen upogibni moment Grafični potek upogibnega momenta za dvotočkovno obremenitev Linijska obremenitev nosilca Primer: enakomerna obremenitev Izpeljava formule d M dx = T Potek upogibnega momenta, vrednosti na krajiščih, stacionarna vrednost Primer: linearno obremenjen nosilec 3

4 Enakomerno obremenjen previsni nosilec a) Določitev sil podpor b) Potek strižne sile c) Potek upogibnega momenta Konzolno vpeti nosilec Določitev sil v pritrdišču; strižna napetost, linearni potek osne napetosti Deformacija Pisava; referenčni, deformirani položaj Mere deformacije, relativna sprememba dolžin Cauchyjeva mera deformacije p 1 p P 1 P P 1 P Lokalna mera deformacije, gradient deformacije; dp = F dp Deformacijski tenzor E = 1 (F T F I) Zveza s Cauchyjevo mero deformacije d p dp dp = d P dp E Osnovni tipi deformacije: a) enakomerna enoosna deformacija, mera ɛ = l l b) neenakomerna enoosna deformacija, mera ɛ = du c) večosna deformacija, mere ɛ x = lx l x, ɛ y = ly l y dx, ɛ z = lz l z d) strižna deformacija, mera γ = w l Zapis deformacijskega tenzorja pri mjhnih deformacijah E ɛ = ɛ x γ xy γ xy γ xz γ ɛ yz y γ xz γ yz ɛ z d P d P Relativna sprememba volumna pri mahjnih deformacijah δv V = ɛ x + ɛ y + ɛ z Zveza med deformacijo in napetostjo Deformacijsko napetostni diagram za enoosno deformacijo Značilne točke in območja na deformacijsko napetostnem diagramu Razlika med togostjo in trdnostjo Nominalna napetost in deformacija, prava napetost in deformacija Tabela Youngovih modulov Tabela mej tečenj σ Y in nateznih trdnosti σ T Za dano palico izračunaj dopustno obremenitev Utrjevanje Kompresijski test Kompoziti Efektivni modul v smeri vlaken E = v f E f + v m E m ( ) Efektivni modul v prečni smeri E = v f E f + v m E m Velja: E < E 4

5 Hitri lom, pogoj hitrega loma σ πa = EG c = K c Tabela koeficientov lomne žilavosti K c in pripadajoče energije loma G c Primer : določitev dopustne predlomne obremenitve Upogib nosilca Nevtralna os, deformacija vlaken ɛ = y R, upogib nevtralne osi w(x) Euler - Bernoullijeva zveza M = EI R Aproksimacija 1 R = d w dx ( ) Ravnovesna enačba d EI d w = f dx dx Primer: upogib konzolno vpetega nosilca s točkovno obremenitvijo na koncu nosilca Izbor materiala nosilca z najmanjšo maso pri predpisanem dopustnem upogibu Izbor cenovno najugodnejšega materiala Primer: upogib členkasto vpetega nosilca z enakomerno linijsko obremenitvijo Pregled robnih pogojev za enačbo upogiba nosilca Uklon nosilca, palice Določitev kritične obremenitve F c = π EI l Uklon konzolno vpete palice, F c = 4π EI l Določitev smeri ravninskega upogiba in uklona Odvisnost drugih ploskovnih momentov od smeri 1 09 Poissonov količnik ν, omejitev 0 ν 1, tabela vrednosti za ν Strižna deformacija, strižna napetost, strižni modul Primeri: a) zakovice; b) zabijanje; c) vrtanje Posplošeni Hookov zakon Zapis zveze med t in ɛ Simetrije elastičnega tenzorja: a) anizotropija; b) monoklinična; c) ortotropična; d) tranzverzalna izotropija; d) izotropija; Zapis zveze med ɛ in t Hookov zakon za izotropični material ɛ = 1 + ν E t ν (Sl t )I E t = µɛ + λ(sl ɛ )I Zveza E, ν, G in Lamejevima koeficientoma λ, µ Enakomerna kompresija, kompresijski modul k = Termoeleastičnost ɛ = α T I Tabela koeficientov termalnega razteska Primer: izračun napetosti pri spremembi temperature a) ɛ 11 = 0, t = t 33 = 0; b) ɛ 11 = ɛ = 0, t 33 = 0; c) ɛ 11 = ɛ = ɛ 33 = 0 5 E 3(1 ν)

6 Zapis ravnovesne enačbe za elastostatiko: t 11 x + t 1 y + t 13 z = ρf 1 t 1 x + t y + t 3 z = ρf t 13 x + t 3 y + t 33 z = ρf 1 Torzija Torzija gredi s krožnim presekom Strižna deformacija γ = rφ Gφ L, strižna napetost τ = Gγ, torzijski moment N = L moment preseka Primer: Izračun torzijskega kota pri danih G, L, N in polmeru preseka Časovna odvisnost materialov; reologija Relaksacija, lezenje Enoosni reološki modeli z vzmetjo in dušilko Maxwellov model Kelvinov model Relaksacijski spekter, amplituda, relaksacijski čas J, kjer je J polarni 6