TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 2014/2015

Transcript

1 TEHNIŠKA MEHANIKA - sinopsis predavanj v šolskem letu 014/015 BF : Viskokošolski strokovni študij KINEMATIKA IN DINAMIKA TOČKE Kinematika Položaj točke P, opazovalec O, kartezični koordinatni sistem x, y, z. Koordinate točke P (x, y, z), krajevni vektor OP = r od izhodišča O do točke P. Osnovne vektorskega računa i) bazni vektorji i, j, k; ii) seštevanje, odštevanje vektorjev; iii) velikost vektorja; iv) skalarni produkt. Gibanje, zapis r = r(t). Vektor hitrosti: trenutna sprememba položaja po času, oziroma odvod krajevnega vektorja po času. Kartezični zapis r = x i + y j + z k, v = ẋ i + ẏ j + ż k. Geometrijski pomen vektorja hitrosti: vektor hitrosti je tangentni vektor na tir gibanja. Velikost vektorja hitrosti je brzina. Odvodi i) Konstanta; x(t) = x 0 ẋ = 0. ii) Linearne funkcije; x(t) = αt + x 0 ẋ = α. iii) Kvadratne: x(t) = at + vt + x 0 ẋ = at + v. iv) Sinusa, kosinusae: x(t) = sin ωt ẋ = ω cos ωt. Vektor pospeška: trenutna sprememba vektorja hitrosti po času, oziroma odvod vektorja htrosti po času. Kartezični zapis a = ẍ i + ÿ j + z k. Geometrijski pomen vektorja pospeška: smer zavijanja. Premočrtno gibanje, Gibanje je premočrtno natanko tedaj, ko sta vektorja hitrosti in pospeška vzporedna. Točka trenutnega mirovanja, točka mirovanja; točka obrata gibanja, Pojem pospeševanja ẋẍ > 0, zaviranja ẋẍ < 0 oziroma v a > 0, v a < 0. Harmonično gibanje. x = A cos(ωt δ); amplituda, frekvenca, fazni zamik, perioda gibanja Primer: po osi x se giblje materialna točka. V času od t = 0 do t 1 = 10s se giblje s konstantno brzino v 1 = m/s v smeri osi x, nato pa v času t > t 1 deluje na točko pospešek z velikostjo a = 1 m/s v nasprotni smeri osi x. i) Določi položaj točke v času t 1. ii) Kdaj in kje točka trenutno miruje? iii) Kdaj in s kolikšno hitrostjo se vrne točka v začetni položaj? iv) Nariši grafa hitrosti in položaja v odvisnosti od časa. Kroženje. Vektor hitrosti, vektor pospeška. v = r 0 ϕ e ϕ, a = r 0 ϕ e r + r 0 ϕ e ϕ. 1

2 Enakomerno, neenakomerno, kotna hitrost, kotni pospešek. Koroženje je enakomerno natanko tedaj, ko vektor pospeška kaže proti središču kroženja. Newtonovi zakoni. Pojem inercialnega koordinatnega sistema(ks) Newtonova enačba m a = F. Tretji Newtonov zakon, zakon akcije in reakcije F 1 = F Osnovna naloga dinamike. Gibanje je natanko določeno z i) Newtonovo enačbo, ii) začetnim položajem, iii) začetno hitrostjo. Rešitev Newtonove enačbe je natanko določena z začetnim položajem Primer: navpični met: i) brez upoštevanja upora, določi metno višino. ii) z upoštevanjem linearnega zakona upora, določi končno brzino. SISTEM MATERIALNIH TOČK IN TOGO TELO Dinamika sistema materialnih točk. Razdelitev sil; zunanje, notranje; pisava F ji sila j-te točke na i-to točko. Masno središče. Masno središče dveh točk leži na njuni zveznici in jo deli v obratnem razmerju njunih mas. Zapis masnega središča sistema kot masno središče dveh masnih središč njunih podsistemov. r = 1 m N m i r i = i=1 1 ˆm 1 + ˆm ( ˆm 1 r 1 + ˆm r ) Primer: masno središče sistema treh točk, težišče trikotnika. Masno središče likov in teles. Tabela masnih središč likov: pravokotnik, trikotnik, polkrog, krožni izsek, odsek. Primer: izračun masnega središča sestavljenega lika iz pravokotnika in polkroga. Enačba gibanja masnega središča m a = F. Primer: poševni met po eksploziji. Definicija togega gibanja. Togi sistem, togo telo. Togo gibanje je natanko določeno z gibanjem treh nekolinearnih točk. Razcep togega gibanja na translatorno in rotacijsko gibanje. Translatorni del gibanja togega telesa določa enačba gibanja masnega središča. Vektorski produkt, definicija, geometrijski pomen Osnovne lastnosti vektorskega produkta. Navor(moment) sile F s prijemališčem v P glede na pol O: N(O) = OP F = r F. Vrtilna količina točke l(o) = OP m r. Primer: vrtilna količina kroženja. Vrtilna količina sistema materialnih točk L(O) = N i=1 l i (O), l i (O) = r i m i ri. Odvod vrtilne količine. Navor zunanjih, navor notranjih sil. Pojem centralne sile. Če so notranje sile centralne, je navor notranjih sil enak nič. Izrek o vrtilni količini: če so notranje sile centralne, je odvod vrtilne količine enak navoru zunanjih sil. Velja dl(o) = N(O). dt

3 Rotacijski del gibanja togega telesa določa izrek o vrtilni količini. Dinamika togega sistema je natanko določena z enačbo gibanja masnega središča in izrekom o vrtilni količini. Zaprti sistem materialnih točk, izrek o ohranitvi gibalne količine in izrek o ohranitvi vrtilne količine. Primer a) izreka o ohranitvi gibalne količine; b) izreka o ohranitvi vrtilne količine. Trki, elastični Trki, neelastični, plastični. STATIKA TOGEGA TELESA Togo telo je v statičnem ravnovesju natanko tedaj, ko a) rezultanta vseh zunanjih sil je enaka nič; b) rezultanta navorov zunanjih sil je enaka nič; Togo telo se ne giblje natanko tedaj, ko je a) v statičnem ravnovesju in b) miruje v začetnem trenutku; Nezadostnost posameznih pogojev. Sistem sil F = {(P 1, F 1 ),..., (P n, F n )}, rezultanta sistema sil R(F) n = i=1 F i, moment sistema sil N(F, O) = n i=1 OP i F i. Definicija Sistem sil je ravnovesen, če je R(F) = 0 in N(F, O) = 0. Odvisnost momenta od pola. Velja N(F, O 1 ) = O 1 O R(F) + N(F, O ). Če je sistem sil F ravnovesen, je N(F, O) za vsako točko O. Primer naloge statike: enostavno podprt togi nosilec; a) statično določena naloga; b) statično nedoločena naloga; Dinamika togega telesa pod vplivom sistema sil F je natanko določena z R(F) in N(F 1, O). Definicija Sistema sil F 1 in F sta ekvipolentna, če obstaja točka O 0 tako, da je R(F 1 ) = R(F ) in N(F 1, O 0 ) = N(F, O 0 ). Trditev Sistema sil F 1 in F sta ekvipolentna natanko tedaj, ko je N(F 1, O) = N(F, O) za vsk pol O. Dva ekvivalentna sistema sil imata enak dinamični efekt na togo telo. Operacije nad sistemom sil, ki ohranjajo ekvipolentnost: a) seštevanje sil s skupnim prijemališčem; b) pomik prijemališča sile v smeri sil, polznost sile; Osnovni principi statike: a) princip o aditivnosti sil s skupnim prijemališčem; b) princip o polznosti sile; c) princip o uravnoteženemu paru sil. Sistem sil je ravninski, če vsa prijemališča in sile ležijo v isti ravnini. Redukcija ravninskega sistema {(P 1, F 1 ), (P, F )} dveh sil na skupno prijemališče: a) F 1 F ; b) F 1 F in F 1 F > 0; c) F 1 F, F 1 F < 0 in F 1 F ; Pojem dvojica sil. Definicija Sistem sil je dvojica, če je R(F) = 0 in N(F, O) 0. Ekvivalentnost dvojice sil in navora. Poljuben ravninski sistem dveh sil {(P 1, F 1 ), (P, F )}, ki ni dvojica, moremo reducirati na sistem z eno samo silo {(P 0, F 1 + F )}, kje je P 0 skupno prijemališče. 3

4 Moment dvojice je neodvisen od pola: N(F, O1 ) = N(F, O ) za poljubna pola O 1 in O. Pravimo, da je navor prosti vektor. Konstrukcija dvojice sil za dani navor. Unija sistema sil R(F 1 F ) = R(F 1 ) + R(F ), N(F1 F, O) = N(F 1, O) + N(F, O). Unija dvojice je dvojica ali ravnovesni sistem sil. Redukcija prostorskega sistema sil na poljubno izbrano redukcijsko točko; prestavitveni moment. Za poljubno izbrano redukcijsko točko P 0 lahko sistem sil F reduciramo na sistem sil, ki je unija rezultante R(F) s prijemališčem v P 0 in dvojice z momentom N(F, P 0 ). Sistem F je sistem sil s skupnim prijemališčem, če obstaja redukcijska točka tako, da je prestavitveni moment v to točko enak nič Izbira redukcijske točke tako, da sta rezultanta in moment glede na redukcijsko točko vzporedna; dinama, os sistema OP R(F) 0 = N(F, O) R(F). Invarianta sistema sil I(F) = R(F) N(F, O). Trditev Invarianta sistema sil je neodvisna od pola O. Redukcija sistema sil 1) I(F) = 0 1a) R(F) = 0 in N(F, O) = 0: ravnovesni sistem sil; 1b) R(F) 0 in N(F, O) = 0: sistem sil s skupnim prijemališčem v O; 1c) R(F) = 0 in N(F, O) 0: dvojica sil; 1d) R(F) 0, N(F, O) 0 in R(F) N(F, O): sistem sil s skupnim prijemališčem na osi sistema; ) I(F) 0: sistem sil nima skupnega prijemališča. Redukcija sistema sil na dinamo, os sistema. Primer: sistem sil z vzporednimi silami F = m if0. Če je m = N i=1 m i 0 je ta sistem sil ekvipolenten rezultanti mf 0, ki ima prijemališče v masnem središču. Poljubni ravninski sistem sil lahko reduciramo na dve sili, ki imata prijemališči v poljubno izbranih točkah. Poljubni prostorski sistem sil lahko reduciramo na tri sile, ki imajo prijemališča v poljubno izbranih točkah. Ravninski sistem sil lahko uravnovesimo v poljubno izbranih dveh podporah, prostorskega pa v treh. Primer: a) (sistem sil s skupnim prijemališčem) določi silo, ki potisne kolo s polmerom r 0 čez robnik višine h; b) določi silo vrvi, ki drži v ravnovesju desko, ki je naslonjena na gladko podlago. Osnovni koraki pri reševanju nalog ravnovesja togega telesa: a) identifikacija sil in njihovih prijemališč; b) zapis sil in ravnovesnih enačb; c) reševanje ravnovesnih enačb; d) analiza rezultata Trenje Sila podlage je rezultanta ploskovne porazdelitve sil, tangentna komponenta, normalna komponenta. Sila trenja je komponenta sile podlage v tangentni smeri in kaže v nasprotno smer kot gibanje. Prijemališče sile podlage. Drsno(dinamično) trenje, dotikalno(oprijemalno, statično) trenje. Coulombov zakon trenja. Tabela koeficientov oprijemalnega(koeficient lepenja) in drsnega trenja. Drsenje klade na strmini, torni kot. 4

5 Spuščanje, dvigovanje klade po strmini; samozapornost. Vijačna dvigalka, M = Gr 0 tan (β + aα), β strmina vijačnice, α torni kot Radialni ležaj, določitev obratovalnega momenta M 0 = kr 0 G, torni radij. Kotalno trenje, koeficient kotalnega trenja e, formula F = e r 0 G. Trenje vrvi na kolutu. Določen integral, izrek o povprečni vrednosti. Izpeljava formule S = S 1 e kϕ0. Vrednosti kvocienta S /S 1 pri k = 1 za različne ovojne kote ϕ 0. Statika sistema togih teles Spoji med telesi, sile in navori v spojih. Klasifikacija spojev: a) popolni spoj, prenos vseh sil in momentov; b) tečaj, prenos vseh sil in momentov pravokotnih na os tečaja; c) križni zglob, prenos vseh sil in momenta v smeri osi zgloba; d) krogelni zglob, prenos vseh sil brez prenosa momenta; e) linijski drsnik, prenos sil pravokotnih na smer drsnika in vseh momentov; f) ploščati drsnik, prenos sile pravokotne na ravnino drsnika in vseh momentov; g) kombinacija drsnika in zgloba. Primer: A lestev, določitev pogoja zdrsa Potek reševanja: a) identifikacija zunanjih sil; b) razčelnitev sistema na toge komponente; c) identifikacija sil in momentov v spojih; d) postavitev diagramov prostih teles; e) zapis ravnotežnih enačb; f) raševanje sistema ravnotežnih enačb. Primer: zdrs vrvi na kolutu škripca. k sin α. Trenje klinaste jermenice, formula ˆk = Primer: dvigovanje/spuščanje bremena ob steni z zagozdo. Določitev pogoja samozapornosti. Paličje Paličje je togi sistem sestavljen iz palic pod vplivom sil s prijemališči v spojih palic. v število spojev, p število palic; Formula za enostavno ravninsko paličje : v 3 = p. Formula za enostavno prostorsko paličje 3v 6 = p. Sile v palicah, natezne, tlačne. Ravnovesne enačbe paličja. Enostavno paličje je pri statično določenih podporah statično določeno Vozliščna metoda. Primer: paličje treh enakokrakih trikotnikov: a) določitev sil v podporah; b) določitev sil v palicah. Pomanjkljivosti vozliščne metode. Metoda prereza; kdaj jo lahko uporabimo. Primer: določitev sil v izbranih palicah. Primerjava vozliščne metode in metode prereza. Nosilci Točkovna obremenitev, linijska obremenitev, dolžinska gostota sobremenitve p(x). Določitev ekvipolentne točkovne obremenitve. Primeri: a) enakomerna(konstantna) porazdelitev; b) linearna porazdelitev. 5

6 Navidezni prerez nosilca, vpliv desnega dela nosilca na levi del preko notranjih količin; a) osna sila V (x); b) prečna sila Q(x); c) upogibni moment M(x). Določitev notranjih količin z metodo prereza. Primer: točkovno obremenjen enostavno podprt nosilec. a) Potek osne sile; b) potek prečne sile; c) potek upogibnega momenta. Prečna sila ima pri točkovni obremenitvi v točkah obremenitve nezveznosti s skokom, ki je enak sili obremenitve v tej točki. Primer: konstantna linijska obremenitev enostavno podprtega nosilca: a) potek prečne sile; b) potek upogibnega momenta; c) primerjava z ekvipolentno točkovno obremenitvijo. Pri enostavno podprtem nosilcu je na levem krajišču prečna sila enaka sili leve podpore, na desnem pa je nasprotno enaka sili podpore. Upogibni moment je na krajiščih enak nič. Določitev mesta največjega upogibnega momenta. Primer: konzolno vpeti nosilec z linearno linijsko obremenitvijo: a) potek prečne sile; b) potek upogibnega momenta; Potek prečne sile in upogibnega momenta za splošni primer točkovnih obremenitev. Izpeljava formul za zvezno linijsko obremenitev p(x). dq dx = p(x), dm dx = Q(x). Podpore nosilca: a) členkasta nepomična; b) členkasta pomična; c) konzolna; Določitev notranjih količin z analitično metodo, z upoštevanjem diferencialne zveze med Q in p ter M in Q. Primer: linearna porazdelitev, določitev integracijskih konstant iz robnih pogojev. Kompatibilnostni pogoji med deli nosilca z različnimi obremenitvami TRDNOST Deformacija Pisava; referenčni(nedeformiran) položaj: B,P, P(X,Y,Z); prostorski(deformiran) položaj: b,p, p(x,y,z). Mere deformacije: a) relativna sprememba dolžin ɛ 1 = p 1p P 1 P, P 1 P b) Cauchyjeva mera deformacije c) logaritemska mera Aditivnost logaritemske mere. Za majhne deformacije je ɛ = ɛ 1, ɛ 1 = ɛ. Pri togem pomiku je mera deformacije enaka nič. ɛ = p 1p P 1 P P 1 P ɛ = log p 1p P 1 P 6

7 Opis deformacije z vektorjem pomika r = R + u. Lokalizacija mere deformacije, sprememba dolžin za infinitezimalno bližnje točke. Enoosna deformacija. Pri enoosni deformaciji je ɛ 1 = u X. Deformacija je homogena, če je mera deformacije konstantna. Pri homogeni enoosni deformaciji je ɛ 1 = l l in u(x) = ɛ 1 X + u Infinitezimalni deformacijski tenzor ɛ = ɛ x γ xy γ xy γ xz γ ɛ yz y γ xz γ yz ɛ z = u 1 X X + u1 1 ( u 1 ( u1 Y + u X ) 1 ( u1 Z + u3 X ) Y ) u 1 Y ( u Z + u3 Y ) 1 ( u3 X + u1 Z ) 1 ( u3 Y + u Z ) u 3 Z Zapis mere deformacije v smeri enotskega vektorja n s kvadratno formo ɛ 1 = ɛ 1 ( n) = n ɛ n. Izrazu ɛ 1 ( n) pravimo mera osne deformacije v smeri n. Primer: dvoosna deformacija pravokotnika. a) Določitev pomika iz slike. b) izračun spremembe dolžine diagonale s pomočjo slike; c) izračun deformacijskega tenzorja; d) izračun spremembe dolžine diagonale s pomočjo deformacijskega tenzorja. Primer: enostavni strig pravokotnika. a) Določitev pomika iz slike. b) izračun spremembe dolžine diagonale s pomočjo slike; c) izračun deformacijskega tenzorja; d) izračun spremembe dolžine diagonale s pomočjo deformacijskega tenzorja. Pomen komponent deformacijskega tenzorja a) diagonalni elementi; b) izven diagonalni elementi Ravninska deformacije: u 1 = u 1 (X, Y ), u = u (X, Y ), u 3 = 0. Določitev smeri največje, najmanjše osne deformacije. Pri ravninski deformaciji je Smeri ekstremalne osne deformacije sta ɛ 1 ( n) = ɛ 1 (ϕ) = 1 (ɛ x + ɛ y ) + 1 (ɛ x ɛ y ) cos ϕ + 1 γ xy sin ϕ. ϕ a 1 = 1 arctan γ xy ɛ x ɛ y, ϕ a = ϕ a 1 + π. Smeri največje in najmanjše mere deformacije oklepata pravi kot. Največja osna deformacija je ɛ max 1 = 1 ( ) ɛ x + ɛ y + (ɛ x ɛ y ) + γxy, najmanjša pa ɛ min 1 = 1 ( ) ɛ x + ɛ y (ɛ x ɛ y ) + γxy. Primer: a) dvoosna deformacija; b) enostavni strig. Mera strižne deformacije v ravnini med seboj pravokotnih enotskih vektorjev m in n je γ( m, n) = m ɛ n. 7

8 Pri ravninski deformaciji je γ = γ( n, n) = (ɛ y ɛ x ) sin ϕ + γ xy cos ϕ, kjer je n = cos ϕ i + sin ϕ j in n = sin ϕ i + cos ϕ j. Smeri ekstremalne spremembe kotov sta ϕ s 1 = 1 arctan ɛ y ɛ x γ xy, ϕ s = ϕ s 1 + π. Smeri ekstremalne osne deformacije oklepajo s smerema ekstremalne strižne deformacije kot π/4. Ekstremalna strižna deformacija je γ ext = ±(ɛ max 1 ɛ min 1 ). Primer: a) dvoosna deformacija; b) enostavni strig. Smer ekstremalne spremembe kotov oklepa s smerjo ekstremalne osne deformacije kot π/4. Sprememba volumna: za majhne deformacije je V V = ɛ x + ɛ y + ɛ z Komponente deformacijskega tenzorja so odvisne od izbire koordinatnega sistema. Ekstremalne vrednosti deformacijskega tenzorja so neodvisne od izbire koordinatnega sistema. Vsota diagonalnih elementov matrike deformacijskega tenzorja je neodvisna od izbire koordinatnega sistema. Pregled osnovnih deformacij: a) enoosna deformacija; b) dvoosna deformacija v smeri koordinatnih osi: ɛ = ɛ x ɛ y 0 ; c) enakomerna deformacija; d) strižna deformacije v smeri koordinatnih osi: ɛ = 0 γ xy γ xz γ xy γ xz γ yz γ yz 0 Strižna deformacija ohranja volumen. Enakomerna deformacija ohranja kote. Določitev deformacijskega tenzorja iz osnih deformacij. a) za ravninsko deformacijo potrebujemo tri osne deformacije v treh neodvisnih smereh; b) za prostorsko pa šest. Deformacijski elipsoid. Torzija u = φ Z l ( Y i + X j). Izračun pripadajočega deformacijskega tenzorja. Napetost Osna napetost σ = F A. Enota napetosti, [σ] = N/m = Pa, MPa = 10 6 Pa, GPa = 10 9 Pa. Primer: določitev osne napetosti za osno obremenjeno palico z nekonstantnim presekom. Primer: določitev zunanjega polmera stebra vodnega stolpa, pomen kvocienta σ/ρ.. 8

9 Zveza med deformacijo in napetostjo. Deformacijsko napetostni diagram za enoosno deformacijo. Značilne točke in območja na deformacijsko napetostnem diagramu. Utrjevanje. Tabela Youngovih modulov E, mej tečenj σ Y in nateznih trdnosti σ ST. Razlika med togostjo in trdnostjo. Nominalna napetost in deformacija, prava napetost in deformacija. Kompresijski test. Energija deformacije, elastična energija, plastično delo. Za dani material izračunaj dopustno obremenitev v območju elastičnosti. Primer: reševanja statično nedoločene naloge Ravnovesna enačba enoosne napetosti ( d EA du ) + p(x) = 0. dx dx Robni pogoji ravnovesne enačbe: a) predpisani pomiki na robu; b) predpisana sila. Primer: razteg palice zaradi lastne teže. Primerjava z raztegom točkovne obremenitve prostega konca. Termalini raztezek ɛ T = α T. Primer: med dvema fiksnima stenama je vstavljena sestavljena palica s presekoma A 1, A, Youngovima moduloma E 1 in E in koeficientoma termalnega raztezka α 1 in α. Eno palico segrejemo za T. Določi napetostno stanje v palicah. Kompoziti Efektivni modul v smeri vlaken; Voigtova formula E = c f E f + c m E m, pravilo mešanja ( ) Efektivni modul v prečni smeri; Reussova formula E = c f E f + c m E m Velja: E < E. Upogib nosilca. Nevtralna os, deformacija vlaken ɛ = z R, σ = z E R. Upogib nevtralne osi w(x), aproksimacija 1 R = d w dx Določitev zveze med upogibnim momentom M in napetostjo. Euler - Bernoullijeva enačba M = EI R. Ploskovni moment I. Zveza σ = Eɛ = M I z. ) Enačba upogiba d EI d w = q. dx Primer: upogib enostavno podprtega nosilca s konstantno linijsko obremenitvijo. Določi maksimalen upogib. Izračunaj za primer lesene deske. Robni pogoji enačbe upogiba nosilca. Uklon nosilca, palice Določitev kritične obremenitve: a) členkasto vpeta palica: F c = π EI l ; b) togo vpeta palica: F c = 4π EI l ; dx ( 9

10 Hitri lom. Pogoj hitrega loma σ πa = EG c = K c. Tabela koeficientov hitrega loma K c. Primer: zlepljen enostavno podprti nosilec s točkovno obremenitvijo na sredini. Določi maksimalno dopustno silo, da ne bo prišlo do hitrega loma. a) Določitev upogibnega momenta; b) izračun napetosti; c) zapis pogoja hitrega loma v odvisnosti od obremenitve. Časovna odvisnost materialov; reologija. Relaksacija, lezenje. Enoosni reološki modeli z vzmetjo in dušilko. Maxwellov model, relaksacija. Kelvinov model, lezenje. Napetostni tenzor Vektor napetosti t je gostota površinske sile na prerezu. Odvisnost napetosti od smeri prereza. Vektor napetosti t = t(p, n) je linearen v n. To pomeni, da obstaja tenzor napetosti t tako, da je t = t n. Tenzor napetosti je simetričen in ima 6 neodvisnih komponent. Zapis tenzorja napetosti: t = t 11 t 1 t 13 t 1 t t 3 = σ 1 τ 1 τ 13 τ 1 σ τ 3 t 13 t 3 t 33 τ 13 τ 3 σ 3 Normalna napetost, strižna napetost Pomen komponent napetostnega tenzorja: a) na diagonalah so normalne napetosti v smereh koordinatnih osi; b) izvendiagonalni elementi so komponente strižnih napetosti. Primer: a) iz danih vektorjev napetosti t( i) = σ i τ j, t( j) = τ i, t( k) = 0 določi tenzor napetosti. b) Za dano smer n = n 1 i + n j izračunaj vektor napetosti, normalno in strižno napetost. Osnovna napetostna stanja: a) Hidrostatično napetostno stanje t = pi. Vektor napetosti je v vseh smereh enak, strižne napetosti pa so enake nič. b) Enoosno napetostno stanje. Ravninsko napetostno stanje. Ekstremalne lastnosti napetostnega tenzorja, analogija z določitvijo ekstremalnih lastnosti deformacijskega tenzorja. Največja, najmanjša možna normalna napetost je t max,min n = 1 ( ) σ 1 + σ ± (σ 1 σ ) + 4τ1 Smeri največje in najmanjše normalne napetosti oklepata pravi kot. Največja možna strižna napetost je t max s = 1 ( t max n t min ) n. Smer največje strižne napetosti oklepa kot π/4 s smerjo največje normalne napetosti. Posplošeni Hookov zakon: linearna zveza med napetostjo in deformacijo. Zapis zveze med t in ɛ, Voigtov zapis z elastično matriko reda 6 6. Simetrije elastičnega tenzorja in število materialnih parametrov za posamezne simetrije. a) anizotropija (1); b) monoklinična (13); 10

11 c) ortotropična (9); d) tranzverzalna izotropija (5); d) izotropija (); Podajnostni tenzor, zapis zveze med ɛ in t za ortotropičen material 1/E 1 ν 1 /E 1 ν 13 /E ν 1 /E 1/E ν 3 /E ν S = 31 /E 3 ν 3 /E 3 1/E /µ /µ /µ Hookov zakon za izotropični material oziroma Zveza E, ν, G. Primer: enoosno napetostno stanje. Enakomerna kompresija, kompresijski modul κ = Za nestisljivi material je ν = 1. ɛ ij = 1 + ν E t ij ν E (t 11 + t + t 33 )δ ij ɛ = 1 + ν E t ν (Sl t )I. E E 3(1 ν). 11