ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΟΜΙΚΩΝ ΤΗΣ ΣΧΟΛΗΣ Σ.Τ.Ε.Φ Τ.Ε.Ι. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΠΑΔΑΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ 008

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ I. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ I.. I.. I.3. I.4. Προσεγγίσεις Πραγματικών Ριζών Εξισώσεων Μέθοδος Διχοτόμησης Μέθοδος τέμνουσας Μέθοδος Regula-Falsi Μέθοδος Newton Raphson Παρεμβολή Και Προσέγγιση Παρεμβολή κατά Lagrange Παρεμβολή κατά Newton Σφάλμα Παρεμβολής Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Ασκήσεις II. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ II.. Εισαγωγή II.. Συνδυαστική Ανάλυση II.3. Δεσμευμένη Πιθανότητα ΙΙ.4. Δοκιμές Bernoulli ΙΙ.5. Ασκήσεις

Ι. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Αριθμητική Ανάλυση είναι ο κλάδος αυτός των Μαθηματικών που ασχολείται με την επινόηση, την μελέτη και την σύγκριση προσεγγιστικών μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων που προκύπτουν στις Φυσικές Επιστήμες, στην Τεχνολογία και στα Μαθηματικά γενικώς και για τα οποία είτε δεν υπάρχει ή είναι χρονοβόρα η ακριβής λύση τους. Μερικά τέτοια προβλήματα είναι: Η επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων Η κατασκευή παρεμβολικών συναρτήσεων Η επίλυση συνήθων και μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων και παραγώγων Γραμμικός Προγραμματισμός κ.α. Σ αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τα πρώτα δύο προβλήματα της παραπάνω λίστας. Δεν θα εξαντλήσουμε βέβαια το θέμα αλλά θα αναφερθούμε σε κάποιες αντιπροσωπευτικές μεθόδους. Ι. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΡΙΖΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό αναπτύσσουμε αριθμητικές μεθόδους για την προσεγγιστική λύση μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Γενικά μια εξίσωση της μορφής συνάρτηση f f ( = όπου η είναι μη γραμμική, δεν μπορεί να λυθεί ακριβώς (αναλυτικά εκτός αν υπάρχει εύκολος τύπος που δίνει την λύση, όπως για παράδειγμα ο τύπος του τριωνύμου που δίνει τις λύσεις ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου. Πολλές φορές μάλιστα, ακόμα και όταν υπάρχει τύπος που δίνει τις λύσεις (ρίζες, είναι τόσο περίπλοκος που είναι προτιμότερο και απαιτεί λιγότερο χρόνο να υπολογισθούν οι ρίζες χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους. Οι μέθοδοι που θα μελετήσουμε είναι επαναληπτικές μέθοδοι, δηλαδή δημιουργούν μια ακολουθία αριθμών που συγκλίνει (με κατάλληλες προϋποθέσεις σε μία ρίζα της εξίσωσης. Το πόσο γρήγορα συγκλίνει εξαρτάται αφ ενός από τις ιδιότητες της συνάρτησης f ( { } και αφ ετέρου από την μέθοδο που εφαρμόζουμε. Θα μελετήσουμε τέσσερις τέτοιες μεθόδους: την μέθοδο της διχοτόμησης, την μέθοδο της τέμνουσας, την μέθοδο Regula-Falsi και την μέθοδο Newton Raphson. 0 3

ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΧΟΤΟΜΗΣΗΣ Η πρώτη τεχνική που θα αναπτύξουμε βασίζεται στο θεώρημα ενδιάμεσης τιμής και ονομάζεται μέθοδος διχοτόμησης. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται μία συνεχής συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα [a, b], έτσι ώστε τα f (a και f (b να είναι ετερόσημοι αριθμοί (δηλαδή να ισχύει f ( a f ( b < 0. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει ρ τέτοιο ώστε f ( ρ = 0 με a < ρ < b. Η διατύπωση του θεωρήματος δεν αποκλείει βεβαίως την ύπαρξη περισσοτέρων από μία ριζών αλλά προς το παρόν θα υποθέσουμε ότι υπάρχει μόνο μία ρίζα, αν και η μέθοδος δουλεύει ακόμα και στην περίπτωση περισσοτέρων ριζών. Η μέθοδος είναι η εξής (σχήμα Ι..: Διχοτομούμε συνεχώς το διάστημα [a, b] και σε κάθε διχοτόμηση κρατάμε εκείνο το μισό που περιέχει την ρίζα ρ. Στην αρχή θέτουμε b]. Δηλαδή a M = M + b. Αν f ( M = 0 τότε ρ = και η ρίζα που ψάχνουμε βρέθηκε. Αν όχι, τότε το f με το ( M f (a στο διάστημα f (b έχει το ίδιο πρόσημο είτε οπότε η ρίζα οπότε η ρίζα ρ ανήκει [ Μ, b], είτε με το ρ ανήκει στο διάστημα [α, Μ ]. Διαλέγουμε εκείνο το υποδιάστημα που περιέχει την ρίζα, συμβολίζουμε με Μ το μέσον του και επαναλαμβάνουμε την παραπάνω διαδικασία στο νέο διάστημα. Μ αυτόν τον τρόπο περιορίζουμε την ρίζα κάθε φορά σε ένα υποδιάστημα που έχει μήκος το μισό του προηγούμενου και σχηματίζουμε μία ακολουθία σημείων M το μέσον του διαστήματος [a, Σχήμα Ι.. : Μέθοδος Διχοτόμησης M, M,, M, για την οποία θα ισχύει είτε ότι f ( M i = 0 για κάποιο i (πράγμα σπάνιο στις πρακτικές εφαρμογές, είτε συνεχίζεται έπ άπειρον και τα στοιχεία της ακολουθίας προσεγγίζουν την ρίζα ρ. Ένα ερώτημα που προκύπτει είναι πότε θα σταματήσουμε αυτή την διαδικασία και πόσο κοντά στην ρίζα θα είμαστε. Θα απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό αφού πρώτα δώσουμε ένα παράδειγμα της μεθόδου 4

Παράδειγμα Ι.. 3 Η συνάρτηση f ( = + 4 Ι.. αφού f ( = 5 και f ( = 4. 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα [, ] (σχήμα 4 0 8 6 4 0 - -4-6..4.6.8 Σχήμα Ι..: Η συνάρτηση f( του παραδείγματος Ι... Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι υπάρχει μόνο μία ρίζα σ αυτό το διάστημα. Ο πίνακας Ι.. μας δίνει τα πρώτα 7 βήματα της μεθόδου: Πίνακας Ι..: Μέθοδος διχοτόμησης για το Παράδειγμα Ι.. Ν Νέο Διάστημα Μ Ν f(μ Ν [, ].5.375 [,.5].5 -.7968 3 [.5,.5].375 0.6 4 [.5,.375].35-0.84839 5 [.35,.375].34375-0.35098 6 [.34375,.375].359375-0.0964 7 [.359375,.375].367875 0.0336 5

Η σωστή τιμή της ρίζας της f ( με ακρίβεια 8 δεκαδικών ψηφίων είναι: ρ =. 365300. Βλέπουμε λοιπόν ότι μετά από 7 βήματα η προσεγγιστική τιμή Μ 7 διαφέρει από την ακριβή στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο. Θα ασχοληθούμε στη συνέχεια με το ερώτημα που διατυπώσαμε πριν για το πότε θα σταματήσουμε την διαδικασία της διχοτόμησης και πόσο καλά έχουμε προσεγγίσει την ρίζα. Ασφαλώς θα θέλαμε η προσέγγιση μας να είναι κοντά στην ρίζα. Δηλαδή να ισχύει: Μ ρ <ε, για όλα τα 0. (Ι.. Το ε είναι κάποιος δεδομένος μικρός θετικός αριθμός. Μπορούμε να υπολογίσουμε το, δηλαδή τον αριθμό των βημάτων που πρέπει να γίνουν ώστε να ισχύει η (Ι..; Η απάντηση είναι ναι και ας δούμε πως. Το μήκος του αρχικού διαστήματος μέσα στο οποίο γνωρίζουμε ότι υπάρχει η ρίζα είναι b-a. Σε κάθε βήμα της μεθόδου περιορίζουμε την ρίζα σε ένα διάστημα που είναι το μισό του προηγουμένου. Άρα στο βήμα η ρίζα βρίσκεται μέσα σε ένα διάστημα που έχει μήκος b a. Δηλαδή ισχύει: M Αν λοιπόν διαλέξουμε το έτσι ώστε τότε θα ισχύει και η (Ι... Λύνοντας την (Ι..3 παίρνουμε: b b a b a ρ < (Ι.. a < ε > ln > ln( b a lnε > ε ln b a < ε (Ι..3 ln( b a lnε 0 (Ι..4 Επειδή η τιμή του δεξιού μέλους της τελευταίας σχέσης στην (Ι..4 είναι συνήθως δεκαδικός αριθμός, ο αμέσως επόμενος ακέραιος της τιμής αυτής μας δίνει το 0. Παράδειγμα Ι... Πόσα βήματα πρέπει να γίνουν για να ισχύει Μ ρ < Παραδείγματος Ι..; Απάντηση: Εδώ έχουμε a =, b= και ε = 0-5. Οπότε από την (Ι..3 παίρνουμε: 0 5 για την εξίσωση του ln( b a lnε ln ln0 = ln ln 5 = 5ln0 0.693 = 6.6 Άρα χρειάζονται 7 βήματα για να είμαστε σίγουροι ότι έχουμε προσεγγίσει την ρίζα με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων. 6

Πολλές φορές όμως το γεγονός ότι ισχύει η (Ι.. δεν είναι ικανοποιητικό. Ας δούμε το διπλανό σχήμα Ι..3. Εδώ έχουμε δύο συναρτήσεις την f( και την g( οι οποίες έχουν την ίδια ρίζα στο [a, b] αλλά για μια προσέγγιση Μ κ κοντά στην ρίζα ρ η τιμή g( M είναι κοντά στο μηδέν ενώ η τιμή f( M δεν είναι κοντά στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι το Μ κ δεν μπορεί να θεωρηθεί καλή προσέγγιση της ρίζας για την f(. Μας ενδιαφέρει λοιπόν να διαλέξουμε την προσέγγιση της ρ έτσι ώστε να ισχύει: Σχήμα Ι..3: Προσέγγιση της ρίζας f ( M < δ για 0 (Ι..5 Για να βρούμε το 0 εργαζόμαστε ως εξής: Υποθέτουμε ότι η f( εκτός από συνεχής είναι και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, b. Τότε: f ( M = f ( M 0 = f ( M f ( ρ = M ρ f '( ξ (Ι..6 όπου ξ κάποιος αριθμός στο ανοικτό διάστημα (Μ κ, ρ. Η τελευταία ισότητα στην (Ι..6 είναι εφαρμογή του θεωρήματος Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού. Χρησιμοποιώντας τώρα τις σχέσεις (Ι.. και (Ι..6 έχουμε: b a f ( M = M ρ f '( ξ < f '( ξ (Ι..7 Για να ισχύει λοιπόν η (Ι..5 αρκεί να είναι Μ τέτοιος ώστε b a f ( M για κάθε στο (a, b τότε έχουμε: f '( ξ δ. Αν υπάρχει θετικός αριθμός b a ( b a M M δ δ ( b a M ln( δ (Ι..8 ln( Ο αριθμός των απαιτούμενων βημάτων εξαρτάται λοιπόν από την τιμή του Μ. Πρέπει λοιπόν να διαλέξουμε το Μ όσο μικρό γίνεται. Το μικρότερο Μ είναι το ολικό μέγιστο της [a, b]. Το ολικό μέγιστο μπορεί να είναι είτε η τιμή της f ( στο f ( σε ένα από τα δύο άκρα ή ένα τοπικό ακρότατο της f ( στο (α, β. Τα τοπικά ακρότατα μπορούν να βρεθούν με 7

μεθόδους του Απειροστικού Λογισμού. Τα βήματα που πρέπει να γίνουν για να βρούμε το Μ είναι τα εξής: o Υπολογίζουμε την g ( = f (. o Υπολογίζουμε την τιμή g( α. o Υπολογίζουμε την τιμή g( β. o Λύνουμε την εξίσωση g ( = 0. Έστω ρ,ρ,...,ρ κ οι ρίζες της. Όποιες από τις ρίζες αυτές είναι εκτός του (α, β τις αγνοούμε. Για κάθε ρίζα ρ i που ανήκει στο (α,β υπολογίζουμε την g( ρ i o Τότε το Μ είναι το μέγιστο των τιμών g( ρ i και των g( α και gb. ( Παράδειγμα Ι..3. Για την συνάρτηση του παραδείγματος Ι.. αν ζητάμε να βρούμε τον μικρότερο αριθμό βημάτων 0 ώστε: 4 f ( M 0 για 0 (Ι..9 τότε έχουμε: = = +. Άρα g ( = 6+ 8 και g ( f( 3 8 4 g ( = 0 =. 3 Η ρίζα όμως αυτή δεν ανήκει στο διάστημα που ψάχνουμε την ρίζα [, ]. Άρα η μέγιστη τιμή της f ( είναι η τιμή της σε ένα από τα άκρα του διαστήματος. Επειδή g ( = 8 έχουμε M = 8. Οπότε: ( b a M 8 ln( ln( δ = = ln ln 4 0 8.095 g ( = και Αυτό σημαίνει ότι κάνοντας 9 βήματα είμαστε σίγουροι ότι ικανοποιούμε την (Ι..9. Σημείωση: Ο αριθμός των βημάτων που παίρνουμε με τους παραπάνω τύπους είναι ικανός αλλά όχι αναγκαίος. Δηλαδή, ανάλογα με το πρόβλημα, μπορεί να ικανοποιήσουμε την σχέση (Ι.. ή (Ι..5 με λιγότερα βήματα. 8

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΕΜΝΟΥΣΑΣ Μία άλλη μέθοδος εύρεσης των ριζών μιας εξίσωσης είναι η μέθοδος της τέμνουσας. Έστω μία συνάρτηση f( συνεχής σε ένα διάστημα [α,β] μέσα στο οποίο υπάρχει μία ρίζα ρ της εξίσωσης f(=0. Έστω επίσης ότι δίνονται δύο σημεία, μέσα στο διάστημα [α, β]. Η ευθεία ε που περνά από τα, f ( και ( f ( τέμνει (, τον άξονα των σε ένα σημείο (σχήμα Ι..4 το οποίο από την εξίσωση της ευθείας ε - υπολογίζεται από τον τύπο: 3 Σχήμα Ι..4: Η μέθοδος της Τέμνουσας. = f ( (Ι..0 f ( f ( 3 Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε και το f ( 3. Η νέα ευθεία ζ που σχηματίζεται τώρα από τα (, f( κα ι ( 3, f( 3 τέμνει τον άξονα των σε ένα άλλο σημείο 4. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται δίνοντας μία ακολουθία σημείων (, 4, 5,...,, 3,,... + όπου: + = f ( (Ι.. f f ( Οι όροι αυτής της ακολουθίας συγκλίνουν στην ρίζα που θέλουμε να προσεγγίσουμε με την προϋπόθεση ότι τα δύο αρχικά σημεία είναι κοντά στην ρίζα. Παράδειγμα Ι..4. Εφαρμόζουμε την μέθοδο της τέμνουσας στην συνάρτηση 3 f ( = + 4 0 του Παραδείγματος Ι.., αρχίζοντας με = και =. 5. Τα επόμενα βήματα, σύμφωνα με τον τύπο (Ι.. δίνονται στον πίνακα Ι... Παρατηρώντας τους πίνακες Ι.. και Ι.. βλέπουμε ότι η μέθοδος της τέμνουσας προσεγγίζει την ρίζα της εξίσωσης γρηγορότερα. Δηλαδή ο αριθμός των βημάτων που χρειάζονται για να έχουμε ίδια προσέγγιση είναι μικρότερος για την μέθοδο της τέμνουσας. 9

Πίνακας Ι..: Η μέθοδος της τέμνουσας. f ( -5.5.375 3.3390-0.4759 4.36349-0.087 5.3655 0.00033 6.3653 -.5 0-7 ΜΕΘΟΔΟΣ REGULA - FALSI Αυτή η μέθοδος είναι συνδυασμός της μεθόδου Διχοτόμησης και της μεθόδου της Τέμνουσας. Συγκεκριμένα αρχίζουμε, όπως στην μέθοδο της διχοτόμησης με ένα διάστημα [a, b] μέσα στο οποίο υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα ρ μιας συνεχούς συνάρτησης f(. Δηλαδή ισχύει: f ( a f ( b < 0. Ορίζουμε μετά το πρώτο σημείο της ακολουθίας που θα προσεγγίσει την ρίζα ρ, όχι σαν το μέσον του [a, b] αλλά από τον τύπο της μεθόδου της τέμνουσας (Ι..0 όπου = a και = b. Κατόπιν υπολογίζουμε το f και διαλέγουμε, είτε το διάστημα 3 ( 3 [ a, 3 ] αν ισχύει f ( a f (, ή το διάστημα [, 3 < 0 3 b] αν ισχύει f ( 3 f ( b < 0. Εφαρμόζουμε ξανά την μέθοδο της τέμνουσας (Ι..0 παίρνοντας σαν αρχικά σημεία τα άκρα του νέου διαστήματος που διαλέξαμε στο προηγούμενο βήμα. Συνεχίζουμε με αυτό τον τρόπο υπολογίζοντας μία ακολουθία αριθμών που προσεγγίζει την ρίζα ρ Παράδειγμα Ι..5. Εφαρμόζοντας την μέθοδο Regula Falsi στην συνάρτηση του παραδείγματος Ι..4 παίρνουμε τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον πίνακα Ι..3. Πίνακας Ι..3 Η μέθοδος Regula Falsi Ν Νέο Διάστημα N f( N [, ].6357 -.607 [.6357, ].33887-0.43036 3 [.33887, ].358546-0.00 4 [.358546, ].363547-0.0776 5 [.363547, ].364807-0.00698 6 [.364807, ].3654-0.0075 7 [.3654, ].36503-0.00043 0

Βλέπουμε ότι η προσέγγιση είναι ταχύτερη από εκείνη της μεθόδου της διχοτόμησης, αλλά όχι καλύτερη από την μέθοδο της τέμνουσας. Όμως είναι σίγουρο ότι η μέθοδος Regula Falsi θα συγκλίνει πάντα, ενώ για την μέθοδο της τέμνουσας αυτό δεν είναι σίγουρο. ΜΕΘΟΔΟΣ NEWTON RAPHSON Η μέθοδος αυτή είναι μια από τις κυριότερες και πιο διαδεδομένες μεθόδους επίλυσης μη γραμμικών εξισώσεων. Προϋπόθεση για την εφαρμογή της είναι η f( να είναι παραγωγίσιμη. Έστω λοιπόν συνάρτηση f( ορισμένη στο διάστημα [a,b] και έστω f ( η παράγωγός της. f( Α a 3 ρ Β b Σχήμα Ι..5 : Η μέθοδος Newton Η μέθοδος έχει ως εξής: Για στον άξονα των με a < < b βρίσκουμε το σημείο (, f( πάνω στην γραφική παράσταση της f( (σημείο Α στο σχήμα Ι..5. Από το σημείο αυτό φέρουμε την εφαπτομένη ευθεία στο γραφικό της f(. Αυτή η ευθεία τέμνει τον άξονα τον στο. Το υπολογίζεται από τον τύπο: f ( = f ( διότι το σημείο (,0 ανήκει στην ευθεία που περνά από το σημείο Α η οποία έχει κλίση f (. Βρίσκουμε τώρα το σημείο (, f( (σημείο Β στο σχήμα. Βλέπουμε ότι το είναι πιο κοντά στην ρίζα ρ από ότι το. Ακολούθως, φέρουμε την εφαπτομένη της f( στο B, που τέμνει τον άξονα των στο 3. Συνεχίζοντας την διαδικασία, υπολογίζουμε μία ακολουθία αριθμών:,,,,...,,,,.... Αυτή η ακολουθία συγκλίνει στην ρίζα ρ της f( με 3 4 5 + την προϋπόθεση να έχουμε πάρει το αρκετά κοντά στην ρ. Και σε αυτή την περίπτωση συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα από τις προηγούμενες μεθόδους. O γενικός τύπος της μεθόδου είναι:

f ( = + f ( (Ι.. Παράδειγμα Ι..6.. Εφαρμόζοντας την μέθοδο Newton στην συνάρτηση του παραδείγματος Ι..4 με 3 f ( = + 4 0 η οποία έχει παράγωγο την ( 3 8 f = +, παίρνουμε τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται στον πίνακα Ι..4. Εδώ αρχίσαμε την μέθοδο με =.0. Παρατηρούμε ότι η μέθοδος συγκλίνει πολύ γρήγορα και ήδη στο έκτο βήμα έχουμε βρει την ακριβή λύση. Πίνακας Ι..4. Η μέθοδος Newton με =. i i f ( i f ( i.0-5.0.0.454545454.54095348 7.983470 3.36890040 0.060796886 6.57868 4.36536600 0.000087706 6.535057 5.3653003 0.0000000003 6.533990 6.3653003 0 6.533990 Αν όμως αρχίζαμε την μέθοδο με = που απέχει πολύ από την ρίζα τότε τα πρώτα 0 βήματα της μεθόδου (πίνακας Ι..5 δείχνουν ότι η μέθοδος δεν συγκλίνει. Πίνακας Ι..5. Η μέθοδος Newton με =-. i i f ( i f ( i - -7-5 -,4-0,783999 -,999999999 3 -,8083333-0,60639,93546666 4 -,30454-0,99689 -,5057436 5 -,70934-0,53536 0,858490 6-0,870463-7,68950-4,69045694 7 -,4968997-0,68908 -,7678 8 -,9945-0,9747,94747 9 -,65704-0,58888-0,07675 0-9,49993-490,9498 90,84889

Μια γραφική παράσταση της συνάρτησης f( (Σχήμα Ι..6 μας δείχνει γιατί συμβαίνει αυτό. 3 Σχήμα Ι..6. Η συνάρτηση f ( = + 4 0 Είναι λοιπόν απαραίτητο να αρχίσουμε την μέθοδο όσο το δυνατόν πιο κοντά στην ρίζα. Μια γραφική παράσταση όπου η μονοτονία και η καμπυλότητα της συνάρτησης θα είναι γνωστή μπορεί να βοηθήσει στο να αποφασίσουμε πια θα είναι η αρχική τιμή της μεθόδου. Αν αυτό δεν είναι εφικτό και αν ένα διάστημα μέσα στο οποίο υπάρχει η ρίζα είναι γνωστό, τότε ένας άλλος τρόπος είναι να αρχίσουμε με την μέθοδο της διχοτόμησης η οποία σίγουρα συγκλίνει στην ρίζα - και μετά από μερικά βήματα να συνεχίσουμε με την μέθοδο Newton. Απόλυτο και σχετικό σφάλμα Όπως είδαμε, για την μέθοδο της διχοτόμησης μπορούμε να προβλέψουμε τον αριθμό των βημάτων της μεθόδου ώστε να προσεγγίσουμε είτε την ρίζα ή την τιμή της συνάρτησης με όση ακρίβεια θέλουμε. Αυτό όμως δεν ισχύει και για τις άλλες μεθόδους, οπότε γεννιέται το ερώτημα πότε θα σταματήσουμε μια μέθοδο. Έστω λοιπόν ότι παράγουμε μια ακολουθία σημείων,,,,...,,,,... με μια από τις παραπάνω μεθόδους. Ένας τρόπος να σταματήσουμε την διαδικασία αυτή είναι να ζητήσουμε η διαφορά + + 3 4 5 + d = ε όπου ε κάποιος μικρός θετικός αριθμός. Η διαφορά d λέγεται και απόλυτο σφάλμα. Αντί για το d μπορούμε να ζητήσουμε η διαφορά e + = + ε. 3

Η διαφορά e λέγεται και σχετικό σφάλμα. Γενικά το σχετικό σφάλμα είναι πιο ακριβές από το απόλυτο όπως φαίνεται από το παρακάτω παράδειγμα. Παράδειγμα: Έστω = 0.00 και + = 0.00. Τότε d ( 0.00 + = αλλά e + =. Αντίστοιχα αν = 000000 και + 999999. Τότε = d ( = αλλά + e + = 0,00000. Άρα το e αντιπροσωπεύει καλύτερα την πραγματικότητα αφού στην πρώτη περίπτωση ο επόμενος όρος της ακολουθίας είναι διπλάσιος από τον αμέσως προηγούμενο ενώ στην δεύτερη περίπτωση είναι πολύ κοντά. Ένας άλλος τρόπος τερματισμού της ακολουθίας είναι να ζητήσουμε να ισχύει f( ε. Δηλαδή η τιμή της συνάρτησης εκεί που θα σταματήσουμε να είναι αρκετά μικρή. Συνήθως η παραπάνω σχέση συνδυάζεται με το σχετικό σφάλμα και αν ισχύουν και τα δύο μαζί τότε τερματίζεται η μέθοδος. Φυσικά επειδή πάντα υπάρχει το ενδεχόμενο η μέθοδος να μην συγκλίνει δίνεται πάντα ένας μέγιστος αριθμός βημάτων όπου και η μέθοδος τερματίζεται. 4

I. ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ Πρόβλημα Ι..: Ένα μηχάνημα καταγραφής της ταχύτητας του ανέμου έδωσε τα παρακάτω δεδομένα για την ταχύτητα του ανέμου ανά λεπτό από τις 6:0 μέχρι τις 6:0 το πρωί: Πίνακας Ι... Ταχύτητα ανέμου Time (min U (m/sec Στις 6: έγινε δίλεπτη διακοπή ρεύματος με αποτέλεσμα 4 να μην γίνει καταγραφή της ταχύτητας του ανέμου στις 4.5 6: και στις 6:3. Πως μπορούμε να υπολογίσουμε 3 3.7 προσεγγιστικά την τιμή της ταχύτητας του ανέμου για τα 4 0 5 - δύο αυτά λεπτά; Μπορούμε να προβλέψουμε την ταχύτητα 6 -.5 του ανέμου στις 6:00 ή 6: ή και στις 6:30; Μια 7 - απάντηση σε αυτά τα ερωτήματα θα μας δώσουν οι 8 -.5 μέθοδοι που θα εξετάσουμε σ αυτό το κεφάλαιο. Γενικά 9 θα προσπαθήσουμε να βρούμε συναρτήσεις που θα είναι 0.5.5 εύκολες στο χειρισμό και οι οποίες θα έχουν ίδιες τιμές με τα δεδομένα του πίνακα Ι.. και με την βοήθεια τους θα 3 προσεγγίσουμε τις τιμές που λείπουν και θα προβλέψουμε 4. τις τιμές εκτός του πίνακα. Επειδή δε οι απλούστερες 5 3. συναρτήσεις είναι τα πολυώνυμα γι αυτό θα ψάξουμε να 6 3.5 βρούμε πολυώνυμα με αυτές τις ιδιότητες. Θα δούμε ότι 7.6 8. κάτω από κάποιες προϋποθέσεις υπάρχει ένα και μοναδικό 9 0.5 πολυώνυμο με αυτές τις ιδιότητες. Το πολυώνυμο αυτό θα 0 0 ονομάζουμε πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης και θα εξετάσουμε τρόπους κατασκευής του. Ένα τέτοιο πολυώνυμο μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για να προσεγγίσει τις τιμές κάποιας άλλης (περίπλοκης και δύσκολης συνάρτησης και σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να υπολογίσουμε ένα ανώτατο όριο για το σφάλμα της προσέγγισης. Πρόταση I..: Έστω ότι έχουμε n+ σημεία ( 0, y0,(, y,(, y,,( n, yn,( n, yn με τα i σε ένα διάστημα [α, β] (σχήμα Ι... Τότε υπάρχει ένα και μοναδικό πολυώνυμο p( βαθμού το πολύ n για το οποίο ισχύει: p( = y, p( = y,, p( = y, p( = y (Ι.. 0 0 n n n n Σημείωση: Τα παραπάνω σημεία μπορούν να έχουν παραχθεί από κάποια συνάρτηση f(. Δηλαδή να ισχύει f ( = y, i = 0,,,3,, n i i 5

Σχήμα Ι.. Το πολυώνυμο παρεμβολής p( Αυτό το πολυώνυμο θα ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης (ΠΠΠ για τα σημεία αυτά στο [α, β]. Παράδειγμα I.. Αν έχουμε δύο μόνο (διαφορετικά σημεία τότε υπάρχει ένα και μόνο ένα πολυώνυμο βαθμού ένα (δηλαδή ευθεία που περνά από αυτά τα σημεία. Επίσης αν έχω τρία διαφορετικά σημεία τότε υπάρχει μία και μόνο μία παραβολή (πολυώνυμο δευτέρου βαθμού που περνά και από τα τρία σημεία. Αντίθετα υπάρχουν πολλά πολυώνυμα τρίτου βαθμού που περνούν από τα τρία αυτά σημεία. Γι αυτό και ο περιορισμός της πρότασης ότι δηλαδή το πολυώνυμο είναι βαθμού το πολύ δύο είναι αναγκαίος. Σημείωση: Αν τα τρία αυτά σημεία ήταν πάνω στην ίδια ευθεία τότε το ΠΠΠ θα ήταν αυτή η ευθεία, δηλαδή πολυώνυμο βαθμού ένα, Αυτό δεν αντιβαίνει με την παραπάνω πρόταση η οποία λέει πολυώνυμο βαθμού το πολύ δύο. Παρακάτω θα δώσουμε δύο τρόπους κατασκευής αυτού του πολυωνύμου. Προσέξτε και οι δύο τρόποι κατασκευάζουν το ίδιο πολυώνυμο εφ όσον είναι μοναδικό. Απλά ο τρόπος κατασκευής είναι διαφορετικός και η μορφή του πολυωνύμου είναι διαφορετική. Αν όμως το πολυώνυμο αναχθεί στην κανονική του μορφή, τότε θα δούμε ότι είναι ακριβώς το ίδιο πολυώνυμο. Αυτό θα γίνει φανερό στο παράδειγμα που θα δώσουμε στην συνέχεια το οποίο λύνουμε και με τους δύο τρόπους. 6

Πολυώνυμο Παρεμβολής και Πρόβλεψης κατά Lagrange. Έστω ότι μας δίνονται n+ σημεία ( 0, y0,(, y,(, y,,( n, yn,( n, yn. Τότε θεωρούμε το πολυώνυμο: p( = y L ( + y L ( + y L ( + + y L ( + y L ( (I.. όπου 0 0 n n n n ( 0( ( ( + ( n ( n L ( = ( ( ( ( ( ( για = 0,,, n 0 + n n (Ι..3 Παρατηρούμε ότι κάθε L ( είναι πολυώνυμο βαθμού n και ισχύει: = m L( m = 0 m Οπότε από την εξίσωση (I.. έχουμε p( = y. Άρα οι προϋποθέσεις της πρότασης I.. ισχύουν και το p( που κατασκευάσαμε είναι το πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης. Πολυώνυμο Παρεμβολής και Πρόβλεψης κατά Newton. Τώρα θεωρούμε το πολυώνυμο στην παρακάτω μορφή: p ( = a 0 + a ( 0 + a ( 0( + + a n( 0( ( n (I..4 Το πολυώνυμο αυτό είναι βαθμού το πολύ n (θα είναι ακριβώς n βαθμού αν an 0. Πρέπει να υπολογίσουμε τους συντελεστές a0, a, a, an έτσι ώστε το p( να είναι το πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης. Προχωράμε με τον εξής τρόπο: Πρέπει να ισχύει p( 0 = y0, αλλά από την (I.. έχουμε p( 0 = a0. Άρα a0 = y0. Έτσι βρήκαμε το πρώτο συντελεστή του πολυωνύμου. Τώρα πρέπει p( = y. Αλλά p( = a0 + a( 0 Άρα εξισώνοντας έχουμε: y y y = a0 + a( 0 y = y0 + a( 0 a = 0 0 οπότε το a υπολογίζεται. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο ( p( = y κ.λ.π υπολογίζουμε τους υπόλοιπους συντελεστές. Είναι προφανές από την διαδικασία κατασκευής ότι το παραγόμενο με αυτό τον τρόπο πολυώνυμο είναι το πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί σχηματικά να παραστεί με το σχήμα I.. 7

y y 0 0 b = y y 0 0 = = y y b b y b c 0 y3 y b3 b c 3 c 3 y3 b3 = d 3 3 c 3 = = 3 3 0 y y b b c c d d 4 y4 b4 = c = d = e4 =...... 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4 4 4 4 0 Σχήμα Ι.. Πολυώνυμο παρεμβολής κατά Newton Με αυτή την διαδικασία έχουμε: a0 = y0, a = b, a = c, a3 = d3, a4 = e4, Δηλαδή οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι οι τιμές στη διαγώνιο του παραπάνω σχήματος. Παράδειγμα Ι.. Δίνονται τα σημεία του πίνακα Ι.. Πίνακας Ι.. Τα σημεία παρεμβολής ( 0, y 0 (, y (, y ( 3, y 3 (-,- (0, (,0 (, Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης και με τους δύο τρόπους. Απάντηση Υπολογισμός κατά Lagrange Το π.π.π. δίνεται από τον τύπο p( = y L ( + y L ( + y L ( + y L ( (I..5 όπου 0 0 3 3 ( ( ( ( ( ( L ( = L( = 3 0 3 0 ( 0 ( 0 ( 0 3 ( 0( ( 3 ( ( ( ( ( ( L ( = L ( = ( ( ( ( ( ( 0 3 0 3 0 3 3 0 3 3 Αντικαθιστώντας από τον πίνακα (Ι.. έχουμε: ( ( ( L0 ( = = ( ( ( ( ( ( 6 ( + ( ( L ( = = ( + ( ( ( + ( ( ( + ( ( L3 ( = = ( + ( ( ( + (( 6 8

Παρατηρούμε ότι δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε το πολλαπλασιάζεται με το L ( διότι στον τύπο (Ι..5 y που είναι μηδέν. Αντικαθιστώντας στην (Ι..5 παίρνουμε: p ( = ( ( ( ( ( + (( ( + ( ( + (( ( + ( ( 6 6 Μετά από πράξεις παίρνουμε: Κατασκευή κατά Newton Χρησιμοποιούμε τον πίνακα (Ι.. και έχουμε: b = + + = 0 0 0 0 3 b = 0 = c = + =.5 + 5 0 3 3 + d = 3 0 + = b = = c = = 6 Άρα 3 p ( = (5 9 + 6 (Ι..6 6 3 5 p ( = + ( + + ( ( + ( + ( + ( (. Μετά δε από πράξεις γίνεται: 6 3 p ( = (5 9 + 6 που είναι το ίδιο με το (Ι..6. 6 Το σφάλμα στην πολυωνυμική παρεμβολή και πρόβλεψη. Έστω ότι έχουμε μια συνάρτηση f ( και n+ σημεία του γραφικού της: (, f(,(, f(,(, f(,,(, f(,(, f(. Θεωρούμε ότι τα 0 0 n n n n,,, n ανήκουν στο διάστημα [ ab, ]. Αν p( το πολυώνυμο παρεμβολής και 0 πρόβλεψης γι αυτά τα σημεία, ορίζουμε σαν σφάλμα της προσέγγισης τη διαφορά δ ( = f( p( για κάθε [ ab, ]. Ενδιαφερόμαστε για το πόσο μεγάλο μπορεί να γίνει αυτό το σφάλμα. Ζητάμε δηλαδή να βρούμε ένα άνω φράγμα για το δ (. Για να συνεχίσουμε θεωρούμε ότι η f ( είναι παραγωγίσιμη n+ φορές. Δηλαδή ότι υπάρχει η n+ παράγωγος της f ( ( συμβολίζεται με ( n+ f ( και είναι συνεχής. Τότε από το θεώρημα μέσης τιμής γνωρίζουμε ότι: ( n+ f ( ξ δ( = ( 0( ( n i ξ ( a, b (I..7 ( n +! Η σχέση I..3 δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπως έχει διότι το ξ είναι άγνωστο. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα από την σχέση αυτή. Προχωρούμε με τον εξής τρόπο: 9

Έστω M = ma( ( 0( ( n και [ a, b] M = f τότε ( n+ ma( ( [ a, b] MM δ ( ( n +! Για να υπολογίσουμε τα M, M ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Για τον υπολογισμό του M συμβολίζουμε με g( = ( 0( ( n. Υπολογίζουμε το N = g( a, N = g ( b a b. Λύνουμε την εξίσωση g ( = 0 ( Η πρώτη παράγωγος της g (. Έστω ρ, ρ, ρ οι ρίζες της εξίσωσης αυτής οι οποίες περιέχονται στο διάστημα [a,b]., m 3. Υπολογίζουμε N = g( ρ, N = g( ρ, N3 = g( ρ3,, Nm = g( ρm 4. Τότε M = ma( N, N, N,, N a b m ( n+ Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζουμε το M θέτοντας σαν g ( = f ( δηλαδή την n+ παράγωγο της f ( και ακολουθώντας ακριβώς τα παραπάνω βήματα. Ι.3 ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Πρόβλημα I.3. Ένας τοπογράφος θέλει να κατασκευάσει ένα δρόμο που να είναι κοντά σε όλα τα σπίτια που φαίνονται στο παραδίπλα διάγραμμα (σχήμα Ι.3. και που να είναι ευθεία γραμμή. Σχεδιάστε την γραμμή (υπολογίζοντας την εξίσωση της ευθείας και βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου που ο δρόμος θα διασταυρώνεται με υπάρχουσα σιδηροδρομική γραμμή που φαίνεται στο σχήμα σαν διακεκομμένη γραμμή και όπου πρέπει να γίνει ανισόπεδη διάβαση. Σχήμα Ι.3. Θέσεις των σπιτιών Ένα πρόβλημα όπως το παραπάνω διαφέρει από το πρόβλημα του προηγούμενου κεφαλαίου στο ότι τώρα ζητάμε να υπολογίσουμε μια ευθεία η οποία (προφανώς δεν θα περάσει από όλα τα σημεία αλλά να είναι κοντά σε όλα τα σημεία. Μένει να διευκρινίσουμε τι θα εννοούμε με το κοντά και πως θα υπολογίσουμε αυτή την ευθεία. Έστω λοιπόν σημεία 0

(, y,(, y,(, y,,(, y,(, y και έστω ευθεία y = a+ b όπως στο 0 0 n n n n σχήμα (I.3.. Θα θεωρήσουμε σαν απόσταση κάθε σημείου κατακόρυφη απόσταση και θα την συμβολίσουμε με D. Αν και αυτή η απόσταση δεν είναι η συμβατική κάθετη απόσταση, είναι καλύτερη από πλευράς καθαρά υπολογιστικής.η απόσταση αυτή υπολογίζεται από τον τύπο: D a b y = (( και για να μην έχουμε τετραγωνικές ρίζες ορίζουμε σαν απόσταση όλων των σημείων από την ευθεία το άθροισμα: D + D + + D + + D. 0 n (, y από την ευθεία την Επειδή αυτό το άθροισμα εξαρτάται μόνο από τους συντελεστές α, β της ευθείας μπορούμε να το γράψουμε σαν f ab y y y n (, = (( α 0 + β 0 + + (( α + β + + (( α n + β (Ι.3. Η παραπάνω έκφραση είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών ως προς α και β. Ενδιαφερόμαστε στην περίπτωση μας να βρούμε εκείνα τα α, β που ελαχιστοποιούν την τιμή f ( α, β. Τα βήματα λοιπόν που ακολουθούμε είναι τα εξής:. Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους f,. Λύνουμε το σύστημα περιπτώσεων έχει μία λύση ως προς τα α, β. 3. Η ευθεία που ζητάμε είναι η y = a+ b. Σημείωση. f α β της συνάρτησης f ( α, β. f α = 0. Τα σύστημα αυτό είναι γραμμικό και (εκτός οριακών fβ = 0 Λύνοντας το παραπάνω σύστημα στην γενική του μορφή μπορούμε να πάρουμε τις παρακάτω εκφράσεις για την λύση α, β: α - β ( 0,y 0 D D 0 (, y y=α+β (,y D n D ( n,y n Σχήμα Ι.3. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων a = n n n ( n + y = 0 = 0 = 0 n n = 0 = 0 ( n + ( ( y = 0 = 0, b = n n + n y a (I.3.

Παράδειγμα Ι.3. Έστω f ( = ln. Προσέγγισε την τιμή ln χρησιμοποιώντας την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για Λύση =, =.5, =.5, = 3. 0 3 Υπολογίζουμε τα f ( κ=0,,,3 και έχουμε τα εξής δεδομένα: Πίνακας Ι.3.. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων y =f( y 0 0 0.5 0.4055 0.608.5.5 0.963.907 6.5 3 3.0986 3.958 9 Άθροισμα 8.408 6.9488 8.5 Άρα από τους τύπους Ι.3. (n=3 έχουμε: 4i6.9488-.408i8.408 0.546i8 α = = 0.546 και β = = 0.478. 4i8.5-64 4 Για = y = 0.546i 0.478 = 0.605 (επειδή ln = 0.693 το σφάλμα της προσέγγισης είναι: δ ( = 0.693 0.605 = 0.088

Ι.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Πόσα βήματα χρειάζονται για να υπολογίσουμε με την μέθοδο της διχοτόμησης τoν ln με ακρίβεια χιλιοστού; Σημείωση: Το αρχικό διάστημα [a, b] είναι το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων μέσα στο οποίο υπάρχει η τιμή ln.. Πόσα βήματα χρειάζονται για να υπολογίσουμε με την μέθοδο της διχοτόμησης την 5 40 με ακρίβεια χιλιοστού; Σημείωση: Το αρχικό διάστημα [a, b] είναι το διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων μέσα στο οποίο υπάρχει η τιμή 5 40. 3. Δίνεται η συνάρτηση f ( = ( ln( +. i. Να γίνει γραφική παράσταση των f ( έχει μια ρίζα στο διάστημα [0, ]. ( και ln( + και να δείξετε ότι η ii. Να υπολογισθεί το n 0 έτσι ώστε Μ n ρ 0.000 για n n 0 με την μέθοδο διχοτόμησης. iii. Να υπολογισθεί το n 0 έτσι ώστε f( M n 0.000 για n n 0 με την μέθοδο διχοτόμησης. 4. Δίνεται η συνάρτηση 3 f ( = 3 + 4. Πόσα βήματα της μεθόδου διχοτόμησης χρειάζονται για να προσεγγίσουμε την ρίζα της στο διάστημα [0, ] με ακρίβεια εκατοστού; Εφαρμόστε την μέθοδο στην παραπάνω συνάρτηση κάνοντας τόσα βήματα. 5. Με την μέθοδο της τέμνουσας και την μέθοδο Regula-Falsi υπολογίστε τα 3, 4, 5, 6 για την εύρεση της ρίζας της συνάρτησης f( = e αν πάρουμε = 0, = 6. Με την μέθοδο Newton υπολογίστε τα, 3, 4, 5, 6 για την εύρεση της ρίζας της συνάρτησης f = αν πάρουμε για αρχική τιμή =.5 5 ( 40 7. Με την μέθοδο Newton υπολογίστε τα, 3, 4, 5, 6 για την εύρεση της ρίζας της συνάρτησης f ( = αν πάρουμε για αρχική τιμή =.5 8. Να υπολογισθεί το πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης p( που παρεμβάλει την 5 f( = 40 στα σημεία 0 = 0, =, =. Βρείτε το σφάλμα της παραπάνω προσέγγισης για = 0.5, =, και =.5. Να βρεθεί ένα άνω όριο για το σφάλμα της προσέγγισης στο διάστημα [0, ]. 9. Να υπολογισθεί το πολυώνυμο παρεμβολής και πρόβλεψης p( που παρεμβάλει την f( = στα σημεία 0 =, =, =.5. Ποιο είναι το σφάλμα της παρεμβολής για =.5; Να βρεθεί ένα άνω όριο για το σφάλμα της προσέγγισης στο διάστημα [, 3]. 3

0. Να βρεθεί με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η πλησιέστερη στα σημεία (, f( i i ι=0,, ευθεία όπου f( η συνάρτηση: f( = e και = 0, =0.5, =. Βρείτε το σφάλμα της παραπάνω προσέγγισης για 0 = 0.5, =, και. Δίνεται η συνάρτηση =.5 f ( 3 3 =. Να βρεθεί η ευθεία y a b κοντά στα σημεία (, f( όπου 0 =, = 0, =, και 3 =.. Να λυθεί το πρόβλημα Ι.3. 3. Δίνεται η συνάρτηση f ( = sin( cos(. = + που είναι πιο a. Να γίνει γραφική παράσταση των sin( και cos( στο διάστημα [0, π] και να δείξετε ότι η f ( έχει μια ρίζα στο διάστημα [0, π/] και μία στο διάστημα [π/, π]. b. Να υπολογισθεί το n 0 έτσι ώστε Μ n ρ 0.000 για n n 0 με την μέθοδο διχοτόμησης στο διάστημα [0, π/] και στο διάστημα [0, π/4]. c. Να εφαρμοσθεί η μέθοδος Newton-Raphson στην συνάρτηση f(, με = 0 υπολογίζοντας τα, 3 και 4. Τι θα συνέβαινε αν = π/; d. Να βρεθεί το π.π.π. της συνάρτησης στα σημεία: 0 =0, =π/4 και =π/ και κατά Lagrange, και κατά Newton και να συγκριθούν τα δύο αποτελέσματα. e. Να εφαρμοσθεί η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για να βρεθεί η ευθεία που είναι πιο κοντά στην f( στα σημεία: 0 =0, =π/4 και =π/. 4. Δίνεται η συνάρτηση f( = cos(. i. Συμπληρώστε τον πίνακα: (Οι υπολογισμοί να γίνουν με 5 δεκαδικά ψηφία. Βήμα Μέθοδος Regula Falsi Μέθοδος Newton 3 4 5 = 0 f( = = 3 f( = 3 = f( 3 = 4 = f( 4 = 5 = f( 5 = = f( = f ( = = f( = f ( = 3 = f( 3 = f ( 3 = 4 = f( 4 = f ( 4 = 5 = f( 5 = f ( 5 = ii. Να υπολογισθεί το n 0 έτσι ώστε Μ n -ρ 0.000 για n n 0 με την μέθοδο της διχοτόμησης στο διάστημα [0, 3]. 4

ΙΙ. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΙΙ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αντικείμενο μελέτης της θεωρίας των Πιθανοτήτων είναι η μαθηματική έρευνα των νόμων από τούς οποίους εξαρτώνται τα τυχαία φαινόμενα. Ας δώσουμε κάποιους βασικούς ορισμούς: Ορισμοί: I. ΠΕΙΡΑΜΑ: Η παρατήρηση κάποιας δραστηριότητας ή μια διεργασία που παράγει μετρήσεις. II. ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΥΧΗΣ: Κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί πολλές φορές και του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. III. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ (ή Δειγματοχώρος: Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Συμβολίζεται με Δ ή Ω. IV. ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ: Ένα (ΑΠΛΟ ή περισσότερα (ΣΥΝΘΕΤΟ πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης. Λέγεται και ΓΕΓΟΝΟΣ και συμβολίζεται με Α, Β, κ.λ.π. Ο δειγματικός χώρος και τα ενδεχόμενα είναι σύνολα και έτσι ισχύουν μεταξύ τους οι ορισμοί και οι πράξεις των συνόλων. Για παράδειγμα: A B : Η τομή των Α και Β. A B : Η ένωση των Α και Β. A : Το συμπληρωματικό του Α. Αν για δύο σύνολα Α, Β ισχύει: A B = τότε αυτά λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα. Παράδειγμα. Δ Α Β A B Δ Α Β A B Δ Τα διαγράμματα Venn δείχνουν παραστατικά τις πράξεις αυτές. Ρίχνουμε ένα ζάρι και παρατηρούμε τον αριθμό των κουκίδων. Ο Δειγματικός χώρος είναι τότε: Δ={,,3,4,5,6} που είναι όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος. Ας δούμε τώρα ορισμένα ενδεχόμενα: i. Το ενδεχόμενο Εμφανίζεται άρτιος αριθμός είναι το Α={,4,6}. ii. Το ενδεχόμενο Εμφανίζεται αριθμός μεγαλύτερος από το είναι Β={3,4,5,6}. iii. Το ενδεχόμενο Δεν εμφανίζεται πρώτος αριθμός είναι Γ={,4,6}. iv. Το ενδεχόμενο Εμφανίζεται αριθμός μεγαλύτερος από το και πρώτος είναι B Γ. Δηλαδή: {3,4,5,6} {,3,5} = {3,5}. Παράδειγμα. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές και παρατηρούμε αν έφερε κεφαλή (Κ ή γράμματα (Γ. Ο Δειγματικός χώρος είναι: Δ={ΓΓΓ, ΓΓΚ, ΓΚΓ, ΓΚΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΚΚΚ}. i. Το ενδεχόμενο Εμφανίζεται κεφαλή στη δεύτερη ρίψη είναι Α={ΓΚΓ,ΚΚΓ,ΚΚΚ,ΓΚΚ}. ii. Το ενδεχόμενο Δεν εμφανίζεται κεφαλή είναι Β={ΓΓΓ} (απλό ενδεχόμενο. iii. ( A B ={ΓΓΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ} και A B ={ΓΓΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ}. Άρα ( A B = A B. Θα δούμε στις ασκήσεις ότι αυτή η σχέση ισχύει γενικά. Α A 5

ΙΙ. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Κατά καιρούς υπήρξαν διάφοροι ορισμοί της πιθανότητας. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι: Πιθανότητα είναι μια έκφραση του βαθμού βεβαιότητας για την εμφάνιση κάποιου ενδεχομένου. Εκφράζεται δε σαν ένας αριθμός από το 0 μέχρι και το. Δηλαδή ένα ενδεχόμενο που εμφανίζεται πάντα έχει πιθανότητα ενώ κάποιο ενδεχόμενο που δεν εμφανίζεται ποτέ έχει πιθανότητα 0. Ας δώσουμε τώρα κάποιους ορισμούς της πιθανότητας. I. ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ. Αν σε ένα Δειγματοχώρο Δ όλα τα απλά ενδεχόμενα έχουν την ίδια πιθανότητα να εμφανιστούν (οπότε ο Δ ονομάζεται ισοπιθανός τότε ορίζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Α σαν: N( A PA ( = = N( Δ Αριθμός Ευνοϊκών Αποτελεσμάτων Αριθμός Δυνατών Αποτελεσμάτων ( όπου Ν(Α το πλήθος όλων των στοιχείων του Α (αριθμός ευνοϊκών αποτελεσμάτων και Ν(Δ το πλήθος όλων των στοιχείων του Δ (αριθμός δυνατών αποτελεσμάτων. II. ΟΡΙΑΚΗ ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Επαναλαμβάνουμε ένα πείραμα ν φορές και ορίζουμε πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α σαν: PA ( = κ lim ν όπου κ οι ευνοϊκές εμφανίσεις ν III. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ. Έστω Δ δειγματικός χώρος. Ορίζουμε σαν πιθανότητα μια συνάρτηση Ρ η οποία ορίζεται για κάθε ενδεχόμενο του Δ ως εξής: a. Ρ(Δ= b. Ρ(Α 0 για κάθε ενδεχόμενο Α c. PA ( A A3 A4... = PA ( + PA ( + PA ( 3 + PA ( 4 +... όπου τα Α, Α, Α 3,... ασυμβίβαστα (ξένα μεταξύ τους ( A A = για i j i j IV. ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ. Βασίζεται σε υποκειμενική κρίση και δεν έχει επιστημονική αξία. Παράδειγμα κάποιος λέει: Η πιθανότητα να βρέξει αύριο είναι πολύ μικρή αν φυσάει σήμερα νοτιάς.. Ή κάποιος άλλος λέει: Είμαι σίγουρος ότι η ομάδα μου θα κερδίσει το αυριανό παιχνίδι 6

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ PA ( = PA ( PA ( B= 0 αν Α, Β ξένα. 3 PA ( B = PA ( + PB ( P( A B 4 Αν A B τότε PA ( PB ( ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΛΩΝ A ( B B = ( A B ( A B A ( B B = ( A B ( A B 3 ( A A = A A 4 ( A A = A A 5 A A =, A A = Δ ΙΙ. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Τα περισσότερα πειράματα με τα οποία θα ασχοληθούμε έχουν ισοπιθανούς δειγματικούς χώρους και ως εκ τούτου μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον ορισμό της κλασσικής πιθανότητας που δίνεται στη σελίδα 6. Δηλαδή N( A PA ( =. Βλέπουμε λοιπόν ότι για τον υπολογισμό N( Δ της πιθανότητας αρκεί να γνωρίζουμε το πλήθος των στοιχείων του Α και του Δ και όχι αυτά καθ αυτά τα στοιχεία τους. Αυτό είναι πολύ χρήσιμο στην περίπτωση που ο Δ περιέχει πάρα πολλά στοιχεία ( απλά ενδεχόμενα. Πρέπει όμως να βρούμε τρόπο να μετρήσουμε αυτά τα στοιχεία. Ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με αυτό το θέμα λέγεται συνδυαστική ανάλυση. Βασίζεται δε στην παρακάτω βασική αρχή: Έστω ότι κάποιος θέλει να ταξιδέψει από το Ηράκλειο στην Θεσσαλονίκη μέσω Αθηνών. Για το ταξίδι από Ηράκλειο Αθήνα μπορεί να πάει με αεροπλάνο(α ή πλοίο(π και από Αθήνα Θεσσαλονίκη με τραίνο(τ, λεωφορείο(λ ή αεροπλάνο(α. Οι διαδρομές που μπορεί να ακολουθήσει φαίνονται στο παρακάτω σχεδιάγραμμα (δεντροδιάγραμμα: η η φάση Το ταξίδι γίνεται λοιπόν σε δύο φάσεις. Η πρώτη Τ φάση είναι από Ηράκλειο Αθήνα και η δεύτερη από Α Λ Α Αθήνα Θεσσαλονίκη. Για κάθε διαδρομή της Αρχή πρώτης φάσης αντιστοιχούν τρεις διαδρομές για Π Τ Λ την δεύτερη φάση. Άρα το πλήθος των Α διαφορετικών διαδρομών του ταξιδιού είναι 3=6. Γενικά ισχύει η επόμενη βασική αρχή απαρίθμησης: 7

Αν μια διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί σε ν φάσεις φ,φ,...,φ ν και κάθε φάση μπορεί να πραγματοποιηθεί με κ,κ,...,κ ν τρόπους αντιστοίχως, τότε η διαδικασία μπορεί να ολοκληρωθεί με κ κ.. κ ν τρόπους. Ορισμοί: Μεταθέσεις: Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων παράταξης πραγμάτων σε ευθεία. Για ν διαφορετικά πράγματα ορίζουμε: M ν = ν! = ii3i4i iν. Το σύμβολο ν! (διαβάζεται σαν ν παραγοντικό ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς και εξ ορισμού 0!=. Κυκλικές Μεταθέσεις: Το πλήθος των διαφορετικών τρόπων παράταξης πραγμάτων σε κύκλο. Για ν πράγματα ορίζουμε: K ν = ( ν! = ii3i4 i i( ν Μεταθέσεις με επαναλήψεις: Αν πράγματα για κ από έως ρ, τότε ν = μ + μ + μ + + μ ' M ν 3 ρ ν! =. μ! i μ! i μ! i μ! ρ όπου μ κ ίδια μεταξύ τους Διατάξεις: Τρόποι παράταξης στη σειρά ν πραγμάτων ανά μ: Δ ν = ν! μ νν ( ( ν ( μ+ όπου μ ν ( ν μ! = 'ν Διατάξεις με επαναλήψεις: Αν κάθε πράγμα μπορεί να επαναληφθεί τότε: Δ μ = ν! Συνδυασμοί: Παράταξη ν πραγμάτων ανά μ χωρίς σειρά. ν ν =. μ ( ν μ! iμ! ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: i Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με τα ψηφία {,,3,4} χωρίς να χρησιμοποιηθεί ένα ψηφίο πάνω από μία φορά; Απάντηση: Εδώ έχουμε μεταθέσεις. Άρα Μ 4 = 4! = 3 4=4. ii Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί σχηματίζονται με τα ψηφία {,,3,3}; ' 4! 4 Απάντηση: Εδώ έχουμε μεταθέσεις με επαναλήψεις. M 4 = = = 6.! i! i iii Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άτομα γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι; Απάντηση: Έχουμε κυκλικές μεταθέσεις. Άρα K 4 = (4! = 3! = 6 iv Πόσες και ποιες είναι οι διατάξεις των {α,β,γ} ανά δύο; 3 3! Απάντηση: Δ = = 6. Αυτές είναι οι {αβ,αγ,βα,βγ,γα,γβ}. (3! v Η προηγούμενη ερώτηση με δυνατότητα επανάληψης του ίδιου γράμματος. 3 Απάντηση: Δ = 3 = 9. Αυτές είναι: {αα,αβ,αγ,ββ,βα,βγ,γγ,γα,γβ} vi Πόσα ζευγάρια μπορώ να σχηματίσω έχοντας άτομα; Απάντηση: Εφ όσον η σειρά στα ζευγάρια δεν παίζει ρόλο έχουμε συνδυασμούς. Άρα! i = 6 66 = = i =. (! i! i μ 8

ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΔΙΩΝΥΜΟΥ Οι συνδιασμοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό δυνάμεων ενός διωνύμου. Ο παρακάτω τύπος είναι απομνημονεύεται εύκολα και οι υπολογισμοί γίνονται γρήγορα. n n n n n n a+ b = a + a b+ a b + + ab + b ( n n n n n 0 n n (ΙΙ.. ΙΙ.3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Για το διοικητικό συμβούλιο μιας επιχείρησης θα εκλεγεί ένας αντιπρόσωπος των εργαζομένων. Υποψήφιοι είναι 4 άνδρες και 6 γυναίκες. Από τους υποψηφίους 6 άνδρες και γυναίκες είναι διοικητικοί υπάλληλοι, ενώ 8 άνδρες και 4 γυναίκες είναι τεχνικοί υπάλληλοι. Τα δεδομένα αυτά μπορούν να ταξινομηθούν στον παρακάτω πίνακα: Διοικητικός Τεχνικός Άθροισμα Άνδρας 6 8 4 Γυναίκα 4 6 Άθροισμα 8 30 Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α: «Να εκλεγεί τεχνικός» Β: «Να εκλεγεί άνδρας» Αν τα 30 στοιχεία του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα τότε Ρ(Α=/30 και Ρ(Β=4/30. Μετά την εκλογή γίνεται γνωστό ότι εξελέγη άνδρας. Τότε η πιθανότητα ο αντιπρόσωπος να είναι τεχνικός είναι 8/4. Αυτό το ενδεχόμενο ονομάζεται Να εκλεγεί τεχνικός με δεδομένο ότι έχει ήδη εκλεγεί άνδρας. Η πιθανότητα αυτή λέγεται δεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β και συμβολίζεται Ρ(Α/Β. Έχουμε δέ: Από την παραπάνω σχέση έχουμε: Με τον ίδιο τρόπο έχουμε: PA ( B PA ( / B = PB ( PA ( B PB ( / A = PA ( με PB ( 0 PA ( B = PA ( / BPB ( και PA ( B = PB ( / APA ( (ΙΙ.3. (ΙΙ.3. Ανεξάρτητα ενδεχόμενα: Δύο ενδεχόμενα Α, Β με PA ( 0 και PB ( 0 θα ονομάζονται ανεξάρτητα μεταξύ τους αν ισχύει: PB ( / A = P( B ή PA ( / B= PA (. Για ανεξάρτητα δεδομένα έχουμε από την ΙΙ.3. : PA ( B = PAPB ( ( Τρία ενδεχόμενα Α, Β, Γ είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους αν ισχύει: PA ( B = PAPB ( (, PA ( Γ = PAP ( ( Γ, PB ( Γ = PBP ( ( Γ και PA ( B Γ = PAPBP ( ( ( Γ. 9

ΙΙ.4 ΔΟΚΙΜΕΣ BERNOULLI Έστω δοκιμές (επαναλήψεις ενός αρχικού πειράματος οι οποίες έχουν σαν αποτέλεσμα είτε επιτυχία (Ε ή αποτυχία (Α. Θα ονομάζονται δοκιμές Bernoulli αν ισχύουν τα εξής: Η πιθανότητα επιτυχίας είναι σταθερή και ίδια για όλες τις δοκιμές Ρ(Ε=p. Οι δοκιμές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Αν κάνουμε ν δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας Ρ(Ε=p, η πιθανότητα να έχουμε ακριβώς κ επιτυχίες δίνεται από τον τύπο: ν ( ν B( ν, p, = p ( q, = 0,,,, ν (ΙΙ.4. με q= p Παράδειγμα ΙΙ.4. Ένα εργοστάσιο κατασκευάζει λαμπτήρες. Η πιθανότητα ένας λαμπτήρας να είναι ελαττωματικός είναι p = 0.. Δέκα λαμπτήρες διαλέγονται στην τύχη. Ποια η πιθανότητα κανένας από τους δέκα να μην είναι ελαττωματικός; Ποια η πιθανότητα οι μισοί να είναι ελαττωματικοί; 3 Ποια η πιθανότητα να είναι όλοι ελαττωματικοί; 4 Ποια η πιθανότητα ένας τουλάχιστον να είναι ελαττωματικός; Απάντηση Εδώ έχουμε p= 0., q= 0.9, ν = 0, = 0. Άρα από τη ΙΙ.4. B Τώρα = 5 οπότε 0 0 0 0 (0, 0., 0 = (0. (0.9 = 0.3487 B 0 5 5 5 (0, 0.,5 = (0. (0.9 = 0.05 0 0 0 0 3 Όλοι ελαττωματικοί σημαίνει = 0 Άρα B(0, 0.,0 = (0. (0.9 = 0 0 4 Το γεγονός ένας τουλάχιστον ελαττωματικός είναι το συμπληρωματικό του ενδεχομένου κανένας ελαττωματικός. Άρα η απάντηση είναι B(0, 0., 0 = 0.3487 = 0.453 30

ΙΙ.5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω ο δειγματοχώρος του παραδείγματος. Να εκφράσετε με την μορφή συνόλων τα παρακάτω ενδεχόμενα: a. Α={ Εμφανίζεται περιττός αριθμός} b. Β={ Εμφανίζεται πρώτος αριθμός} c. Γ={ Εμφανίζεται πολλαπλάσιο του } d. Ε={ Εμφανίζεται διαιρέτης του 6} Έστω ο δειγματοχώρος και τα ενδεχόμενα της άσκησης. Βρείτε τα παρακάτω ενδεχόμενα και μετά εκφράστε τις απαντήσεις σας με λόγια. a. A B b. A ( Γ E c. ( A Γ d. ( E B 3 Χρησιμοποιήστε διαγράμματα Venn για να δείξετε τις σχέσεις μεταξύ των συνόλων που δίνονται στην αρχή της σελίδας 7. 4 Έστω δειγματικός χώρος του Παραδείγματος. Βρείτε τα εξής ενδεχόμενα: a. Α={ Κεφαλή στη πρώτη ρίψη}. b. Β={Γράμματα στη τρίτη ρίψη} c. Γ= { Όχι κεφαλή στην πρώτη, ούτε γράμματα στην τρίτη ρίψη} d. Ε={ Είτε δύο γράμματα ακριβώς ή τρεις κεφαλές}. 5 Στην παραπάνω άσκηση 4 υπολογίστε τα : a. A B b. A B c. ( A B d. E e. A ( B Γ 6 a. Με διαγράμματα Venn δείξτε ότι: A= ( A B ( A B. b. Δείξτε τώρα (χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των πιθανοτήτων ότι PA ( B' = PA ( PA ( B. 7 Υπολόγισε την πιθανότητα των ενδεχομένων που εμφανίζονται στις ασκήσεις -5 θεωρώντας ότι οι δειγματικοί χώροι είναι ισοπιθανοί. 8 Ρίχνουμε τρία νομίσματα στη σειρά και παρατηρούμε πόσες φορές φέραμε γράμματα. a. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος Δ; Είναι ο Δ ισοπιθανός; b. Υπολόγισε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων. c. Ισχύουν οι ιδιότητες των πιθανοτήτων; 9 Δείξτε ότι: PA ( B Γ = PA ( + PB ( + P( Γ PA ( B PA ( Γ PB ( Γ + PA ( B Γ 3

PA ( ' 3 0 Αν =, να βρείτε τα Ρ(Α, Ρ(Α. PA ( 8 Κάποιος ρίχνει ένα νόμισμα μέχρις ότου φέρει γράμματα. a. Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος; b. Έστω p [0,] και θέτουμε P({ Γ } = p, P({ KΓ } = p( p, P KKΓ = p p ({ } (,... Ορίζουμε έτσι μια πιθανότητα; Έστω Δ= { E, E } διμελής δειγματοχώρος και p [0,]. Οι σχέσεις P( Δ = P( E = p, P( E = p, ορίζουν μια πιθανότητα; 3 Να δοθεί ο δειγματοχώρος που αντιστοιχεί στην ταυτόχρονη ρίψη ενός νομίσματος και ενός ζαριού. a. Βρείτε τα ενδεχόμενα: Α={ να εμφανισθεί κεφαλή και ένας άρτιος} Β={ να εμφανισθεί ένας πρώτος} και Γ={να εμφανισθεί γράμματα και ένας περιττός}. b. Εκφράστε τα παρακάτω ενδεχόμενα: {Να συμβεί το Α ή το Β}, {Να συμβεί το Β και το Γ} και {Να συμβεί μόνο το Β}. c. Ποια από τα Α, Β, Γ είναι ξένα μεταξύ τους. d. Να υπολογίσετε την αντίστοιχη πιθανότητα των γεγονότων στις παραπάνω ερωτήσεις. 4 Ένα ζάρι είναι έτσι κατασκευασμένο ώστε ο εμφανιζόμενος αριθμός να έχει πιθανότητα εμφάνισης ανάλογη με τον εαυτό του. (Ο 3 έχει τριπλάσια πιθανότητα από τον. Έστω Α={άρτιος}, Β={πρώτος}, Γ={περιττός}. a. Να βρεθεί η πιθανότητα κάθε αριθμού. b. Να βρεθούν τα Ρ(Α, Ρ(Β και Ρ(Γ. c. Να βρεθεί η πιθανότητα εμφάνισης i ενός άρτιου ή πρώτου. ii ενός περιτού πρώτου και iii του Α και όχι του Β. 5 Δύο παίκτες παίζουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που πρώτος θα κερδίσει δύο παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο ένας παίχτης ένα παιχνίδι και β το αποτέλεσμα να κερδίσει ο άλλος ένα παιχνίδι ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος. 6 Αν 0 < PA ( < να αποδείξετε ότι + 4. PA ( PA ( ' 7 Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Δ να δείξετε ότι PB ( PA ( ' PA ( B. 8 Πόσους εξαψήφιους αριθμούς πολλαπλάσια του 5 μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία {,,3,4,5,6} αν τα ψηφία του αριθμού είναι διαφορετικά. 9 Με πόσους τρόπους 3 ταξιδιώτες μπορούν να διαμείνουν σε 5 ξενοδοχεία μιας πόλης; 3

0 Σε ένα τουρνουά σκάκι παίρνουν μέρος 0 παίκτες. Κάθε παίκτης πρέπει να παίξει μια φορά μόνο με κάθε άλλο. Πόσοι αγώνες θα γίνουν. Από μια τράπουλα με 5 χαρτιά παίρνουμε τυχαία 6. Ποια η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινα και 4 μαύρα χαρτιά; Πέντε παίκτες σκέπτονται ένα ακέραιο αριθμό από 0 έως 9. Ποια η πιθανότητα δύο τουλάχιστον να σκέπτονται τον ίδιο αριθμό; 3 Να βρεθεί η πιθανότητα μεταξύ 5 μαθητών, δύο τουλάχιστον να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα; 4 Πόσες είναι οι διαγώνιοι ενός κανονικού ν-γώνου; 5 Ποια η πιθανότητα στο παιχνίδι ΛΟΤΤΟ (διαλέγουμε 6 αριθμούς από 49 να πετύχουμε 4 ακριβώς νούμερα παίζοντας μία στήλη. 6 Πόσες διαφορετικές «λέξεις» μπορούμε να σχηματίσουμε από τα γράμματα της λέξης «γράμματα»; 7 Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί φτιάχνονται από τα ψηφία {,3,5,6,7,9}; Πόσοι από αυτούς είναι μεγαλύτεροι του 400; Πόσοι είναι πολλαπλάσια του 3; Πόσοι είναι άρτιοι; 8 Αναπτύξτε τα διώνυμα: α ( y 5 + β 6 ( y γ (3 y 4. 9 Ρίχνουμε δύο ζάρια. Αν το άθροισμα των αποτελεσμάτων είναι 6 ποια η πιθανότητα το ένα ζάρι να έχει φέρει ; 30 Ένα κιβώτιο περιέχει αντικείμενα από τα οποία τα 4 είναι ελαττωματικά. Τρία ανασύρονται στην τύχη το ένα μετά το άλλο. Ποια η πιθανότητα και τα τρία να μην είναι ελαττωματικά; 3 Αν PA ( = /, PB ( = /4 και PA ( / B= 4/5 υπολογίστε τα: PA ( ', PA ( B, και PA ( B. 3 Αν PA ( = 8/5, PA ( B = /3 και PA ( / B= 4/7 υπολογίστε τα: PB (, PB ( / A, και PB ( / A' 33 Ένας παίχτης Α του τένις έχει πιθανότητα /3 να κερδίσει ένα σετ από τον παίχτη Β. Τον αγώνα κερδίζει ο παίχτης που πρώτος θα κερδίσει τρία σετ. Βρείτε την πιθανότητα ο Α να κερδίσει τον Β. 34 Δείξτε ότι αν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα τότε είναι ανεξάρτητα και τα Α και Β. 35 Το κουτί Ι περιέχει 5 κόκκινες, 4 άσπρες και 7 κίτρινες σφαίρες. Το κουτί ΙΙ περιέχει 4 κόκκινες και 6 άσπρες σφαίρες. Ρίχνουμε δύο ζάρια και αν φέρουν «διπλές» παίρνουμε μια σφαίρα από το κουτί Ι αλλιώς παίρνουμε μία σφαίρα από το κουτί ΙΙ. Να βρείτε την πιθανότητα: a. Η σφαίρα να είναι κόκκινη 33

b. Να είναι κίτρινη c. Αν είναι κόκκινη να προέρχεται από το κουτί Ι. d. Αν είναι άσπρη να προέρχεται από το κουτί ΙΙ. 36 Πόσες φορές πρέπει να ρίξουμε το ζάρι ώστε με πιθανότητα 99% να φέρουμε ένα τουλάχιστον εξάρι; 37 Η πιθανότητα ένα εξάρτημα που κατασκευάζεται σε κάποιο εργοστάσιο να είναι ελαττωματικό είναι 3%. Αν πάρουμε ένα δείγμα 0 εξαρτημάτων, a. Ποια η πιθανότητα να μην είναι κανένα ελαττωματικό; b. Ποια η πιθανότητα να είναι όλα ελαττωματικά; c. Ποια η πιθανότητα να είναι τουλάχιστον ελαττωματικά; 34