5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση του ορισµού α ν, ν N αριθµητική πρόοδος α ν+ α ν + ω για κάθε ν N α ν+ α ν ω 3. Τύπος του ν-οστού όρου : α ν α + (ν )ω 4. Συνθήκη του αριθµητικού µέσου Οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν β Ο β λέγεται αριθµητικός µέσος των α και γ α+γ 5. Άθροισµα ν διαδοχικών όρων S ν ( α +α ) ν ν ή S ν α + ν ων, [ ( ) ] για κάθε ν N
ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ. Πότε θεωρείται γνωστή µια αρ. πρόοδος Όταν γνωρίζουµε τον όρο α και τη διαφορά ω.. Η διπλή σηµασία του συµβόλου α ν Συµβολίζει την αρ.πρόοδο α ν ή το ν-οστό όρο. Εξαρτάται από τα συµφραζόµενα. 3. Παρατήρηση. Καθένας από τους τύπους α ν α + (ν )ω και S ν περιέχει τέσσερις µεταβλητές. [ α + ( ν ) ων ] Αν γνωρίζουµε τις τρεις, µπορούµε να βρίσκουµε την τέταρτη λύνοντας την εξίσωση. 4. Μέθοδος Μετατρέπουµε τις υποθέσεις του προβλήµατος σε εξισώσεις και λύνουµε το σύστηµα 5. Μέθοδος α) Για άρτιο πλήθος όρων, θεωρούµε τους x 3ω, x ω, x + ω, x + 3ω.. Εδώ η διαφορά της προόδου είναι ω β) Για περιττό πλήθος όρων, θεωρούµε τους x ω, x ω, x, x + ω, x + 3ω Εδώ η διαφορά της προόδου είναι ω
3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Σε µία αριθµητική πρόοδο το άθροισµα των ν πρώτων όρων είναι Α, το άθροισµα των ν πρώτων όρων είναι Β και των 3ν πρώτων όρων είναι Γ. είξτε ότι 3Α 3Β + Γ 0 Έχουµε S ν Α, S ν Β και S 3ν Γ 3Α 3Β + Γ 3S ν 3S ν + S 3ν [ ( ) ] [ ( ) ] [ (3 ) ]3 3 α + ν ων 3 α + ν ω ν + α + ν ω ν 3 {[α + (ν )ω] [α + (ν )ω] + [α + (3ν )ω]} ν 3 {α + νω ω 4α 4νω + ω + α + 3νω ω} ν 3 0 0 ν
4. Αν οι αριθµοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, δείξτε ότι α β γ α β α i) β γ γ ii) Οι αριθµοί α β + α γ, β γ + α β, α γ + β γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου i) Οι,, α β γ αποτελούν αριθµητική πρόοδο Απαλλασσόµαστε από τον α ή τον β ή τον γ + β α γ αγ βγ + αβ αγ β(γ + α) β αγ α+γ () α β β γ () αγ α α+γ αγ γ α+γ α αγ αγ γ α( α γ) γ( α γ) α γ ii) α β + α γ, β γ + α β, α γ + γ β αριθµητική πρόοδος (β γ + α β) α β + α γ + α γ + γ β β γ + α β α β +α γ + γ β βγ + αβ αγ β(γ + α) αγ αγ β α+γ που ισχύει από την ().
5 3. Αν οι θετικοί αριθµοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου να δείξετε ότι το ίδιο συµβαίνει και για τους αριθµούς, β+ γ γ+ α, α+ β Αφού οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου β α + γ και β α γ β ω Για να ισχύει το ζητούµενο αρκεί γ+ α β+ γ + α+ β ( γ α) γ β β α ( γ + α)( γ α ) ( β+ γ)( γ β ) + ( α + β)( β α) ( γ α) γ α γ β γ β + β α β α ( γ α) ω γ β ω + β α ω γ α γ β + β α η οποία είναι προφανής 4. Αν οι αριθµοί α, β, γ, δ αποτελούν αριθµητική πρόοδο, δείξτε ότι το ίδιο συµβαίνει και για τους αριθµούς,,, βγδ γδα δαβ αβγ Η υπόθεση δίνει β α + γ και γ β + δ Για να ισχύει το ζητούµενο αρκεί γδα βγδ + δαβ και δαβ γδα + αβγ (απαλοιφή παρανοµαστών) β α + γ και γ β + δ που ισχύουν
6 5. Σε µια ακολουθία (α ν ), για κάθε ν N ισχύει α ν 4 5ν. Να δείξτε ότι η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος. Για κάθε ν N είναι α ν+ α ν 4 5(ν + ) 4 + 5ν 5 Άρα η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος. 6. Σε µια αριθµητική πρόοδο, το άθροισµα των ν πρώτων όρων ισούται µε 3ν + ν για κάθε ν N i. Να βρεθεί η πρόοδος. [α (ν )ω]ν Ισχύει S ν + ίνεται S ν 3ν + ν για κάθε ν N i Άρα [ ( ) ] α + ν ων 3 ν +ν α ν + (ν )ων 6ν + ν α ν + ν ω ων 6ν + ν για κάθε ν N i Αναζητάµε τον α και τη διαφορά ω για κάθε ν i N ων + ( α ω) ν 6ν + ν ω 6 και α ω ω 6 και α 6 ω 6 και α 8 ω 6 και α 4 Θυµήσου την ισότητα των πολυωνύµων
7 7. Το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας ακολουθίας είναι 3ν + ν για κάθε ν N. i) Να βρείτε το S ν- ii) Να βρείτε τον ν-οστο όρο iii) είξτε ότι η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος i) S ν- 3(ν ) + (ν ) 3ν 5ν + ii) S ν α + α + α 3 +.+ α ν- + α ν S ν (α + α + α 3 + + α ν- ) + α ν S ν S ν- + α ν iii) α ν+ α ν 6(ν + ) 6ν + 6 α ν S ν S ν- α ν (3ν + ν) (3ν 5ν + ) α ν 6ν οπότε η ακολουθία είναι αριθµητική πρόοδος µε ω 6 και α 6 4 8. Να βρείτε τις τιµές των α και β ώστε οι αριθµοί β α αβ, β, αβ β α β µε την σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Πρέπει και αρκεί β β β α αβ + αβ α β β β α αβ + β αβ α β αβ α α β + β α α β + β α αβ + α 0 β (α + α) (α + α) 0 (α + α)( β ) 0 (α ) ( β ) 0 α ή β ή β
8 9. Μεταξύ των αριθµών και µ να παρεµβάλετε µ το πλήθος αριθµούς, έτσι ώστε να προκύπτει αριθµητική πρόοδος. Έστω x, x, x 3,,x µ οι παρεµβαλλόµενοι αριθµοί. Τότε η ακολουθία, x, x, x 3,,x µ, µ είναι αριθµητική πρόοδος µε α, πλήθος όρων µ + και α µ+ µ. Αν ω είναι η διαφορά της προόδου, τότε α µ+ α + (µ + )ω µ + (µ + )ω ω µ µ+ ( µ )( µ+ ) ω µ+ ω µ Άρα x + ω + µ µ, x x + ω µ + µ µ.. x µ x + (µ )ω µ + (µ )(µ ) µ + µ µ + µ µ +
9 0. Αριθµητικής προόδου δίνεται ότι α 9 5 και S 65. Να βρείτε το άθροισµα 9 5 S 65 α + α 4 + α 6 + + α 30 + 8ω 5 α + ω [ ] 65 5 8ω ( α + ω )6 65 5 8ω α + 66 ω 65 5 8ω (5 8 ω ) + 66ω 65 5 8ω 80 96ω+ 66ω 65 5 8ω 30 ω 5 5 8ω ω α 5 8 ω α + 3, α 4 + 3 5, α 6 + 5 7 ω Το ζητούµενο άθροισµα είναι άθροισµα των όρων αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 3, διαφορά ω και πλήθος όρων 5. 3 [ + 4 ]5 Άρα S [3+ 4]5 555 κλπ
0. Σε µία περιοχή το µέγιστο ύψος των οικοδοµών είναι 30µ και το ελάχιστο ύψος κάθε ορόφου,90µ. Πόσους το πολύ ορόφους µπορούµε να φτιάξουµε αν θέλουµε ο ος όροφος να είναι υπερυψωµένος κατά µ από το έδαφος ; Είναι φανερό ότι το καθαρό ύψος της οικοδοµής θα είναι το πολύ 9 µέτρα. Εποµένως ο τελευταίος όροφος θα πρέπει να βρίσκεται σε ύψος µικρότερο ή ίσο των 9 µέτρων Το ύψος κάθε ορόφου από το έδαφος δίνεται από τον αντίστοιχο όρο της αριθµητικής προόδου µε πρώτον όρο α,90 και διαφορά ω,90. Αν ν είναι το πλήθος των ορόφων που µπορούµε να χτίσουµε τότε θα πρέπει α ν 9 α + (ν )ω 9,90 + (ν ),90 9 + (ν ) 0 ν 0 Άρα το πολύ 0 ορόφους µπορούµε να χτίσουµε. Να δείξετε ότι αν τα µήκη των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου τότε είναι ανάλογα των αριθµών 3, 4 και 5. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε υποτείνουσα α ΒΓ και β < γ. β, γ, α διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου µε διαφορά ω γ β + ω και α γ + ω () Πυθαγόρειο α β + γ ( ) (γ + ω) (γ ω) + γ γ + γω+ω γ γω + ω + γ γ 4γω 0 γ(γ 4ω) 0 γ 4ω 0 αφού γ > 0 γ 4ω () 4ω β + ω και α 4ω + ω β 3ω και α 5ω β ω και 3 5 β γ α Από τις () και (3) 3 4 5 α ω (3) οπότε και γ ω () 4
3. Τρεις αριθµοί είναι ανάλογοι των, 5 και 7 Αν ο ος ελαττωθεί κατά 7,οι τρείς αριθµοί γίνονται διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.να βρείτε τους αριθµούς. x Οι υποθέσεις γίνονται y 5 z µ και x, y 7, z αρ. πρόοδος 7 () ( ) (5µ 7) µ +7µ x µ και y 5µ και z 7µ () και (y 7) x + z () 0µ 4 9µ µ 4 () x 8, y 70, z 98 4. Αν οι αριθµοί α, β, 5 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και το πολυώνυµο Ρ(x) α 3 x 3 (α )x (β+)x + 3α + 3 έχει µία ρίζα το να βρείτε τις άλλες ρίζες αυτού. Θα είναι β α + 5 () και Ρ() 0 () β + 5 β 3 α 3 (α ) (β + ) + 3α + 3 0 α 3 β + α + 3 0 λόγω της () α 3 (α + 5) + α + 3 0 α 3 + α 0 (Horner για α ) (α )(α + α + ) 0 ( < 0) α 0 α Το πολυώνυµο γίνεται Ρ(x) x 3 7x + 6 (Horner για x ) Ρίζες : Ρ(x) 0 (x )(x + x 6) 0 Ρ(x) (x )(x + x 6) x 0 ή x + x 6 0 x ή x ή x 3
5. Να λυθεί η εξίσωση (x + ) + (x + 5) + (x + 8) + + (x + 9 ) 65 Το πλήθος των παρενθέσεων είναι όσο και το πλήθος των όρων της αριθµητικής προόδου, 5, 8,..., η οποία έχει α, ω 3 και α ν 9 Αλλά α ν α + (ν )ω 9 + (ν ) 3 9 + 3ν 3 30 3ν ν 0. Άρα οι παρενθέσεις είναι 0 [α + 9 ω]0 Το άθροισµα + 5 + 8 +..+ 9 είναι S 0 [ + 9 3]0 55 Η εξίσωση x + x + x+ + x + + 5 + 8 + + 9 65 0x + 55 65 0x 0 x 6. Να λυθεί η εξίσωση + 7 + 3 + + x 80, όπου οι όροι του αθροίσµατος αποτελούν αρ. πρόοδο. Είναι α και διαφορά ω 6 Αν ν είναι το πλήθος των όρων, τότε S ν 80 [ α + ( ν ) ων ] 80 [ + ( ν ) 6] ν 80 ( + 6ν 6)ν 560 (6ν 4)ν 560 6ν 4ν 560 0 3ν ν 80 0 4 + 80 4 + 3360 3364 ν ± 3364 6 ± 58 6 0 ή 56 6 Άρα x α 0 α + 9ω + 54 55