ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΧΟΛΗ ΘΕΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΙΑΚΗ ΕΡΕΤΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ηαηηζηηθή ζπκπεξαζκαηνινγία (ζύγθξηζε δύν δεηγκάησλ) (ζρέζε δύν κεηαβιεηώλ) Επιμέλεια : Ελεςθεπίος Μ. & Σκοςπκέαρ Αν. Υποσπεωτικό μάθημα 4 ος εξαμήνος Έιεγρνο ππνζέζεσλ γηα ηε δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκώλ δύν πιεζπζκώλ : ή : ή Μνλόπιεπξνο έιεγρνο Γίπιεπξνο ή ακθίπιεπξνο έιεγρνο : : ή Ση πξέπεη λα πξνζέμνπκε πξηλ ηελ εθαξκνγή νπνηνπδήπνηε ειέγρνπ Δάλ ηα δείγκαηα πνπ ζπιιέγνπκε, είλαη αλεμάξηεηα ή εμαξηεκέλα Δάλ ηθαλνπνηείηαη ε ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο Δάλ ηθαλνπνηείηαη ε ππόζεζεο ηεο ηζόηεηαο ησλ δηαθπκάλζεσλ 2 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 1

2 Αλεμάξηεηα & Δμαξηεκέλα δείγκαηα Αλεμάξηεηα δείγκαηα ζεσξνύληαη εθείλα πνπ πξνέξρνληαη από δηαθνξεηηθνύο πιεζπζκνύο ή από ηνλ ίδην πιεζπζκό αιιά πεξηέρνπλ δηαθνξεηηθά ππνθείκελα Π.ρ. : ε αμηνιόγεζε κηαο νκάδαο θνηηεηώλ θαη κηαο νκάδαο θνηηεηξηώλ ζε έλα κάζεκα. Δμαξηεκέλα δείγκαηα ζεσξνύληαη εθείλα πνπ πξνέξρνληαη από ηνλ ίδην πιεζπζκό θαη πεξηέρνπλ ηα ίδηα ππνθείκελα. Π.ρ. : ε αμηνιόγεζε κηαο νκάδαο θνηηεηώλ ζε έλα κάζεκα πνπ δηδάρζεθαλ γηα έλα δηάζηεκα κε ηνλ παξαδνζηαθό ηξόπν (ηεζη 1) θαη ζηε ζπλέρεηα κε ηε ρξήζε λέσλ ηερλνινγηώλ (ηεζη 2). Έιεγρνο θαλνληθόηεηαο ησλ δύν δεηγκάησλ Δάλ ηα δείγκαηα καο έρνπλ κέγεζνο >30, κπνξνύκε κε επηθύιαμε λα δερηνύκε ηελ ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο ρσξίο λα πξνβνύκε ζε θάπνηνλ έιεγρν, αλ θαη ν έιεγρνο. Δάλ ηα δείγκαηα καο έρνπλ κέγεζνο <30, ππνρξεσηηθά ζα πξέπεη λα εθαξκόζνπκε έλα από ηα θξηηήξηα γηα ηνλ έιεγρν ηεο θαλνληθόηεηαο (κάζεκα 4 ν ) θαη λα απνθαζίζνπκε εάλ ζα αθνινπζήζνπκε παξακεηξηθό ή κε παξακεηξηθό έιεγρν γηα ηε δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ πιεζπζκώλ. 3 Έιεγρνο ηζόηεηαο δηαθπκάλζεσλ Δίλαη έλαο έιεγρνο πνπ εμεηάδεηαη ζηελ πεξίπησζε ησλ αλεμάξηεησλ δεηγκάησλ θαη αλαθέξεηαη ζηελ ηζόηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ (δηαζπνξώλ) ησλ δύν δεηγκάησλ. Αλάινγα κε ην απνηέιεζκα απηνύ ηνπ ειέγρνπ, επηιέγεηαη θαη ν θαηάιιεινο έιεγρνο γηα ηε δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν πιεζπζκώλ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Έρνπκε κεηξήζεη 24 δηαθνξεηηθέο κπαηαξίεο σο πξνο ηελ δηάξθεηα δσήο ηνπο. Οη κπαηαξίεο απηέο αλήθνπλ ζε 2 δηαθνξεηηθέο εηαηξίεο (κάξθεο). Παίδεη ξόιν ε κάξθα ηεο κπαηαξίαο ζηε κέζε δηάξθεηα δσήο ηεο; Δηζαγσγή ζην PASW 4 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 2

3 Αθνύ αλαθεξόκαζηε ζε δηαθνξεηηθά ππνθείκελα, πξέπεη λα ηνπνζεηήζνπκε ηε δηάξθεηα δσήο ζε δηαθνξεηηθέο γξακκέο ζρεκαηίδνληαο κηα κεηαβιεηή πνζνηηθή ηε life πνπ ζα έρεη 24 ηηκέο θαη κηα πνηνηηθή ηε marka πνπ ζα έρεη δύν ηηκέο ηε 1 : γηα ηε κάξθα Α & ηελ ηηκή 2 : γηα ηε κάξθα Β. Έιεγρνο θαλνληθόηεηαο Δθαξκόδνληαο έλα από ηα θξηηήξηα ηνπ 4 νπ καζήκαηνο, πρ θξηηήξην Kolmogorov-Smirnov & Shapiro-Wilk κέζσ ηεο Explore-Plots-Normality Plots with tests Απνζεθεύζηε ην αξρείν πνπ δεκηνπξγήζαηε κε ην όλνκα battary1 ή αλνίμηε ην έηνηκν αξρείν battary.sav. p-value>0.05, νπόηε κεγάιν ην ιάζνο αλ απνξξίςσ ηελ Ην, επνκέλσο δέρνκαη ηελ ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο. 5 Δπνκέλσο, ιόγσ ηεο ππόζεζεο ηεο θαλνληθόηεηαο κπνξώ λα εθαξκόζσ έλα παξακεηξηθό έιεγρν ππόζεζεο γηα ηε ζύγθξηζε ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν πιεζπζκώλ Οπηηθόο έιεγρνο γηα ηελ ηζόηεηα ησλ κέζσλ ηηκώλ δύν αλεμάξηεησλ δεηγκάησλ. Graphs Legacy Dialogs Error bar Simple 6 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 3

4 Γηα θάζε κία κάξθα δεκηνπξγείηαη ην 95% δ.ε. γηα ηε κέζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο, δειαδή ηε κέζε δηάξθεηα δσήο ηεο κπαηαξίαο. Αλ ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζύλεο επηθαιύπηνληαη πεξηκέλνπκε λα κελ απνξξηθζεί ε Ην, δειαδή λα ηζρύεη κ 1 =κ 2. ηαηηζηηθόο έιεγρνο γηα ηελ ηζόηεηα ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν πιεζπζκώλ. (αλεμάξηεηα) Analyze Compare Means Independent Samples T-test : : ηαηηζηηθόο έιεγρνο γηα ηελ ηζόηεηα ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν πιεζπζκώλ. (αλεμάξηεηα δείγκαηα) Υξεζηκόηεηα ηεο θσδηθνπνίεζεο 8 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 4

5 Απνηειέζκαηα : : Η ηηκή p-value είλαη κεγαιύηεξε ηνπ 0.05, νπόηε κεγάιν ην ιάζνο πνπ θάλνπκε εάλ απνξξίςνπκε ηελ Ην θαη έηζη δελ ηελ απνξξίπηνπκε ή θαιύηεξα δελ έρνπκε επαξθή δεδνκέλα γηα λα ηελ απνξξίςνπκε. 9 Απνηειέζκαηα Αθνύ ηζρύεη όηη νη δηαθπκάλζεηο είλαη άληζεο, ρξεζηκνπνηνύκε ηα απνηειέζκαηα ηεο πξώηεο ζεηξάο γηα ηελ εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ. Η p-value (γηα δίπιεπξν έιεγρν) είλαη κηθξόηεξε ηνπ 0.05, νπόηε απνξξίπηνπκε ηελ Ην, δειαδή έρνπκε άληζεο κέζεο ηηκέο, νπόηε παίδεη ξόιν ε κάξθα ζηε κέζε δηάξθεηα δσήο ηεο κπαηαξίαο. ην δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο δελ ππάξρεη ηηκή 0 θαη κάιηζηα κ 1 -κ 2 >0, νπόηε κ 1 >κ 2. Αλ ζέινπκε κνλόπιεπξν ζηαηηζηηθό έιεγρν, ηόηε ε Η1 : κ1>κ2, αθνύ t>0 θαη ζηνλ πίλαθα απνηειεζκάησλ ζεσξνύκε σο sig (1-tailed) = sig (2-tailed)/2 10 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 5

6 ηαηηζηηθόο έιεγρνο γηα ηελ ηζόηεηα ησλ κέζσλ ηηκώλ δύν πιεζπζκώλ. (εμαξηεκέλα δείγκαηα- δεπγαξσηέο παξαηεξήζεηο) ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γίλεηαη ε πνζόηεηα κηαο νξκόλεο πνπ βξίζθεηαη ζην αίκα 10 αζζελεηώλ πξηλ θαη κεηά ηε ρνξήγεζε κηαο ζεξαπείαο. Μεηέβαιιε ε ζεξαπεία ηε κέζε πνζόηεηα νξκόλεο ησλ αζζελώλ; αξρείν endorph.sav Δηζαγσγή ζην PASW Αθνύ αλαθεξόκαζηε ζηα ίδηα ππνθείκελα, πξέπεη λα ηνπνζεηήζνπκε ηα άηνκα ζηελ ίδηα γξακκή, δειαδή γηα θάζε άηνκν ζα έρνπκε δύν ηηκέο ηεο πνζόηεηαο ηεο νξκόλεο (πξηλ θαη κεηά ηε ζεξαπεία). 11 Έιεγρνο θαλνληθόηεηαο Δθαξκόδνληαο έλα από ηα θξηηήξηα ηνπ 4 νπ καζήκαηνο, πρ θξηηήξην Kolmogorov- Smirnov & Shapiro-Wilk κέζσ ηεο Explore-Plots-Normality Plots with tests p-value>0.05, νπόηε κεγάιν ην ιάζνο αλ απνξξίςσ ηελ Ην, επνκέλσο δέρνκαη ηελ ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο. πλεπώο, κπνξώ λα εθαξκόζσ παξακεηξηθό έιεγρν γηα ηε ζύγθξηζε ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν πιεζπζκώλ θαη ζηελ πεξίπησζε ησλ εμαξηεκέλσλ δεηγκάησλ. 12 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 6

7 : : «Πηάλνπκε» θαη ηηο δύν ελδηαθεξόκελεο κεηαβιεηέο καδί θαη ηηο εηζάγνπκε σο δεύγνο. 13 Απνηειέζκαηα Η p-value (γηα δίπιεπξν έιεγρν) είλαη κηθξόηεξε ηνπ 0.05, νπόηε απνξξίπηνπκε ηελ Ην, δειαδή έρνπκε άληζεο κέζεο ηηκέο, νπόηε ππήξμε κεηαβνιή ηεο πνζόηεηαο από ηελ επίδξαζε ηεο ζεξαπείαο. 14 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 7

8 Με παξακεηξηθνί έιεγρνη ππνζέζεσλ γηα ηε ζύγθξηζε ησλ κέζσλ ηηκώλ δύν πιεζπζκώλ Αλεμάξηεηα δείγκαηα : Κξηηήξηα ησλ Kolmogorov Smirnov & ησλ Mann - Whitney Οη κε παξακεηξηθνί έιεγρνη ππνζέζεσλ κπνξνύλ λα εθαξκνζηνύλ ρσξίο θακία ππόζεζε γηα ηελ θαλνληθόηεηα ησλ δεηγκάησλ ή εάλ θάλνπκε έιεγρν θαη παξαβηαζηεί ε ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο ηνπ δείγκαηνο ή ησλ δεηγκάησλ. Με ηνπο κε παξακεηξηθνύο ειέγρνπο : Διέγρνπκε αλ δπν αλεμάξηεηα δείγκαηα( X 1, X n ) θαη (Y 1, Y n ) πξνέξρνληαη από ηελ ίδηα θαηαλνκή. Διέγρνπκε δειαδή, γηα 2 νκάδεο αλ είλαη νη παξόκνηεο ή δηαθνξεηηθέο. Δίλαη ην κε παξακεηξηθό αληίζηνηρν ηνπ ειέγρνπ γηα ηελ δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκώλ γηα δύν αλεμάξηεηα δείγκαηα. : F x G x : F x G x Αλνίμηε ην αξρείν salary.sav θαη απαληήζηε ζην εξώηεκα αλ είλαη ίδηα ν κηζζόο γηα ηνπο άληξεο θαη ηηο γπλαίθεο; (αλεμαξηεζία ;) 15 Από ηνλ έιεγρν θαλνληθόηεηαο γηα ηε κεηαβιεηή salbeg ηνπ αξρείνπ salary.sav πξνθύπηεη : Οη ηηκέο p-values είλαη <0.05, νπόηε παξαβηάδεηαη ε ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο, επνκέλσο ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε κε παξακεηξηθό έιεγρν γηα ηε ζύγθξηζε ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ. 16 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 8

9 Απνηειέζκαηα Οη p-values (γηα δίπιεπξν έιεγρν) είλαη κηθξόηεξεο ηνπ 0.05, νπόηε απνξξίπηνπκε ηελ Ην, δειαδή έρνπκε άληζεο κέζεο ηηκέο, νπόηε ππάξρεη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά ζηνπο κηζζνύο ησλ αλδξώλ θαη ησλ γπλαηθώλ ζηνλ πιεζπζκό καο. 17 Δμαξηεκέλα δείγκαηα : Κξηηήξηα ηνπ Wilcoxon & ηνπ πξόζεκνπ (Sign Test) Διέγρνπκε γηα 2 νκάδεο (εμαξηεκέλα δείγκαηα) αλ είλαη νη παξόκνηεο ή δηαθνξεηηθέο. Δίλαη ην κε παξακεηξηθό αληίζηνηρν ηνπ ειέγρνπ γηα ηελ δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκώλ γηα δύν εμαξηεκέλα δείγκαηα (δεπγαξσηέο παξαηεξήζεηο). : d : d Όπνπ d είλαη ε δηάκεζνο ησλ δηαθνξώλ xi-yi, i=1,2,,n. ΠΡΟΒΛΗΜΑ Η ζπλήζεο κέζνδνο ρξνλνιόγεζεο ησλ αξραηνινγηθώλ επξεκάησλ είλαη απηή πνπ βαζίδεηαη ζηνλ άλζξαθα 14 θαη ζεσξείηαη ηδηαίηεξα αθξηβήο. Έλαο θνηηεηήο ηνπ παλεπηζηεκίνπ καο ηζρπξίδεηαη πσο αλαθάιπςε κηα λέα κέζνδν ρξνλνιόγεζεο ιηγόηεξν δαπαλεξή από απηήλ ηνπ άλζξαθα 14. Ωζηόζν γηα λα ηελ θνηλνπνηήζεη ζηελ επηζηεκνληθή θνηλόηεηα ζέιεη λα είλαη ζίγνπξνο γηα ηελ αμηνπηζηία ηεο. Γηα ηνλ ιόγν απηόλ επέιεμε 15 αξραηνινγηθά επξήκαηα θαη ηα ρξνλνιόγεζε κε ηηο δύν κεζόδνπο. Σα απνηειέζκαηα ηνπ πεηξάκαηόο ηνπ θαίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα (ε ειηθία ησλ επξεκάησλ ππνινγίδεηαη ζε αηώλεο). Υξεζηκνπνηώληαο θαηάιιειν έιεγρν ππνζέζεσλ, κπνξνύκε λα ηζρπξηζηνύκε όηη ε λέα κέζνδνο ρξνλνιόγεζεο είλαη ην ίδην αμηόπηζηε κε απηήλ ηνπ άλζξαθα 14 ζε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο a=0.05; 18 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 9

10 Υ ΑΝΘΡΑΚΑΣ 14 8,9 9,2 10,2 14, ,4 11, , , ,8 18,9 ΝΕΑ ΜΕΘΟΔΟΣ 9, ,7 9,3 15, ,1 13, ,5 14,6 49,5 15,3 18,8 Δηζαγσγή ησλ δεδνκέλσλ ζην PASW? Arxaiologiko.sav Έιεγρνο θαλνληθόηεηαο ησλ δεηγκάησλ? Οη ηηκέο p-values είλαη <0.05, νπόηε παξαβηάδεηαη ε ππόζεζε ηεο θαλνληθόηεηαο, επνκέλσο ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε κε παξακεηξηθό έιεγρν γηα ηε ζύγθξηζε ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ. 19 Μαδί ηηο εηζάγνπκε σο δεύγνο Οη p values είλαη >0.05, ππάξρεη δελ πξνθύπηεη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθή δηαθνξά αλάκεζα ζηηο δύν κεζόδνπο 20 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 10

11 Απιή γξακκηθή παιηλδξόκεζε (Simple Linear Regression) Με ηελ απιή γξακκηθή παιηλδξόκεζε πξνζδηνξίδεηαη ε γξακκηθή ζρέζε ησλ ηηκώλ κηαο κεηαβιεηήο Υ θαη ησλ ηηκώλ κηαο άιιεο κεηαβιεηήο Τ. ηελ απιή πεξίπησζε πνπ ζα κειεηήζνπκε, ζεσξνύκε όηη νη κεηαβιεηέο Υ θαη Τ είλαη πνζνηηθέο. Θεσξνύκε ηε κεηαβιεηή Υ σο ηελ αλεμάξηεηε κεηαβιεηή (predictor ή independent) θαη Τ ηελ εμαξηεκέλε κεηαβιεηή (response ή dependent). Θέινπκε λα πξνζαξκόζνπκε έλα κνληέιν ηεο κνξθήο Τ=α+βΥ+ε, δειαδή γξακκηθό κνληέιν, δειαδή λα βξνύκε θαηάιιεια α & β, έηζη ώζηε δίλνληαο ηηκέο ζηελ η.κ. Υ λα εθηηκνύκε κε αμηνπηζηία (κηθξό ζθάικα, ε) ηηο ηηκέο ηεο Τ. Οη ηηκέο ησλ α θαη β εθηηκώληαη κε ηε κέζνδν ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ. Αλνίμηε ην αξρείν country15.sav Δμεηάζηε εάλ ππάξρεη γξακκηθή ζρέζε κεηαμύ ησλ κεηαβιεηώλ birthrat (X, πνζνζηό γελλήζεσλ αλά θαηνίθνπο) θαη ηεο κεηαβιεηήο lifeexpf (Y, αλακελόκελνο ρξόλνο δσήο ησλ γπλαηθώλ). Κάληε αξρηθά έλα νπηηθό έιεγρν θαη ζηε ζπλέρεηα πξνρσξήζηε ζηελ πξνζαξκνγή θαηάιιεινπ γξακκηθνύ κνληέινπ. 21 Graphs Legacy Dialogs Scatter/Dot αλεμάξηεηε κεηαβιεηή εμαξηεκέλε κεηαβιεηή Ολόκαηα πεξηπηώζεσλ : κηβι : country Γηπιό θιηθ ζην γξάθεκα θαη κεηά Elements Fit Line at Total Linear 22 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 11

12 Από ην γξάθεκα θαίλεηαη όηη ην λέθνο ησλ ζεκείσλ έρεη κηα ζπγθεθξηκέλε θαηεύζπλζε. Όια ηα ζεκεία είλαη καδεκέλα ζε κηα δηαγώλην. Οπόηε, κάιινλ ε ζρέζε ησλ δύν κεηαβιεηώλ είλαη γξακκηθή. Σν R 2 είλαη κηα πνζόηεηα πνπ παίξλεη ηηκέο ζην (0,1) θαη όζν πην θνληά ζην 1 είλαη ηόζν θαιύηεξε είλαη ε γξακκηθή πξνζαξκνγή, Πνηα είλαη ε γξακκηθή ζρέζε? Y X Yˆ ˆ ˆ X e Yˆ Y Μνληέιν πιεζπζκνύ ή ζεσξεηηθό Μνληέιν από ηελ παιηλδξόκεζε Τπόινηπα = εθηηκώκελε ηηκή πξαγκαηηθή (ή ζεσξεηηθή) ηηκή 23 Πνηα είλαη ε γξακκηθή ζρέζε? Yˆ Οη εθηηκεηέο ησλ α θαη β πξνθύπηνπλ από ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ. Η ζεκαληηθόηεηα ησλ ζπληειεζηώλ ηνπ γξακκηθνύ κνληέινπ αμηνινγείηαη από θαηάιιεινπο ζηαηηζηηθνύο ειέγρνπο. Παξαδνρέο γηα λα είλαη αμηόπηζην ην κνληέιν : Οη ηηκέο ηεο Τ λα είλαη αλεμάξηεηεο κεηαμύ ηνπο. ε θάζε ηηκή ηεο Υ λα αληηζηνηρεί έλαο ππνπιεζπζκόο ηηκώλ ηεο Τ, ε θαηαλνκή ησλ νπνίσλ λα είλαη θαλνληθή (Τ ~ θαλνληθή). Σα ζθάικαηα λα αθνινπζνύλ ηελ Ν(0,ζ 2 ) ˆ Απνηειεί ζεκεηαθή εθηίκεζε ηνπ πιεζπζκηαθνύ ζπληειεζηή α θαη είλαη ε εθηίκεζε ηεο Τ γηα Υ=0. ˆ ˆ ˆ X Γηα ηνπο ζθνπνύο ηνπ εξγαζηεξίνπ ηηο ζεσξνύκε δεδνκέλεο. Καλνληθά όκσο πξέπεη λα αληηκεησπίζνπκε όπνηα παξαβίαζε απηώλ ησλ παξαδνρώλ. Δίλαη ε αύμεζε ηεο Τ εάλ απμεζεί θαηά κηα κνλάδα ε Υ. 24 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 12

13 Δθηηκήζεηο ησλ ζπληειεζηώλ α & β 95 % Γ.Δ. γηα ηνπο εθηηκώκελνπο ζπληειεζηέο παιηλδξόκεζεο Πξνζαξκνγή κνληέινπ πληειεζηήο πξνζδηνξηζκνύ 25 Σν δηάγξακκα ησλ εθηηκώκελσλ ηηκώλ θαη ησλ ηππνπνηεκέλσλ ππνινίπσλ είλαη έλαο νπηηθόο έιεγρνο γηα λα ειέγμνπκε ηε γξακκηθόηεηα ηνπ κνληέινπ ηαπηόρξνλα κε ηνλ έιεγρν ζηαζεξόηεηαο ησλ δηαθπκάλζεσλ Απνζεθεύνληαη σο κεηαβιεηέο νη εθηηκώκελεο ηηκέο ηεο Τ θαη ηα ππόινηπα. 26 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 13

14 Απνηειέζκαηα s n y ˆ 2 i yi i1 n 2 Η πνζόηεηα s απνηειεί εθηίκεζε ηεο θνηλήο ηππηθήο απόθιηζεο ζ ησλ ππνινίπσλ ηνπ κνληέινπ Η πνζόηεηα R square δείρλεη πόζν θαιά πξνζαξκόδεηαη ε επζεία γξακκηθήο παιηλδξόκεζεο ζηα δεδνκέλα. Δίλαη έλαο αξηζκόο ζην (0,1) πνπ όζν πην θνληά ζην 1 βξίζθεηαη ηόζν θαιύηεξα πξνζαξκόδεηαη ην κνληέιν. ˆ ˆ 0 1 : ˆ 0 : ˆ 0 Απνξξίπηνληαη νη Ην. 0 : ˆ 0 ή r 0 ˆ 1 : 0 ή r 0 Yˆ X 27 Σα ζεκεία θαίλεηαη λα είλαη δηαζθνξπηζκέλα ηπραία, δειαδή ε δηαθύκαλζε ησλ ππνινίπσλ λα είλαη νκνηόκνξθα θαηαλεκεκέλε. 95% δ.ε. γηα ηε κέζε πξόβιεςε θαη ηε ζεκεηαθή πξόβιεςε. Yˆ i, i 1,...,15 e Yˆ Y i i i i 1,2,...,15 28 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 14

15 πλνπηηθά X i Yi Yˆi ei Πίλαθαο κε απνηειέζκαηα εθαξκνγήο ηνπ κνληέινπ. 29 Γνθηκάζηε ηώξα κόλνη ζαο : ΑΚΗΗ 5 users.auth.gr/askourke Δμεηάζεηο ζηηο ώξεο ησλ καζεκάησλ, όπσο είραηε δειώζεη ηα ηκήκαηα παξαθνινύζεζεο κε όιεο ηηο ζεκεηώζεηο βηβιία καδί ζαο. Θα αλαθνηλσζεί ε εκεξνκελία ζην site. 30 This presentation is for informational purposes only. Microsoft makes no warranties, express or implied, in this summary. 15