Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ

Transcript

1 Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Χ. Γηα παξάδεηγκα, θαηά ηε κειέηε ηεο ζρέζεο ηεο παξαγσγήο Υ ελόο αγξνύ κε ηελ πνζόηεηα Χ ηνπ ιηπάζκαηνο πνπ ρξεζηκνπνηνύκε, έλα ελδηαθέξνλ εξώηεκα ζα ήηαλ: πνηα είλαη ε κέζε ηηκή ηεο παξαγσγήο γηα δεδνκέλε πνζόηεηα ιηπάζκαηνο ;

2 Σύκθσλα κε ην θαλνληθό γξακκηθό κνληέιν ζα έρνπκε όπνπ ~ N, όπνηε E. Η ηειεπηαία πνζόηεηα απνηειεί, γηα ζπγθεθξηκέλν, κηα παπαμεηπική ζςνάπηηζη αθνύ εθθξάδεηαη κέζσ ησλ άγλσζησλ παξακέηξσλ θαη, όπνηε ζα είρε λόεκα λα αλαδεηήζνπκε γη απηήλ έλα διάζηημα εμπιζηοζύνηρ confidence inerval.

3 Πξνθεηκέλνπ λα δεκηνπξγήζνπκε ην δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο πνπ καο ελδηαθέξεη γηα ηελ παξακεηξηθή ζπλάξηεζε E θαίλεηαη ινγηθό λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ εθηηκήηξηα πξνζαξκνζκέλε ηηκή ηεο Υ ζηε ζέζε. ΠΡΟΣΑΗ.3. Στο κανονικό γραμμικό μοντέλο, η προσαρμοσμένη τιμή της Υ στη θέση ακολοσθεί την κανονική κατανομή με παραμέτροσς E V S 3

4 Απόδειξη Αθνύ E θαη E, έρνπκε E E E E. Επίζεο, επεηδή, ην κπνξεί λα γξαθεί ζηε κνξθή. Οη ηπραίεο κεηαβιεηέο θαη είλαη όκσο αλεμάξηεηεο όπνηε ζα έρνπκε V V V. Αληηθαζηζηώληαο ηα S V θαη V βξίζθνπκε S S V.

5 Γηα ηελ θαηαλνκή ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο έρνπκε: δειαδή, ε ii ii i i i i i γξάθεηαη σο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ θαλνληθώλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ Επνκέλσο, i, i,,...,. ~ N,. i. Παπαηήπηζη Τν απνηέιεζκα ηεο Πξόηαζεο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ θαηαζθεπή δηαζηεκάησλ εκπηζηνζύλεο γηα ηε κέζε πξόβιεςε E, κόλν όκσο ζηελ πεξίπησζε πνπ ε δηαθύκαλζε είλαη γλσζηή. Όηαλ ην είλαη άγλσζην, ηόηε κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ εθηηκήηξηά ηνπ MSE, νπόηε αληί ηεο ζα πξνθύςεη ε πνζόηεηα S.

6 Διαςτήμα εμπιςτοςφνησ για τη μζςη πρόβλεψη Διάζηημα εμπιζηοζύνηρ για μέζη ππόβλεψη Έλα δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο a γηα ηε κέζε πξόβιεςε E γηα ηελ ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο είλαη ην a/, a/ ] [ όπνπ είλαη ε ζεηηθή ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο παξάζηαζεο θαη MSE SSE /. S 6

7 Απόδειξη Επεηδή, ~ N Z θαη ~ U θαη αθνύ ην κέζν ηεηξαγσληθό ππόινηπν είλαη αλεμάξηεην ησλ θαη, ζπκπεξαίλνπκε όηη ε ηπραία κεηαβιεηή U Z / / αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή κε ν βαζκνύο ειεπζεξίαο.

8 Όκσο, S S όπνηε ηειηθά ζα έρνπκε ~. Μπνξνύκε λα γξάςνπκε όηη γηα a ηζρύεη a a a P / / από όπνπ πξνθύπηεη όηη a a a P / / δειαδή, έλα δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο γηα ηε κέζε πξόβιεςε E γηα ηελ ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο είλαη ην / ] /, [ a a.

9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αο ζεσξήζνπκε όηη νη ηπραίεο κεηαβιεηέο i πνπ πεξηγξάθνπλ ηελ παξαγσγή ελόο αγξνύ ζηνλ νπνίν ρξεζηκνπνηείηαη πνζόηεηα ιηπάζκαηνο i, i,,..., ηθαλνπνηνύλ ηηο ππνζέζεηο ηνπ θαλνληθνύ γξακκηθνύ κνληέινπ. α. Χξεζηκνπνηώληαο ηα δεδνκέλα λα βξεζνύλ ηα όξηα ηνπ δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο 99% γηα ηε κέζε παξαγσγή E όηαλ ρξεζηκνπνηνύκε εθαηνληάδεο θηιά ιηπάζκαηνο. Σηε ζπλέρεηα λα δνζνύλ ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζύλεο γηα ηηο ηηκέο i i i i,,,..., i ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο νη νπνίεο ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζην πείξακα. β. Γηα πνηα ηηκή ηνπ ην δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο πνπ θαηαζθεπάζαηε παξνπζηάδεη ην ειάρηζην πιάηνο ηνπ;

10 Απάνηηζη α. Χξεζηκνπνηώληαο ηηο ηηκέο 4, 5, 67. 5, 6. 4 θαη S πνπ έρνπλ ήδε ππνινγηζηεί κε βάζε ηα δηαζέζηκα δεδνκέλα βξίζθνπκε S Επνκέλσο, ηα όξηα ηνπ δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο 99% έρνπκε a.99 a. θαη./ ζα δίλνληαη από ηνλ ηύπν 8 8 a / LB 4 5 ή UB i i LB UB

11 β. Τα πιάηε ησλ δηαζηεκάησλ εκπηζηνζύλεο πνπ θαηαζθεπάζακε είλαη ίζα κε l Πξνθαλώο, l l6.4 l, δειαδή ην δηάζηεκα ειάρηζηνπ πιάηνπο είλαη απηό πνπ αληηζηνηρεί ζηε κέζε πξόβιεςε γηα 4. Η δηαπίζησζε απηή θαίλεηαη θαη 6. ζην ζρήκα όπνπ παξαηεξνύκε όηη νη δύν δηαθεθνκκέλεο γξακκέο νη νπνίεο δίλνπλ ηα όξηα ησλ δηαζηεκάησλ εκπηζηνζύλεο έξρνληαη πην θνληά ζηελ πεξηνρή πνπ αληηζηνηρεί ζηελ ηηκή

12 Διαςτήματα πρόβλεψησ για τισ τιμζσ τησ μεταβλητήσ απόκριςησ Σε αλαινγία κε ηα όζα είδακε γηα ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζύλεο γηα ηε κέζε πξόβιεςε, κπνξνύκε λα ζρεκαηίδνπκε έλα διάζηημα ππόβλεψηρ ην νπνίν ζα πεξηέρεη, κε πηζαλόηεηα a, ηελ ηηκή ηεο κεηαβιεηήο απόθξηζεο Υ, όηαλ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή Χ ιάβεη ζπγθεθξηκέλε ηηκή.

13 Διάζηημα ππόβλεψηρ για ηη μεηαβληηή απόκπιζηρ Έλα δηάζηεκα πξόβιεςεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο a a γηα ηελ ηηκή ηεο Υ όηαλ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή Χ ιάβεη ηελ ηηκή δίλεηαη από ηνλ ηύπν / ] /, [ a a όπνπ είλαη ε ζεηηθή ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο παξάζηαζεο S

14 Παπαηηπήζειρ α. Τα δηαζηήκαηα πξόβιεςεο, παξόηη κνηάδνπλ σο πξνο ηνπο ηύπνπο ππνινγηζκνύ κε ηα δηαζηήκαηα εκπηζηνζύλεο, ελλνηνινγηθά δηαθέξνπλ αξθεηά από εθείλα. Έλα δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο αθνξά κηα παξάκεηξν ή κηα παξακεηξηθή ζπλάξηεζε θάπνηαο θαηαλνκήο, ελώ έλα δηάζηεκα πξόβιεςεο αθνξά κηα ηπραία κεηαβιεηή θαη ηα όξηά ηνπ θαζνξίδνληαη έηζη ώζηε ε ηπραία κεηαβιεηή λα πεξηέρεηαη ζε απηό κε ζπγθεθξηκέλε πηζαλόηεηα. β. Τόζν ην δηάζηεκα πξόβιεςεο, όζν θαη ην δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο πνπ αθνξά ηελ ηηκή θαη ηε κέζε ηηκή ηεο κεηαβιεηήο απόθξηζεο Υ γηα X, έρνπλ ην ίδην θέληξν. Τν πιάηνο όκσο ηνπ δηαζηήκαηνο πξόβιεςεο είλαη πάληνηε κεγαιύηεξν ηνπ πιάηνπο ηνπ αληίζηνηρνπ δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο γηα ηνλ ίδην ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο. Τν απνηέιεζκα απηό είλαη αλακελόκελν αθνύ, κε ην δηάζηεκα πξόβιεςεο πξνζπαζνύκε λα δηεξεπλήζνπκε πνπ ζα θηλεζεί ε ηηκή κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο, ελώ κε ην δηάζηεκα εκπηζηνζύλεο, πνπ ζα θηλεζεί ε κέζε ηηκή ηεο, ε νπνία είλαη ιηγόηεξν επαίζζεηε. γ. Τν πιάηνο ηνπ δηαζηήκαηνο πξόβιεςεο όζν θαη ην πιάηνο ηνπ δηαζηήκαηνο εκπηζηνζύλεο ιακβάλνπλ ηε κηθξόηεξε ηηκή ηνπο όηαλ ην ζπκπέζεη κε ηνλ κέζν ησλ ηηκώλ ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο Χ.

15 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βξεζνύλ ηα όξηα ηνπ δηαζηήκαηνο πξόβιεςεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο 99% γηα ηελ ηηκή ηεο κεηαβιεηήο απόθξηζεο όηαλ ν αγξόο ιηπαίλεηαη κε εθαηνληάδεο θηιά ιηπάζκαηνο. Σηε ζπλέρεηα λα δνζνύλ ηα δηαζηήκαηα πξόβιεςεο γηα ηηο ηηκέο i, i,,..., ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο νη νπνίεο ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζην πείξακα. i i i

16 Απάνηηζη Έρνπκε S 39.4 θαη Τν δεηνύκελν δηάζηεκα πξόβιεςεο κε ζπληειεζηή εκπηζηνζύλεο 99% είλαη ην./, [./ ] θαη κε αληηθαηάζηαζε πξνθύπηεη όηη ηα όξηά ηνπ δίλνληαη από ηνλ ηύπν i i LB UB